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G4 · 행렬을 선으로 — 트레이스 도식

부록 G · 출처: Penrose(1971) 음의 차원 텐서, Peterson 트레이스 도식(arXiv:0910.1362, 0907.2364, 0903.1373), Coecke(quant-ph/0510032), Coecke–Duncan(arXiv:0906.4725), Cvitanović 버드트랙, J.-H. Kim 발표 "Re-presentation"

이 레슨이 끝나면 할 수 있는 계산
  1. 행렬 곱·대각합·전치·크로네커 곱을 "선 잇기"로 읽고, $\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CAB)$ 같은 등식을 그림으로 바로 확인하기
  2. $\operatorname{tr}(AB)$를 $AB$ 전체를 구하지 않고 계산하기
  3. 반대칭화 막대로 행렬식, $\det(AB)=\det A\det B$, 여인수, $\det(A+B)$의 교차항을 이해하기
  4. 특성다항식 계수를 대각합으로 쓰기 ($e_1$, $e_2$, $e_3$) — 대칭 행렬이면 $S_2$를 성분 제곱합으로 검산하기
  5. 케일리-해밀턴으로 $A^n$, $A^{-1}$, 3×3 수반행렬을 여인수 없이 구하기
  6. 사영자 $P_i$로 고유벡터 없이 $f(A)$를 계산하기
  7. 2×2 행렬 지수 $e^{tA}$를 닫힌 꼴로 바로 쓰기
  8. 브라-켓·사영·완비성·파울리 전개를 같은 그림 규칙으로 계산하기

0. 외워 둘 그림 규칙

그림식
상자 하나, 왼쪽 선 $i$, 오른쪽 선 $j$$A_{ij}$ (왼쪽 = 행, 오른쪽 = 열)
두 상자의 선을 이음 (왼쪽→오른쪽)$(AB)_{ik}=\sum_jA_{ij}B_{jk}$
상자 없는 선 / 상자 없는 고리$\delta_{ij}$ (단위행렬) / $\operatorname{tr}I=n$
사슬의 두 끝을 이은 고리$\operatorname{tr}(AB\cdots)$ — 고리 위에서 통째로 돌려도 같음
고리를 반대로 읽기$\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(C^TB^TA^T)$
위아래 두 줄 (잇지 않음)$A\otimes B$, $\ \operatorname{tr}(A\otimes B)=\operatorname{tr}A\,\operatorname{tr}B$
$p$가닥 반대칭화 막대$\frac1{p!}\sum_\sigma\operatorname{sgn}\sigma\,(\sigma\text{대로 바꿔 이음})$
$n$가닥 막대에 $A$를 하나씩 달고 닫음$\det A$ ($n\times n$)
$k$가닥 막대에 $A$를 달고 닫음$e_k$: $\ e_1=\operatorname{tr}A$, $\ e_2=\frac12[(\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}A^2]$
$n+1$가닥 막대 ($n$차원)$0$ → 케일리-해밀턴 $p(A)=0$
켓 = 왼쪽 단자 하나, 브라 = 오른쪽 단자 하나$|v\rangle$, $\langle u|$, $\ \langle u|A|v\rangle$는 수
파울리: 두 줄을 $\mu$ 선으로 이음$\sum_\mu(\sigma_\mu)_{ij}(\sigma_\mu)_{kl}=2\delta_{il}\delta_{jk}$
출처와 관례 — 이 레슨의 약속

1. 상자와 선: 곱·대각합·전치

레시피 — 식을 그림으로, 그림을 식으로
  1. 행렬 $A$ = 상자 하나와 선 두 개. 왼쪽 선이 행 지표 $i$, 오른쪽 선이 열 지표 $j$입니다.
  2. 같은 지표로 더하기 = 선 잇기. $(AB)_{ik}=\sum_jA_{ij}B_{jk}$는 $A$의 오른쪽 선과 $B$의 왼쪽 선을 이은 것입니다. 더하는 지표 $j$는 그림에서 이름이 사라집니다.
  3. 상자 없는 선 = 단위행렬 $\delta_{ij}$입니다. 상자는 선을 따라 미끄러질 수 있지만 서로 자리를 바꿀 수는 없습니다($AB\ne BA$).
  4. 남은 두 끝을 이으면 대각합(고리)입니다. 고리에는 시작점이 없으므로 상자들을 통째로 돌릴 수 있습니다(순환). 상자 없는 고리 = $\operatorname{tr}I=n$.
  5. 전치는 상자의 두 선을 바꿔 다는 것입니다. 고리를 반대 방향으로 읽으면 모든 상자를 오른쪽 단자부터 만나므로 $\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(C^TB^TA^T)$.
  6. 고리 하나 = "성분끼리 곱해서 모두 더하기"입니다: $\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}$. $AB$를 다 구할 필요가 없습니다.
  7. 직사각 행렬도 됩니다. 이어지는 선끼리 차원이 같으면 됩니다(L00c 4절의 "안쪽 크기가 같아야 곱할 수 있다").
A B i j = AB i j i j = I i j · = n A B C = C A B A B C = Cᵀ Bᵀ Aᵀ A i j = Aᵀ i j
왜 되나? (증명 스케치)

순환. $\operatorname{tr}(ABC)=\sum_{i,j,k}A_{ij}B_{jk}C_{ki}$. 곱하는 수의 순서는 상관없으므로 $C_{ki}A_{ij}B_{jk}$로 쓰면 $\operatorname{tr}(CAB)$입니다. 그림으로는 고리 위의 "어디서부터 읽기 시작하느냐"만 다릅니다.

순서는 못 바꿈. $\operatorname{tr}(ACB)=\sum A_{ij}C_{jk}B_{ki}$은 $B$와 $C$가 이어진 방식이 다릅니다. 그림에서 상자 둘을 맞바꾸려면 선을 끊어야 합니다.

