Arfken 7판 3.1–3.6절 (내적·외적·삼중곱, 좌표 회전, grad·div·curl, 벡터 항등식, 지표 계산)
| 계산 | 공식 |
|---|---|
| 내적 | $\mathbf A\cdot\mathbf B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=|\mathbf A||\mathbf B|\cos\theta$ |
| 외적 | $\mathbf A\times\mathbf B=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf x}&\hat{\mathbf y}&\hat{\mathbf z}\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}$, 크기 $|\mathbf A||\mathbf B|\sin\theta$ |
| 스칼라 삼중곱 | $\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)=\begin{vmatrix}A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\\C_x&C_y&C_z\end{vmatrix}$ (순환해도 같음) |
| 벡터 삼중곱 | $\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)=\mathbf B(\mathbf A\cdot\mathbf C)-\mathbf C(\mathbf A\cdot\mathbf B)$ ("BAC−CAB") |
| 지표 | $\mathbf A\cdot\mathbf B=A_iB_i$, $(\mathbf A\times\mathbf B)_i=\varepsilon_{ijk}A_jB_k$, $(\nabla\times\mathbf A)_i=\varepsilon_{ijk}\partial_jA_k$ |
| 축약 | $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}$, $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn}=2\delta_{kn}$, $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}=6$, $\delta_{ii}=3$ |
| 연산 | 공식 |
|---|---|
| 기울기(gradient) | $\nabla f=\Big(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\Big)$ |
| 발산(divergence) | $\nabla\cdot\mathbf A=\dfrac{\partial A_x}{\partial x}+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}$ |
| curl | $\nabla\times\mathbf A=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf x}&\hat{\mathbf y}&\hat{\mathbf z}\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\A_x&A_y&A_z\end{vmatrix}$ |
| 라플라시안(Laplacian) | $\nabla^2 f=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$ |
| 기울기 | 발산·curl·라플라시안 |
|---|---|
| $\nabla r=\hat{\mathbf r}$ | $\nabla\cdot\mathbf r=3$, $\nabla\times\mathbf r=0$ |
| $\nabla f(r)=f'(r)\,\hat{\mathbf r}$ | $\nabla\cdot\big(\mathbf r f(r)\big)=3f+rf'$, $\nabla\times\big(\mathbf r f(r)\big)=0$ |
| $\nabla r^n=nr^{n-2}\mathbf r$ | $\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)=0$, $\nabla\cdot\hat{\mathbf r}=2/r$ |
| $\nabla(1/r)=-\hat{\mathbf r}/r^2$ | $\nabla^2f(r)=f''+\dfrac2rf'$, $\nabla^2r^n=n(n+1)r^{n-2}$ |
| 곱 법칙 | 항등식 |
|---|---|
| $\nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f$ | $\nabla\times(\nabla f)=0$ |
| $\nabla\cdot(f\mathbf A)=f\,\nabla\cdot\mathbf A+\mathbf A\cdot\nabla f$ | $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)=0$ |
| $\nabla\times(f\mathbf A)=f\,\nabla\times\mathbf A+\nabla f\times\mathbf A$ | $\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A$ |
| $\nabla\cdot(\mathbf A\times\mathbf B)=\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf A)-\mathbf A\cdot(\nabla\times\mathbf B)$ | $\nabla\cdot\nabla f=\nabla^2 f$ |
$(\mathbf A\cdot\nabla)=A_x\partial_x+A_y\partial_y+A_z\partial_z$ 가 들어간 두 항등식(6절):
$$\begin{aligned}\nabla(\mathbf A\cdot\mathbf B)&=(\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B+(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A\\&\quad+\mathbf A\times(\nabla\times\mathbf B)+\mathbf B\times(\nabla\times\mathbf A),\\\nabla\times(\mathbf A\times\mathbf B)&=(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A-(\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B\\&\quad+\mathbf A(\nabla\cdot\mathbf B)-\mathbf B(\nabla\cdot\mathbf A).\end{aligned}$$그림 표기로 보기: G1 3절 — BAC−CAB를 H = X − ‖ 그림 한 장으로 얻고, 누가 +를 받는지 보기
외적 행렬식: 외적은 분배법칙이 성립하고, 단위벡터끼리는 $\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}=\hat{\mathbf z}$, $\hat{\mathbf y}\times\hat{\mathbf z}=\hat{\mathbf x}$, $\hat{\mathbf z}\times\hat{\mathbf x}=\hat{\mathbf y}$ (순서를 바꾸면 부호 반대), 자기 자신과는 0입니다. $\mathbf A\times\mathbf B=(A_x\hat{\mathbf x}+A_y\hat{\mathbf y}+A_z\hat{\mathbf z})\times(B_x\hat{\mathbf x}+B_y\hat{\mathbf y}+B_z\hat{\mathbf z})$ 를 9개 항으로 펼치면 3개는 0입니다. 남은 것 중 $\hat{\mathbf z}$ 쪽은
$$A_xB_y\,\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}+A_yB_x\,\hat{\mathbf y}\times\hat{\mathbf x}=(A_xB_y-A_yB_x)\,\hat{\mathbf z}.$$나머지 두 성분도 같은 방식으로 모으면 행렬식을 첫 행으로 전개한 모양과 똑같습니다.
