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L05 · 고유값 문제

Arfken 7판 6.1–6.5절 (고유값 방정식, 행렬 고유값 문제, 에르미트 고유값 문제, 대각화, 정규 행렬, 일반화 고유값 문제, 동시 대각화)

이 레슨이 끝나면 할 수 있는 계산
  1. 특성방정식으로 고유값을 구하고, 고유벡터를 구해 정규화하기
  2. 대각합과 행렬식으로 고유값 검산하기
  3. 중근일 때 서로 직교하는 고유벡터 고르기
  4. 실대칭·에르미트 행렬을 $U^\dagger AU=D$로 대각화하기
  5. $e^A$, $\sqrt A$ 같은 행렬 함수와 케일리-해밀턴 정리로 $A^n$, $A^{-1}$ 계산하기
  6. 2차형식의 주축 변환, 결합 진동자의 정규모드 구하기(질량이 다른 경우 $\det(K-\omega^2M)=0$ 포함)
  7. 정규 행렬 판별과 복소 고유값 다루기
  8. 교환하는 두 행렬을 동시에 대각화해서 축퇴된 고유벡터 고르기

0. 외워 둘 공식

항목공식
고유값 방정식$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ ($\mathbf v\ne\mathbf 0$) $\iff\det(A-\lambda I)=0$ (특성방정식, characteristic equation)
2×2 특성방정식$\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$
3×3 특성방정식$\lambda^3-(\operatorname{tr}A)\lambda^2+S_2\lambda-\det A=0$, $\ S_2=$ 대각선에 걸친 2×2 소행렬식 3개의 합 $$S_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$$
검산$\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i$, $\quad\det A=\prod_i\lambda_i$
에르미트 $A^\dagger=A$고유값은 실수, 서로 다른 고유값의 고유벡터는 직교
대각화$U=(\mathbf u_1\ \mathbf u_2\ \cdots)$ (정규화된 고유벡터를 열로), $\ U^\dagger AU=D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots)$
행렬 함수$f(A)=Uf(D)U^\dagger=\sum_i f(\lambda_i)\,\mathbf u_i\mathbf u_i^\dagger$
케일리-해밀턴(Cayley–Hamilton)특성다항식 $p(\lambda)$에 대해 $p(A)=0$
파울리 지수$M^2=I$이면 $e^{i\theta M}=\cos\theta\,I+i\sin\theta\,M$ (예: $M=\sigma_y$, $\hat n\cdot\boldsymbol\sigma$)
정규 행렬$AA^\dagger=A^\dagger A\iff$ 유니터리 행렬로 대각화 가능
일반화 고유값 문제$K\mathbf a=\omega^2M\mathbf a$, $\ \det(K-\omega^2M)=0$, 모드끼리 $\mathbf a_i^TM\mathbf a_j=0$
동시 대각화에르미트 $A$, $B$가 $[A,B]=0$이면 공통 고유벡터로 함께 대각화
이 레슨의 관례 (책마다 다른 곳)

1. 고유값과 고유벡터 — 기본 절차

레시피
  1. $A-\lambda I$를 씁니다. $\lambda$는 대각 성분에서만 뺍니다.
  2. $\det(A-\lambda I)=0$을 풀어 고유값을 구합니다. 2×2는 바로 $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$.
  3. 고유값마다 $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$을 풉니다. 행렬식이 0이라서 식 하나는 나머지에 종속입니다. 2×2는 한 행만 보면 됩니다: 그 행이 $(p,\ q)$이면 $\mathbf v\propto(q,\ -p)$.
  4. 정규화: $\hat{\mathbf v}=\mathbf v/\sqrt{\mathbf v^\dagger\mathbf v}$. 복소 성분이면 $|v_i|^2$를 더합니다.
  5. 검산: $\sum\lambda=\operatorname{tr}A$, $\prod\lambda=\det A$, 그리고 $A\mathbf v$를 직접 곱해서 $\lambda\mathbf v$가 나오는지 봅니다.
왜 되나? (증명 스케치)

$\operatorname{tr}A=\sum\lambda_i$, $\det A=\prod\lambda_i$. 특성다항식을 두 가지로 씁니다. 근이 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$이므로

$$\det(\lambda I-A)=(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_n).$$

상사변환(similarity transformation)은 고유값을 보존합니다. $\det(S^{-1}AS-\lambda I)=\det\big(S^{-1}(A-\lambda I)S\big)=\det(A-\lambda I)$. 특성다항식이 같으므로 고유값·대각합·행렬식이 모두 같습니다. 대각화 $U^\dagger AU=D$가 고유값을 바꾸지 않는 이유입니다.

예제 1-1 $A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}$의 고유값과 정규화된 고유벡터

$\operatorname{tr}A=7$, $\det A=12-2=10$이므로

$$\begin{aligned}&\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-2)(\lambda-5)=0\\&\Rightarrow\ \lambda=2,\ 5.\end{aligned}$$

검산: $2+5=7$, $2\cdot5=10$. 직접 곱하기: $A(1,-2)^T=(2,-4)^T=2(1,-2)^T$, $A(1,1)^T=(5,5)^T$.

$A$가 대칭이 아니라서 두 고유벡터는 직교하지 않습니다: $(1,1)\cdot(1,-2)=-1$. 이런 행렬은 $S^{-1}AS=D$로 대각화하고, $S^{-1}$을 따로 구해야 합니다.

2. 3×3 실대칭 행렬

레시피
  1. 특성다항식을 $\lambda^3-(\operatorname{tr}A)\lambda^2+S_2\lambda-\det A$로 바로 씁니다. $\det(A-\lambda I)$를 통째로 전개하는 것보다 실수가 적습니다.
  2. 정수 근은 $\det A$의 약수 중에서 대입해 찾습니다. 하나를 찾으면 조립제법(synthetic division)으로 나눠 남은 2차식을 풉니다.
  3. 고유벡터 요령: 단근 $\lambda$이면 $A-\lambda I$의 서로 비례하지 않는 두 행의 외적(cross product)이 고유벡터입니다. 두 행 모두와 수직인 벡터이기 때문입니다. 외적: $(a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3)=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1)$.
  4. 실대칭이면 서로 다른 고유값의 고유벡터끼리 내적이 0이어야 합니다. 0이 아니면 어딘가 틀린 것입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

에르미트($A^\dagger=A$)이면 성립합니다. 실대칭은 그 특수한 경우입니다.

