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L06 · 함수공간·그람-슈미트·연산자

Arfken 7판 5.1–5.6절 (함수공간의 벡터, 그람-슈미트 직교화, 연산자, 자기수반 연산자, 유니터리 연산자, 연산자의 변환)

이 레슨이 끝나면 할 수 있는 계산
  1. 가중치가 있는 함수 내적, 노름, 정규화, 직교 판정
  2. 그람-슈미트로 $1,x,x^2,x^3$에서 르장드르·에르미트·라게르 다항식(의 상수배) 만들기
  3. 직교 함수로 전개 계수 구하기, 최소제곱 근사와 그 오차 구하기
  4. 베셀 부등식·파세발 등식으로 검산하고 합 구하기, 슈바르츠 부등식으로 내적·적분의 상한 잡기
  5. 디랙 표기로 사영 연산자와 완비성 관계 쓰기
  6. $d/dx$, $x\cdot$ 같은 연산자의 행렬 만들기
  7. 부분적분으로 수반 연산자 구하기, 에르미트 판정, 교환자 계산
  8. 유니터리 기저 변환 $A'=UAU^\dagger$, 2×2 행렬의 파울리 전개

0. 외워 둘 공식

무엇공식
내적(inner product)$\langle f|g\rangle=\displaystyle\int_a^b f^*(x)\,g(x)\,w(x)\,dx$ ($w$는 가중치(weight))
노름·정규화$\|f\|=\sqrt{\langle f|f\rangle}$, $\ \hat f=f/\|f\|$
직교$\langle f|g\rangle=0$
그람-슈미트$\varphi_n=u_n-\displaystyle\sum_{k<n}\frac{\langle\varphi_k|u_n\rangle}{N_k}\varphi_k$, $\ N_k=\langle\varphi_k|\varphi_k\rangle$
전개 계수$c_n=\dfrac{\langle\varphi_n|f\rangle}{N_n}$ (정규직교이면 $c_n=\langle e_n|f\rangle$)
베셀·파세발$\sum|c_n|^2N_n\le\|f\|^2$, 완비 집합이면 등호
슈바르츠$|\langle f|g\rangle|^2\le\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle$, 등호는 $f\propto g$
사영·완비성$P_n=|e_n\rangle\langle e_n|$, $\ \sum_n|e_n\rangle\langle e_n|=1$
행렬 원소$A_{ij}=\langle e_i|A|e_j\rangle$ (정규직교 기저)
수반$\langle f|Ag\rangle=\langle A^\dagger f|g\rangle$, 행렬이면 $A^\dagger=(A^*)^T$
미분 연산자경계항이 0이면 $\big(\frac{d}{dx}\big)^\dagger=-\frac{d}{dx}$, $\ \big(-i\frac{d}{dx}\big)^\dagger=-i\frac{d}{dx}$
교환자$[A,B]=AB-BA$, $\ \big[x,\frac{d}{dx}\big]=-1$
기저 변환$A'=UAU^\dagger$, $\ \operatorname{tr}A'=\operatorname{tr}A$, $\ \det A'=\det A$
파울리 전개$A=a_0I+\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma$, $\ a_\mu=\frac12\operatorname{tr}(\sigma_\mu A)$

그람-슈미트에서 계속 쓰는 적분(모멘트)입니다. $\langle x^m|x^n\rangle$은 $x^{m+n}$ 하나만 적분하면 됩니다. $k=m+n$으로 씁니다.

구간, 가중치$\langle x^m|x^n\rangle$$k=0,1,2,\dots,6$
$[-1,1]$, $w=1$$k$ 짝수: $\dfrac{2}{k+1}$, 홀수: $0$$2$, $0$, $\frac23$, $0$, $\frac25$, $0$, $\frac27$
$(-\infty,\infty)$, $w=e^{-x^2}$$k$ 짝수: $\Gamma\big(\frac{k+1}{2}\big)$, 홀수: $0$$\sqrt\pi$, $0$, $\frac{\sqrt\pi}{2}$, $0$, $\frac{3\sqrt\pi}{4}$, $0$, $\frac{15\sqrt\pi}{8}$
$[0,\infty)$, $w=e^{-x}$$k!$$1$, $1$, $2$, $6$, $24$, $120$, $720$
이 레슨의 관례 (책마다 다른 곳)

1. 내적·노름·직교

레시피
  1. 구간 $[a,b]$와 가중치 $w(x)$를 먼저 적습니다. 같은 두 함수라도 구간과 가중치가 바뀌면 내적이 바뀝니다.
  2. 왼쪽 함수에 켤레를 붙이고, 곱하고, $w$를 곱해 적분합니다.
  3. 노름은 $\|f\|=\sqrt{\langle f|f\rangle}$, 정규화는 $f/\|f\|$입니다. $\langle f|f\rangle=\int|f|^2w\,dx$는 항상 양의 실수입니다. 복소수가 나오면 켤레를 빼먹은 것입니다.
  4. 직교(orthogonal)는 내적이 0이라는 뜻입니다. 대칭 구간 $[-L,L]$에 짝함수 가중치이면 (짝함수)와 (홀함수)의 내적은 계산 없이 0입니다.
예제 1-1 세 가지 내적

(a) $[0,1]$, $w=1$. $\langle1|x\rangle=\int_0^1x\,dx=\frac12\ne0$이므로 $1$과 $x$는 직교하지 않습니다. 반면

$$\begin{aligned}\langle1|2x-1\rangle&=\int_0^1(2x-1)\,dx\\&=1-1=0\end{aligned}$$

이므로 $1$과 $2x-1$은 직교합니다. $\|x\|^2=\int_0^1x^2dx=\frac13$이므로 정규화하면 $\hat x=\sqrt3\,x$입니다.

(b) $[0,\infty)$, $w=e^{-x}$. 모멘트표 $\langle x^m|x^n\rangle=(m+n)!$를 씁니다.

$$\begin{aligned}\langle1|1-x\rangle&=0!-1!=0,\\ \|1-x\|^2&=\langle1|1\rangle-2\langle1|x\rangle+\langle x|x\rangle\\&=1-2+2=1.\end{aligned}$$

$1-x$는 $1$과 직교하고, 이미 정규화되어 있습니다. 이것이 라게르 다항식 $L_1$입니다(예제 2-3).

(c) 복소함수. $[0,1]$, $w=1$, $f=1+ix$. 왼쪽에 켤레 $f^*=1-ix$를 붙입니다.

$$\begin{aligned}\|f\|^2&=\int_0^1(1-ix)(1+ix)\,dx\\&=\int_0^1(1+x^2)\,dx=\frac43.\end{aligned}$$

켤레를 빼먹으면 $\int_0^1(1+ix)^2dx=\int_0^1(1-x^2+2ix)\,dx=\frac23+i$가 나옵니다. 노름의 제곱이 복소수이므로 틀렸다는 것을 바로 알 수 있습니다.