거꾸로 읽기. $(A^T)_{ji}=A_{ij}$이므로 $\sum A_{ij}B_{jk}C_{ki}=\sum(C^T)_{ik}(B^T)_{kj}(A^T)_{ji}=\operatorname{tr}(C^TB^TA^T)$. 같은 고리를 반대로 돈 것입니다.

예제 1-1 L04 예제 7-1과 연습문제 E1을 그림으로

(a) L04 예제 7-1: $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$. 고리 하나 = 성분끼리 곱해 더하기이므로

$$\begin{aligned}\operatorname{tr}(AB)&=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}\\&=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}\\&=1+2\cdot3+0+1=8.\end{aligned}$$

고리를 돌리면 $\operatorname{tr}(BA)$이므로 같은 8입니다. 그래서 $\operatorname{tr}[A,B]=0$입니다. 레슨의 답과 같습니다.

(b) L04 E1: $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}$ (2×3), $B=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{pmatrix}$ (3×2). 고리의 두 선은 차원이 2와 3입니다. $AB$(2×2)와 $BA$(3×3)는 같은 고리를 다른 곳에서 끊어 읽은 것입니다. $B^T=\begin{pmatrix}3&2&1\\1&1&0\end{pmatrix}$와 $A$의 성분끼리 곱해 더합니다.

$$\begin{aligned}\operatorname{tr}(AB)&=\sum_{i,j}A_{ij}(B^T)_{ij}\\&=(3+0+2)+(-1+3+0)=7.\end{aligned}$$

곱셈 6번으로 끝납니다. $BA$ 전체(곱셈 18번)를 구할 필요가 없습니다.

2. 크로네커 곱 — 두 줄을 나란히

레시피
  1. $A\otimes B$ = 위 줄에 $A$, 아래 줄에 $B$를 놓고 잇지 않은 그림입니다. 왼쪽 단자 둘이 행 쌍 $(i,k)$, 오른쪽 단자 둘이 열 쌍 $(j,l)$입니다: $(A\otimes B)_{(ik),(jl)}=A_{ij}B_{kl}$. 위 줄이 L04 10절의 "바깥 블록"입니다.
  2. 혼합곱 $(A\otimes B)(C\otimes D)$: 위 줄 $A$–$C$, 아래 줄 $B$–$D$. 두 줄은 서로 섞이지 않으므로 바로 $AC\otimes BD$입니다.
  3. 대각합: 위 줄과 아래 줄을 각각 닫습니다. 고리가 둘이므로 $\operatorname{tr}(A\otimes B)=\operatorname{tr}A\cdot\operatorname{tr}B$.
  4. 행렬식 $\det(A\otimes B)$는 이 그림만으로는 바로 나오지 않습니다. L04 10절의 고유값 논증을 씁니다.
A i j B k l = A⊗B i k j l A⊗B = A B
예제 2-1 L04 연습문제 G2와 예제 10-1(b)를 그림으로

(a) L04 G2: $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&4\\0&2\end{pmatrix}$. 4×4를 쓰지 않고 고리 둘: $\operatorname{tr}(A\otimes B)=\operatorname{tr}A\cdot\operatorname{tr}B=5\cdot3=15$.

(b) L04 예제 10-1(b): $(\sigma_x\otimes\sigma_x)(\sigma_z\otimes\sigma_z)$. 위 줄은 $\sigma_x$–$\sigma_z$, 아래 줄도 $\sigma_x$–$\sigma_z$입니다. 줄마다 따로 곱하면 $\sigma_x\sigma_z=-i\sigma_y$이므로

$$\begin{aligned}(\sigma_x\otimes\sigma_x)(\sigma_z\otimes\sigma_z)&=(\sigma_x\sigma_z)\otimes(\sigma_x\sigma_z)\\&=(-i\sigma_y)\otimes(-i\sigma_y)=-\sigma_y\otimes\sigma_y.\end{aligned}$$

순서를 바꾸면 줄마다 $\sigma_z\sigma_x=+i\sigma_y$가 되어 $(i)^2=-1$, 같은 답입니다. 대각합은 고리 둘: $-\operatorname{tr}\sigma_y\operatorname{tr}\sigma_y=0$.

3. 반대칭화 막대와 행렬식

레시피
  1. $p$개의 세로 가닥을 가로지르는 굵은 막대 = 반대칭화(antisymmetrizer)입니다. 값은 "가닥을 순열 $\sigma$대로 바꿔 이은 그림"에 $\operatorname{sgn}\sigma$를 붙여 모두 더하고 $p!$로 나눈 것입니다. 2가닥이면 $\frac12(\text{곧은 두 선}-\text{엇갈린 두 선})$ (아래 그림).
  2. 막대 위에서 이웃한 두 가닥을 꼬면 $-1$이 붙습니다. 막대 두 개를 겹쳐 놓아도 하나와 같습니다($1/p!$ 덕분).
  3. $n\times n$ 행렬이면 $n$가닥 막대의 가닥마다 $A$를 하나씩 달고, 가닥을 오른쪽으로 감아 닫습니다. 이 그림이 $\det A$입니다.
  4. 막대를 풀면 순열 $\sigma$마다 가닥들이 고리 몇 개로 묶입니다. 길이 $\ell$인 고리에는 $A$가 $\ell$개 있으므로 $\operatorname{tr}A^\ell$이 됩니다. 그래서 $$\begin{aligned}2\times2:\ \det A&=\tfrac12\big[(\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}A^2\big]\\ 3\times3:\ \det A&=\tfrac16\big[(\operatorname{tr}A)^3-3\operatorname{tr}A\operatorname{tr}A^2\\&\qquad+2\operatorname{tr}A^3\big]\end{aligned}$$
  5. $\operatorname{tr}A^2=\sum_{i,j}A_{ij}A_{ji}$입니다(1절 레시피 6). 대각 성분의 제곱 + 대칭 자리 쌍의 곱 ×2.
  6. 속도. 2×2는 $ad-bc$와 비슷합니다. 3×3은 $\operatorname{tr}A^3$이 필요해서 사뤼스보다 느립니다. 3×3 이상의 행렬식은 기존 방법(사뤼스, 행 연산)으로 계산하고, 이 그림은 유도·검산용으로 씁니다.
a b c d = ½ a b c d − ½ a b c d A A A = det A
왜 되나? (증명 스케치) — 닫은 막대가 $\det A$, $e_k$인 이유
예제 3-1 L04 연습문제 A1과 예제 1-1(b)를 대각합으로

(a) $A=\begin{pmatrix}4&7\\-1&3\end{pmatrix}$. $\operatorname{tr}A=7$. $\operatorname{tr}A^2=\sum A_{ij}A_{ji}=4^2+3^2+2\cdot7\cdot(-1)=11$.

$$\det A=\tfrac12(49-11)=19.$$

L04의 답 $19$와 같습니다.