고유값이 실수: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$의 왼쪽에 $\mathbf v^\dagger$를 곱하면 $\mathbf v^\dagger A\mathbf v=\lambda\,\mathbf v^\dagger\mathbf v$. 왼쪽 수의 켤레를 취하면 $(\mathbf v^\dagger A\mathbf v)^*=\mathbf v^\dagger A^\dagger\mathbf v=\mathbf v^\dagger A\mathbf v$로 자기 자신이므로 실수입니다. $\mathbf v^\dagger\mathbf v>0$도 실수이므로 $\lambda$는 실수입니다.

고유벡터가 직교: $A\mathbf u=\lambda\mathbf u$, $A\mathbf v=\mu\mathbf v$, $\lambda\ne\mu$라 합니다. $\mathbf u^\dagger A\mathbf v$를 두 방법으로 계산합니다.

$$\begin{aligned}\mathbf u^\dagger(A\mathbf v)&=\mu\,\mathbf u^\dagger\mathbf v,\\ (A\mathbf u)^\dagger\mathbf v&=\lambda^*\mathbf u^\dagger\mathbf v=\lambda\,\mathbf u^\dagger\mathbf v.\end{aligned}$$

($A^\dagger=A$라서 두 식의 왼쪽은 같습니다.) 빼면 $(\lambda-\mu)\,\mathbf u^\dagger\mathbf v=0$이므로 $\mathbf u^\dagger\mathbf v=0$.

예제 2-1 $A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&3&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$의 고유값, 고유벡터, 대각화 행렬

계수 세 개를 구합니다. 먼저 $\operatorname{tr}A=2+3+2=7$.

$$\begin{aligned}S_2&=\begin{vmatrix}2&-1\\-1&3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&0\\0&2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}3&-1\\-1&2\end{vmatrix}\\&=5+4+5=14\end{aligned}$$

$\det A$는 1행으로 전개합니다. 소행렬식이 $M_{11}=3\cdot2-(-1)(-1)=5$, $M_{12}=(-1)\cdot2-(-1)\cdot0=-2$이므로

$$\det A=2\cdot5-(-1)\cdot(-2)+0=10-2=8.$$

특성다항식 $p(\lambda)=\lambda^3-7\lambda^2+14\lambda-8$. 8의 약수를 넣어 보면 $p(1)=1-7+14-8=0$. 조립제법으로 $(\lambda-1)$을 나누면 계수 $1,-6,8$이 남습니다.

$$\begin{aligned}p(\lambda)&=(\lambda-1)(\lambda^2-6\lambda+8)\\&=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-4)\end{aligned}$$

따라서 $\lambda=1,\ 2,\ 4$.

검산: $1+2+4=7$, $1\cdot2\cdot4=8$.

고유벡터는 $A-\lambda I$의 1행과 2행의 외적으로 구합니다.

직교 확인: $(1,1,1)\cdot(1,0,-1)=0$, $(1,1,1)\cdot(1,-2,1)=0$, $(1,0,-1)\cdot(1,-2,1)=0$. 정규화해서 열로 놓습니다.

$$U=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}\\[2pt]\frac1{\sqrt3}&0&-\frac2{\sqrt6}\\[2pt]\frac1{\sqrt3}&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}\end{pmatrix}$$ $$U^TAU=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}.$$

그림 표기로 보기: G4 5절 — $S_2=\frac12[(\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}A^2]$ — 대칭 행렬이면 성분 제곱합으로 검산(예제 5-1에서 이 예제를 다시 풂)

3. 중근(축퇴)

레시피
  1. 중근(축퇴, degeneracy) $\lambda$에서는 $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$의 독립인 식이 줄어듭니다. 3×3 실대칭 행렬에서 이중근이면 식이 하나만 남고, 해는 평면(2차원 고유공간)입니다.
  2. 그 평면에서 0이 많은 벡터 두 개 $\mathbf v_1,\mathbf v_2$를 고릅니다.
  3. 그람-슈미트(Gram–Schmidt) 한 단계: $$\mathbf v_2'=\mathbf v_2-\frac{\mathbf v_1\cdot\mathbf v_2}{\mathbf v_1\cdot\mathbf v_1}\,\mathbf v_1.$$ 그러면 $\mathbf v_1\perp\mathbf v_2'$이고, 둘 다 여전히 같은 고유값의 고유벡터입니다.
  4. 정규화합니다. 실대칭이면 단근의 고유벡터와는 자동으로 직교합니다.
  5. 3×3 지름길: 단근 고유벡터 $\mathbf w$와 $\mathbf v_1$의 외적 $\mathbf w\times\mathbf v_1$을 둘째 벡터로 써도 됩니다.
예제 3-1 $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$를 대각화하는 직교 행렬

$\operatorname{tr}A=6$, $S_2=3+3+3=9$, $\det A=2(4-1)-1(2-1)+1(1-2)=4$. 특성다항식은 $\lambda^3-6\lambda^2+9\lambda-4$이고 $p(1)=0$입니다. 조립제법으로 나누면 $\lambda^2-5\lambda+4=(\lambda-1)(\lambda-4)$가 남으므로

$$\begin{aligned}&p(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-4)\\&\Rightarrow\ \lambda=1\ (\text{이중근}),\ 4.\end{aligned}$$

그람-슈미트: $\mathbf v_1\cdot\mathbf v_1=2$이므로

$$\begin{aligned}\mathbf v_2'&=(1,0,-1)-\frac12(1,-1,0)\\&=\Big(\frac12,\ \frac12,\ -1\Big)\propto(1,1,-2).\end{aligned}$$

확인: $(1,1,-2)\cdot(1,-1,0)=0$, $(1,1,-2)\cdot(1,1,1)=0$. 지름길로도 $(1,1,1)\times(1,-1,0)=(1,1,-2)$로 같습니다.

$$U=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3}\\[2pt]-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3}\\[2pt]0&-\frac2{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3}\end{pmatrix}$$ $$U^TAU=\operatorname{diag}(1,1,4).$$

중근 쪽 두 열은 평면 안에서 얼마든지 돌려 고를 수 있습니다. 서로 직교하고 길이가 1이기만 하면 됩니다.