2. 그람-슈미트 직교화

레시피 (그람-슈미트 직교화, Gram-Schmidt orthogonalization)
  1. 재료 $u_0,u_1,u_2,\dots$를 정해진 순서대로 씁니다. $\varphi_0=u_0$입니다.
  2. $u_n$에서 이미 만든 $\varphi_k$ 방향 성분을 모두 뺍니다. $$\begin{aligned}\varphi_n&=u_n-\sum_{k<n}\frac{\langle\varphi_k|u_n\rangle}{N_k}\,\varphi_k,\\ N_k&=\langle\varphi_k|\varphi_k\rangle\end{aligned}$$
  3. 지름길 1: $N_n=\langle u_n|\varphi_n\rangle$입니다. 빼 준 항은 모두 $\varphi_n$과 직교하기 때문입니다. $\varphi_n$을 제곱해서 전개하는 것보다 훨씬 짧습니다.
  4. 지름길 2: 대칭 구간에 짝함수 가중치이면 $\varphi_n$의 홀짝은 $x^n$과 같습니다. 그래서 $x^n$에서는 홀짝이 같은 $\varphi_k$만 빼면 됩니다.
  5. 정규화는 마지막에 한 번 합니다: $e_n=\varphi_n/\sqrt{N_n}$.
  6. 단계를 아래처럼 표로 적으면 실수가 줄어듭니다. 내적은 0절의 모멘트표에서 읽습니다.
왜 되나? (증명 스케치)

직교가 되는 이유. $\varphi_0,\dots,\varphi_{n-1}$이 이미 서로 직교한다고 합시다. $j<n$인 $\varphi_j$와 내적하면, 빼 준 합에서 $k=j$ 항만 살아남습니다.

$$\begin{aligned}\langle\varphi_j|\varphi_n\rangle&=\langle\varphi_j|u_n\rangle-\frac{\langle\varphi_j|u_n\rangle}{N_j}\langle\varphi_j|\varphi_j\rangle\\&=\langle\varphi_j|u_n\rangle-\langle\varphi_j|u_n\rangle=0.\end{aligned}$$

즉 $\frac{\langle\varphi_k|u_n\rangle}{N_k}\varphi_k$는 $u_n$의 "$\varphi_k$ 방향 그림자"(사영)이고, 그림자를 모두 빼면 남은 것은 모든 $\varphi_k$에 수직입니다. 평면에서 벡터의 수직 성분을 구하는 것과 같은 계산입니다.

지름길 1. $N_n=\langle\varphi_n|\varphi_n\rangle$의 오른쪽에만 $\varphi_n=u_n-\sum_{k<n}a_k\varphi_k$를 넣으면, 합 부분은 $\varphi_n$과 직교해서 사라지고 $\langle\varphi_n|u_n\rangle$만 남습니다. ($N_n$은 실수라서 $\langle u_n|\varphi_n\rangle$과 같습니다.)

지름길 2. 대칭 구간·짝함수 가중치에서 짝함수와 홀함수의 내적은 0이므로, $x^n$과 홀짝이 다른 $\varphi_k$는 처음부터 빼 줄 성분이 없습니다.

예제 2-1 (르장드르) $[-1,1]$, $w=1$, 재료 $1,x,x^2,x^3$
$n$빼는 항의 계수 $\frac{\langle\varphi_k|u_n\rangle}{N_k}$$\varphi_n$$N_n=\langle u_n|\varphi_n\rangle$
0없음$1$$2$
1$\varphi_0$: ${\frac{\langle1|x\rangle}{2}=0}$$x$$\frac23$
2$\varphi_0$: ${\frac{2/3}{2}=\frac13}$
$\varphi_1$: 홀짝이 달라 0		${x^2-\frac13}$${\frac25-\frac13\cdot\frac23}$
${=\frac{8}{45}}$
3$\varphi_1$: ${\frac{\langle x|x^3\rangle}{2/3}}$ ${=\frac{2/5}{2/3}=\frac35}$
$\varphi_0,\varphi_2$: 0		${x^3-\frac35x}$${\frac27-\frac35\cdot\frac25}$
${=\frac{8}{175}}$

$N_2$를 풀어 쓰면 $\langle x^2|\varphi_2\rangle=\langle x^2|x^2\rangle-\frac13\langle x^2|1\rangle=\frac25-\frac29=\frac{8}{45}$입니다.

표준 르장드르 다항식은 $P_n(1)=1$이 되도록 상수배를 맞춘 것입니다.

$$\begin{aligned}P_2&=\tfrac32\varphi_2=\tfrac12(3x^2-1),\\ P_3&=\tfrac52\varphi_3=\tfrac12(5x^3-3x).\end{aligned}$$

검산: $\langle P_2|P_2\rangle=\frac94\cdot\frac{8}{45}=\frac25$, $\langle P_3|P_3\rangle=\frac{25}{4}\cdot\frac{8}{175}=\frac27$. 둘 다 L21의 $\frac{2}{2n+1}$과 맞습니다. 정규직교 집합은 $e_n=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}\,P_n$입니다.

예제 2-2 (에르미트) $(-\infty,\infty)$, $w=e^{-x^2}$, 재료 $1,x,x^2,x^3$

모멘트 $\mu_k=\int x^ke^{-x^2}dx$는 $\mu_0=\sqrt\pi$, $\mu_2=\frac{\sqrt\pi}{2}$, $\mu_4=\frac{3\sqrt\pi}{4}$, $\mu_6=\frac{15\sqrt\pi}{8}$이고, 홀수 $k$는 0입니다.

$n$빼는 항의 계수$\varphi_n$$N_n=\langle u_n|\varphi_n\rangle$
0없음$1$$\sqrt\pi$
1홀짝이 달라 없음$x$$\frac{\sqrt\pi}{2}$
2$\varphi_0$: ${\frac{\mu_2}{\mu_0}=\frac12}$${x^2-\frac12}$${\mu_4-\frac12\mu_2}$
${=\frac{\sqrt\pi}{2}}$
3$\varphi_1$: ${\frac{\mu_4}{\mu_2}=\frac32}$${x^3-\frac32x}$${\mu_6-\frac32\mu_4}$
${=\frac{3\sqrt\pi}{4}}$

$N_3$를 풀어 쓰면 $\frac{15\sqrt\pi}{8}-\frac32\cdot\frac{3\sqrt\pi}{4}=\frac{15\sqrt\pi-9\sqrt\pi}{8}=\frac{3\sqrt\pi}{4}$입니다.

물리학자 에르미트 다항식은 최고차 계수가 $2^n$이므로 $H_n=2^n\varphi_n$입니다.

$$H_2=4x^2-2,\qquad H_3=8x^3-12x.$$

검산: $\langle H_n|H_n\rangle=4^nN_n$은 $n=2$에서 $16\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}=8\sqrt\pi$, $n=3$에서 $64\cdot\frac{3\sqrt\pi}{4}=48\sqrt\pi$입니다. 공식 $2^nn!\sqrt\pi$와 맞습니다.

예제 2-3 (라게르) $[0,\infty)$, $w=e^{-x}$, 재료 $1,x,x^2,x^3$

구간이 대칭이 아니므로 지름길 2는 못 씁니다. 대신 내적이 전부 정수입니다: $\langle x^m|x^n\rangle=(m+n)!$.

$n$빼는 항의 계수$\varphi_n$$N_n=\langle u_n|\varphi_n\rangle$
0없음$1$$0!=1$
1$\varphi_0$: ${1!=1}$${x-1}$${2!-1!}$ ${=1}$
2$\varphi_0$: ${2!=2}$
$\varphi_1$: ${3!-2!}$ ${=4}$		${x^2-4x}$ ${+2}$${4!-4\cdot3!}$ ${+2\cdot2!}$
${=4}$
3$\varphi_0$: ${3!=6}$
$\varphi_1$: ${4!-3!}$ ${=18}$
$\varphi_2$: ${\frac{36}{4}=9}$		${x^3-9x^2}$ ${+18x-6}$${6!-9\cdot5!}$ ${+18\cdot4!}$ ${-6\cdot3!}$
${=36}$

$n=2$ 줄의 $\varphi_1$ 계수는 $\langle x-1|x^2\rangle=3!-2!=4$를 $N_1=1$로 나눈 것이고, $n=3$ 줄의 $\varphi_2$ 계수는 $\langle\varphi_2|x^3\rangle=5!-4\cdot4!+2\cdot3!=36$을 $N_2=4$로 나눈 것입니다.

