부록 G · 출처: Cvitanović(2008), Keppeler(arXiv:1707.07280), Cvitanović–Kennedy(1982), Yutsis–Levinson–Vanagas(1962), J.-H. Kim 발표 "Re-presentation"(슬라이드 41–42, 46, 63–64)
| 그림 | 식 ($\operatorname{tr}T^aT^b=\frac12\delta^{ab}$) |
|---|---|
| 화살표가 있는 실선 / 닫힌 고리 | 기본 표현의 $\delta_{ij}$ / $N$ |
| 점선 / 점선 고리 | 수반 표현의 $\delta^{ab}$ / $N^2-1$ (생성자 개수) |
| 실선 위의 점에 점선 하나 | 생성자 $(T^a)_{ij}$ |
| 고리에 점선 하나(올챙이) / 둘 | $\operatorname{tr}T^a=0$ / $\operatorname{tr}(T^aT^b)=\frac12\delta^{ab}$ |
| 점선 지우기(완비성) | $(T^a)_{ij}(T^a)_{kl}=\frac12\big(\delta_{il}\delta_{kj}-\frac1N\delta_{ij}\delta_{kl}\big)$ |
| 파울리판, $U(2)$판 | $\sigma^a_{ij}\sigma^a_{kl}=2\delta_{il}\delta_{kj}-\delta_{ij}\delta_{kl}$, $\ \sum_{\mu=0}^3\sigma^\mu_{ij}\sigma^\mu_{kl}=2\delta_{il}\delta_{kj}$ |
| 끼워 넣기 | $T^aXT^a=\frac12(\operatorname{tr}X)I-\frac1{2N}X$, $\ \sigma^aX\sigma^a=2(\operatorname{tr}X)I-X$ |
| 카시미르 | $T^aT^a=C_FI$, $C_F=\frac{N^2-1}{2N}$; $\ f^{acd}f^{bcd}=C_A\delta^{ab}$, $C_A=N$ |
| 점선이 꼭짓점 하나를 건너뜀 | $T^aT^bT^a=-\frac1{2N}T^b$ |
| 점선 셋이 만나는 점 | $if^{abc}$ (반시계로 읽음), $[T^a,T^b]=if^{abc}T^c$ |
| 두 스핀 선 사이의 $\sigma$ 교환 | $\boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2=2P-1$ ($P$: 교환) |
| 물결 막대 / 직선 막대 (두 가닥) | 삼중항 $\frac{1+P}2$ / 단일항 $\frac{1-P}2=\frac12\varepsilon\varepsilon$ |
| $SU(2)\to SO(3)$ | $R_{ij}=\frac12\operatorname{tr}(\sigma_iU\sigma_jU^\dagger)$, $\ \operatorname{tr}R=|\operatorname{tr}U|^2-1$ |
| 3j 노드 / 고리 / 세타 / 두 줄 거품 | 3j 기호 / $2j+1$ / $1$ / $\frac{\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}}{2\ell+1}$ |
| 노드 뒤집기 / 사면체 | $(-1)^{j_1+j_2+j_3}$ / 6j 기호 |
정규화 환산표 (책의 식을 가져올 때마다 확인하세요)
| 양 | 이 레슨 ($\frac12$) | Cvitanović ($a=1$, $T'=\sqrt2T$) | Keppeler (일반 $T_R$) |
|---|---|---|---|
| $\operatorname{tr}T^aT^b$ | $\frac12\delta^{ab}$ | $\delta^{ab}$ | $T_R\delta^{ab}$ |
| $C_F$ | $\frac{N^2-1}{2N}$ | $\frac{N^2-1}{N}$ | $T_R\frac{N^2-1}N$ |
| $C_A$ | $N$ | $2N$ | $2T_RN$ |
| $\operatorname{tr}(T^aT^bT^aT^b)$ | $-\frac{N^2-1}{4N}$ | $-\frac{N^2-1}{N}$ | — |
| $SU(2)$ 스핀 $j$ 카시미르 | $j(j+1)$ | $2j(j+1)$ | — |
비 $C_A/C_F=\frac{2N^2}{N^2-1}$은 정규화와 무관합니다.