4. 에르미트 행렬과 대각화 $U^\dagger AU=D$

레시피
  1. 에르미트 행렬($A^\dagger=A$)의 고유값은 실수입니다. 2×2 에르미트 $\begin{pmatrix}a&c\\c^*&b\end{pmatrix}$의 특성방정식은 $\lambda^2-(a+b)\lambda+(ab-|c|^2)=0$.
  2. 고유벡터를 구하고 $\mathbf v^\dagger\mathbf v=\sum|v_i|^2$로 정규화합니다. 관례대로 첫 성분이 양의 실수가 되도록 복소수를 곱해 둡니다.
  3. 정규화된 고유벡터를 열로 늘어놓아 $U$를 만듭니다. $U$는 유니터리이고 $U^\dagger AU=D$입니다.
  4. 손으로 $U^\dagger AU$를 끝까지 곱하는 대신, (i) 각 열이 $A\mathbf u_i=\lambda_i\mathbf u_i$를 만족하는지, (ii) $U^\dagger U=I$인지 확인하면 충분합니다. $AU=UD$의 양변 왼쪽에 $U^\dagger$를 곱하면 $U^\dagger AU=D$이기 때문입니다.
  5. 실대칭 행렬은 에르미트의 특수한 경우입니다. 그때 $U$는 실직교 행렬이고 $U^\dagger=U^T$입니다(2·3절).
예제 4-1 $H=\begin{pmatrix}2&1-i\\1+i&3\end{pmatrix}$를 대각화하는 유니터리 행렬 $U$

에르미트 확인: 대각 $2,3$은 실수이고, $(1,2)$ 성분 $1-i$의 켤레가 $(2,1)$ 성분 $1+i$입니다.

$|1-i|^2=2$이므로 특성방정식은

$$\begin{aligned}&\lambda^2-5\lambda+(6-2)=(\lambda-1)(\lambda-4)=0\\&\Rightarrow\ \lambda=1,\ 4.\end{aligned}$$

검산 (i): $H(2,-1-i)^T$의 첫 성분은 $4+(1-i)(-1-i)=4-2=2$, 둘째 성분은 $2(1+i)+3(-1-i)=-1-i$. 즉 $1\cdot(2,-1-i)$. 같은 방법으로 $H(1,1+i)^T=(4,\ 4+4i)^T=4(1,1+i)^T$.

검산 (ii): $\mathbf u_1^\dagger\mathbf u_2=\dfrac{2\cdot1+(-1+i)(1+i)}{\sqrt{18}}=\dfrac{2-2}{\sqrt{18}}=0$. 앞 벡터 성분 $-1-i$에 켤레를 붙여 $-1+i$로 쓴 점에 주의합니다.

$$U=\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt6}&\frac{1}{\sqrt3}\\[2pt]\frac{-1-i}{\sqrt6}&\frac{1+i}{\sqrt3}\end{pmatrix}$$ $$U^\dagger HU=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}.$$

5. 행렬 함수

레시피
  1. $A$를 대각화합니다: $A=UDU^\dagger$.
  2. 대각행렬의 함수는 대각 성분에 함수를 씌운 것입니다: $f(D)=\operatorname{diag}\big(f(\lambda_1),f(\lambda_2),\ldots\big)$.
  3. $f(A)=Uf(D)U^\dagger$. 같은 것을 $f(A)=\sum_i f(\lambda_i)P_i$, $P_i=\mathbf u_i\mathbf u_i^\dagger$(사영 연산자, projector)로 써도 됩니다. 2×2에서는 이쪽이 빠릅니다.
  4. 지름길: $M^2=I$이면 지수함수 급수를 짝수·홀수 차수로 나눠서 $e^{i\theta M}=\cos\theta\,I+i\sin\theta\,M$, $e^{tM}=\cosh t\,I+\sinh t\,M$입니다. 파울리 행렬이 여기에 해당합니다.
  5. 검산: $\sqrt A$는 제곱해서 $A$가 나오는지, $e^A$는 $\det e^A=e^{\operatorname{tr}A}$인지 봅니다.
  6. 대칭이 아닌 일반 행렬은 $A=SDS^{-1}$로 두고 $f(A)=Sf(D)S^{-1}$입니다. 대각화가 안 되는 행렬은 급수를 직접 씁니다(연습문제 C2).
왜 되나? (증명 스케치)

거듭제곱부터 봅니다. $A=UDU^\dagger$이고 $U^\dagger U=I$이므로 가운데가 지워집니다.

$$\begin{aligned}A^2&=UD\underbrace{U^\dagger U}_{I}DU^\dagger=UD^2U^\dagger,\\ A^n&=UD^nU^\dagger.\end{aligned}$$

$f$가 거듭제곱 급수 $f(x)=\sum c_nx^n$이면 항마다 더해서 $f(A)=U\big(\sum c_nD^n\big)U^\dagger=Uf(D)U^\dagger$. 대각행렬의 거듭제곱은 대각 성분의 거듭제곱이라서 $f(D)=\operatorname{diag}\big(f(\lambda_i)\big)$입니다.

예제 5-1 $A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$의 $\sqrt A$와 $e^A$

$\operatorname{tr}A=10$, $\det A=9$ → $\lambda^2-10\lambda+9=0$ → $\lambda=1,\ 9$. 고유벡터 $\lambda=1$: $\frac1{\sqrt2}(1,-1)$, $\lambda=9$: $\frac1{\sqrt2}(1,1)$. 사영 연산자는

$$P_1=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad P_9=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$$

확인용: $P_1+P_9=I$, $P_1+9P_9=A$.

$$\begin{aligned}f(A)&=f(1)P_1+f(9)P_9\\&=\frac12\begin{pmatrix}f(1)+f(9)&f(9)-f(1)\\f(9)-f(1)&f(1)+f(9)\end{pmatrix}\end{aligned}$$

$\sqrt A$: $f(1)=1$, $f(9)=3$을 넣으면

$$\sqrt A=\frac12\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}.$$

확인: $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}4+1&2+2\\2+2&1+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$.

(고유값의 양의 제곱근을 골랐습니다. 부호를 다르게 고른 제곱근도 있습니다.)

$e^A$: $f(1)=e$, $f(9)=e^9$을 넣으면

$$e^A=\frac12\begin{pmatrix}e^9+e&e^9-e\\e^9-e&e^9+e\end{pmatrix}.$$

검산: $\det e^A=\frac14\big[(e^9+e)^2-(e^9-e)^2\big]=\frac14\cdot4e^{10}=e^{10}=e^{\operatorname{tr}A}$.