$n=2$ 줄을 풀어 쓰면 $\varphi_2=x^2-2\cdot1-4(x-1)=x^2-4x+2$입니다. $n=3$ 줄은

$$\begin{aligned}\varphi_3&=x^3-6-18(x-1)\\&\quad-9(x^2-4x+2)\\&=x^3-9x^2+18x-6.\end{aligned}$$

$N_3=720-1080+432-36=36$. 표준 라게르 다항식은 $L_n(0)=1$이므로 $L_n=\dfrac{(-1)^n}{n!}\varphi_n$입니다.

$$\begin{aligned}L_1&=1-x,\quad L_2=\tfrac12(x^2-4x+2),\\ L_3&=\tfrac16(-x^3+9x^2-18x+6).\end{aligned}$$

검산: $\langle L_n|L_n\rangle=N_n/(n!)^2$은 $\frac11,\ \frac44,\ \frac{36}{36}$으로 모두 1입니다. 라게르 다항식은 이 가중치에서 처음부터 정규직교입니다.

3. 직교 전개와 최소제곱 근사

레시피
  1. 직교 집합 $\varphi_0,\varphi_1,\dots$을 준비합니다. 정규화는 안 해도 됩니다.
  2. 계수는 하나씩 따로 구합니다(투영, projection): $c_n=\dfrac{\langle\varphi_n|f\rangle}{N_n}$. 연립방정식이 필요 없습니다.
  3. $p=\sum_{n\le M}c_n\varphi_n$은 $\varphi_0,\dots,\varphi_M$으로 만들 수 있는 함수 가운데 $\|f-p\|^2$가 가장 작은 것입니다(최소제곱 근사, least-squares approximation). 항을 하나 더 넣어도 앞의 계수는 바뀌지 않습니다.
  4. 오차는 적분을 다시 하지 않고 구합니다: $\|f-p\|^2=\|f\|^2-\sum_{n\le M}|c_n|^2N_n$.
  5. 마지막에 $\varphi_n$을 $x$의 거듭제곱으로 풀어서 정리합니다.
왜 되나? (증명 스케치)

최소제곱 = 사영. $p=\sum_{n\le M}c_n\varphi_n$, $c_n=\frac{\langle\varphi_n|f\rangle}{N_n}$이면 오차 $e=f-p$는 모든 $\varphi_k$ ($k\le M$)에 수직입니다.

$$\langle\varphi_k|e\rangle=\langle\varphi_k|f\rangle-c_kN_k=0.$$

다른 아무 후보 $q$ (같은 $\varphi$들의 조합)를 잡으면 $p-q$도 그 조합이라 $e$와 수직입니다. 피타고라스 정리로

$$\|f-q\|^2=\|e+(p-q)\|^2=\|e\|^2+\|p-q\|^2\ge\|e\|^2.$$

그래서 $p$가 가장 가깝습니다. 점에서 평면까지의 최단 거리가 수선의 발인 것과 같습니다.

예제 3-1 $[-1,1]$에서 $e^x$를 $1,x,x^2$로 최소제곱 근사하기

예제 2-1의 $\varphi_0=1$, $\varphi_1=x$, $\varphi_2=x^2-\frac13$과 $N_0=2$, $N_1=\frac23$, $N_2=\frac{8}{45}$을 씁니다. 필요한 적분은 부분적분으로 구합니다.

$$\begin{aligned}\int_{-1}^1e^xdx&=e-e^{-1}=2\sinh1,\\ \int_{-1}^1xe^xdx&=\Big[(x-1)e^x\Big]_{-1}^1=\frac2e,\\ \int_{-1}^1x^2e^xdx&=\Big[(x^2-2x+2)e^x\Big]_{-1}^1\\&=e-\frac5e.\end{aligned}$$

계수를 하나씩 구합니다.

$$\begin{aligned}c_0&=\frac{2\sinh1}{2}=\sinh1\approx1.1752,\\ c_1&=\frac{2/e}{2/3}=\frac3e\approx1.1036,\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\langle\varphi_2|e^x\rangle&=\langle x^2|e^x\rangle-\tfrac13\langle1|e^x\rangle\\&=\Big(e-\frac5e\Big)-\frac13\Big(e-\frac1e\Big)\\&=\frac23\Big(e-\frac7e\Big),\\ c_2&=\frac23\Big(e-\frac7e\Big)\cdot\frac{45}{8}\\&=\frac{15}{4}\Big(e-\frac7e\Big)\\&\approx0.5367.\end{aligned}$$

$\varphi_2=x^2-\frac13$을 풀면 상수항은 $c_0-\frac{c_2}{3}\approx0.9963$입니다.

$$\begin{aligned}p_2(x)&\approx0.9963+1.1036\,x\\&\quad+0.5367\,x^2.\end{aligned}$$

오차. $\|e^x\|^2=\int_{-1}^1e^{2x}dx=\sinh2\approx3.62686$에서 $|c_n|^2N_n$을 차례로 뺍니다.

$$\begin{aligned}2c_0^2&\approx2.76220,\\ \tfrac23c_1^2&=\tfrac{6}{e^2}\approx0.81201,\\ \tfrac{8}{45}c_2^2&\approx0.05121,\\ \|e^x-p_2\|^2&\approx3.62686-3.62542\\&=0.00144.\end{aligned}$$

같은 차수의 테일러 다항식과 비교합니다. 테일러 쪽은 $\int_{-1}^1(e^x-T)^2dx$를 직접 적분한 값입니다.

근사$\int_{-1}^1(e^x-p)^2dx$$[-1,1]$에서 최대 오차
최소제곱 1차 $\sinh1+\frac3e\,x$$1-\frac{7}{e^2}\approx0.0527$$\approx0.439$
테일러 1차 $1+x$$\approx0.1212$$e-2\approx0.718$
최소제곱 2차 $p_2$$\approx0.00144$$\approx0.082$
테일러 2차 $1+x+\frac{x^2}{2}$$\approx0.00899$$e-\frac52\approx0.218$

최소제곱 근사는 구간 전체에 오차를 고르게 나눕니다. 테일러 근사는 $x=0$ 근처만 정확하고 끝점 $x=1$에서 크게 틀립니다. 같은 2차인데 제곱 오차가 약 6분의 1입니다. 최대 오차는 모두 $x=1$에서 나옵니다. 1차 최소제곱의 오차 $1-\frac{7}{e^2}$은 $\sinh2-2\sinh^21=1-e^{-2}$에서 $\frac6{e^2}$을 뺀 것입니다.

4. 베셀 부등식과 파세발 등식

레시피
  1. 베셀 부등식(Bessel's inequality): 직교 집합의 일부만 써도 $\sum_n|c_n|^2N_n\le\|f\|^2$입니다. "오차의 제곱은 0 이상"을 다르게 쓴 것입니다.
  2. 파세발 등식(Parseval's identity): 집합이 완비(complete)이면 전부 더했을 때 등호가 됩니다. $\sum_{n=0}^\infty|c_n|^2N_n=\|f\|^2$.
  3. 다항식을 다항식 직교 집합으로 전개하면 유한 개의 항에서 이미 등호입니다.
  4. 쓰는 곳: (가) 검산. 좌변이 우변보다 크면 계수 계산이 틀린 것입니다. (나) 수열의 합 구하기(연습문제 C4, L18).
  5. 슈바르츠 부등식(Schwarz inequality): $|\langle f|g\rangle|^2\le\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle$. 등호는 $f$와 $g$가 비례할 때뿐입니다. 쓰는 곳: (가) 내적 계산의 검산, (나) 직접 하기 어려운 적분 $\int fg\,w\,dx$의 상한을 쉬운 적분 두 개로 잡기. Arfken 5.1절에서 다루는 것으로 기억합니다(기억 기반, 미검증).
왜 되나? (증명 스케치)
예제 4-1 베셀과 파세발을 하나씩

