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L21 · 르장드르 다항식

Arfken 7판 15.1–15.3절 (르장드르 다항식, 생성함수, 점화식, 직교성, 르장드르 급수, 다중극 전개)과 15.6절 일부 (제2종 르장드르 함수; 절 번호는 기억 기반, 미검증)

이 레슨이 끝나면 할 수 있는 계산
  1. 로드리게스 공식과 점화식으로 $P_0$–$P_6$ 만들기
  2. 생성함수에서 $P_l(1)$, $P_l(-1)$, $P_l(0)$ 같은 특수값 꺼내기
  3. 미분 점화식과 직교성으로 $\int P_l P_m$, $\int xP_lP_{l+1}$ 같은 적분 계산하기
  4. 다항식과 함수를 르장드르 급수로 전개하기
  5. 다중극 전개로 전하 분포의 원거리 퍼텐셜 구하기
  6. 차수 내림법과 점화식으로 제2종 함수 $Q_0$–$Q_3$을 만들고, 언제 버리는지 판단하기

0. 외워 둘 공식

르장드르 다항식(Legendre polynomial) $P_l(x)$는 구간 $-1\le x\le1$에서 쓰는 다항식입니다. 물리에서는 거의 항상 $x=\cos\theta$입니다.

$l$$P_l(x)$$P_l(\cos\theta)$로 쓰면
0$1$$1$
1$x$$\cos\theta$
2$\dfrac12(3x^2-1)$$\dfrac12(3\cos^2\theta-1)$
3$\dfrac12(5x^3-3x)$$\dfrac12(5\cos^3\theta-3\cos\theta)$
4$\dfrac18(35x^4-30x^2+3)$
5$\dfrac18(63x^5-70x^3+15x)$
이름식
로드리게스 공식(Rodrigues' formula)$P_l(x)=\dfrac{1}{2^l\,l!}\dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$
생성함수(generating function)$\dfrac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{l=0}^\infty P_l(x)\,t^l\quad(|t|<1)$
점화식(recurrence relation)$(l+1)P_{l+1}=(2l+1)xP_l-lP_{l-1}$
미분 점화식$P'_{l+1}-P'_{l-1}=(2l+1)P_l$
직교성(orthogonality)$\int_{-1}^1P_lP_m\,dx=\dfrac{2}{2l+1}\delta_{lm}$
특수값$P_l(1)=1,\quad P_l(-1)=(-1)^l,\quad P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)$
르장드르 방정식$(1-x^2)y''-2xy'+l(l+1)y=0$

짝수 $l$이면 짝수 차수만, 홀수 $l$이면 홀수 차수만 들어 있습니다. 계산이 끝나면 $x=1$을 넣어 1이 나오는지 확인하는 습관을 들이세요.

1. 로드리게스 공식으로 직접 만들기

레시피
  1. $(x^2-1)^l$을 이항정리로 전개합니다.
  2. $l$번 미분합니다. 차수가 $l$보다 낮은 항은 미분하다가 사라지므로 처음부터 버립니다.
  3. $2^l\,l!$로 나눕니다. ($l=2$: 8, $l=3$: 48, $l=4$: 384)
  4. $x=1$을 넣어 1이 나오는지 확인합니다.
예제 1-1 로드리게스 공식으로 $P_2$, $P_3$

$P_2$. $(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1$ 입니다. 두 번 미분하면 상수 1은 사라지고

$$\frac{d^2}{dx^2}(x^4-2x^2+1)=12x^2-4.$$

$2^2\cdot2!=8$로 나눕니다: $P_2=\dfrac{12x^2-4}{8}=\dfrac{3x^2-1}{2}$. 확인: $P_2(1)=\frac{3-1}{2}=1$.

$P_3$. $(x^2-1)^3=x^6-3x^4+3x^2-1$ 입니다. 세 번 미분할 때 $3x^2$와 $-1$은 사라집니다.

$$\begin{aligned}\frac{d^3}{dx^3}x^6&=6\cdot5\cdot4\,x^3=120x^3,\\ \frac{d^3}{dx^3}(-3x^4)&=-3\cdot4\cdot3\cdot2\,x=-72x.\end{aligned}$$

$2^3\cdot3!=48$로 나눕니다: $P_3=\dfrac{120x^3-72x}{48}=\dfrac{5x^3-3x}{2}$. 확인: $P_3(1)=\frac{5-3}{2}=1$.

2. 생성함수에서 값 꺼내기

레시피 $g(x,t)=(1-2xt+t^2)^{-1/2}=\sum P_l(x)t^l$
  1. 특수값: $x$에 숫자를 먼저 넣고, 남은 $t$의 함수를 L01의 급수표로 전개합니다. $t^l$의 계수가 $P_l(\text{그 값})$입니다.
  2. $P_l$ 자체: $u=2xt-t^2$로 놓고 $(1-u)^{-1/2}=1+\frac12u+\frac38u^2+\frac5{16}u^3+\cdots$에 넣은 다음 $t$의 차수별로 모읍니다.
왜 되나? (증명 스케치)

패리티 $P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)$. $x\to-x$와 $t\to-t$를 동시에 하면 $-2xt$와 $t^2$이 그대로이므로 $g(-x,-t)=g(x,t)$입니다.

$$\sum_lP_l(-x)(-t)^l=\sum_lP_l(x)\,t^l.$$

$t^l$의 계수를 비교하면 $(-1)^lP_l(-x)=P_l(x)$입니다. 그래서 짝수 $l$은 짝함수, 홀수 $l$은 홀함수입니다. $P_l(1)=1$은 아래 예제 (a)처럼 $g(1,t)=\frac1{1-t}$에서 바로 나옵니다.