그림 표기로 보기: G4 7·8절 — 고유벡터 없이: 사영자 $P_i=\prod_{j\ne i}\frac{A-\lambda_j}{\lambda_i-\lambda_j}$와 2×2 닫힌 꼴 $e^{tA}=e^{t\operatorname{tr}A/2}[\cosh(t\sqrt\Delta)I+\frac{\sinh(t\sqrt\Delta)}{\sqrt\Delta}A_0]$

예제 5-2 $e^{i\theta\sigma_y}$가 회전 행렬임을 두 가지 방법으로 보이기

방법 1 (급수). $\sigma_y^2=I$이므로 짝수 거듭제곱은 $I$, 홀수 거듭제곱은 $\sigma_y$입니다.

$$\begin{aligned}e^{i\theta\sigma_y}&=\Big(1-\frac{\theta^2}{2!}+\cdots\Big)I+i\Big(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\cdots\Big)\sigma_y\\&=\cos\theta\,I+i\sin\theta\,\sigma_y.\end{aligned}$$

$i\sigma_y=i\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$이므로

$$e^{i\theta\sigma_y}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.$$

방법 2 (대각화). $\sigma_y$의 고유값 $+1$: $\frac1{\sqrt2}(1,i)$, $-1$: $\frac1{\sqrt2}(1,-i)$. 사영 연산자 $P_\pm=\mathbf u_\pm\mathbf u_\pm^\dagger$는

$$P_+=\frac12\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix},\qquad P_-=\frac12\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}.$$

$e^{i\theta\sigma_y}=e^{i\theta}P_++e^{-i\theta}P_-$를 성분별로 계산합니다. $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$, $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$를 씁니다.

$$e^{i\theta\sigma_y}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.$$

방법 1과 같습니다. 결과는 실직교 행렬이고 $\det=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$입니다. 회전 방향의 해석은 관례 상자를 보세요.

6. 케일리-해밀턴 정리

레시피
  1. 특성다항식 $p(\lambda)$를 구합니다. 2×2는 $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A$.
  2. $\lambda$ 자리에 $A$를, 상수항에는 $I$를 붙여 넣으면 $p(A)=0$입니다.
  3. $A^n$: $p(A)=0$으로 $A^2$을 $A$와 $I$로 바꾸는 것을 반복합니다. 2×2에서는 모든 $A^n$이 $\alpha A+\beta I$ 꼴이 됩니다.
  4. $A^{-1}$: $p(A)=0$을 "$A\times(\cdots)=$ 상수$\times I$" 꼴로 정리하면 $(\cdots)/$상수가 $A^{-1}$입니다. 상수항이 $\pm\det A$라서 $\det A\ne0$일 때만 됩니다.
왜 되나? (증명 스케치)

대각화되는 경우만 봅니다. $A=SDS^{-1}$이면 5절과 같은 이유로 다항식 $p$에 대해 $p(A)=S\,p(D)\,S^{-1}$입니다.

$$p(D)=\operatorname{diag}\big(p(\lambda_1),\dots,p(\lambda_n)\big)=0.$$

$\lambda_i$가 모두 특성다항식의 근이기 때문입니다. 따라서 $p(A)=0$. (대각화가 안 되는 행렬에서도 정리는 성립합니다. 연속성 등으로 보이는데 생략합니다. 예: $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$은 $p(\lambda)=\lambda^2$이고 실제로 $N^2=0$.)

2×2에서 $A^n=\alpha A+\beta I$가 되는 이유도 같습니다: $\lambda^n$을 $p(\lambda)$로 나눈 나머지가 $\alpha\lambda+\beta$이고, 몫 부분은 $p(A)=0$ 때문에 사라집니다. 그래서 $\alpha\lambda_i+\beta=\lambda_i^n$ ($i=1,2$)를 풀어도 $\alpha$, $\beta$가 나옵니다.

예제 6-1 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$의 $A^3$, $A^4$, $A^{-1}$

$\operatorname{tr}A=5$, $\det A=-2$ → $p(\lambda)=\lambda^2-5\lambda-2$ → $A^2=5A+2I$.

확인: $A^2=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$, $5A+2I=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$.

$$\begin{aligned}A^3&=A\cdot A^2=5A^2+2A\\&=5(5A+2I)+2A=27A+10I\\&=\begin{pmatrix}37&54\\81&118\end{pmatrix}\\[6pt] A^4&=A\cdot A^3=27A^2+10A\\&=27(5A+2I)+10A=145A+54I\\&=\begin{pmatrix}199&290\\435&634\end{pmatrix}\end{aligned}$$

역행렬: $A^2-5A=2I$ → $A(A-5I)=2I$ →

$$\begin{aligned}A^{-1}&=\frac{A-5I}{2}=\frac12\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2&1\\ \frac32&-\frac12\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

L04의 2×2 역행렬 공식 $\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$과 같습니다.

그림 표기로 보기: G4 6절 — 케일리-해밀턴을 "$n+1$가닥 반대칭화 막대 = 0"으로 — 대각화 가정 없는 증명, 계수는 대각합으로

7. 2차형식의 주축 변환

레시피
  1. $Q=ax^2+2bxy+cy^2$를 $Q=\mathbf x^TA\mathbf x$, $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$로 씁니다. 비대각 성분은 $xy$ 계수의 절반입니다. 변수가 셋이어도 같습니다($x_ix_j$ 계수의 절반).
  2. $A$의 고유값 $\lambda_1,\lambda_2$와 정규화된 고유벡터 $\mathbf u_1,\mathbf u_2$를 구합니다.
  3. 새 좌표 $u=\mathbf u_1\cdot\mathbf x$, $v=\mathbf u_2\cdot\mathbf x$를 쓰면 $Q=\lambda_1u^2+\lambda_2v^2$로 교차항이 사라집니다. 고유벡터 방향이 주축(principal axis)입니다.
  4. $Q=C$ (상수) 곡선: 고유값이 둘 다 양수면 타원이고 주축 방향 반지름은 $\sqrt{C/\lambda_i}$. 부호가 다르면 쌍곡선입니다.
  5. 검산: $u,v$를 $x,y$ 식으로 되돌려 넣고 전개해서 원래 $Q$가 나오는지 봅니다.
왜 되나? (증명 스케치)
예제 7-1 $Q=7x^2-4xy+4y^2$의 주축 변환과 곡선 $Q=24$

$xy$ 계수 $-4$의 절반 $-2$를 비대각에 넣습니다: $A=\begin{pmatrix}7&-2\\-2&4\end{pmatrix}$.

$\operatorname{tr}A=11$, $\det A=28-4=24$ → $\lambda^2-11\lambda+24=(\lambda-3)(\lambda-8)=0$.

$$\begin{aligned}&u=\frac{x+2y}{\sqrt5},\quad v=\frac{2x-y}{\sqrt5}\\&\Rightarrow\ Q=3u^2+8v^2.\end{aligned}$$

검산: $\frac{3(x+2y)^2+8(2x-y)^2}{5}=\frac{(3x^2+12xy+12y^2)+(32x^2-32xy+8y^2)}{5}=\frac{35x^2-20xy+20y^2}{5}=7x^2-4xy+4y^2$.

곡선 $Q=24$: $\dfrac{u^2}{8}+\dfrac{v^2}{3}=1$. 타원이고, $(1,2)$ 방향 반지름 $2\sqrt2$, $(2,-1)$ 방향 반지름 $\sqrt3$입니다.