(b) $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&1\end{pmatrix}$. $t_1=2$. $t_2$는 대각 제곱 $4+1+1$에 쌍의 곱 $2(A_{12}A_{21}+A_{13}A_{31}+A_{23}A_{32})=2(0+3+8)$을 더해 $28$.

$t_3$에는 $A^2=\begin{pmatrix}7&7&13\\4&9&0\\3&1&12\end{pmatrix}$이 필요합니다. $t_3=\sum(A^2)_{ij}A_{ji}=(14+0+13)+(4-9+0)+(9+4+12)=47$.

$$\det A=\tfrac16\big(8-3\cdot2\cdot28+2\cdot47\big)=\tfrac{-66}{6}=-11.$$

L04의 답 $-11$과 같지만, 사뤼스(곱셈 12번)보다 훨씬 깁니다. 3×3의 행렬식은 이 방법으로 계산하지 말고, 2×2·검산·유도에만 쓰세요.

4. $\det(AB)$와 여인수 — 그림 세 단계

레시피
  1. $\det(AB)$: 가닥마다 $A$ 아래에 $B$를 달고 닫습니다(아래 그림 왼쪽).
  2. $A$층과 $B$층 사이에 막대를 하나 더 끼웁니다. 값은 그대로입니다. 막대는 "모든 가닥에 같은 상자"와 교환하고, 두 번 걸어도 한 번과 같기 때문입니다.
  3. $n$차원의 $n$가닥 막대는 한 줄짜리(3절 증명 스케치)라서 그 자리에서 그림이 둘로 잘립니다: $\det A\cdot\det B$.
  4. 여인수. 행렬식 그림에서 상자 하나를 빼고 그 가닥을 열어 두면 $\frac1n\operatorname{adj}A$입니다(위 끝 = 행, 아래 끝 = 열). 전치가 저절로 맞게 나옵니다.
  5. $\det(A+B)$. 가닥마다 $A+B$를 달고 풀면 교차항이 보입니다. 2×2이면 $$\det(A+B)=\det A+\det B+\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B-\operatorname{tr}(AB).$$
A A A B B B = A A A B B B = A A A B B B A A i j = ⅓ i adj A j
왜 되나? (증명 스케치) — 잘리는 막대, 상자 빼기 = 미분
예제 4-1 (a) L04 예제 7-1의 $A$, $B$로 $\det(A+B)$ (b) L05 예제 5-1의 $\det e^A$

(a) $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$. $\det A=\det B=1$, $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B=2$, $\operatorname{tr}(AB)=8$ (예제 1-1).

$$\det(A+B)=1+1+2\cdot2-8=-2.$$

직접: $A+B=\begin{pmatrix}2&2\\3&2\end{pmatrix}$, $4-6=-2$. "$\det A+\det B=2$"라고 쓰면 틀립니다(L04 자주 하는 실수). 빠진 것이 교차항 $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B-\operatorname{tr}(AB)=-4$입니다.

(b) $A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$이면 $\det e^A=e^{\operatorname{tr}A}=e^{10}$. $e^A$를 구하지 않고 바로 나옵니다. L05 예제 5-1의 검산과 같은 값입니다.

5. 특성다항식 계수 = 고리들의 합

레시피
  1. $e_k$ = $k$가닥 막대의 가닥마다 $A$를 달고 닫은 그림 ($k\le n$). 특성다항식은 $p(\lambda)=\lambda^n-e_1\lambda^{n-1}+e_2\lambda^{n-2}-\cdots+(-1)^ne_n$이고 $e_n=\det A$입니다.
  2. 막대를 풀어 고리로 바꿉니다 ($t_k=\operatorname{tr}A^k$): $$\begin{aligned}e_1&=t_1,\\ e_2&=\tfrac12\big(t_1^2-t_2\big),\\ e_3&=\tfrac16\big(t_1^3-3t_1t_2+2t_3\big).\end{aligned}$$
  3. 3×3에서 $e_2$는 L05 0절의 $S_2$(대각선에 걸친 2×2 소행렬식 세 개의 합)입니다.
  4. $t_2=\sum_{i,j}A_{ij}A_{ji}$. 대칭 행렬이면 $t_2=\sum_{i,j}A_{ij}^2$ — 모든 성분의 제곱합이라 $S_2$ 검산이 거의 공짜입니다.
  5. 고유값으로는 $e_k$ = 고유값을 $k$개씩 곱한 것의 합, $t_k=\sum_i\lambda_i^k$입니다.
A A = ½ A A − ½ A A

왜 되는지는 3절의 증명 스케치(순열의 고리 = 대각합)에 있습니다.

예제 5-1 L05 예제 2-1, 연습문제 A4·A5의 $S_2$를 대각합으로

(a) L05 예제 2-1: $A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&3&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$ (대칭). $t_1=7$. 성분 제곱합 $t_2=4+1+0+1+9+1+0+1+4=21$.

$$S_2=e_2=\tfrac12(49-21)=14.$$

레슨의 소행렬식 합 $5+4+5=14$와 같습니다.