스칼라 삼중곱: $\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)=A_x(\mathbf B\times\mathbf C)_x+A_y(\cdots)_y+A_z(\cdots)_z$ 는 외적 행렬식의 첫 행 $\hat{\mathbf x},\hat{\mathbf y},\hat{\mathbf z}$ 자리에 $A_x,A_y,A_z$ 를 넣은 것입니다. 그래서 3×3 행렬식이고, 행을 순환시키면(맞바꿈 두 번) 값이 같고 한 번 맞바꾸면 부호가 바뀝니다.
BAC−CAB: $\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)$ 는 $\mathbf B\times\mathbf C$ 에 수직이므로 $\mathbf B$, $\mathbf C$ 가 만드는 평면 안에 있고, $\beta\mathbf B+\gamma\mathbf C$ 꼴입니다. 계수는 간단한 경우로 맞춥니다. 예: $\mathbf A=\mathbf B=\hat{\mathbf x}$, $\mathbf C=\hat{\mathbf y}$ 이면 왼쪽은 $\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf z}=-\hat{\mathbf y}$, 오른쪽은 $\mathbf B(\mathbf A\cdot\mathbf C)-\mathbf C(\mathbf A\cdot\mathbf B)=0-\hat{\mathbf y}$. (일반적인 확인은 7절의 지표 계산.)
내적: $\mathbf A\cdot\mathbf B=2\cdot1+(-1)\cdot4+3\cdot(-2)=2-4-6=-8$.
크기: $|\mathbf A|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$, $|\mathbf B|=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}$. $\sqrt{14\cdot21}=\sqrt{294}=7\sqrt6$ 이므로
$$\cos\theta=\frac{-8}{7\sqrt6}\approx-0.4666,\qquad \theta\approx117.8^\circ.$$외적: 행렬식을 첫 행으로 전개합니다.
$$\begin{aligned}\mathbf A\times\mathbf B&=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf x}&\hat{\mathbf y}&\hat{\mathbf z}\\2&-1&3\\1&4&-2\end{vmatrix}\\&=\hat{\mathbf x}\big[(-1)(-2)-3\cdot4\big]\\&\quad-\hat{\mathbf y}\big[2\cdot(-2)-3\cdot1\big]\\&\quad+\hat{\mathbf z}\big[2\cdot4-(-1)\cdot1\big]\\&=-10\,\hat{\mathbf x}+7\,\hat{\mathbf y}+9\,\hat{\mathbf z}.\end{aligned}$$검산 1: $(-10,7,9)\cdot\mathbf A=-20-7+27=0$, $(-10,7,9)\cdot\mathbf B=-10+28-18=0$. 둘 다 수직입니다.
검산 2: $|\mathbf A\times\mathbf B|^2=100+49+81=230$, 그리고 $230+(-8)^2=294=14\cdot21$. 맞습니다.
스칼라 삼중곱을 첫 행으로 전개합니다.
$$\begin{aligned}\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)&=\begin{vmatrix}2&-1&3\\1&4&-2\\0&1&1\end{vmatrix}\\&=2\big[4\cdot1-(-2)\cdot1\big]\\&\quad-(-1)\big[1\cdot1-(-2)\cdot0\big]\\&\quad+3\big[1\cdot1-4\cdot0\big]\\&=12+1+3=16.\end{aligned}$$순환 성질로 검산합니다: $(\mathbf A\times\mathbf B)\cdot\mathbf C=(-10,7,9)\cdot(0,1,1)=16$. 부피는 $16$입니다.