8. 결합 진동자의 정규모드

레시피
  1. 각 질량의 평형 위치로부터의 변위 $x_i$로 운동방정식을 씁니다. 용수철 힘은 $-k\times$(늘어난 길이)이고, 두 질량 사이 용수철이 늘어난 길이는 $x_2-x_1$입니다.
  2. $M\ddot{\mathbf x}=-K\mathbf x$ 꼴로 정리합니다. $K$는 대칭이어야 합니다. 대칭이 아니면 식을 잘못 세운 것입니다.
  3. $\mathbf x=\mathbf a\cos\omega t$를 넣으면 $K\mathbf a=\omega^2M\mathbf a$, 따라서 $\det(K-\omega^2M)=0$.
  4. 질량이 모두 $m$이면 $K/m$의 고유값이 $\omega^2$, 고유벡터가 모드 벡터입니다. $\lambda=m\omega^2/k$로 놓으면 숫자만 남아 계산이 편합니다.
  5. 모드 벡터의 두 성분 부호가 같으면 같은 위상(in-phase), 다르면 반대 위상으로 움직입니다. 일반 운동은 정규모드들의 겹침입니다.
  6. 질량이 다르면 일반화 고유값 문제(generalized eigenvalue problem) $K\mathbf a=\omega^2M\mathbf a$를 그대로 풉니다. $\det(K-\omega^2M)=0$에서 $\omega^2$를 구하고, $(K-\omega^2M)$의 한 행으로 모드 벡터를 구합니다. $M^{-1}K$의 고유값 문제와 같지만, $M^{-1}K$는 대칭이 아니므로 직교 판정을 보통 내적으로 하면 안 됩니다.
  7. 질량이 다를 때의 검산: 모드끼리 $\mathbf a_i^TM\mathbf a_j=0$ ($M$-직교)입니다. 또 $\omega=0$ 모드가 있으면 전체 평행이동이고, 나머지 모드는 운동량 $\sum m_ia_i=0$을 만족합니다(질량중심이 가만히 있음).
왜 되나? (증명 스케치)

$\det(K-\omega^2M)=0$: $\mathbf x=\mathbf a\cos\omega t$를 $M\ddot{\mathbf x}=-K\mathbf x$에 넣으면 $\ddot{\mathbf x}=-\omega^2\mathbf x$이므로 $(K-\omega^2M)\mathbf a=\mathbf 0$. $\mathbf a\ne\mathbf 0$이려면 L04 5절에 따라 행렬식이 0이어야 합니다.

$M$-직교: $K$, $M$이 둘 다 대칭이면 $\mathbf a_i^TK\mathbf a_j$를 두 방법으로 계산합니다.

$$\mathbf a_i^TK\mathbf a_j=\omega_j^2\,\mathbf a_i^TM\mathbf a_j=\omega_i^2\,\mathbf a_i^TM\mathbf a_j.$$

빼면 $(\omega_i^2-\omega_j^2)\,\mathbf a_i^TM\mathbf a_j=0$. 2절의 에르미트 증명과 같은 구조이고, 보통 내적 자리에 $M$이 끼어 있을 뿐입니다. $M=mI$이면 보통 직교가 됩니다.

(다른 방법: $\mathbf b=M^{1/2}\mathbf a$로 바꾸면 $M^{-1/2}KM^{-1/2}\mathbf b=\omega^2\mathbf b$라는 대칭 행렬의 보통 고유값 문제가 됩니다. $M$이 대각이면 $M^{1/2}$은 대각 성분의 제곱근입니다.)

예제 8-1 벽–$k$–$m$–$k$–$m$ (오른쪽 질량 바깥은 자유)의 정규모드

운동방정식: 왼쪽 질량은 벽 쪽 용수철과 가운데 용수철을, 오른쪽 질량은 가운데 용수철만 느낍니다.

$$\begin{aligned}m\ddot x_1&=-kx_1+k(x_2-x_1)=-2kx_1+kx_2\\ m\ddot x_2&=-k(x_2-x_1)=kx_1-kx_2\end{aligned}$$ $$\Rightarrow\quad K=k\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}.$$

$\lambda=m\omega^2/k$로 놓고 특성방정식을 풉니다.

$$\begin{aligned}\begin{vmatrix}2-\lambda&-1\\-1&1-\lambda\end{vmatrix}&=(2-\lambda)(1-\lambda)-1\\&=\lambda^2-3\lambda+1=0\end{aligned}$$ $$\Rightarrow\quad\lambda_1=\frac{3-\sqrt5}{2},\qquad\lambda_2=\frac{3+\sqrt5}{2}.$$

$\big(\frac{\sqrt5\mp1}{2}\big)^2=\frac{6\mp2\sqrt5}{4}=\frac{3\mp\sqrt5}{2}$이므로 제곱근이 깔끔합니다.

$$\begin{aligned}\omega_1&=\frac{\sqrt5-1}{2}\sqrt{\frac km}\approx0.618\sqrt{\frac km}\\ \omega_2&=\frac{\sqrt5+1}{2}\sqrt{\frac km}\approx1.618\sqrt{\frac km}\end{aligned}$$

모드 벡터: 1행 $(2-\lambda)a_1-a_2=0$에서 $a_2=(2-\lambda)a_1$.

검산: $\lambda_1+\lambda_2=3=\operatorname{tr}$, $\lambda_1\lambda_2=\frac{9-5}{4}=1=\det$. 두 모드의 내적 $1+\frac{(1+\sqrt5)(1-\sqrt5)}{4}=1-1=0$ ($K$가 대칭이므로 직교).

예제 8-2 벽–$2k$–$2m$–$k$–$m$ (오른쪽 질량 바깥은 자유)의 정규모드 (질량이 다름)

운동방정식: 왼쪽 질량 $2m$은 벽 쪽 용수철 $2k$와 가운데 용수철 $k$를, 오른쪽 질량 $m$은 가운데 용수철만 느낍니다.

$$\begin{aligned}2m\ddot x_1&=-2kx_1+k(x_2-x_1)=-3kx_1+kx_2\\ m\ddot x_2&=-k(x_2-x_1)=kx_1-kx_2\end{aligned}$$ $$K=k\begin{pmatrix}3&-1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad M=m\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

$\lambda=m\omega^2/k$로 놓으면 $K-\omega^2M=k\begin{pmatrix}3-2\lambda&-1\\-1&1-\lambda\end{pmatrix}$입니다. $\lambda$가 $M$의 대각 성분과 곱해져 들어가는 것에 주의합니다.

$$\begin{aligned}(3-2\lambda)(1-\lambda)-1&=2\lambda^2-5\lambda+2\\&=(2\lambda-1)(\lambda-2)=0.\end{aligned}$$ $$\Rightarrow\quad\omega_1^2=\frac{k}{2m},\qquad\omega_2^2=\frac{2k}{m}.$$

모드 벡터: 1행 $(3-2\lambda)a_1-a_2=0$에서 $a_2=(3-2\lambda)a_1$.