(a) $f=|x|$를 $[-1,1]$에서 $\varphi_0=1$, $\varphi_2=x^2-\frac13$으로 근사합니다. $|x|$는 짝함수라 $\varphi_1,\varphi_3$의 계수는 0입니다.

$$\begin{aligned}\langle1||x|\rangle&=1,\quad c_0=\tfrac12,\\ \langle\varphi_2||x|\rangle&=2\int_0^1\Big(x^3-\frac x3\Big)dx\\&=2\Big(\frac14-\frac16\Big)=\frac16,\\ c_2&=\frac16\cdot\frac{45}{8}=\frac{15}{16}.\end{aligned}$$

근사식은 $\frac12+\frac{15}{16}\big(x^2-\frac13\big)=\frac{15x^2+3}{16}$입니다. 베셀 부등식을 확인합니다.

$$\begin{aligned}c_0^2N_0+c_2^2N_2&=\frac14\cdot2+\frac{225}{256}\cdot\frac{8}{45}\\&=\frac12+\frac{5}{32}=\frac{21}{32},\\ \|f\|^2&=\int_{-1}^1x^2dx=\frac23.\end{aligned}$$

$\frac{21}{32}=\frac{63}{96}\le\frac{64}{96}=\frac23$입니다. 차이가 오차의 제곱 $\frac{1}{96}$입니다.

(b) $f=x^3$. 예제 2-1의 표에서 $x^3=\varphi_3+\frac35\varphi_1$이므로 $c_1=\frac35$, $c_3=1$입니다. 파세발 등식이 유한 항에서 성립합니다.

$$\begin{aligned}&\frac{9}{25}\cdot\frac23+1\cdot\frac{8}{175}=\frac{42}{175}+\frac{8}{175}\\&\quad=\frac{2}{7}=\int_{-1}^1x^6dx.\end{aligned}$$

(c) 슈바르츠. $[0,1]$, $w=1$에서 $f=x$, $g=e^x$. 부분적분으로 $\langle x|e^x\rangle=\big[(x-1)e^x\big]_0^1=0-(-1)=1$입니다. 노름은

$$\begin{aligned}\|x\|^2&=\int_0^1x^2dx=\frac13,\\ \|e^x\|^2&=\int_0^1e^{2x}dx=\frac{e^2-1}{2}.\end{aligned}$$ $$1^2\le\frac13\cdot\frac{e^2-1}{2}=\frac{e^2-1}{6}\approx1.065.$$

부등식이 성립하고, 거의 등호입니다. $[0,1]$에서 $x$와 $e^x$는 둘 다 증가하는 모양이라 "방향"이 거의 같기 때문입니다. 내적을 $\langle x|e^x\rangle=2$로 잘못 계산했다면 $4>1.065$라서 바로 틀린 것을 압니다.

5. 디랙 표기·사영 연산자·완비성

레시피 (디랙 표기, Dirac notation)
  1. 켓(ket) $|a\rangle$은 열벡터, 브라(bra) $\langle a|$는 그 켤레 전치(행벡터)입니다. 함수이면 $\langle f|$는 "$f^*w$를 곱해서 적분하라"는 뜻입니다.
  2. $\langle a|b\rangle=\sum_ia_i^*b_i$는 수이고, $|a\rangle\langle b|$는 행렬입니다. 성분은 $(|a\rangle\langle b|)_{ij}=a_ib_j^*$.
  3. 정규화된 $|e\rangle$에 대해 사영 연산자(projection operator) $P=|e\rangle\langle e|$는 $P|v\rangle=|e\rangle\langle e|v\rangle$입니다. 검산: $P^2=P$, $P^\dagger=P$, $\operatorname{tr}P=1$.
  4. 정규직교 기저 전체의 사영을 더하면 항등 연산자입니다(완비성 관계, completeness relation): $\sum_n|e_n\rangle\langle e_n|=1$. 아무 식에나 $1$ 대신 끼워 넣어 성분을 뽑습니다: $|v\rangle=\sum_n|e_n\rangle\langle e_n|v\rangle$.
  5. 함수공간에서 정규화하지 않은 $\varphi$로의 사영은 $\varphi\,\langle\varphi|f\rangle/N$입니다. 3절의 투영과 같은 계산입니다.
왜 되나? (증명 스케치)
예제 5-1 $\mathbb C^2$에서 $|a\rangle=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$, $|b\rangle=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

(a) 내적. $\langle a|=(1,\ -i)$입니다. $\langle a|b\rangle=1\cdot2+(-i)\cdot1=2-i$. 순서를 바꾸면 $\langle b|a\rangle=2\cdot1+1\cdot i=2+i=\langle a|b\rangle^*$입니다.

(b) 바깥곱. $\langle b|=(2,\ 1)$이므로

$$|a\rangle\langle b|=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\2i&i\end{pmatrix}.$$

(c) 사영 연산자. $|e_\pm\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}$는 정규직교입니다. $\langle e_+|e_-\rangle=\frac12\big(1+(-i)(-i)\big)=0$.

$$\begin{aligned}P_+&=|e_+\rangle\langle e_+|=\frac12\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix},\\ P_-&=|e_-\rangle\langle e_-|=\frac12\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

$P_+^2$의 (1,1) 성분은 $\frac14\big(1\cdot1+(-i)\cdot i\big)=\frac12$, (1,2) 성분은 $\frac14\big(1\cdot(-i)+(-i)\cdot1\big)=-\frac i2$입니다. 나머지 성분도 같아서 $P_+^2=P_+$입니다. 그리고 $P_++P_-=I$입니다(완비성).

(d) 성분 뽑기. $|v\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$이면 $\langle e_\pm|v\rangle=\frac{1}{\sqrt2}$이므로

$$\begin{aligned}|v\rangle&=\tfrac{1}{\sqrt2}|e_+\rangle+\tfrac1{\sqrt2}|e_-\rangle\\&=\tfrac12\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}+\tfrac12\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

그림 표기로 보기: G4 9절 — 켓·브라를 한쪽 단자 상자로: $P^2=P$는 거품 = 1, $\operatorname{tr}P$는 고리, 완비성은 곧은 선

6. 연산자의 행렬 표현

레시피
  1. 기저 $|e_1\rangle,|e_2\rangle,\dots$를 정하고, 각 기저에 연산자를 작용시킵니다.
  2. $A|e_j\rangle$을 기저로 전개한 계수를 $j$번째 열에 씁니다.
  3. 기저가 정규직교이면 적분 한 번으로 성분을 바로 구합니다: $A_{ij}=\langle e_i|A|e_j\rangle$.
  4. $1,x,x^2,\dots$ 같은 단항식 기저는 직교가 아닙니다. 이때는 내적을 쓰지 말고 "계수 읽기"로 열을 채웁니다.
  5. 함수에 연산자를 작용시키는 것은 계수 열벡터에 행렬을 곱하는 것입니다. 연산자의 곱은 행렬의 곱입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

$A|e_j\rangle=\sum_iA_{ij}|e_i\rangle$로 정의하면, $|v\rangle=\sum_jc_j|e_j\rangle$에 대해 선형성으로

$$A|v\rangle=\sum_jc_jA|e_j\rangle=\sum_i\Big(\sum_jA_{ij}c_j\Big)|e_i\rangle.$$

새 계수가 $\sum_jA_{ij}c_j$, 곧 행렬 곱 $A\mathbf c$입니다. 그래서 $A|e_j\rangle$의 계수가 $j$번째 열에 가야 합니다. 두 번 작용시키면 행렬을 두 번 곱하므로 연산자의 곱은 행렬의 곱입니다. 기저가 정규직교이면 $\langle e_i|$를 곱해 $A_{ij}=\langle e_i|A|e_j\rangle$로 한 성분만 뽑을 수 있습니다. 직교가 아니면 이 뽑기가 안 되므로 계수 읽기를 씁니다.