벡터 삼중곱: $\mathbf A\cdot\mathbf C=0-1+3=2$, $\mathbf A\cdot\mathbf B=-8$ 이므로
$$\begin{aligned}\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)&=2\,\mathbf B-(-8)\,\mathbf C\\&=(2,8,-4)+(0,8,8)=(2,16,4).\end{aligned}$$직접 계산으로 확인합니다. $\mathbf B\times\mathbf C=(4+2,\,-(1-0),\,1-0)=(6,-1,1)$, 그리고 $\mathbf A\times(6,-1,1)=\big((-1)(1)-3(-1),\,-(2\cdot1-3\cdot6),\,2(-1)-(-1)6\big)=(2,16,4)$. 같습니다.
새 성분은 벡터를 새 축에 사영한 값입니다: $A'_i=\hat{\mathbf e}'_i\cdot\mathbf A=\sum_j(\hat{\mathbf e}'_i\cdot\hat{\mathbf e}_j)A_j$. 그래서 $S_{ij}=\hat{\mathbf e}'_i\cdot\hat{\mathbf e}_j$ 입니다.
새 축도 서로 수직인 단위벡터이므로 $S$의 행들은 정규직교입니다: $(SS^T)_{ik}=\hat{\mathbf e}'_i\cdot\hat{\mathbf e}'_k=\delta_{ik}$. 거꾸로 말하면, 축만 바꿨을 뿐 화살표는 그대로이니 길이와 내적이 변하면 안 됩니다. $\mathbf A'\cdot\mathbf B'=\mathbf A^TS^TS\,\mathbf B$ 가 모든 $\mathbf A,\mathbf B$에 대해 $\mathbf A^T\mathbf B$ 이려면 $S^TS=1$ 이어야 합니다.
$\det S$ 는 행 세 개의 스칼라 삼중곱 $\hat{\mathbf e}'_x\cdot(\hat{\mathbf e}'_y\times\hat{\mathbf e}'_z)$ 입니다. 새 축도 오른손계이면 $+1$, 거울 반사가 섞이면 $-1$ 입니다(L29의 의사벡터).
행렬: $S=\begin{pmatrix}3/5&4/5&0\\-4/5&3/5&0\\0&0&1\end{pmatrix}$. 첫 행 $(\frac35,\frac45,0)$이 새 $x'$축 방향입니다. 실제로 $S(\frac35,\frac45,0)^T=(1,0,0)^T$ 입니다.
$\mathbf A$의 새 성분:
$$\begin{aligned}A'_x&=\frac{3\cdot2+4\cdot(-1)}{5}=\frac25,\\A'_y&=\frac{-4\cdot2+3\cdot(-1)}{5}=-\frac{11}5,\\A'_z&=3.\end{aligned}$$$\mathbf B$의 새 성분:
$$\begin{aligned}B'_x&=\frac{3+16}{5}=\frac{19}5,\\B'_y&=\frac{-4+12}{5}=\frac85,\\B'_z&=-2.\end{aligned}$$불변량 확인:
$$\begin{aligned}\mathbf A'\cdot\mathbf B'&=\frac{2\cdot19}{25}+\frac{(-11)\cdot8}{25}+3\cdot(-2)\\&=\frac{38-88}{25}-6=-8=\mathbf A\cdot\mathbf B,\\|\mathbf A'|^2&=\frac{4}{25}+\frac{121}{25}+9=14=|\mathbf A|^2.\end{aligned}$$$\cos90^\circ=0$, $\sin90^\circ=1$ 을 넣고 나중 회전을 왼쪽에 둡니다.
$$\begin{aligned}S&=S_y(90^\circ)\,S_z(90^\circ)\\&=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.\end{aligned}$$행을 읽으면 최종 축은 $\hat{\mathbf e}''_x=-\hat{\mathbf z}$, $\hat{\mathbf e}''_y=-\hat{\mathbf x}$, $\hat{\mathbf e}''_z=\hat{\mathbf y}$ 입니다.
단계별 확인: 첫 회전 뒤 $\hat{\mathbf e}'_x=\hat{\mathbf y}$, $\hat{\mathbf e}'_y=-\hat{\mathbf x}$, $\hat{\mathbf e}'_z=\hat{\mathbf z}$. 둘째 회전은 $z'$축을 $x'$축 쪽으로 돌리므로 $\hat{\mathbf e}''_z=\hat{\mathbf e}'_x=\hat{\mathbf y}$, $\hat{\mathbf e}''_x=-\hat{\mathbf e}'_z=-\hat{\mathbf z}$. 맞습니다. 오른손계 확인: $(-\hat{\mathbf z})\times(-\hat{\mathbf x})=\hat{\mathbf z}\times\hat{\mathbf x}=\hat{\mathbf y}$.