출처.
위: 실선 고리 $=N$, 점선 고리 $=N^2-1$. 아래: $\operatorname{tr}(T^aT^b)=\frac12\delta^{ab}$.
L04 9절의 $\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+i\varepsilon_{ijk}\sigma_k$에서 대각합을 잡으면 $\operatorname{tr}(\sigma_a\sigma_b)=2\delta_{ab}$. 그래서 $T^a=\frac12\sigma^a$이면 $\operatorname{tr}(T^aT^b)=\frac14\cdot2\delta_{ab}=\frac12\delta_{ab}$입니다.
$SU(3)$의 겔만 행렬 중 $\lambda_3=\operatorname{diag}(1,-1,0)$로 확인하면 $T^3=\frac12\lambda_3$, $\operatorname{tr}(T^3T^3)=\frac14(1+1+0)=\frac12$. 모든 $\lambda$가 대각합 0이므로 올챙이는 0입니다. 점선 고리는 생성자 개수 $3^2-1=8$입니다.
위 줄 $i\leftarrow j$, 아래 줄 $k\leftarrow l$. 오른쪽 첫 그림은 $\delta_{il}\delta_{kj}$(엇갈림), 둘째 그림은 $\delta_{ij}\delta_{kl}$(그대로). $N=2,3,4$에서 검산.
$N\times N$ 행렬 전체는 $N^2$차원 벡터 공간이고, 내적 $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^\dagger B)$을 쓰면 $\{\sqrt2\,T^a\}$($N^2-1$개)와 $\frac1{\sqrt N}I$(하나)이 정규직교 기저입니다($\operatorname{tr}T^aT^b=\frac12\delta^{ab}$, $\operatorname{tr}T^a=0$).
정규직교 기저의 완비성(L06 5절의 $\sum|e\rangle\langle e|=1$)을 성분으로 쓰면 $\sum_A(E_A)_{ij}(E_A)^*_{lk}=\delta_{il}\delta_{jk}$입니다. $T^a$가 에르미트라 $(T^a)^*_{lk}=(T^a)_{kl}$이므로
$$2\,(T^a)_{ij}(T^a)_{kl}+\tfrac1N\delta_{ij}\delta_{kl}=\delta_{il}\delta_{kj}.$$정리하면 위 식입니다. 그림으로는 "두 실선 사이에 모든 기저 행렬을 끼워 더하면 선을 자르고 엇갈려 다시 잇는 것"이고, 기저 중 단위행렬 몫을 빼 준 것이 $-\frac1{2N}$ 항입니다.
$U(2)$판 $\sum_\mu\sigma^\mu_{ij}\sigma^\mu_{kl}=2\delta_{il}\delta_{kj}$의 양변에 $A_{lk}$를 곱하고 $k,l$로 더합니다.
$$\sum_\mu\sigma^\mu_{ij}\operatorname{tr}(\sigma^\mu A)=2\sum_{k,l}\delta_{il}\delta_{kj}A_{lk}=2A_{ij}.$$그래서 $A=\sum_\mu a_\mu\sigma^\mu$, $a_\mu=\frac12\operatorname{tr}(\sigma_\mu A)$. L06은 직교성에서 거꾸로 설명했지만, 그림으로는 "$A$의 두 끝 사이 선을 잘라 $\sigma^\mu$ 쌍을 끼운 것"이 한 줄입니다.
L06 연습 F2의 $A=\begin{pmatrix}5&2-i\\2+i&1\end{pmatrix}$:
$$\begin{aligned}a_0&=\tfrac12(5+1)=3,\quad a_z=\tfrac12(5-1)=2,\\ a_x&=\tfrac12\big((2-i)+(2+i)\big)=2,\\ a_y&=\tfrac12\operatorname{tr}(\sigma_yA)=\tfrac12\big(i(2-i)-i(2+i)\big)=1.\end{aligned}$$$A=3I+2\sigma_x+\sigma_y+2\sigma_z$, 고윳값 $3\pm\sqrt{4+1+4}=6,\ 0$. L06의 답과 같습니다. ($\operatorname{tr}(\sigma_yA)=(\sigma_y)_{12}A_{21}+(\sigma_y)_{21}A_{12}=-i(2+i)+i(2-i)$.)