예제 6-1 다항식 기저에서 $D=\frac{d}{dx}$와 $X=x\cdot$

기저 $\{1,x,x^2,x^3\}$. $D1=0$, $Dx=1$, $Dx^2=2x$, $Dx^3=3x^2$입니다. 각 결과의 계수를 열로 세웁니다.

$$D=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$

사용: $p=2-x+4x^3\leftrightarrow(2,-1,0,4)^T$. 행렬을 곱하면 $(-1,0,12,0)^T$, 곧 $p'=-1+12x^2$입니다. 직접 미분한 것과 같습니다. $D^4=0$인 것은 "3차 다항식을 네 번 미분하면 0"과 같은 말입니다.

$X$는 차수를 하나 올리므로 $\{1,x,x^2\}$에서 $\{1,x,x^2,x^3\}$으로 가는 4×3 행렬로 씁니다. $X1=x$, $Xx=x^2$, $Xx^2=x^3$입니다.

$$X=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$ $$DX=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

$DX$는 $\frac{d}{dx}(x\cdot x^k)=(k+1)x^k$을 나타냅니다. 연산자로 쓰면 $\frac{d}{dx}x=1+x\frac{d}{dx}$이고, 8절의 교환자 $\big[\frac d{dx},x\big]=1$과 같은 내용입니다.

예제 6-2 2차원 함수공간에서 $\langle e_i|A|e_j\rangle$

$[0,2\pi]$, $w=1$에서 $e_1=\frac{\cos x}{\sqrt\pi}$, $e_2=\frac{\sin x}{\sqrt\pi}$는 정규직교입니다. $A=\frac{d}{dx}$의 행렬 원소를 적분으로 구합니다. 아래 적분은 모두 $0$부터 $2\pi$까지입니다.

$$\begin{aligned}\langle e_1|A|e_1\rangle&=-\frac1\pi\int\cos x\sin x\,dx=0,\\ \langle e_1|A|e_2\rangle&=\frac1\pi\int\cos^2x\,dx=1,\\ \langle e_2|A|e_1\rangle&=-\frac1\pi\int\sin^2x\,dx=-1,\\ \langle e_2|A|e_2\rangle&=\frac1\pi\int\sin x\cos x\,dx=0.\end{aligned}$$ $$A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$$

계수 읽기로도 같습니다. $Ae_1=-e_2$이므로 1열이 $(0,-1)^T$, $Ae_2=e_1$이므로 2열이 $(1,0)^T$입니다. 이 행렬은 $A^\dagger=-A$입니다(7절). $K=-i\frac{d}{dx}$의 행렬은 $-iA=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}=\sigma_y$로 에르미트입니다.

7. 수반 연산자와 에르미트 연산자

레시피
  1. 수반 연산자(adjoint) $A^\dagger$의 정의: 모든 $f,g$에 대해 $\langle f|Ag\rangle=\langle A^\dagger f|g\rangle$. 행렬이면 $A^\dagger=(A^*)^T$입니다. $A^\dagger=A$이면 에르미트(Hermitian, 자기수반 self-adjoint)입니다.
  2. 규칙: $(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger$, $(cA)^\dagger=c^*A^\dagger$. 실함수를 곱하는 연산자는 자기 자신이 수반입니다($x^\dagger=x$).
  3. 미분 연산자는 부분적분으로 미분을 왼쪽 함수로 옮깁니다($w=1$일 때). $$\begin{aligned}\langle f|g'\rangle&=\Big[f^*g\Big]_a^b-\int_a^bf'^*g\,dx\\&=\Big[f^*g\Big]_a^b+\langle-f'|g\rangle\end{aligned}$$
  4. 경계항 $[f^*g]_a^b$가 0이 되는 경우: (가) 양 끝에서 함수가 0, (나) 주기 조건 $f(a)=f(b)$, $g(a)=g(b)$, (다) $(-\infty,\infty)$에서 충분히 빨리 감쇠. 이때 $\big(\frac{d}{dx}\big)^\dagger=-\frac{d}{dx}$입니다(반에르미트).
  5. $\big(-i\frac{d}{dx}\big)^\dagger=(-i)^*\big(\frac{d}{dx}\big)^\dagger=i\cdot\big(-\frac{d}{dx}\big)=-i\frac{d}{dx}$. 그래서 $-i\frac{d}{dx}$는 에르미트입니다. 경계항이 사라지지 않으면 에르미트가 아닙니다.
  6. $\frac{d^2}{dx^2}$는 부분적분을 두 번 합니다. 경계항은 $\big[f^*g'-f'^*g\big]_a^b$이고, 이것이 0이면 $\frac{d^2}{dx^2}$는 에르미트입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

$\frac{d^2}{dx^2}$의 경계항. 부분적분을 두 번 합니다.

$$\begin{aligned}\langle f|g''\rangle&=\big[f^*g'\big]_a^b-\int_a^bf'^*g'\,dx\\&=\big[f^*g'-f'^*g\big]_a^b+\int_a^bf''^*g\,dx.\end{aligned}$$

두 번 옮기면 부호가 $(-1)^2=+1$이라서 $\frac{d^2}{dx^2}$는 (경계항만 사라지면) 자기 자신이 수반입니다. 한 번만 옮기는 $\frac{d}{dx}$는 $-1$이 붙어 반에르미트이고, $-i$를 곱해 부호를 되돌린 것이 $-i\frac{d}{dx}$입니다.

왜 에르미트가 중요한가. L05 2절의 증명이 적분에서도 그대로 됩니다. $Af=\lambda f$이면 $\lambda\langle f|f\rangle=\langle f|Af\rangle=\langle Af|f\rangle=\lambda^*\langle f|f\rangle$이라 $\lambda$가 실수이고, 고유값이 다른 고유함수는 직교합니다. 그래서 경계 조건을 정확히 확인하는 것이 중요합니다(L25 스투름-리우빌).

예제 7-1 $\big(\frac d{dx}\big)^\dagger=-\frac d{dx}$를 손으로 확인하기

(a) 경계항이 0인 경우. $[0,1]$에서 $f=x(1-x)$, $g=x^2(1-x)$. 둘 다 양 끝에서 0입니다. $g'=2x-3x^2$, $f'=1-2x$.

$$\begin{aligned}\langle f|g'\rangle&=\int_0^1(x-x^2)(2x-3x^2)\,dx\\&=\int_0^1(2x^2-5x^3+3x^4)\,dx\\&=\frac23-\frac54+\frac35=\frac1{60},\\ \langle-f'|g\rangle&=-\int_0^1(1-2x)(x^2-x^3)\,dx\\&=-\int_0^1(x^2-3x^3+2x^4)\,dx\\&=-\Big(\frac13-\frac34+\frac25\Big)=\frac1{60}.\end{aligned}$$

같습니다.

(b) 경계항이 남는 경우. $f=1$, $g=x$. $\langle f|g'\rangle=\int_0^11\,dx=1$인데 $\langle-f'|g\rangle=0$입니다. 차이 $1$은 경계항 $[f^*g]_0^1=1\cdot1-1\cdot0=1$과 정확히 같습니다.

예제 7-2 $K=-i\frac{d}{dx}$가 에르미트인 경우와 아닌 경우

(a) 주기 조건, $[0,2\pi]$. $f=e^{ix}$, $g=\cos x$. $Kg=-i(-\sin x)=i\sin x$, $Kf=-i\cdot ie^{ix}=e^{ix}$. 아래 적분은 모두 $0$부터 $2\pi$까지입니다.

$$\begin{aligned}&\langle f|Kg\rangle=\int e^{-ix}\,i\sin x\,dx\\&\ \ =i\int(\cos x-i\sin x)\sin x\,dx\\&\ \ =i(-i\pi)=\pi,\\ &\langle Kf|g\rangle=\int e^{-ix}\cos x\,dx\\&\ \ =\int(\cos x-i\sin x)\cos x\,dx=\pi.\end{aligned}$$

같습니다. 고유함수 $e^{ikx}$의 고유값 $k$는 주기 조건 때문에 정수이고, 실수입니다.