(b) L05 A4: $\begin{pmatrix}3&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&3\end{pmatrix}$. $t_1=8$, 제곱합 $t_2=9+1+1+4+1+1+9=26$, $S_2=\frac12(64-26)=19$. 레슨과 같습니다.

(c) L05 A5: $\begin{pmatrix}4&1&-1\\2&5&-2\\1&1&2\end{pmatrix}$ (비대칭). 제곱합을 쓰면 안 되고 $t_2=\sum A_{ij}A_{ji}$: 대각 $16+25+4=45$, 쌍 $2\big(1\cdot2+(-1)\cdot1+(-2)\cdot1\big)=-2$, 합 $43$. $t_1=11$.

$$e_2=\tfrac12(121-43)=39.$$

고유값 $3,3,5$로 검산: $3\cdot3+3\cdot5+3\cdot5=39$. 맞습니다.

6. 케일리-해밀턴 — $n+1$가닥 막대는 0

레시피
  1. $n$차원에서 $n+1$가닥 막대는 0입니다. $n+1$개의 벡터는 언제나 일차종속이라서, 완전 반대칭으로 묶으면 사라집니다.
  2. 가닥 $n$개에 $A$를 달아 닫고 맨 왼쪽 가닥 하나만 열어 둡니다(그림). 막대를 풀면 이 그림은 $\frac{(-1)^n}{n+1}\,p(A)$입니다. 막대가 0이므로 $p(A)=0$.
  3. 2×2: $A^2=e_1A-e_2I$, $\ e_1=\operatorname{tr}A$, $e_2=\det A=\frac12(t_1^2-t_2)$. 거듭제곱은 이 식으로 차수를 내립니다. 역행렬은 $$A^{-1}=\frac{(\operatorname{tr}A)I-A}{\det A}\quad(\text{L00c 6절의 "자리 바꾸고 부호 바꾸기"}).$$
  4. 3×3: $A^3-e_1A^2+e_2A-e_3I=0$을 $A(A^2-e_1A+e_2I)=e_3I$로 묶으면 $$\operatorname{adj}A=A^2-e_1A+e_2I,\qquad A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}A}{\det A}.$$ 여인수 9개와 전치가 필요 없습니다. 곱셈량은 여인수 방법과 비슷하지만 L04의 "전치 빠뜨리기" 실수가 생길 수 없습니다.
  5. 검산: $A\cdot\operatorname{adj}A$의 한 행이 $(\det A,0,0)$ 꼴인지 봅니다.
A A i j = 0= ⅙ A A i j − ⅙ A A i j− ⅓ A i A j + ⅓ i A A j

첫 줄: 2차원에서는 세 가닥 막대가 0이라 그림 전체가 0입니다. 둘째·셋째 줄: 같은 그림의 막대를 풀어 쓴 것으로, 어느 차원에서나 성립하고 합은 $\frac13\big[A^2-t_1A+\frac12(t_1^2-t_2)I\big]=\frac13p(A)$입니다.

왜 되나? (증명 스케치) — 대각화 가정이 필요 없는 이유

L05 6절의 증명 스케치는 대각화되는 행렬만 다뤘습니다. 이 그림 논증은 "$n$차원에서 $n+1$개 지표의 완전 반대칭 텐서는 0"이라는 사실만 씁니다. 대각화·고유벡터를 전혀 쓰지 않으므로 $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ 같은 행렬에도 그대로 성립합니다(Peterson 0907.2364 정리 1).

$n=2$의 6개 순열을 풀면(가닥 1·2에 $A$, 가닥 3은 열림):

순열고리 구조부호값
항등(1)(2)(3)$+$$t_1^2\,I$
(12)(12)(3)$-$$-t_2\,I$
(13), (23)열린 가닥에 $A$ 하나$-$$-t_1A$ 두 번
(123), (132)열린 가닥에 $A$ 둘$+$$+A^2$ 두 번

합을 $3!=6$으로 나누면 $\frac13\big[A^2-t_1A+\frac12(t_1^2-t_2)I\big]=\frac13p(A)$입니다.

예제 6-1 L05 예제 6-1을 대각합으로: $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$

$t_1=5$, $t_2=1+16+2\cdot2\cdot3=29$, $e_2=\frac12(25-29)=-2$. 그래서 $A^2=5A+2I$.

$A^3=5A^2+2A=27A+10I$, $A^{-1}=\frac{5I-A}{-2}=\frac{A-5I}{2}=\begin{pmatrix}-2&1\\ \frac32&-\frac12\end{pmatrix}$. 레슨의 답과 같습니다. 행렬식을 따로 계산하지 않고 $t_2$에서 바로 나왔습니다.

예제 6-2 L04 예제 6-1의 수반행렬을 여인수 없이: $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$

① $e_1=3$. $A^2=\begin{pmatrix}1&4&2\\1&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}$이므로 $t_2=1+1+1=3$, $e_2=\frac12(9-3)=3$.

② 수반행렬:

$$\begin{aligned}\operatorname{adj}A&=A^2-3A+3I\\&=\begin{pmatrix}1-3+3&4-6&2-0\\1-0&1-3+3&2-3\\2-3&2-0&1-3+3\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&-2&2\\1&1&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

③ $\det A$: $A$의 1행과 $\operatorname{adj}A$의 1열을 곱하면 $1\cdot1+2\cdot1+0=3$. 1행과 2열은 $-2+2=0$. 그래서 $\det A=3$, $A^{-1}=\frac13\operatorname{adj}A$.

L04의 $C^T$와 같습니다. 이 방법에는 전치 단계가 아예 없습니다.