검산: 2행 $-a_1+(1-\lambda)a_2=0$에도 맞습니다($\lambda=\frac12$: $-1+\frac12\cdot2=0$, $\lambda=2$: $-1+(-1)(-1)=0$). 보통 내적은 $1\cdot1+2\cdot(-1)=-1\ne0$이지만, $M$-내적은 $2\cdot1\cdot1+1\cdot2\cdot(-1)=0$입니다.

9. 정규 행렬과 복소 고유값

레시피
  1. 정규(normal) 판별: $AA^\dagger$와 $A^\dagger A$를 둘 다 계산해 비교합니다. 에르미트, 반에르미트($A^\dagger=-A$), 유니터리, 실직교 행렬은 모두 정규입니다.
  2. 정규이면 고유벡터를 서로 직교하게 고를 수 있고, 유니터리 $U$로 대각화됩니다. 고유값은 복소수일 수 있습니다.
  3. 정규가 아니면 고유벡터가 직교하지 않거나, 개수가 모자라 대각화가 안 될 수도 있습니다.
  4. 실행렬의 복소 고유값은 켤레쌍 $\lambda,\lambda^*$로 나오고, 고유벡터도 서로 켤레입니다. 하나만 구하고 다른 하나는 켤레를 취합니다.
  5. 고유값의 모양: 에르미트는 실수, 반에르미트는 순허수, 유니터리는 $|\lambda|=1$.
왜 되나? (증명 스케치)
예제 9-1 (a) $R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ ($0<\theta<\pi$)의 정규성, 고유값, 고유벡터   (b) $N=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$과 비교

(a) 실직교라서 $RR^T=R^TR=I$, 정규입니다. $\operatorname{tr}R=2\cos\theta$, $\det R=1$이므로

$$\begin{aligned}&\lambda^2-2\cos\theta\,\lambda+1=0\\ \Rightarrow\ \lambda&=\cos\theta\pm\sqrt{\cos^2\theta-1}\\&=\cos\theta\pm i\sin\theta=e^{\pm i\theta}.\end{aligned}$$

$\lambda=e^{i\theta}$: $R-\lambda I=\begin{pmatrix}-i\sin\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&-i\sin\theta\end{pmatrix}$. 1행 $(-i\sin\theta,\ -\sin\theta)$ → $(-\sin\theta,\ i\sin\theta)\propto(1,-i)$. 따라서 $\mathbf u=\frac1{\sqrt2}(1,-i)$.

$\lambda=e^{-i\theta}$: 실행렬이므로 켤레를 취해 $\frac1{\sqrt2}(1,i)$.

직교 확인: $(1,-i)^\dagger(1,i)=1\cdot1+(i)(i)=1-1=0$. 검산: $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta=\operatorname{tr}R$, $e^{i\theta}e^{-i\theta}=1=\det R$.

(b) $NN^T=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$, $N^TN=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$로 서로 달라 정규가 아닙니다. 고유값은 $1$(이중근)인데, $N-I=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$에서 $y=0$만 나오므로 고유벡터가 $(1,0)$ 하나뿐입니다. 대각화가 안 됩니다.

10. 동시 대각화

레시피 (Arfken 6장에서 다루는 내용으로 기억합니다 — 기억 기반, 미검증)
  1. 먼저 $[A,B]=AB-BA$를 계산합니다. 에르미트 행렬 $A$, $B$가 교환하면($[A,B]=0$) 둘의 고유벡터를 공통으로 고를 수 있습니다. 하나의 $U$로 $U^\dagger AU$와 $U^\dagger BU$가 동시에 대각이 됩니다.
  2. $A$의 단근 고유벡터는 그대로 $B$의 고유벡터이기도 합니다. $B$를 곱해 고유값만 읽습니다.
  3. $A$의 중근 고유공간(3절에서 "평면 안에서 아무렇게나 골라도 되던" 곳)에서는 $B$의 고유벡터를 찾아서 고릅니다. 그러면 고유벡터가 $(a,b)$ 고유값 쌍으로 하나씩 정해집니다.
  4. 일반 방법: 중근 공간의 정규직교 기저 $\mathbf e_1,\mathbf e_2$로 작은 행렬 $b_{ij}=\mathbf e_i^\dagger B\mathbf e_j$를 만들고 그 고유벡터 $(c_1,c_2)$로 $c_1\mathbf e_1+c_2\mathbf e_2$를 만듭니다. 3×3에서는 보통 평면의 식과 $B\mathbf v=b\mathbf v$를 연립하는 편이 빠릅니다.
  5. 쓰는 곳: 양자역학에서 에너지 축퇴를 다른 보존량(각운동량, 패리티)으로 갈라 상태에 이름을 붙일 때.
왜 되나? (증명 스케치)

$A\mathbf v=a\mathbf v$이고 $AB=BA$이면

$$A(B\mathbf v)=B(A\mathbf v)=a\,(B\mathbf v).$$

즉 $B\mathbf v$도 $A$의 같은 고유값 $a$의 고유벡터입니다. $B$는 $A$의 각 고유공간을 그 안으로 보냅니다.

거꾸로, 공통 고유벡터 기저가 있으면 $U^\dagger AU$, $U^\dagger BU$가 둘 다 대각이고 대각행렬끼리는 교환하므로 $[A,B]=0$입니다.

예제 10-1 예제 3-1의 $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$와 $B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ ($y$와 $z$를 맞바꿈)의 공통 고유벡터

교환 확인: $A=I+J$ ($J$는 성분이 모두 1인 행렬)입니다. $B$는 각 행과 각 열에 1이 하나씩이라 $BJ=J$, $JB=J$이므로 $AB=B+J=BA$. 따라서 $[A,B]=0$.

세 벡터는 서로 직교합니다: $(1,1,1)\cdot(2,-1,-1)=0$, $(1,1,1)\cdot(0,1,-1)=0$, $(2,-1,-1)\cdot(0,1,-1)=0$.

$$U=\begin{pmatrix}\frac2{\sqrt6}&0&\frac1{\sqrt3}\\[2pt]-\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt3}\\[2pt]-\frac1{\sqrt6}&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt3}\end{pmatrix}$$ $$\begin{aligned}U^TAU&=\operatorname{diag}(1,1,4),\\ U^TBU&=\operatorname{diag}(1,-1,1).\end{aligned}$$

예제 3-1에서 $A$만 보고 고른 $(1,-1,0)$, $(1,1,-2)$는 $B$의 고유벡터가 아닙니다($B(1,-1,0)^T=(1,0,-1)^T$). $B$가 이중근 평면 안의 방향을 하나로 정해 준 것입니다.