(b) 반직선 $[0,\infty)$. $f=g=e^{-x}$. $Kg=-i(-e^{-x})=ie^{-x}$이고 $Kf$도 같습니다.

$$\begin{aligned}\langle f|Kg\rangle&=\int_0^\infty e^{-x}\,ie^{-x}dx=\frac i2,\\ \langle Kf|g\rangle&=\int_0^\infty(ie^{-x})^*e^{-x}dx=-\frac i2.\end{aligned}$$

다릅니다. 부분적분하면 $\langle f|Kg\rangle-\langle Kf|g\rangle=-i\big[f^*g\big]_0^\infty=-i(0-1)=i$이고, 실제로 $\frac i2-\big(-\frac i2\big)=i$입니다. $x=0$에서 함수가 0이 아니라 경계항이 남았습니다.

8. 교환자

레시피 (교환자, commutator $[A,B]=AB-BA$)
  1. 연산자는 오른쪽에 있는 모든 것에 작용합니다. 그래서 반드시 시험 함수 $f$에 작용시켜 계산합니다.
  2. $[A,B]f=A(Bf)-B(Af)$를 곱의 미분법으로 전개하고, 지워지는 항을 지운 뒤 $f$를 떼어 냅니다.
  3. 기본 결과: $\big[x,\frac{d}{dx}\big]=-1$, $\big[\frac{d}{dx},g(x)\big]=g'(x)$, $\big[x,-i\frac d{dx}\big]=i$.
  4. 성질: $[A,B]=-[B,A]$, $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$. 큰 교환자를 기본 교환자로 쪼갤 때 씁니다.
예제 8-1 $\big[x,\frac{d}{dx}\big]$와 $\big[\frac{d^2}{dx^2},x\big]$ $$\begin{aligned}\Big[x,\tfrac{d}{dx}\Big]f&=xf'-(xf)'\\&=xf'-f-xf'=-f\\ \Rightarrow\ \Big[x,\tfrac{d}{dx}\Big]&=-1.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\Big[\tfrac{d^2}{dx^2},x\Big]f&=(xf)''-xf''\\&=(f+xf')'-xf''\\&=2f'+xf''-xf''\\&=2f'\\ \Rightarrow\ \Big[\tfrac{d^2}{dx^2},x\Big]&=2\frac{d}{dx}.\end{aligned}$$

성질로 검산합니다. $D=\frac d{dx}$, $[D,x]=1$이면 $[D^2,x]=D[D,x]+[D,x]D=D+D=2D$. 양자역학 기호로 $p=-i\frac{d}{dx}$이면 $[x,p]=-i\big[x,\frac d{dx}\big]=i$입니다($\hbar=1$).

9. 기저 변환과 불변량

레시피
  1. 옛 정규직교 기저 $\{|e_j\rangle\}$와 새 정규직교 기저 $\{|e_i'\rangle\}$를 준비합니다.
  2. $U_{ij}=\langle e_i'|e_j\rangle$. 곧 $U$의 $i$번째 행은 새 벡터 $|e_i'\rangle$의 옛 성분에 켤레를 붙인 것입니다.
  3. $UU^\dagger=I$(유니터리, unitary)인지 확인합니다. 새 기저가 정규직교이면 반드시 성립합니다.
  4. 성분은 $\mathbf c'=U\mathbf c$, 연산자 행렬은 $A'=UAU^\dagger$입니다.
  5. 검산: $\operatorname{tr}A'=\operatorname{tr}A$, $\det A'=\det A$이고 고유값도 같습니다. 에르미트 행렬은 에르미트로 남습니다.
  6. 새 기저를 $A$의 고유벡터로 고르면 $A'$은 대각행렬입니다(L05의 대각화).
왜 되나? (증명 스케치)

5절의 완비성 $\sum_j|e_j\rangle\langle e_j|=1$을 끼워 넣으면 모든 식이 나옵니다.

예제 9-1 $K=-i\frac d{dx}$를 $\{\cos x,\sin x\}$에서 $\{e^{ix},e^{-ix}\}$로

예제 6-2에서 옛 기저 $e_1=\frac{\cos x}{\sqrt\pi}$, $e_2=\frac{\sin x}{\sqrt\pi}$로 $K=\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$였습니다. 새 기저는 정규화한 지수함수입니다.

$$\begin{aligned}e_+'&=\frac{e^{ix}}{\sqrt{2\pi}}=\frac{e_1+ie_2}{\sqrt2},\\ e_-'&=\frac{e^{-ix}}{\sqrt{2\pi}}=\frac{e_1-ie_2}{\sqrt2}.\end{aligned}$$

행에 켤레 성분을 씁니다: $\langle e_+'|=\frac{1}{\sqrt2}(1,\ -i)$, $\langle e_-'|=\frac1{\sqrt2}(1,\ i)$.

$$\begin{aligned}U&=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-i\\1&i\end{pmatrix},\\ U^\dagger&=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\i&-i\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

$UU^\dagger=\frac12\begin{pmatrix}1+1&1-1\\1-1&1+1\end{pmatrix}=I$입니다. 이제 두 번 곱합니다.

$$\begin{aligned}KU^\dagger&=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\i&-i\end{pmatrix}\\&=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\i&i\end{pmatrix},\\ UKU^\dagger&=\frac12\begin{pmatrix}1&-i\\1&i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\i&i\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

직접 확인: $-i\frac{d}{dx}e^{\pm ix}=\pm e^{\pm ix}$이므로 새 기저는 고유함수이고 고유값은 $\pm1$입니다. 불변량도 맞습니다. $\operatorname{tr}K=0=1+(-1)$, $\det K=0\cdot0-(-i)(i)=-1=1\cdot(-1)$.

10. 2×2 행렬의 파울리 전개

레시피
  1. $\sigma_0=I$, $\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$, $\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$. 이 넷은 $\operatorname{tr}(\sigma_\mu\sigma_\nu)=2\delta_{\mu\nu}$로 직교합니다. 그래서 계수는 투영입니다: $a_\mu=\frac12\operatorname{tr}(\sigma_\mu A)$.
  2. 성분으로 풀면 다음과 같습니다. $$\begin{aligned}a_0&=\tfrac12(A_{11}+A_{22}),\\ a_z&=\tfrac12(A_{11}-A_{22}),\\ a_x&=\tfrac12(A_{12}+A_{21}),\\ a_y&=\tfrac i2(A_{12}-A_{21}).\end{aligned}$$
  3. 검산: 다시 조립하면 $A=\begin{pmatrix}a_0+a_z&a_x-ia_y\\a_x+ia_y&a_0-a_z\end{pmatrix}$.
  4. $A$가 에르미트 $\iff$ 네 계수가 모두 실수.
  5. 고유값은 $a_0\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$, $\det A=a_0^2-(a_x^2+a_y^2+a_z^2)$. 계수가 복소수여도 절댓값 제곱이 아니라 그냥 제곱의 합입니다.
왜 되나? (증명 스케치)
예제 10-1 파울리 전개와 고유값

(a) $A=\begin{pmatrix}3&1-2i\\1+2i&-1\end{pmatrix}$ (에르미트)

$$\begin{aligned}a_0&=\tfrac12(3-1)=1,\\ a_z&=\tfrac12(3+1)=2,\\ a_x&=\tfrac12\big((1-2i)+(1+2i)\big)=1,\\ a_y&=\tfrac i2\big((1-2i)-(1+2i)\big)\\&=\tfrac i2(-4i)=2.\end{aligned}$$

$A=I+\sigma_x+2\sigma_y+2\sigma_z$. 계수가 모두 실수라 에르미트와 맞습니다. 조립 검산: (1,2) 성분 $a_x-ia_y=1-2i$. 고유값은 $1\pm\sqrt{1+4+4}=1\pm3$, 곧 $4$와 $-2$입니다. 대각합 $2=4+(-2)$, 행렬식 $-3-|1-2i|^2=-8=4\cdot(-2)$로 맞습니다.