새 성분: $\mathbf A''=S\mathbf A=(-3,\ -1,\ 2)$, $|\mathbf A''|^2=9+1+4=14=|\mathbf A|^2$.
순서를 바꾸면 다른 회전입니다: $S_z(90^\circ)S_y(90^\circ)=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}\ne S$.
두 검산식은 "혼합편미분은 순서와 무관"($\partial_y\partial_zf=\partial_z\partial_yf$)에서 바로 나옵니다.
$$\begin{aligned}(\nabla\times\nabla f)_x&=\partial_y(\partial_zf)-\partial_z(\partial_yf)=0,\\\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)&=\partial_x(\partial_yA_z-\partial_zA_y)\\&\quad+\partial_y(\partial_zA_x-\partial_xA_z)\\&\quad+\partial_z(\partial_xA_y-\partial_yA_x)=0.\end{aligned}$$둘째 식의 여섯 항은 $\partial_x\partial_yA_z$ 와 $-\partial_y\partial_xA_z$ 처럼 둘씩 짝지어 지워집니다.
일반적인 이유: curl은 "반대칭"(성분 $x$에 $\partial_yA_z-\partial_zA_y$ 처럼 순서를 바꾸면 부호 반대)이고 혼합편미분은 "대칭"입니다. 대칭인 것을 반대칭인 틀에 넣으면 항이 짝지어 상쇄됩니다. 7절의 $\varepsilon_{ijk}\partial_j\partial_k=0$ 이 같은 말입니다.
점 $(1,-1,2)$: $\nabla f=(2\cdot1\cdot(-1),\ 1+8,\ 3\cdot(-1)\cdot4)=(-2,9,-12)$, $\nabla^2f=-2+6(-1)(2)=-14$.
검산 ($\nabla\times\nabla f$): $x$성분 $\partial_y(3yz^2)-\partial_z(x^2+z^3)=3z^2-3z^2=0$, $y$성분 $\partial_z(2xy)-\partial_x(3yz^2)=0$, $z$성분 $\partial_x(x^2+z^3)-\partial_y(2xy)=2x-2x=0$.
발산: $\nabla\cdot\mathbf A=\partial_x(x^2y)+\partial_y(-2yz)+\partial_z(xz^2)=2xy-2z+2xz$.
curl: 행렬식을 전개합니다.
$$\begin{aligned}\nabla\times\mathbf A&=\hat{\mathbf x}\big[\partial_y(xz^2)-\partial_z(-2yz)\big]\\&\quad-\hat{\mathbf y}\big[\partial_x(xz^2)-\partial_z(x^2y)\big]\\&\quad+\hat{\mathbf z}\big[\partial_x(-2yz)-\partial_y(x^2y)\big]\\&=\hat{\mathbf x}(0+2y)-\hat{\mathbf y}(z^2-0)+\hat{\mathbf z}(0-x^2)\\&=(2y,\ -z^2,\ -x^2).\end{aligned}$$검산: $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)=\partial_x(2y)+\partial_y(-z^2)+\partial_z(-x^2)=0$.
점 $\mathbf r$에서 $\hat{\mathbf u}$ 방향으로 거리 $s$만큼 가면 $f(\mathbf r+s\hat{\mathbf u})$ 입니다. $s$로 미분하면 연쇄법칙으로
$$\begin{aligned}\frac{d}{ds}f(\mathbf r+s\hat{\mathbf u})\Big|_{s=0}&=\partial_xf\,u_x+\partial_yf\,u_y+\partial_zf\,u_z\\&=\nabla f\cdot\hat{\mathbf u}.\end{aligned}$$짧게 쓰면 $df=\nabla f\cdot d\mathbf r$ 입니다. $\hat{\mathbf u}$가 단위벡터가 아니면 "거리 $s$"가 아니라 "$s|\mathbf u|$"만큼 가므로 값이 $|\mathbf u|$배로 부풀려집니다(레시피 1의 이유).
$\nabla f\cdot\hat{\mathbf u}=|\nabla f|\cos\theta$ 이므로 $\theta=0$, 즉 $\nabla f$ 방향에서 가장 크고 그 값이 $|\nabla f|$ 입니다.