(a) 끼워 넣기: $X=I$이면 $\sigma^a\sigma^a=2\cdot2\cdot I-I=3\cdot I$. $X=\sigma^b$이면 $\operatorname{tr}\sigma^b=0$이라 $\sigma^a\sigma^b\sigma^a=-\sigma^b$. 행렬을 하나도 곱하지 않았습니다.
(b) L04 연습 F3의 $\mathbf a=(1,2,0)$, $\mathbf b=(0,1,1)$에 대해 $\operatorname{tr}\big[(\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma)(\mathbf b\cdot\boldsymbol\sigma)(\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma)(\mathbf b\cdot\boldsymbol\sigma)\big]$. L04의 $M=(\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma)(\mathbf b\cdot\boldsymbol\sigma)=(\mathbf a\cdot\mathbf b)I+i\mathbf c\cdot\boldsymbol\sigma$, $\mathbf c=\mathbf a\times\mathbf b$를 쓰면 $\operatorname{tr}M^2=2\big[(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2-c^2\big]$이고 $c^2=a^2b^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$이므로
$$\operatorname{tr}M^2=2\big[2(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2-a^2b^2\big]=2(2\cdot4-5\cdot2)=-4.$$같은 결과를 완비성으로 쓰면 일반 공식 $\operatorname{tr}(\sigma_a\sigma_b\sigma_c\sigma_d)=2(\delta_{ab}\delta_{cd}-\delta_{ac}\delta_{bd}+\delta_{ad}\delta_{bc})$에 벡터를 단 것입니다: $2\big[(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2-a^2b^2+(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2\big]$.
위부터: $C_F$, $T^aT^bT^a=-\frac1{2N}T^b$, 교환자 $[T^a,T^b]$ = 점에서 합쳐진 그림(점 $=if^{abc}$), 구조상수 거품 $=N\times$점선.
① $f^{acd}f^{bcd}=-4\operatorname{tr}([T^a,T^c]T^d)\operatorname{tr}([T^b,T^c]T^d)$.
② 두 대각합을 잇는 점선 $d$를 지웁니다. 대각합 두 개에 쓰면 $\operatorname{tr}(XT^d)\operatorname{tr}(YT^d)=\frac12\big[\operatorname{tr}(XY)-\frac1N\operatorname{tr}X\operatorname{tr}Y\big]$이고, 교환자는 대각합이 0이라 $f^{acd}f^{bcd}=-2\operatorname{tr}([T^a,T^c][T^b,T^c])$.
③ 교환자를 풀면 네 항이고, $c$로 더할 때 $T^cXT^c=-\frac1{2N}X$(대각합 0인 부분)와 $T^cT^c=C_F$를 씁니다:
$$\sum_c\operatorname{tr}([T^a,T^c][T^b,T^c])=\Big(-\frac1N-2C_F\Big)\tfrac12\delta^{ab}.$$④ $-2$를 곱하면 $\big(\frac1N+2C_F\big)\delta^{ab}=\big(\frac1N+\frac{N^2-1}N\big)\delta^{ab}=N\delta^{ab}$.
$SU(2)$: $C_F=\frac{4-1}{4}=\frac34$, $C_A=2$. $SU(3)$: $C_F=\frac{9-1}{6}=\frac43$, $C_A=3$, $T^aT^bT^a=-\frac16T^b$.
Cvitanović 책($a=1$)으로 옮기면 $T'=\sqrt2T$라 생성자 둘이 든 양은 모두 2배입니다: $SU(3)$의 $C_F'=\frac83$, $C_A'=6$. 비는 $\frac{6}{8/3}=\frac94=\frac{3}{4/3}$으로 같습니다. 책에서 "$SU(2)$ 스핀 $j$의 카시미르 $2j(j+1)$"을 보면 이 2배 때문입니다.