11. 자주 하는 실수

12. 연습문제

종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다. 고유벡터는 관례 상자대로 정규화했습니다.

A. 고유값과 고유벡터

A1. $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$

답$\lambda=1$: $\frac1{\sqrt2}(1,-1)$, $\ \lambda=3$: $\frac1{\sqrt2}(1,1)$ — $\lambda^2-4\lambda+3=0$.

A2. $\begin{pmatrix}1&4\\2&3\end{pmatrix}$

답$\lambda=-1$: $\frac1{\sqrt5}(2,-1)$, $\ \lambda=5$: $\frac1{\sqrt2}(1,1)$ — $\operatorname{tr}=4$, $\det=-5$ → $\lambda^2-4\lambda-5=0$. 대칭이 아니라 두 벡터는 직교하지 않습니다.

A3. $\begin{pmatrix}3&5&1\\0&-1&2\\0&0&2\end{pmatrix}$의 고유값과 $\lambda=3$의 고유벡터

답$\lambda=3,\ -1,\ 2$, $\ \lambda=3$: $(1,0,0)$ — 삼각행렬의 고유값은 대각 성분입니다. $A-3I$의 3행에서 $z=0$, 2행에서 $y=0$. 검산 $\operatorname{tr}=4$, $\det=-6$.

A4. $\begin{pmatrix}3&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&3\end{pmatrix}$

답$\lambda=1$: $\frac1{\sqrt6}(1,2,1)$, $\ \lambda=3$: $\frac1{\sqrt2}(1,0,-1)$, $\ \lambda=4$: $\frac1{\sqrt3}(1,-1,1)$ — $\operatorname{tr}=8$, $S_2=5+9+5=19$, $\det=12$ → $\lambda^3-8\lambda^2+19\lambda-12=(\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-4)$.

A5. $\begin{pmatrix}4&1&-1\\2&5&-2\\1&1&2\end{pmatrix}$의 고유값 중 두 개가 $3$과 $5$입니다. 나머지 하나는?

답$3$ — $\operatorname{tr}=11$이므로 $11-3-5=3$. 검산: $\det=45=3\cdot3\cdot5$.

B. 중근·에르미트·대각화

B1. $\begin{pmatrix}2&2&2\\2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}$를 대각화하는 직교 행렬 (힌트: $A-I$를 보세요)

답$\lambda=1$ (이중): $\frac1{\sqrt5}(2,-1,0)$, $\frac1{3\sqrt5}(2,4,-5)$, $\ \lambda=10$: $\frac13(1,2,2)$ — $A-I$의 행은 모두 $(1,2,2)$의 배수라 이중근 평면은 $x+2y+2z=0$. $\mathbf v_1=(2,-1,0)$, $\mathbf v_2=(2,0,-1)$에서 그람-슈미트: $(2,0,-1)-\frac45(2,-1,0)=\frac15(2,4,-5)$. 나머지는 $\operatorname{tr}=12$에서 $12-1-1=10$.

B2. $\begin{pmatrix}1&0&2\\0&3&0\\2&0&1\end{pmatrix}$

답$\lambda=-1$: $\frac1{\sqrt2}(1,0,-1)$, $\ \lambda=3$ (이중): $(0,1,0)$, $\frac1{\sqrt2}(1,0,1)$ — $y$축은 따로 떨어져 있고, $x,z$ 부분은 $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$입니다. 이중근 쪽 두 벡터는 처음부터 직교합니다.

B3. $\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}$

답$\lambda=0$: $\frac1{\sqrt2}(1,i)$, $\ \lambda=2$: $\frac1{\sqrt2}(1,-i)$ — $\lambda^2-2\lambda+(1-|i|^2)=0$. 직교 확인: $(1,i)^\dagger(1,-i)=1+(-i)(-i)=0$.

B4. $A=\begin{pmatrix}3&2i\\-2i&0\end{pmatrix}$를 대각화하는 $U$와 $U^\dagger AU$

답$U=\dfrac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}1&2\\2i&-i\end{pmatrix}$, $U^\dagger AU=\operatorname{diag}(-1,4)$ — $\lambda^2-3\lambda-4=0$. $\lambda=-1$: 1행 $(4,2i)$ → $(2i,-4)\propto(1,2i)$. $\lambda=4$: 1행 $(-1,2i)$ → $(2i,1)$에 $-i$를 곱해 $(2,-i)$. 각각 길이 제곱이 5입니다.

C. 행렬 함수와 케일리-해밀턴

C1. $e^{\sigma_x}$

답$\cosh1\,I+\sinh1\,\sigma_x=\begin{pmatrix}\cosh1&\sinh1\\\sinh1&\cosh1\end{pmatrix}$ — $\sigma_x^2=I$이라 급수의 짝수항은 $\cosh$, 홀수항은 $\sinh$.

C2. $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$일 때 $e^{tN}$

답$\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$ — $N^2=0$이라 급수가 $I+tN$에서 끝납니다. $N$은 대각화가 안 되므로 $Uf(D)U^\dagger$를 쓸 수 없습니다.

C3. $\sqrt{\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}}$ (고유값이 양수인 제곱근)

답$\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ — 고유값 $4,16$, 제곱근 $2,4$. $\frac12\begin{pmatrix}2+4&4-2\\4-2&2+4\end{pmatrix}$. 제곱해서 확인.

C4. $e^{i\theta\sigma_x}$와 $e^{i\theta\sigma_z}$

답$\begin{pmatrix}\cos\theta&i\sin\theta\\i\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$, $\ \begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}$ — 둘 다 $\cos\theta\,I+i\sin\theta\,\sigma$. $\sigma_z$는 이미 대각이라 성분별로 됩니다. 둘 다 유니터리입니다.

C5. $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$에 케일리-해밀턴을 써서 $A^{-1}$과 $A^4$

답$A^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$, $\ A^4=40A-39I=\begin{pmatrix}41&40\\40&41\end{pmatrix}$ — $A^2=4A-3I$이므로 $A^{-1}=\frac{4I-A}{3}$. $A^3=13A-12I$, $A^4=13A^2-12A$. 검산: 고유값 $1,3$에서 $\frac{1+81}{2}=41$, $\frac{81-1}{2}=40$.

C6. 예제 2-1의 $A$에 케일리-해밀턴을 써서 $A^{-1}$

답$A^{-1}=\dfrac{A^2-7A+14I}{8}=\dfrac18\begin{pmatrix}5&2&1\\2&4&2\\1&2&5\end{pmatrix}$ — $A^3-7A^2+14A-8I=0$을 $A(A^2-7A+14I)=8I$로 정리. $A^2=\begin{pmatrix}5&-5&1\\-5&11&-5\\1&-5&5\end{pmatrix}$.