등위면 위에서 움직이면 $f$가 변하지 않으므로 $df=\nabla f\cdot d\mathbf r=0$. 면에 접하는 모든 $d\mathbf r$이 $\nabla f$와 수직이므로 $\nabla f$가 법선입니다. 접평면 식 $\nabla\phi(P)\cdot(\mathbf r-\mathbf r_P)=0$ 은 이것을 그대로 쓴 것입니다.
(가) $Q=(3,1,1)$ 쪽으로의 방향도함수. $\overrightarrow{PQ}=(2,-1,2)$, 길이 $3$ 이므로 $\hat{\mathbf u}=\frac13(2,-1,2)$.
$$\nabla f=(2xy,\ x^2+z^2,\ 2yz)\ \Rightarrow\ \nabla f(P)=(4,\ 2,\ -4).$$ $$\begin{aligned}D_{\hat{\mathbf u}}f&=\frac{4\cdot2+2\cdot(-1)+(-4)\cdot2}{3}\\&=\frac{8-2-8}{3}=-\frac23.\end{aligned}$$(나) 최대 증가율: $|\nabla f(P)|=\sqrt{16+4+16}=6$, 방향 $\frac13(2,1,-2)$.
(다) $P$를 지나는 등위면은 $f=f(P)=1\cdot2+2\cdot1=4$, 즉 $x^2y+yz^2=4$ 입니다. 단위법선 $\hat{\mathbf n}=\frac13(2,1,-2)$, 접평면은
$$\begin{aligned}&4(x-1)+2(y-2)-4(z+1)=0\\&\Rightarrow\ 2x+y-2z=6.\end{aligned}$$확인: $P$를 넣으면 $2+2+2=6$.
그림 표기로 보기: G2 5절 — r 규칙: 풍선(벡터 r) = 맨 선, 풍선(스칼라 r) = n, ∂inj = (δij − ninj)/r
기울기: $f=r^n$, $f'=nr^{n-1}$ 이므로 $\nabla r^n=nr^{n-1}\hat{\mathbf r}=nr^{n-2}\mathbf r$. $n=-1$ 을 넣으면
$$\nabla\frac1r=-r^{-3}\mathbf r=-\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}.$$$\mathbf r$ 자체: $\nabla\cdot\mathbf r=\partial_xx+\partial_yy+\partial_zz=3$. curl의 $x$성분은 $\partial_yz-\partial_zy=0$ 이고, 나머지도 같아서 $\nabla\times\mathbf r=0$.
$\hat{\mathbf r}/r^2=\mathbf r\,r^{-3}$ 이므로 $g=r^{-3}$, $g'=-3r^{-4}$:
$$\nabla\cdot\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}=3r^{-3}+r(-3r^{-4})=0\qquad(r\ne0).$$일반적으로 $\nabla\cdot(\mathbf r\,r^n)=3r^n+r\cdot nr^{n-1}=(n+3)r^n$ 입니다.
라플라시안: $f'=nr^{n-1}$, $f''=n(n-1)r^{n-2}$ 이므로
$$\nabla^2r^n=n(n-1)r^{n-2}+\frac2r\,nr^{n-1}=n(n+1)r^{n-2}.$$특히 $n=-1$이면 $\nabla^2(1/r)=0$ ($r\ne0$), $n=2$이면 $\nabla^2r^2=6$ 입니다.
그림 표기로 보기: G2 2절 — 곱 법칙을 "풍선 나누기"로 쓰면 ∇f×A의 순서가 그림에서 자동으로 정해짐
성분 하나하나는 보통의 곱 미분입니다.
$$\begin{aligned}\nabla\cdot(f\mathbf A)&=\partial_x(fA_x)+\partial_y(fA_y)+\partial_z(fA_z)\\&=f\,(\partial_xA_x+\cdots)+(A_x\partial_xf+\cdots)\\&=f\,\nabla\cdot\mathbf A+\mathbf A\cdot\nabla f.\end{aligned}$$curl의 $x$성분은 $\partial_y(fA_z)-\partial_z(fA_y)=f(\partial_yA_z-\partial_zA_y)+(\partial_yf\,A_z-\partial_zf\,A_y)$. 첫 괄호는 $f(\nabla\times\mathbf A)_x$, 둘째 괄호는 외적 $(\nabla f\times\mathbf A)_x$ 의 정의 그대로입니다. 그래서 순서가 $\nabla f\times\mathbf A$ 입니다.