L32의 생성자는 $(J_k)_{ij}=-i\varepsilon_{kij}$입니다. $SU(2)$의 수반 생성자 $(T^k_{\rm adj})_{ij}=-if^{kij}$에 $f=\varepsilon$을 넣은 것과 같으므로, $\sum_kJ_k^2$는 수반 표현의 카시미르, 곧 거품 $=C_AI=2\cdot I$입니다.
$$\sum_k(J_kJ_k)_{il}=-\varepsilon_{kij}\varepsilon_{kjl}=\varepsilon_{kij}\varepsilon_{klj}=\delta_{il}\delta_{jj}-\delta_{ij}\delta_{jl}=(3-1)\delta_{il}.$$L32의 답 $2I$와 같고, "$SU(2)$의 $C_A=N=2$"와 "스핀 1의 $j(j+1)=2$"가 같은 수입니다.
위: $\boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2=2P-1$. 가운데: 물결 막대 $=\frac12(\text{평행}+\text{교차})$. 아래: 직선 막대 $=\frac12(\text{평행}-\text{교차})=\frac12\varepsilon\varepsilon$.
사영자. 교차를 두 번 하면 평행이라 $P^2=1$. 그러면 $\big(\frac{1\pm P}2\big)^2=\frac{1\pm2P+1}4=\frac{1\pm P}2$이고 $\frac{1+P}2\cdot\frac{1-P}2=0$. 평행을 닫으면 고리 둘 $N^2$, 교차를 닫으면 고리 하나 $N$이라 차원이 $\frac{N^2\pm N}2$입니다.
$\varepsilon$. 2차원에서 $\varepsilon_{ik}\varepsilon_{jl}=\delta_{ij}\delta_{kl}-\delta_{il}\delta_{kj}$ (2지표판 "H = X − ‖"). 오른쪽이 평행 $-$ 교차이므로 직선 막대 $=\frac12\varepsilon\varepsilon$. 반대칭인 2지표 상태가 하나뿐이라 단일항입니다.
$\mathbf S_1\cdot\mathbf S_2=\frac14\boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2=\frac14(2P-1)=\frac12P-\frac14$. 삼중항(대칭, $P=+1$)에서 $\frac12-\frac14=\frac14$, 단일항(반대칭, $P=-1$)에서 $-\frac12-\frac14=-\frac34$. 개수는 막대를 닫아 3과 1. L31의 답과 같습니다.
검산: 대각합 $3\cdot\frac14+1\cdot(-\frac34)=0=\operatorname{tr}(\mathbf S_1\cdot\mathbf S_2)$ (각 $\sigma$의 대각합이 0).
$|{\uparrow\downarrow}\rangle$에 두 사영자를 겁니다. $P|{\uparrow\downarrow}\rangle=|{\downarrow\uparrow}\rangle$이므로
$$S|{\uparrow\downarrow}\rangle=\tfrac12\big(|{\uparrow\downarrow}\rangle+|{\downarrow\uparrow}\rangle\big),\qquad A|{\uparrow\downarrow}\rangle=\tfrac12\big(|{\uparrow\downarrow}\rangle-|{\downarrow\uparrow}\rangle\big).$$정규화하면 $|1,0\rangle=\frac{|{\uparrow\downarrow}\rangle+|{\downarrow\uparrow}\rangle}{\sqrt2}$, $|0,0\rangle=\frac{|{\uparrow\downarrow}\rangle-|{\downarrow\uparrow}\rangle}{\sqrt2}$. L31의 $J_-$ 사다리와 직교 조건 없이 같은 결과입니다. 단일항의 성분 행렬은 $\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\frac{\varepsilon}{\sqrt2}$이고, 부호($m_1=+\frac12$ 항이 양수)는 $\varepsilon_{12}=+1$에서 옵니다.