(b) $B=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$ (에르미트 아님)

$$\begin{aligned}b_0&=2,\quad b_z=-1,\\ b_x&=\tfrac12(2+0)=1,\\ b_y&=\tfrac i2(2-0)=i.\end{aligned}$$

$B=2I+\sigma_x+i\sigma_y-\sigma_z$. 계수에 $i$가 있으므로 에르미트가 아닙니다. 고유값: $b_x^2+b_y^2+b_z^2=1+i^2+1=1$이므로 $2\pm1$, 곧 $3$과 $1$입니다. 삼각행렬의 대각 성분과 맞습니다. 여기서 $|b_y|^2=1$을 쓰면 $\sqrt3$이 나와서 틀립니다.

그림 표기로 보기: G4 9절 — 파울리 완비성 그림 하나에서 $a_\mu=\frac12\operatorname{tr}(\sigma_\mu A)$, 고유값은 $\Delta=\mathbf a\cdot\mathbf a$ (예제 9-1에서 이 예제를 다시 풂)

그림 표기로 보기: G5 2절 예제 2-1 — 파울리 전개 a_μ = ½tr(σ_μA)를 완비성 그림 한 번으로 유도(연습 F2·F3).

11. 자주 하는 실수

12. 연습문제

종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다.

A. 내적·노름·직교

A1. $[0,1]$, $w=1$에서 $\langle x|x^2\rangle$, $\|x^2\|$, 그리고 $x^2$를 정규화한 함수

답$\frac14$, $\ \frac{1}{\sqrt5}$, $\ \sqrt5\,x^2$ — $\int_0^1x^3dx=\frac14$, $\int_0^1x^4dx=\frac15$.

A2. $[0,\infty)$, $w=e^{-x}$에서 $\langle x|x^2\rangle$, $\|x\|$, 그리고 $x-a$가 $x$와 직교하게 하는 $a$

답$6$, $\ \sqrt2$, $\ a=2$ — $\langle x|x^2\rangle=3!$, $\|x\|^2=2!$, $\langle x|x-a\rangle=2!-a\cdot1!=0$.

A3. $[0,2\pi]$, $w=1$에서 $f=e^{ix}+2e^{2ix}$의 $\|f\|^2$와 $\langle e^{2ix}|f\rangle$

답$10\pi$, $\ 4\pi$ — $\langle e^{imx}|e^{inx}\rangle=\int_0^{2\pi}e^{i(n-m)x}dx=2\pi\delta_{mn}$. $\|f\|^2=2\pi(1+|2|^2)$.

B. 그람-슈미트

B1. $[0,1]$, $w=1$, 재료 $1,x,x^2$로 $\varphi_1,\varphi_2$와 $N_1,N_2$

답$\varphi_1=x-\frac12$, $\varphi_2=x^2-x+\frac16$, $N_1=\frac1{12}$, $N_2=\frac{1}{180}$ — $\varphi_2$에서 $\varphi_0$ 계수 $\frac13$, $\varphi_1$ 계수 $\frac{\langle x-\frac12|x^2\rangle}{1/12}=\frac{1/12}{1/12}=1$. $N_2=\langle x^2|\varphi_2\rangle=\frac15-\frac14+\frac1{18}$.

B2. $[-1,1]$, $w=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, 재료 $1,x,x^2$. 모멘트 $\int_{-1}^1\frac{x^{2k}}{\sqrt{1-x^2}}dx=\pi,\ \frac\pi2,\ \frac{3\pi}{8}$ ($k=0,1,2$)을 써도 됩니다.

답$\varphi_0=1$, $\varphi_1=x$, $\varphi_2=x^2-\frac12$, $\ N_0=\pi$, $N_1=\frac\pi2$, $N_2=\frac\pi8$ — $N_2=\frac{3\pi}8-\frac12\cdot\frac\pi2$. 체비쇼프 다항식 $T_2=2x^2-1=2\varphi_2$입니다.

B3. 예제 2-2를 이어서 $\varphi_4$와 $H_4$

답$\varphi_4=x^4-3x^2+\frac34$, $\ H_4=16\varphi_4=16x^4-48x^2+12$ — $\varphi_0$ 계수 $\frac{\mu_4}{\mu_0}=\frac34$, $\varphi_2$ 계수 $\frac{\mu_6-\mu_4/2}{\sqrt\pi/2}=\frac{3\sqrt\pi/2}{\sqrt\pi/2}=3$.

B4. $\mathbb R^3$에서 $(1,1,0)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$을 이 순서로 정규직교화

답$\frac1{\sqrt2}(1,1,0)$, $\ \frac1{\sqrt6}(1,-1,2)$, $\ \frac1{\sqrt3}(-1,1,1)$ — 둘째: $(1,0,1)-\frac12(1,1,0)=(\frac12,-\frac12,1)$. 셋째: $(0,1,1)-\frac12(1,1,0)-\frac16(1,-1,2)=(-\frac23,\frac23,\frac23)$.

B5. $\mathbb C^2$에서 $(1,\ i)$, $(1,\ 0)$을 이 순서로 정규직교화 (켤레는 왼쪽)

답$\frac1{\sqrt2}(1,\ i)$, $\ \frac1{\sqrt2}(1,\ -i)$ — $\langle e_1|v_2\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(1\cdot1+(-i)\cdot0)=\frac1{\sqrt2}$, $v_2-\frac1{\sqrt2}e_1=(\frac12,\ -\frac i2)$.

B6. $[-1,1]$, $w=1+x$, 재료 $1,x,x^2$ (가중치가 짝함수가 아니므로 지름길 2를 못 씀)

답$\varphi_1=x-\frac13$, $\varphi_2=x^2-\frac25x-\frac15$, $\ N_0=2$, $N_1=\frac49$, $N_2=\frac{8}{75}$ — 모멘트 $\int_{-1}^1x^k(1+x)dx=2,\frac23,\frac23,\frac25,\frac25$ ($k=0,\dots,4$). $\varphi_2$에서 $\varphi_0$ 계수 $\frac13$, $\varphi_1$ 계수 $\frac{2/5-2/9}{4/9}=\frac25$.

C. 전개·근사·베셀·파세발

C1. $[-1,1]$에서 $x^2+x$를 예제 2-1의 $\varphi_0,\varphi_1,\varphi_2$로 전개하고 파세발 등식을 확인. 르장드르 $P_n$으로도 쓰기

답$x^2+x=\frac13\varphi_0+\varphi_1+\varphi_2=\frac13P_0+P_1+\frac23P_2$ — 파세발: $\frac19\cdot2+1\cdot\frac23+1\cdot\frac8{45}=\frac{16}{15}=\int_{-1}^1(x^2+x)^2dx$.

C2. $[-1,1]$에서 $x^3$을 $\{1,x\}$로 최소제곱 근사하고 오차 $\|x^3-p\|^2$

답$p=\frac35x$, 오차 $\frac{8}{175}$ — $c_0=0$, $c_1=\frac{2/5}{2/3}$. 오차 $=\frac27-\frac9{25}\cdot\frac23$. 버린 성분 $\varphi_3$의 $N_3$과 같습니다.