7. 사영자로 $f(A)$ — 고유벡터 없이

레시피 (고유값이 모두 다를 때)
  1. 특성다항식에서 고유값 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$을 구합니다.
  2. 사영자(projector): $$P_i=\prod_{j\ne i}\frac{A-\lambda_jI}{\lambda_i-\lambda_j}.$$ 2×2이면 $P_1=\dfrac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}$, $P_2=I-P_1$.
  3. 검산: $\sum_iP_i=I$, $\sum_i\lambda_iP_i=A$. 그림으로는 $\operatorname{tr}P_i$ = 고리 = 고유공간의 차원 = 1.
  4. $f(A)=\sum_if(\lambda_i)P_i$. 고유벡터, 정규화, $U^\dagger$가 필요 없습니다.
  5. 고유벡터가 필요하면 $P_i$의 0이 아닌 열 하나를 고릅니다.
  6. 대각화가 안 되는 행렬(L05 C2의 $N$)에는 쓸 수 없습니다. 2×2이면 8절의 닫힌 꼴을 씁니다.
왜 되나? (증명 스케치)

$A$의 고유벡터 $\mathbf v_k$에 $(A-\lambda_jI)$를 걸면 $(\lambda_k-\lambda_j)\mathbf v_k$입니다. 그래서 $P_i\mathbf v_k$는 $j=k$인 인수가 있으면($k\ne i$) 0이고, $k=i$이면 모든 인수가 $\frac{\lambda_i-\lambda_j}{\lambda_i-\lambda_j}=1$입니다. 고유값이 모두 다르면 고유벡터들이 공간 전체를 채우므로 $P_i$는 "$\mathbf v_i$ 성분만 남기는" 사영입니다. 그러면 $P_iP_j=\delta_{ij}P_i$, $\sum P_i=I$이고, $A^m=\sum\lambda_i^mP_i$에서 급수로 $f(A)=\sum f(\lambda_i)P_i$입니다. Cvitanović 버드트랙 책 전체가 이 한 가지 생각("불변 행렬의 특성방정식 → 사영 → 차원은 사영의 대각합") 위에 서 있습니다.

예제 7-1 L05 예제 5-1을 사영자로: $A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$

$\operatorname{tr}A=10$, $\det A=9$ → $\lambda=1,\ 9$. 고유벡터를 구하지 않고

$$\begin{aligned}P_9&=\frac{A-1\cdot I}{9-1}=\frac18\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\\ P_1&=I-P_9=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

레슨의 $P_1$, $P_9$와 같습니다. $\operatorname{tr}P_9=1$ 확인. 이제

$$\sqrt A=1\cdot P_1+3P_9=\frac12\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}.$$

$e^A=eP_1+e^9P_9$도 같은 방법입니다(레슨의 답과 같음).

예제 7-2 L05 예제 2-1의 고유벡터를 사영자로: $\lambda=1,2,4$

$\lambda=4$의 사영자:

$$\begin{aligned}P_4&=\frac{(A-I)(A-2I)}{(4-1)(4-2)}\\&=\frac16\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&1&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}\\&=\frac16\begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&1\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

첫 열 $(1,-2,1)$이 고유벡터입니다(레슨과 같음). $\operatorname{tr}P_4=\frac{1+4+1}6=1$. 같은 방법으로 $P_1=\frac{(A-2I)(A-4I)}{3}$은 모든 성분이 $\frac13$ → $(1,1,1)$.

8. 2×2 행렬 지수 — 닫힌 꼴

레시피 ($A$는 아무 2×2 행렬, 대각화 불필요)
  1. 대각합을 떼어 냅니다: $A_0=A-\frac{\operatorname{tr}A}2I$ ($\operatorname{tr}A_0=0$).
  2. 판별량 $\Delta=\frac{(\operatorname{tr}A)^2}{4}-\det A$. 케일리-해밀턴으로 $A_0^2=\Delta\,I$입니다.
  3. $\Delta>0$: $$e^{tA}=e^{t\operatorname{tr}A/2}\Big[\cosh(t\sqrt\Delta)\,I+\frac{\sinh(t\sqrt\Delta)}{\sqrt\Delta}A_0\Big]$$
  4. $\Delta<0$: $\cosh\to\cos$, $\ \frac{\sinh(t\sqrt\Delta)}{\sqrt\Delta}\to\frac{\sin(t\sqrt{-\Delta})}{\sqrt{-\Delta}}$. $\ \Delta=0$: $e^{tA}=e^{t\operatorname{tr}A/2}(I+tA_0)$.
  5. 고유값은 $\frac{\operatorname{tr}A}2\pm\sqrt\Delta$입니다. 검산: $\det e^{tA}=e^{t\operatorname{tr}A}$.
  6. 이유(한 줄): $A_0$에 2×2 케일리-해밀턴을 쓰면 $\operatorname{tr}A_0=0$이라 $A_0^2=-\det A_0\,I=\Delta I$. 그래서 지수 급수의 짝수 차수는 $\Delta^kI$, 홀수 차수는 $\Delta^kA_0$로 묶여 $\cosh$, $\sinh$가 됩니다. $\frac{\operatorname{tr}A}{2}I$는 모든 것과 교환하므로 $e^{t\operatorname{tr}A/2}$로 떼어 냅니다. L05 0절의 "$M^2=I$이면" 공식은 $\Delta=1$인 경우입니다.
예제 8-1 L05 예제 5-1의 $e^A$와 연습문제 C2를 닫힌 꼴로

(a) $A=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$: $\operatorname{tr}A=10$, $\det A=9$, $\Delta=25-9=16$, $A_0=\begin{pmatrix}0&4\\4&0\end{pmatrix}$.

$$\begin{aligned}e^A&=e^5\Big[\cosh4\,I+\frac{\sinh4}{4}A_0\Big]\\&=e^5\begin{pmatrix}\cosh4&\sinh4\\\sinh4&\cosh4\end{pmatrix}\\&=\frac12\begin{pmatrix}e^9+e&e^9-e\\e^9-e&e^9+e\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

마지막 줄은 $e^5\cosh4=\frac{e^9+e}{2}$를 쓴 것입니다. 레슨의 답과 같고, 고유벡터를 쓰지 않았습니다.