$\sigma^aU\sigma^a=2(\operatorname{tr}U)I-U$: 가운데 그림은 $U$ 고리($\operatorname{tr}U$)와 맨 선. 무작위 $SU(2)$ 행렬로 검산.
$X=U^\dagger\sigma_iU$, $Y=U^\dagger\sigma_kU$로 두면 $\sum_jR_{ij}R_{kj}=\frac14\sum_j\operatorname{tr}(\sigma_jX)\operatorname{tr}(\sigma_jY)$. 두 대각합을 잇는 $\sigma_j$ 선을 파울리판 완비성으로 지우면 $2\operatorname{tr}(XY)-\operatorname{tr}X\operatorname{tr}Y$.
$\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(\sigma_i\sigma_k)=2\delta_{ik}$, $\operatorname{tr}X=\operatorname{tr}\sigma_i=0$이므로 $\sum_jR_{ij}R_{kj}=\frac14\cdot4\delta_{ik}=\delta_{ik}$, 곧 $RR^T=1$.
E4: $U=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$, $\operatorname{tr}U=\sqrt2$. $\operatorname{tr}R=2-1=1=1+2\cos\theta$이라 $\theta=90^\circ$. L32의 "$y$축 둘레 $90^\circ$"와 같습니다.
예제 8-1(d): $U=\frac1{\sqrt2}(I-i\sigma_x)$, $\operatorname{tr}U=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2$. 역시 $90^\circ$. L32는 $U\sigma_jU^\dagger$를 세 번 계산해 $R$ 전체를 구했지만, 각만 필요하면 대각합 하나로 끝납니다.
$\operatorname{tr}U=\frac12(1-i+1+i)=1$. $\operatorname{tr}R=1-1=0$이라 $\cos\theta=-\frac12$, $\theta=120^\circ$.
축: $U-\frac12I=\frac12\begin{pmatrix}-i&-1-i\\1-i&i\end{pmatrix}=-\frac i2(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)$이고 $\sin60^\circ\,\hat n=\frac12(1,1,1)$, $\hat n=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)$. L32의 답과 같습니다. G3 예제 6-1은 같은 회전을 $R$에서 읽었습니다.
위: 고리 $=2j+1$, 세타 $=1$(노드 옆 부호). 아래: 두 줄 거품 $=\frac1{2\ell+1}\times$선. 여러 $(j,k,\ell)$로 SymPy 3j 값을 넣어 검산.
세타. L31 6절의 정의에서 3j $=\frac{\pm1}{\sqrt{2\ell+1}}\times$CG입니다. 결합 상태가 정규직교이므로 $\sum_{m_jm_k}|\langle jm_j;km_k|\ell,M\rangle|^2=1$이고, 위상은 제곱에서 사라집니다. 남은 $m$에 대해 $2\ell+1$개를 더하면 $\frac{2\ell+1}{2\ell+1}=1$.
두 줄 거품. 같은 계산에서 서로 다른 $(\ell,M)$의 결합 상태가 직교한다는 것이 $\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}$이고, 3j의 $\frac1{\sqrt{2\ell+1}}$ 두 개가 $\frac1{2\ell+1}$을 남깁니다.
세 줄 자르기. 바깥 선이 셋인 회전 불변 그림은 "$j\otimes k$에서 $j'$을 만드는 방법"인데 그 방법이 하나뿐이므로(CG가 유일) 노드 하나에 비례합니다. 비례상수는 양쪽을 같은 노드로 닫아 세타($=1$)를 쓰면 나옵니다. 두 줄 이하에서 $\delta$와 $\frac1{2\ell+1}$이 나오는 것과 같은 논리입니다(Cvitanović 5.22–5.24).
L31에서 $\begin{pmatrix}1&\frac12&\frac12\\0&\frac12&-\frac12\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt6}$, $\begin{pmatrix}1&\frac12&\frac12\\1&-\frac12&-\frac12\end{pmatrix}=-\frac1{\sqrt3}$를 구했습니다.