C3. $[0,\infty)$, $w=e^{-x}$에서 $x^2$를 예제 2-3의 $\varphi_0,\varphi_1$로 최소제곱 근사하고, 오차와 파세발 등식 확인

답$p=4x-2$, 오차 $4$ — $x^2=\varphi_2+4\varphi_1+2\varphi_0$이므로 $p=2+4(x-1)$. 파세발: $2^2\cdot1+4^2\cdot1+1^2\cdot4=24=4!=\|x^2\|^2$.

C4. $[-\pi,\pi]$의 완비 정규직교 기저 $e_n=\frac{e^{inx}}{\sqrt{2\pi}}$ ($n\in\mathbb Z$)로 $f=x$에 파세발 등식을 써서 $\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}$

답$\frac{\pi^2}{6}$ — $\langle e_n|x\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}xe^{-inx}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{2\pi i(-1)^n}{n}$ ($n\ne0$), $\langle e_0|x\rangle=0$. $\sum_{n\ne0}\frac{2\pi}{n^2}=\|x\|^2=\frac{2\pi^3}{3}$.

C5. $[0,\pi]$, $w=1$에서 $f=1$, $g=\sin x$로 슈바르츠 부등식을 확인

답$4\le\dfrac{\pi^2}{2}\approx4.93$ — $\langle1|\sin x\rangle=2$, $\|1\|^2=\pi$, $\|\sin x\|^2=\frac\pi2$.

C6. 슈바르츠 부등식으로 $\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x^3}\,dx$의 상한을 구하기

답$\sqrt{\dfrac54}\approx1.118$ — $f=1$, $g=\sqrt{1+x^3}$로 두면 $\big(\int_0^1g\,dx\big)^2\le\int_0^11\,dx\cdot\int_0^1(1+x^3)\,dx=\frac54$. 실제 값은 약 $1.1114$입니다.

D. 디랙 표기·행렬 표현

D1. $|a\rangle=(1,\ 2i)^T$, $|b\rangle=(3,\ -i)^T$일 때 $\langle a|b\rangle$, $\langle b|a\rangle$, $|a\rangle\langle b|$

답$1$, $\ 1$, $\ \begin{pmatrix}3&i\\6i&-2\end{pmatrix}$ — $\langle a|=(1,\ -2i)$, $\langle b|=(3,\ i)$. $\langle a|b\rangle=3+(-2i)(-i)=3-2$.

D2. $\mathbb R^3$에서 $\hat n=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)$로의 사영 $P=|\hat n\rangle\langle\hat n|$, $P(1,0,0)^T$, $\operatorname{tr}P$

답$P$는 모든 성분이 $\frac13$인 3×3 행렬, $P(1,0,0)^T=\frac13(1,1,1)^T$, $\operatorname{tr}P=1$ — $P^2$의 각 성분은 $3\cdot\frac19=\frac13$이라 $P^2=P$.

D3. 기저 $\{e^x,\ xe^x,\ x^2e^x\}$에서 $\frac{d}{dx}$의 행렬을 만들고, 그 행렬로 $\int x^2e^xdx$를 구하기

답$\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$, $\ \int x^2e^xdx=(x^2-2x+2)e^x+C$ — $(xe^x)'=e^x+xe^x$, $(x^2e^x)'=2xe^x+x^2e^x$. $D\mathbf c=(0,0,1)^T$를 아래 줄부터 풀면 $c_3=1$, $c_2=-2$, $c_1=2$.

D4. $[-1,1]$의 정규직교 기저 $e_0=\frac{1}{\sqrt2}$, $e_1=\sqrt{\frac32}\,x$에서 $x\cdot$의 2×2 행렬과 그 고유값

답$\begin{pmatrix}0&\frac1{\sqrt3}\\\frac1{\sqrt3}&0\end{pmatrix}$, 고유값 $\pm\frac1{\sqrt3}$ — $\langle e_0|x|e_1\rangle=\frac{\sqrt3}{2}\int_{-1}^1x^2dx=\frac{1}{\sqrt3}$, 대각 성분은 홀함수 적분이라 0. $\pm\frac1{\sqrt3}$은 $P_2$의 근(2점 가우스 구적의 마디)입니다.

E. 수반·교환자

E1. $[0,1]$에서 $f=x(1-x)$, $g=x^2(1-x)$로 $\langle f|g''\rangle=\langle f''|g\rangle$ 확인

답둘 다 $-\frac16$ — $\int_0^1(x-x^2)(2-6x)dx=1-\frac83+\frac32$, $\int_0^1(-2)(x^2-x^3)dx=-2\cdot\frac1{12}$. 경계항 $[fg'-f'g]_0^1$은 $f,g$가 양 끝에서 0이라 사라집니다.

E2. 양 끝에서 0인 함수들 위에서 $\big(x\frac{d}{dx}\big)^\dagger$

답$-x\frac{d}{dx}-1$ — $(XD)^\dagger=D^\dagger X^\dagger=-DX=-(1+XD)$. 따라서 $x\frac d{dx}$는 에르미트가 아니고, $-i\big(x\frac{d}{dx}+\frac12\big)$은 에르미트입니다.

E3. $(-\infty,\infty)$, $w=e^{-x^2}$에서 $\big(\frac{d}{dx}\big)^\dagger$. $f=1$, $g=x$로 확인

답$-\frac{d}{dx}+2x$ — $\int f^*g'e^{-x^2}dx=-\int(f^*e^{-x^2})'g\,dx=\int(-f'^*+2xf^*)g\,e^{-x^2}dx$. 확인: 좌변 $\int e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$, 우변 $\langle2x|x\rangle=2\cdot\frac{\sqrt\pi}2=\sqrt\pi$.

E4. $\big[\frac{d}{dx},x^2\big]$와 $\big[x^2,\frac{d^2}{dx^2}\big]$

답$2x$, $\ -4x\frac{d}{dx}-2$ — $x^2f''-(x^2f)''=x^2f''-(2f+4xf'+x^2f'')$.

E5. 기저 $\{1,x,x^2\}$에서 $x\cdot$를 3×3으로 자른 행렬 $X_t$($x\cdot x^2=x^3$은 버림)와 $D=\frac{d}{dx}$의 행렬로 $X_tD-DX_t$

답$\operatorname{diag}(-1,-1,2)$ — $X_tD=\operatorname{diag}(0,1,2)$, $DX_t=\operatorname{diag}(1,2,0)$. 앞 두 성분은 $\big[x,\frac d{dx}\big]=-1$과 맞지만 마지막 성분은 잘라 낸 탓에 틀어집니다. 대각합이 0이어야 하므로 유한 행렬로는 $-I$를 만들 수 없습니다.

F. 기저 변환·파울리

F1. $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$을 새 정규직교 기저 $\frac1{\sqrt2}(1,1)$, $\frac1{\sqrt2}(-1,1)$로 옮기기: $U$, $A'=UAU^\dagger$, 대각합과 행렬식

답$U=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$, $\ A'=\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}$ — $\operatorname{tr}=4$, $\det=3$ 둘 다 그대로입니다. $U$가 실수라 $U^\dagger=U^T$.

F2. $A=\begin{pmatrix}5&2-i\\2+i&1\end{pmatrix}$의 파울리 전개와 고유값

답$A=3I+2\sigma_x+\sigma_y+2\sigma_z$, 고유값 $3\pm3$ 곧 $6$과 $0$ — $a_y=\frac i2\big((2-i)-(2+i)\big)=1$. 검산: $\det A=5-|2-i|^2=0$.

F3. $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$의 파울리 전개와 고유값

답$A=\frac12\sigma_x+\frac i2\sigma_y$, 고유값 $0$(중근) — $a_x^2+a_y^2+a_z^2=\frac14-\frac14=0$. $A^2=0$과도 맞습니다.

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