$\nabla\cdot(\mathbf A\times\mathbf B)$ 는 7절의 지표로 쓰면 한 줄입니다: $\partial_i(\varepsilon_{ijk}A_jB_k)=B_k\,\varepsilon_{kij}\partial_iA_j+A_j\,\varepsilon_{ijk}\partial_iB_k$. 첫 항은 $\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf A)$, 둘째 항은 $\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}$ 이라 $-\mathbf A\cdot(\nabla\times\mathbf B)$ 입니다.
(가) $\nabla\cdot(e^{-r}\mathbf r)=e^{-r}\,\nabla\cdot\mathbf r+\mathbf r\cdot\nabla e^{-r}=3e^{-r}+\mathbf r\cdot(-e^{-r}\hat{\mathbf r})=(3-r)\,e^{-r}$.
(나) $\nabla\times(r^2\mathbf a)=r^2\,\nabla\times\mathbf a+\nabla(r^2)\times\mathbf a=0+2\mathbf r\times\mathbf a$.
(다) $\nabla\cdot\big(r^2(\mathbf a\times\mathbf r)\big)=r^2\,\nabla\cdot(\mathbf a\times\mathbf r)+(\mathbf a\times\mathbf r)\cdot\nabla r^2$. 첫 항은
$$\nabla\cdot(\mathbf a\times\mathbf r)=\mathbf r\cdot(\nabla\times\mathbf a)-\mathbf a\cdot(\nabla\times\mathbf r)=0-0=0,$$둘째 항은 $(\mathbf a\times\mathbf r)\cdot2\mathbf r=0$ ($\mathbf a\times\mathbf r$은 $\mathbf r$에 수직). 답은 $0$입니다.
(라) $\nabla\big(r^2\,(\mathbf a\cdot\mathbf r)\big)=(\mathbf a\cdot\mathbf r)\nabla r^2+r^2\nabla(\mathbf a\cdot\mathbf r)=2(\mathbf a\cdot\mathbf r)\,\mathbf r+r^2\,\mathbf a$.
그림 표기로 보기: G2 4절 — ∇(A·B)는 선 교환 한 번, ∇×(A×B)는 H 한 번 + 풍선 나누기로 외우지 않고 얻기
7절의 축약 공식으로 $\mathbf A\times(\nabla\times\mathbf B)$ 를 풀면($\nabla$는 $\mathbf B$에만 걸림)
$$\begin{aligned}\big[\mathbf A\times(\nabla\times\mathbf B)\big]_i&=\varepsilon_{kij}\varepsilon_{kmn}A_j\partial_mB_n\\&=A_j\partial_iB_j-A_j\partial_jB_i.\end{aligned}$$즉 $A_j\partial_iB_j=\big[\mathbf A\times(\nabla\times\mathbf B)\big]_i+\big[(\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B\big]_i$. $\mathbf A$와 $\mathbf B$를 바꾼 식도 똑같이 성립합니다. 한편 곱 미분으로 $\partial_i(A_jB_j)=A_j\partial_iB_j+B_j\partial_iA_j$ 이므로, 두 식을 더하면 $\nabla(\mathbf A\cdot\mathbf B)$ 의 항등식이 됩니다.
$\nabla\times(\mathbf A\times\mathbf B)$ 도 같은 방식입니다: $\varepsilon_{kij}\varepsilon_{kmn}\partial_j(A_mB_n)=\partial_j(A_iB_j)-\partial_j(A_jB_i)$ 를 곱 미분으로 네 항으로 나누면 끝입니다.
연산자는 $(\mathbf v\cdot\nabla)=-y\,\partial_x+x\,\partial_y$ 입니다. 성분마다 겁니다.
$$\begin{aligned}(\mathbf v\cdot\nabla)v_x&=-y\,\partial_x(-y)+x\,\partial_y(-y)=-x,\\(\mathbf v\cdot\nabla)v_y&=-y\,\partial_x(x)+x\,\partial_y(x)=-y,\\(\mathbf v\cdot\nabla)v_z&=0.\end{aligned}$$그래서 $(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v=(-x,-y,0)$. 원의 중심을 향하는 구심 가속도입니다.
오른쪽: $v^2=x^2+y^2$ 이므로 $\nabla\big(\tfrac12v^2\big)=(x,\ y,\ 0)$. $\nabla\times\mathbf v=(0,0,2)$ (연습문제 C2) 이고
$$\begin{aligned}\mathbf v\times(\nabla\times\mathbf v)&=(-y,x,0)\times(0,0,2)\\&=(x\cdot2-0,\ 0-(-y)\cdot2,\ 0)=(2x,\ 2y,\ 0).\end{aligned}$$$(x,y,0)-(2x,2y,0)=(-x,-y,0)$. 왼쪽과 같습니다.