(b) C2: $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$은 $\operatorname{tr}N=0$, $\det N=0$이라 $\Delta=0$. $e^{tN}=I+tN=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$. 대각화가 안 되는 행렬도 같은 공식입니다.

예제 8-2 $\Delta<0$: L05 연습문제 E1의 행렬과 C4

(a) $A=\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix}$: $\operatorname{tr}A=2$, $\det A=5$, $\Delta=1-5=-4$, $\sqrt{-\Delta}=2$, $A_0=\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}$.

$$\begin{aligned}e^{tA}&=e^t\Big[\cos2t\,I+\frac{\sin2t}{2}A_0\Big]\\&=e^t\begin{pmatrix}\cos2t&\sin2t\\-\sin2t&\cos2t\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

고유값 $1\pm2i$(L05 E1)가 "$e^t$로 커지며 $2t$만큼 도는" 운동으로 보입니다.

(b) C4: $e^{i\theta\sigma_x}$는 $A=\sigma_x$, $t=i\theta$입니다. $\Delta=0-(-1)=1$이므로 $\cosh(i\theta)I+\sinh(i\theta)\sigma_x=\cos\theta\,I+i\sin\theta\,\sigma_x$. $\sigma_z$도 같습니다.

9. 브라-켓·사영·파울리 전개

레시피
  1. 켓 $|v\rangle$ = 왼쪽에 단자 하나인 상자(사슬의 오른쪽 끝), 브라 $\langle u|$ = 오른쪽에 단자 하나인 상자(사슬의 왼쪽 끝). 복소수이면 브라의 성분은 $u_i^*$입니다.
  2. $\langle u|A|v\rangle$ = 남는 선이 없는 그림 = 수. $|a\rangle\langle b|$ = 이어지지 않은 두 조각 = 행렬 $a_ib_j^*$.
  3. 사영 $P=|e\rangle\langle e|$ ($\langle e|e\rangle=1$): $P^2$의 가운데에 생기는 거품 $\langle e|e\rangle=1$이 떨어져 나가 $P^2=P$. $\operatorname{tr}P$ = 켓과 브라를 고리로 이음 = $\langle e|e\rangle=1$.
  4. 완비성: 정규직교 기저 전체에 대해 $\sum_n|e_n\rangle\langle e_n|$ = 곧은 선. 어느 선이든 잘라서 이 합으로 바꿔 끼울 수 있습니다(성분 뽑기, 기저 변환).
  5. 파울리 완비성: $\sum_{\mu=0}^{3}(\sigma_\mu)_{ij}(\sigma_\mu)_{kl}=2\delta_{il}\delta_{jk}$ — 두 줄을 $\mu$ 선으로 이은 그림 = $2\times$엇갈린 두 선. 아래 줄에 $A$를 넣고 닫으면 $\sum_\mu\sigma_\mu\operatorname{tr}(\sigma_\mu A)=2A$, 곧 $$A=\sum_\mu a_\mu\sigma_\mu,\qquad a_\mu=\tfrac12\operatorname{tr}(\sigma_\mu A).$$
  6. 고유값: $A_0=A-a_0I=\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma$이고 8절의 $\Delta$가 곧 $\mathbf a\cdot\mathbf a=a_x^2+a_y^2+a_z^2$ (켤레 없음). 고유값 $a_0\pm\sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}$.
⟨u| A |v⟩ i |v⟩ ⟨v| |v⟩ ⟨v| j = i |v⟩ ⟨v| j∑ i |e⟩ ⟨e| j = i j σ σ i k j l = 2 i j k l σ σ i j A = 2 A i j
왜 되나? (증명 스케치) — 파울리 완비성

L06 10절에서 $\sigma_\mu/\sqrt2$ 네 개는 내적 $\langle X|Y\rangle=\operatorname{tr}(X^\dagger Y)$에 대해 2×2 행렬 공간의 정규직교 기저입니다. 레시피 4의 완비성을 "행렬 공간"에서 쓰면, 아무 행렬 $X$에 대해 $\sum_\mu\frac{\sigma_\mu}{\sqrt2}\operatorname{tr}\big(\frac{\sigma_\mu}{\sqrt2}X\big)=X$ ($\sigma_\mu$는 에르미트). 성분으로 쓰면 $\frac12\sum_\mu(\sigma_\mu)_{ij}(\sigma_\mu)_{kl}X_{lk}=X_{ij}$이고, 모든 $X$에 대해 성립하므로 $\sum_\mu(\sigma_\mu)_{ij}(\sigma_\mu)_{kl}=2\delta_{il}\delta_{jk}$입니다. 그림의 "엇갈린 두 선"이 바로 $\delta_{il}\delta_{jk}$입니다.

예제 9-1 L06 예제 10-1(a)를 한 줄로: $A=\begin{pmatrix}3&1-2i\\1+2i&-1\end{pmatrix}$

$a_\mu=\frac12\operatorname{tr}(\sigma_\mu A)$를 성분으로 풀면 $a_0=\frac12(A_{11}+A_{22})$, $a_z=\frac12(A_{11}-A_{22})$, $a_x=\frac12(A_{12}+A_{21})$, $a_y=\frac i2(A_{12}-A_{21})$입니다.

$$\begin{aligned}a_0&=1,\quad a_z=2,\quad a_x=1,\\ a_y&=\tfrac i2(-4i)=2.\end{aligned}$$

$\mathbf a\cdot\mathbf a=1+4+4=9$이므로 고유값 $1\pm3$, 곧 $4$와 $-2$. 8절의 판별량으로도 $\Delta=\frac{4}{4}-\det A=1-(-3-5)=9$로 같습니다. 그래서 $e^{tA}=e^{t}\big[\cosh3t\,I+\frac{\sinh3t}{3}(A-I)\big]$까지 바로 쓸 수 있습니다.

10. 이 표기로 빨라지는 Arfken 계산

레슨 파일을 직접 열어 확인한 문항만 적었습니다. Arfken 절 번호는 각 레슨의 부제를 따랐습니다(기억 기반, 미검증).