D. 2차형식과 진동

D1. $Q=5x^2+4xy+2y^2$의 주축 변환

답$Q=u^2+6v^2$, $u=\frac{x-2y}{\sqrt5}$, $v=\frac{2x+y}{\sqrt5}$ — $A=\begin{pmatrix}5&2\\2&2\end{pmatrix}$, 고유값 $1$: $(1,-2)$, $6$: $(2,1)$. $Q=$ 상수는 타원.

D2. $x^2+4xy+y^2=3$은 어떤 곡선인가?

답쌍곡선 $3v^2-u^2=3$ ($u=\frac{x-y}{\sqrt2}$, $v=\frac{x+y}{\sqrt2}$) — $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$의 고유값이 $-1,\ 3$으로 부호가 다릅니다.

D3. 벽–$k$–$m$–$k$–$m$–$k$–벽의 정규모드

답$\omega^2=\frac km$: $(1,1)$, $\ \omega^2=\frac{3k}m$: $(1,-1)$ — $K=k\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$. 같은 위상일 때 가운데 용수철이 늘어나지 않습니다.

D4. 벽이 없는 $m$–$k$–$m$의 정규모드

답$\omega=0$: $(1,1)$, $\ \omega^2=\frac{2k}m$: $(1,-1)$ — $K=k\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$, $\det K=0$. 진동수 0인 모드는 전체가 함께 미끄러지는 평행이동입니다.

D5. 벽–$k$–$m$–$k$–$2m$–$k$–벽의 정규모드 (질량이 다름)

답$\lambda=\frac{m\omega^2}{k}=\frac{3\mp\sqrt3}{2}$, 모드 $\big(1,\ \frac{1\pm\sqrt3}{2}\big)$ (복부호 같은 순서) — $M=m\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$, $\det(K-\omega^2M)=0$ → $(2-\lambda)(2-2\lambda)-1=2\lambda^2-6\lambda+3=0$. 1행에서 $a_2=(2-\lambda)a_1$. 두 모드는 $\mathbf a_1^TM\mathbf a_2=0$을 만족합니다(보통 내적이 아님).

D6. 벽이 없는 $m$–$k$–$2m$의 정규모드

답$\omega=0$: $(1,1)$, $\ \omega^2=\frac{3k}{2m}$: $(2,-1)$ — $M=m\,\operatorname{diag}(1,2)$, $\det=\lambda(2\lambda-3)$. 둘째 모드는 운동량 $m\cdot2+2m\cdot(-1)=0$으로 질량중심이 정지합니다.

D7. 일직선 3원자 분자 $m$–$k$–$M$–$k$–$m$ (벽 없음)의 정규모드

답$\omega^2=0$: $(1,1,1)$, $\ \omega^2=\frac km$: $(1,0,-1)$, $\ \omega^2=\frac km+\frac{2k}M$: $\big(1,-\frac{2m}M,1\big)$ — $K=k\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}$, $M=\operatorname{diag}(m,M,m)$. 가운데가 정지한 대칭 모드와, 바깥 둘이 같이 가고 가운데가 반대로 가는 모드입니다.

E. 정규 행렬과 복소 고유값

E1. $\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix}$은 정규인가? 고유값과 고유벡터는?

답정규($AA^T=A^TA=5I$). $\lambda=1+2i$: $\frac1{\sqrt2}(1,i)$, $\ \lambda=1-2i$: $\frac1{\sqrt2}(1,-i)$ — $\lambda^2-2\lambda+5=0$. 두 고유벡터는 (복소 내적으로) 직교합니다.

E2. $\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$은 정규인가? 고유벡터는 직교하는가?

답정규 아님($AA^T=\begin{pmatrix}2&2\\2&4\end{pmatrix}\ne A^TA=\begin{pmatrix}1&1\\1&5\end{pmatrix}$). $\lambda=1$: $(1,0)$, $\lambda=2$: $\frac1{\sqrt2}(1,1)$. 내적 $\frac1{\sqrt2}\ne0$, 직교하지 않습니다.

E3. $\begin{pmatrix}1&-2\\1&3\end{pmatrix}$의 고유값과 고유벡터

답$\lambda=2+i$: $\frac1{\sqrt6}(2,\ -1-i)$, $\ \lambda=2-i$: $\frac1{\sqrt6}(2,\ -1+i)$ — $\lambda^2-4\lambda+5=0$. 2행 $(1,\ 1-i)$ → $(1-i,\ -1)$에 $(1+i)$를 곱함. 실행렬이라 둘째는 켤레. 정규가 아닙니다.

E4. 유니터리 $U=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}$의 고유값과 고유벡터

답$\lambda=\frac{1+i}{\sqrt2}=e^{i\pi/4}$: $\frac1{\sqrt2}(1,1)$, $\ \lambda=\frac{1-i}{\sqrt2}=e^{-i\pi/4}$: $\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ — 둘 다 $|\lambda|=1$. 직접 곱해 $U(1,1)^T=\frac{1+i}{\sqrt2}(1,1)^T$ 확인.

F. 동시 대각화

F1. $A=\operatorname{diag}(1,1,2)$, $B=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&3\end{pmatrix}$이 교환함을 보이고 공통 고유벡터와 고유값 쌍 $(a,b)$

답$\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)$: $(1,-1)$, $\ \frac1{\sqrt2}(1,1,0)$: $(1,1)$, $\ (0,0,1)$: $(2,3)$ — $A$는 $xy$ 평면에서 $I$의 배수라 어떤 행렬과도 그 블록에서 교환합니다. $xy$ 평면에서 $B$는 $\sigma_x$입니다.

F2. 예제 3-1의 $A$와 순환 이동 $P=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$ ($P(x,y,z)^T=(y,z,x)^T$)는 교환합니다. $A$의 이중근 평면에서 $P$의 고유벡터를 고르기

답$\frac1{\sqrt3}(1,\omega,\omega^2)$ ($P$의 고유값 $\omega$), $\ \frac1{\sqrt3}(1,\omega^2,\omega)$ (고유값 $\omega^2$), $\ \omega=e^{2\pi i/3}$ — $P\mathbf v=\mu\mathbf v$이면 $y=\mu x$, $z=\mu y$, $x=\mu z$이므로 $\mu^3=1$. $1+\omega+\omega^2=0$이라 두 벡터는 평면 $x+y+z=0$ 안에 있습니다. $P$는 에르미트가 아니지만 유니터리(정규)라서 같은 방법이 통합니다.

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