세타: $(j_1,j_2,j_3)=(1,\frac12,\frac12)$에서 0이 아닌 $m$ 조합은 네 개이고, $m$을 모두 뒤집어도 크기가 같으므로 제곱은 $\frac16,\frac16,\frac13,\frac13$입니다. 합 $=1$. 표를 다 쓰지 않아도 "합이 1"로 계산 실수를 잡을 수 있습니다.
노드 뒤집기: $j_1+j_2+j_3=2$(짝수)라 두 열을 바꿔도 부호가 그대로입니다: $\begin{pmatrix}\frac12&1&\frac12\\\frac12&0&-\frac12\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt6}$.
$\langle2,m'|T_q|1,m\rangle$ ($T_0=\cos\theta$, $T_{+1}=-\frac1{\sqrt2}\sin\theta e^{i\varphi}$)는 바깥 선이 $1$, $1$, $2$ 셋인 그림입니다. 세 줄 자르기에 따라 $m$ 의존은 CG $\langle1m;1q|2m'\rangle$ 하나뿐이므로
$$\frac{\langle2,0|T_0|1,0\rangle}{\langle2,1|T_0|1,1\rangle}=\frac{\langle10;10|20\rangle}{\langle11;10|21\rangle}=\frac{\sqrt{2/3}}{1/\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt3}.$$$\langle2,1|\cos\theta|1,1\rangle=\frac1{\sqrt5}$(L31 예제 7-1)에 곱하면 $\frac2{\sqrt{15}}$. L31의 답과 같습니다. 계산은 L31 8절과 같고, 그림은 "왜 비가 CG의 비인지"를 보여 줍니다.
3j 노드 넷을 선 여섯으로 이으면(각 노드에 선 셋) 사면체가 되고, 그 값이 6j 기호입니다. 선마다 화살표를 하나 그리고, 화살표가 나가는 쪽 노드에는 $m_k$, 들어가는 쪽 노드에는 $-m_k$를 넣고 $(-1)^{j_k-m_k}$를 곱합니다:
$$\begin{aligned}\begin{Bmatrix}j_1&j_2&j_3\\j_4&j_5&j_6\end{Bmatrix}&=\sum_{\text{모든 }m}(-1)^{\sum_k(j_k-m_k)}\begin{pmatrix}j_1&j_2&j_3\\-m_1&-m_2&-m_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j_1&j_5&j_6\\m_1&-m_5&m_6\end{pmatrix}\\&\qquad\times\begin{pmatrix}j_4&j_2&j_6\\m_4&m_2&-m_6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j_4&j_5&j_3\\-m_4&m_5&m_3\end{pmatrix}.\end{aligned}$$가운데 노드가 첫째 3j, 위·오른쪽 아래·왼쪽 아래 노드가 차례로 둘째·셋째·넷째 3j입니다. 선의 숫자 $k$는 $j_k$. 그림은 어느 선이 어느 노드에 붙는지만 보여 주고, 노드의 열 순서는 위 식이 정합니다. 이 그림을 그대로 축약한 값이 SymPy의 wigner_6j와 다섯 경우에서 같았습니다(예: $\{1\,1\,1;1\,1\,1\}=\frac16$, $\{\frac12\,\frac12\,1;\frac12\,\frac12\,0\}=\frac12$).
6j는 세 각운동량을 묶는 순서를 바꾸는 계수(재결합 계수)이고, 고리 줄이기로 모든 3n-j를 6j로 쪼갤 수 있습니다(Cvitanović 5장). L31에는 6j가 없어 이 레슨도 정의만 둡니다. Arfken 16장이 6j를 다루는지는 확인하지 못했습니다(미검증).