레슨·절·문항Arfken쓰는 그림 규칙효과
L05 0·2절, 예제 2-1, 연습 A4·A5·B16.1–6.5$S_2=\frac12(t_1^2-t_2)$, 대칭이면 $t_2$ = 성분 제곱합 (5절)빨라짐 — 검산이 거의 공짜
L05 5절 예제 5-1, 연습 C1·C2·C46.1–6.52×2 지수 닫힌 꼴 (8절)빨라짐 — 고유벡터·대각화 불필요, C2도 같은 식
L05 5절 예제 5-1, 연습 C36.1–6.5사영자 $P_i$ (7절)빨라짐 — 정규화 불필요
L05 6절 예제 6-1, 연습 C5·C66.1–6.5계수를 대각합으로, $n+1$가닥 막대 = 0 (6절)계산량 비슷, 증명은 대각화 가정 없이
L04 6절 예제 6-1, 연습 D22.1–2.23×3 $\operatorname{adj}A=A^2-e_1A+e_2I$ (6절)곱셈량 비슷, 전치 실수가 없어짐
L04 7절 예제 7-1, 연습 E12.1–2.2고리 돌리기, $\operatorname{tr}(AB)=\sum A_{ij}B_{ji}$ (1절)빨라짐 — $AB$를 다 구하지 않음
L04 10절 예제 10-1, 연습 G22.1–2.2두 줄 그림, 고리 둘 (2절)빨라짐 — 4×4를 쓰지 않음
L04 3절 연습 B4, 11절 $\det(A+B)$ 실수2.1–2.2막대 그림 세 단계, 교차항 (4절)기억·검산용
L06 5절 예제 5-1, 연습 D25.1–5.6거품 = 1, 고리 = $\operatorname{tr}P$, 완비성 = 곧은 선 (9절)기억용
L06 10절 예제 10-1, 연습 F2·F35.1–5.6파울리 완비성, $\Delta=\mathbf a\cdot\mathbf a$ (9절)조금 빨라짐, $e^{tA}$까지 이어짐
L00c 6절 예제 6-1(전제)$A^{-1}=\frac{(\operatorname{tr}A)I-A}{\det A}$ (6절)공식의 이유
느려지는 곳: L04 1절 예제 1-1(b)2.1–2.23×3 행렬식을 대각합으로 (3절)느림 — 유도·검산용으로만

11. 자주 하는 실수

12. 연습문제

종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 verify/G4_verify.py에서 SymPy와 수치 축약으로 검산했습니다.

A. 그림 읽기

A1. $\operatorname{tr}(ABC)$, $\operatorname{tr}(CAB)$, $\operatorname{tr}(ACB)$, $\operatorname{tr}(C^TB^TA^T)$를 고리로 그리고, 일반적인 3×3 행렬에서 항상 같은 것끼리 묶으세요.

답$\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CAB)=\operatorname{tr}(C^TB^TA^T)$, $\ \operatorname{tr}(ACB)$는 따로 — 첫째와 둘째는 같은 고리를 돌린 것, 넷째는 같은 고리를 거꾸로 읽은 것. 셋째는 $B$와 $C$의 이웃 관계가 달라 다른 고리입니다.

A2. $A=\begin{pmatrix}2&0&1\\1&-1&3\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\4&-1\end{pmatrix}$일 때 $\operatorname{tr}(AB)$와 $\operatorname{tr}(BA)$를 곱 행렬 없이

답둘 다 $4$ — $\sum A_{ij}B_{ji}=2\cdot1+0\cdot0+1\cdot4+1\cdot2+(-1)\cdot1+3\cdot(-1)=4$. 같은 고리라 $\operatorname{tr}(BA)$도 같습니다.

A3. $\operatorname{tr}\big[(\sigma_x\otimes\sigma_z)(\sigma_x\otimes D)\big]$, $D=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$

답$-6$ — 위 줄 고리 $\operatorname{tr}(\sigma_x\sigma_x)=2$, 아래 줄 고리 $\operatorname{tr}(\sigma_zD)=1-4=-3$.

A4. $\operatorname{tr}(A^TB)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$임을 그림으로 보이고, $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$에 대해 $\operatorname{tr}(A^TA)$와 $\operatorname{tr}A^2$을 비교하세요.

답$\operatorname{tr}(A^TA)=30$, $\operatorname{tr}A^2=29$ — 고리에서 $A$를 뒤집어 달면 두 상자의 같은 쪽 단자끼리 이어져 $\sum A_{ij}B_{ij}$. 제곱합 $1+4+9+16=30$. $\operatorname{tr}A^2=\sum A_{ij}A_{ji}=1+16+2\cdot6=29$. 비대칭이라 다릅니다.

B. 행렬식과 특성다항식 계수

B1. L04 예제 1-1(a) $\begin{pmatrix}3&-2\\5&4\end{pmatrix}$의 행렬식을 대각합으로

답$22$ — $t_1=7$, $t_2=9+16+2\cdot(-2)\cdot5=5$, $\frac12(49-5)=22$.

B2. $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$의 $e_1,e_2,e_3$와 특성다항식

답$e_1=6$, $e_2=9$, $e_3=4$, $p=\lambda^3-6\lambda^2+9\lambda-4=(\lambda-1)^2(\lambda-4)$ — 대칭이라 $t_2$ = 제곱합 $4\cdot3+1\cdot6=18$, $e_2=\frac12(36-18)$. $e_3$은 사뤼스로 $8+1+1-2-2-2=4$.

B3. L05 연습문제 B1의 $\begin{pmatrix}2&2&2\\2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}$에서 $S_2$를 제곱합으로 구하고 고유값 $1,1,10$과 맞는지 확인

답$S_2=21$ — $t_1=12$, 제곱합 $t_2=4+4+4+4+25+16+4+16+25=102$, $\frac12(144-102)=21$. 고유값으로 $1\cdot1+1\cdot10+1\cdot10=21$.