축약 공식 = 경우 나누기. 왼쪽 $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}$ 은 $i$로 더한 것입니다. 어떤 항이 0이 아니려면 $j\ne k$ 이고 $i$는 $j,k$ 둘 다와 달라야 합니다. 그러면 $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$ 이라 $i$가 하나로 정해지고, 같은 $i$에 대해 $\{m,n\}=\{j,k\}$ 여야 합니다. 남는 경우는 셋뿐입니다.
오른쪽 $\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}$ 도 정확히 이 세 경우에 $+1,\ -1,\ 0$ 입니다($j=k$ 이면 두 항이 같아서 0). 81가지를 하나씩 맞춰 볼 필요 없이 이 경우 나누기로 끝납니다.
대칭×반대칭=0. $X=\varepsilon_{ijk}S_{jk}$ ($S_{jk}=S_{kj}$)에서 더하는 글자 $j,k$의 이름을 맞바꾸면 $X=\varepsilon_{ikj}S_{kj}=-\varepsilon_{ijk}S_{jk}=-X$, 그래서 $X=0$ 입니다.
그림 표기로 보기: G1 6절 — 예제 7-1, 연습 F1·F2·F4를 그림으로 다시 풀기(순환·δ 단계 없이, 평면 부호 −2·−6 주의)
축약 공식에서 $m=j$로 놓습니다($\delta_{jj}=3$):
$$\begin{aligned}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn}&=\delta_{jj}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{kj}=3\delta_{kn}-\delta_{kn}=2\delta_{kn},\\\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}&=2\delta_{kk}=6.\end{aligned}$$(확인: $\varepsilon_{ijk}$ 중 0이 아닌 것이 6개이고 각각의 제곱이 1입니다.)
BAC−CAB: 절차대로 씁니다.
$$\begin{aligned}\big[\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)\big]_i&=\varepsilon_{ijk}A_j(\mathbf B\times\mathbf C)_k\\&=\varepsilon_{ijk}A_j\,\varepsilon_{kmn}B_mC_n\\&=\varepsilon_{kij}\varepsilon_{kmn}\,A_jB_mC_n\qquad(\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{kij})\\&=(\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm})\,A_jB_mC_n\\&=B_i\,A_jC_j-C_i\,A_jB_j\\&=B_i(\mathbf A\cdot\mathbf C)-C_i(\mathbf A\cdot\mathbf B).\end{aligned}$$넷째 줄: 첫 항은 $\delta_{im}B_m=B_i$, $\delta_{jn}C_n=C_j$. 둘째 항은 $\delta_{in}C_n=C_i$, $\delta_{jm}B_m=B_j$.
$\varepsilon$는 상수라서 $\partial$ 밖으로 나옵니다. 편미분의 순서는 바꿔도 됩니다.
$$\begin{aligned}\big[\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)\big]_i&=\varepsilon_{ijk}\partial_j\big(\varepsilon_{kmn}\partial_mA_n\big)\\&=\varepsilon_{kij}\varepsilon_{kmn}\,\partial_j\partial_mA_n\\&=(\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm})\,\partial_j\partial_mA_n\\&=\partial_j\partial_iA_j-\partial_j\partial_jA_i\\&=\partial_i(\partial_jA_j)-\nabla^2A_i\\&=\big[\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A\big]_i.\end{aligned}$$BAC−CAB와 모양이 같습니다. 다만 $\nabla$는 미분이라 순서를 함부로 바꿀 수 없어서, $\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)$ 항에서 $\nabla$가 $\mathbf A$ 앞에 남습니다.
그림 표기로 보기: G2 예제 3-1 — ∇×∇×A = ∇(∇·A) − ∇²A를 두 겹 풍선과 H 규칙 한 번으로
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다.
A1. $\mathbf A=(1,2,2)$, $\mathbf B=(3,0,4)$ 의 내적, 사잇각, 외적
A2. 꼭짓점이 $P(1,0,0)$, $Q(0,2,0)$, $R(0,0,3)$인 삼각형의 넓이
A3. $\mathbf A=(1,1,0)$, $\mathbf B=(0,1,1)$, $\mathbf C=(1,0,1)$ 이 만드는 평행육면체의 부피
A4. $\mathbf A=(1,2,3)$, $\mathbf B=(2,1,0)$, $\mathbf C=(\lambda,1,1)$ 이 한 평면 위에 있도록 $\lambda$를 정하세요.