레슨 파일을 직접 열어 확인한 문항만 적었습니다. Arfken 절 번호는 각 레슨의 부제를 따랐습니다(기억 기반, 미검증).
| 레슨·절·문항 | Arfken | 쓰는 그림 규칙 | 효과 |
|---|---|---|---|
| L06 10절 예제 10-1, 연습 F2·F3 | 5.1–5.6 | $U(2)$ 완비성 → $a_\mu=\frac12\operatorname{tr}(\sigma_\mu A)$ (예제 2-1, 연습 A2) | 빨라짐 — 유도가 한 줄(G4 9절과 같은 그림) |
| L04 9절 예제 9-1, 연습 F2·F3 | 2.1–2.2 | $\sigma^aX\sigma^a=2\operatorname{tr}X-X$, 네 개 대각합 (예제 2-2) | 보통 — 곱 하나는 직접 곱이 빠르고, 합·대각합 꼴에서 빠름 |
| L31 연습 E1, 예제 5-1 | 16장 | $\boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2=2P-1$, 막대 = 삼중항/단일항 (4절) | 빨라짐 — CG 없이 고윳값·차원·단일항 |
| L31 6절 예제 6-1, 연습 F1 | 16장 | 노드 부호, 세타 $=1$ (6절) | 기억·검산용 |
| L31 8절 예제 8-2, 연습 G2·G3 | 16장 | 세 줄 자르기 (예제 6-2) | 계산량 같음 — 선택 규칙과 "비 = CG 비"의 이유가 보임 |
| L32 8절 예제 8-1(d), 연습 E4·E5 | 17장 | $\operatorname{tr}R=|\operatorname{tr}U|^2-1$ (5절) | 빨라짐 — $R$을 다 구하지 않고 각 |
| L32 연습 E1 | 17장 | 구조상수 거품 $=C_A$ (예제 3-2) | 빨라짐(작은 문제), $C_A=j(j+1)$ 연결 |
| 느려지는 곳: L31 5절 예제 5-2, 연습 E2·E3 | 16장 | 스피너 대칭화로 CG 만들기 | 느림 — 숫자 CG 표는 $J_-$ 사다리가 빠름 |
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 verify/G5_verify.py로 검산했습니다.
A1. $SU(3)$에서 $\sum_a\operatorname{tr}(T^aT^a)$
A2. L06 연습 F3: $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$의 파울리 전개
A3. $\sigma^a(\sigma_x\sigma_y)\sigma^a$
A4. $\sum_{a,b}\operatorname{tr}(\sigma_a\sigma_b\sigma_a\sigma_b)$
A5. $SU(3)$에서 $\sum_{a,i,j}(T^a)_{ij}(T^a)_{ji}$와 $\sum_a\operatorname{tr}T^a\operatorname{tr}T^a$를 완비성 식으로
B1. $SU(3)$의 $C_F$, $C_A$, $T^aT^bT^a$
B2. Cvitanović 정규화($a=1$)로 $SU(3)$의 $C_F$, $C_A$
B3. $\operatorname{tr}(T^aT^bT^aT^b)$를 $N$으로, 그리고 $N=3$의 값
B4. $f^{abc}f^{abc}$
C1. $(\boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2)^2$을 $\boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2$로
C2. 교환 연산자 $P$를 $\boldsymbol\sigma_1\cdot\boldsymbol\sigma_2$로 쓰고 $P|{\uparrow\downarrow}\rangle$를 확인
C3. $1\otimes\frac12$에서 $\mathbf L\cdot\mathbf S$의 고윳값과 개수 (카시미르 식 $\mathbf L\cdot\mathbf S=\frac12(J^2-L^2-S^2)$)
C4. $N$차원 두 가닥에서 물결·직선 막대의 차원, 그리고 $n\to-n$ 관계
D1. $U=e^{-i\theta\sigma_z/2}$에서 $|\operatorname{tr}U|^2-1$
D2. $U=\frac12\begin{pmatrix}1+i&1+i\\-1+i&1-i\end{pmatrix}$이 $SU(2)$임을 확인하고 회전각과 축
D3. $\sum_m\begin{pmatrix}j&j&0\\m&-m&0\end{pmatrix}^2$과 각 항의 크기
D4. $\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}=-\frac1{\sqrt6}$일 때 $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}$
D5. 세 줄 자르기로 $\dfrac{\langle2,2|T_{+1}|1,1\rangle}{\langle2,1|T_0|1,1\rangle}$ (L31 8절의 $T_q$)