B4. 상자 없이 $k$가닥 막대를 닫은 그림(곧 $e_k(I)$)의 값은? $n=3$, $k=2$이면?

답$\binom nk$, $n=3$, $k=2$이면 $3$ — $I$의 고유값은 모두 1이라 $e_k$ = 1을 $k$개 고르는 가짓수. 고리로 풀어도 $\frac12(n^2-n)=3$.

C. 케일리-해밀턴과 수반행렬

C1. L04 연습문제 D2: $A=\begin{pmatrix}2&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$의 수반행렬과 역행렬을 $A^2-e_1A+e_2I$로

답$\operatorname{adj}A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&2&1\\1&-2&2\end{pmatrix}$, $\det A=3$, $A^{-1}=\frac13\operatorname{adj}A$ — $e_1=4$, $A^2=\begin{pmatrix}4&1&3\\3&1&1\\1&2&1\end{pmatrix}$, $t_2=6$, $e_2=5$. L04의 답과 같습니다.

C2. L05 연습문제 C6: 예제 2-1의 $A$($e_1=7$, $e_2=14$, $\det A=8$)에서 $A^{-1}$

답$A^{-1}=\frac18\begin{pmatrix}5&2&1\\2&4&2\\1&2&5\end{pmatrix}$ — $\operatorname{adj}A=A^2-7A+14I$, $A^2=\begin{pmatrix}5&-5&1\\-5&11&-5\\1&-5&5\end{pmatrix}$.

C3. L05 연습문제 C5: $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$의 $A^{-1}$과 $A^4$를 대각합으로

답$A^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$, $A^4=40A-39I=\begin{pmatrix}41&40\\40&41\end{pmatrix}$ — $t_1=4$, $t_2=10$, $e_2=3$, $A^2=4A-3I$, $A^3=13A-12I$.

C4. 2×2 분극형 케일리-해밀턴 $AB+BA-(\operatorname{tr}A)B-(\operatorname{tr}B)A+\big(\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B-\operatorname{tr}(AB)\big)I=0$에 $A=\sigma_i$, $B=\sigma_j$를 넣으면 무엇이 나오나요?

답$\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}I$ — $\operatorname{tr}\sigma_i=0$, $\operatorname{tr}(\sigma_i\sigma_j)=2\delta_{ij}$. 이 식은 3가닥 막대에서 두 가닥에 $A$, $B$를 하나씩 단 그림 = 0에서 나옵니다($A=B$이면 보통의 케일리-해밀턴의 2배).

D. 사영자와 행렬 지수

D1. L05 A1의 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$: 사영자 $P_1$, $P_3$와 $e^{tA}$

답$P_3=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$, $P_1=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$, $e^{tA}=\frac12\begin{pmatrix}e^{3t}+e^t&e^{3t}-e^t\\e^{3t}-e^t&e^{3t}+e^t\end{pmatrix}$ — $P_3=\frac{A-I}{2}$. 닫힌 꼴로는 $\Delta=1$, $e^{2t}(\cosh t\,I+\sinh t\,A_0)$로 같습니다.

D2. L05 A4의 $A=\begin{pmatrix}3&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&3\end{pmatrix}$ (고유값 $1,3,4$)에서 $P_4$와 $\lambda=4$의 고유벡터

답$P_4=\frac{(A-I)(A-3I)}{(4-1)(4-3)}=\frac13\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$, 고유벡터 $(1,-1,1)$ — L05의 답 $\frac1{\sqrt3}(1,-1,1)$과 같습니다. $\operatorname{tr}P_4=\frac33=1$.

D3. $e^{tA}$, $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$

답$e^{3t}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$ — $\Delta=9-9=0$, $A_0=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, $e^{3t}(I+tA_0)$. 사영자 방법은 중근이라 쓸 수 없습니다.

D4. L05 연습문제 C3: $\sqrt{\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}}$을 사영자로

답$\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ — $\lambda=4,16$, $P_{16}=\frac{A-4I}{12}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$, $\sqrt A=2P_4+4P_{16}$.

E. 브라-켓과 파울리

E1. L06 연습문제 F2: $A=\begin{pmatrix}5&2-i\\2+i&1\end{pmatrix}$의 $a_\mu=\frac12\operatorname{tr}(\sigma_\mu A)$와 고유값

답$a_0=3$, $a_x=2$, $a_y=1$, $a_z=2$, 고유값 $3\pm3$ 곧 $6$과 $0$ — $\mathbf a\cdot\mathbf a=9$. 8절로도 $\Delta=9-0=9$.

E2. L06 연습문제 F3: $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$의 파울리 계수와 $A_0^2$

답$a_0=0$, $a_x=\frac12$, $a_y=\frac i2$, $a_z=0$, $\mathbf a\cdot\mathbf a=\frac14-\frac14=0$이라 $A_0^2=0$, 고유값 0(중근) — 켤레를 붙여 $|a_y|^2$를 쓰면 $\frac12$이 나와 틀립니다.

E3. L06 연습문제 D2: $\hat n=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)$, $P=|\hat n\rangle\langle\hat n|$. $\operatorname{tr}P$와 $P^2$을 그림 규칙으로

답$\operatorname{tr}P=1$, $P^2=P$ — 고리 = $\langle\hat n|\hat n\rangle=1$, 가운데 거품 = 1. $P$는 모든 성분이 $\frac13$.

E4. 파울리 완비성 그림으로 $\sum_{\mu=0}^3\sigma_\mu A\sigma_\mu$를 구하고, $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$에 대해 확인하세요.

답$2(\operatorname{tr}A)I$, 이 경우 $10I$ — $(\sigma_\mu)_{ij}A_{jk}(\sigma_\mu)_{kl}$에서 완비성 $2\delta_{il}\delta_{jk}$를 쓰면 $2\delta_{il}A_{jj}$. 그림으로는 엇갈린 두 선이 $A$를 고리로 닫습니다.

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