A5. $\mathbf A=(1,0,1)$, $\mathbf B=(2,1,0)$, $\mathbf C=(0,1,3)$ 일 때 $\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)$ 를 BAC−CAB로
B1. 2차원에서 축을 $30^\circ$ 돌렸습니다. $\mathbf A=(\sqrt3,1)$ 의 새 성분은?
B2. $S=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ 가 회전 행렬인지 확인하고, 몇 도 회전인지, $\mathbf A=(1,2,3)$의 새 성분을 구하세요.
B3. 예제 2-1의 $S$로 $(\mathbf A\times\mathbf B)'$ 와 $\mathbf A'\times\mathbf B'$ 를 각각 계산해 같은지 확인하세요.
B4. $x$축 둘레로 축을 $90^\circ$ 돌리는 $S_x$ 를 $S_{ij}=\hat{\mathbf e}'_i\cdot\hat{\mathbf e}_j$ 로 만들고, $\mathbf A=(1,2,3)$ 의 새 성분을 구하세요.
B5. 오일러 각 행렬 $S(\alpha,\beta,\gamma)=S_z(\gamma)S_y(\beta)S_z(\alpha)$ 의 셋째 행을 구하고, 최종 $z''$축이 옛 좌표에서 극각 $\beta$, 방위각 $\alpha$ 방향임을 보이세요.
C1. $f=xe^y+yz^2$ 의 $\nabla f$ 와 $\nabla^2 f$
C2. $\mathbf A=(-y,\ x,\ 0)$ 의 발산과 curl
C3. $\mathbf A=(xy^2,\ yz^2,\ zx^2)$ 의 발산과 curl
C4. $f=x^2+y^2-z$ 의 점 $(1,1,2)$에서 $(1,2,2)$ 방향으로의 방향도함수
C5. 곡면 $z=x^2+y^2$ 의 점 $(1,2,5)$에서 단위법선과 접평면
C6. 구면 $x^2+y^2+z^2=9$ 와 곡면 $z=x^2+y^2-3$ 이 점 $(2,-1,2)$에서 만나는 각
D1. $\nabla(r^3)$ 과 $\nabla(e^{-r})$
D2. $\nabla\cdot\hat{\mathbf r}$
D3. $\nabla\cdot(r^n\mathbf r)=0$ ($r\ne0$) 이 되는 $n$
D4. $\nabla^2(e^{-r})$
E1. $\nabla\cdot\big((\mathbf a\cdot\mathbf r)\,\mathbf r\big)$
E2. $\nabla\times\big((\mathbf a\cdot\mathbf r)\,\mathbf r\big)$
E3. 예제 3-2의 $\mathbf A=(x^2y,-2yz,xz^2)$ 에 대해 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)$ 를 (가) 직접, (나) $\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A$ 로 계산하세요.
E4. (가) $(\mathbf a\cdot\nabla)\mathbf r$ (나) $f=x^2y+z^3$ 에 대해 $(\mathbf r\cdot\nabla)f$
E5. 항등식 $\nabla\times(\mathbf A\times\mathbf B)=(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A-(\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B+\mathbf A(\nabla\cdot\mathbf B)-\mathbf B(\nabla\cdot\mathbf A)$ 로 $\nabla\times(\mathbf a\times\mathbf r)=2\mathbf a$ 를 다시 얻으세요.
E6. 전단 흐름 $\mathbf v=(y,\ 0,\ 0)$ 에서 $(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v$, $\nabla(\frac12v^2)$, $\mathbf v\times(\nabla\times\mathbf v)$ 를 구해 예제 6-2의 식을 확인하세요.
F1. (가) $\delta_{ij}\delta_{jk}\delta_{ki}$ (나) $\varepsilon_{ijk}\delta_{jk}$
F2. $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mjk}$
F3. 지표로 $\nabla\times(\mathbf a\times\mathbf r)=2\mathbf a$ 를 보이세요.
F4. 지표로 $(\mathbf A\times\mathbf B)\cdot(\mathbf C\times\mathbf D)=(\mathbf A\cdot\mathbf C)(\mathbf B\cdot\mathbf D)-(\mathbf A\cdot\mathbf D)(\mathbf B\cdot\mathbf C)$ 를 보이세요.