예제 2-1 생성함수로 $P_l(1)$, $P_l(-1)$, $P_{2n}(0)$, 그리고 $P_2$, $P_3$

(a) $x=1$. $1-2t+t^2=(1-t)^2$ 이므로 $g=\dfrac1{1-t}=1+t+t^2+\cdots$. 모든 계수가 1이므로 $P_l(1)=1$.

(b) $x=-1$. $g=\dfrac{1}{1+t}=1-t+t^2-\cdots$ 이므로 $P_l(-1)=(-1)^l$.

(c) $x=0$. $g=(1+t^2)^{-1/2}$. 이항 전개($p=-\tfrac12$, $\epsilon=t^2$)를 하면

$$\begin{aligned}(1+t^2)^{-1/2}=1&-\frac12t^2+\frac38t^4\\&-\frac5{16}t^6+\frac{35}{128}t^8-\cdots\end{aligned}$$

홀수 차수가 없으므로 $P_{2n+1}(0)=0$입니다. 짝수는 $P_0(0)=1$, $P_2(0)=-\frac12$, $P_4(0)=\frac38$, $P_6(0)=-\frac5{16}$. 일반식은

$$\begin{aligned}P_{2n}(0)&=(-1)^n\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\\&=(-1)^n\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}.\end{aligned}$$

(d) $P_l$ 확인. $u=2xt-t^2$ 에서 $u^2=4x^2t^2-4xt^3+t^4$, $u^3=8x^3t^3+(t^4\text{ 이상})$.

3. 점화식으로 위로 쌓기

레시피 $l\ge2$부터는 로드리게스보다 점화식이 빠릅니다.
  1. 원하는 것이 $P_{l+1}$이면 점화식에 그 $l$을 넣습니다. 예: $P_4$를 원하면 $l=3$을 넣어 $4P_4=7xP_3-3P_2$.
  2. 분모를 통일해서 같은 차수끼리 모읍니다.
  3. $(l+1)$로 나눈 뒤 $x=1$에서 1이 되는지 확인합니다.
왜 되나? (증명 스케치)

점화식은 생성함수를 $t$로 미분해서 나옵니다. $\partial_tg=(x-t)(1-2xt+t^2)^{-3/2}$ 이므로

$$(1-2xt+t^2)\,\partial_tg=(x-t)\,g.$$

양변에 $g=\sum P_lt^l$, $\partial_tg=\sum lP_lt^{l-1}$을 넣고 $t^l$의 계수만 모읍니다.

$$\begin{aligned}&(l+1)P_{l+1}-2x\,lP_l+(l-1)P_{l-1}\\&=xP_l-P_{l-1}.\end{aligned}$$

정리하면 $(l+1)P_{l+1}=(2l+1)xP_l-lP_{l-1}$입니다. $2l+1$은 왼쪽의 $2l$과 오른쪽의 $1$이 합쳐진 것입니다.

예제 3-1 점화식으로 $P_4$, $P_5$

$P_4$ ($l=3$):

$$\begin{aligned}4P_4&=7x\cdot\frac{5x^3-3x}{2}\\&\quad-3\cdot\frac{3x^2-1}{2}\\&=\frac{35x^4-21x^2-9x^2+3}{2}=\frac{35x^4-30x^2+3}{2},\\ P_4&=\frac{35x^4-30x^2+3}{8}.\end{aligned}$$

확인: $\frac{35-30+3}{8}=1$.

$P_5$ ($l=4$): 분모를 8로 맞춥니다.

$$\begin{aligned}9xP_4&=\frac{315x^5-270x^3+27x}{8},\\ 4P_3&=\frac{80x^3-48x}{8},\\ 5P_5&=9xP_4-4P_3=\frac{315x^5-350x^3+75x}{8},\\ P_5&=\frac{63x^5-70x^3+15x}{8}.\end{aligned}$$

확인: $\frac{63-70+15}{8}=1$.

4. 미분 점화식과 그 적분형

레시피
  1. 미분 점화식: $P'_{l+1}-P'_{l-1}=(2l+1)P_l$.
  2. 양변을 적분하면 $P_l$의 부정적분이 나옵니다: $\displaystyle\int P_l\,dx=\frac{P_{l+1}-P_{l-1}}{2l+1}+C$ ($l\ge1$).
  3. 그래서 반구간 적분은 $P(1)=1$이 지워지고 $P(0)$ 값만 남습니다: $$\int_0^1P_l\,dx=\frac{P_{l-1}(0)-P_{l+1}(0)}{2l+1}\qquad(l\ge1).$$
  4. $x=1$에서의 기울기는 르장드르 방정식에 $x=1$을 넣으면 바로 나옵니다: $P'_l(1)=\frac{l(l+1)}{2}$.
왜 되나? (증명 스케치)

미분 점화식은 $\partial_x$와 $\partial_t$를 섞어서 나옵니다. $x$로 미분하면 $(1-2xt+t^2)\,\partial_xg=t\,g$ 입니다. 3절 상자의 식과 비교하면

$$t\,\partial_tg=(x-t)\,\partial_xg.$$

$t^l$의 계수: $lP_l=xP_l'-P_{l-1}'$. 한편 점화식을 $x$로 미분하면

$$(l+1)P_{l+1}'=(2l+1)\big(P_l+xP_l'\big)-lP_{l-1}'.$$

여기에 $xP_l'=lP_l+P_{l-1}'$을 넣으면 $(l+1)P'_{l+1}=(2l+1)(l+1)P_l+(l+1)P'_{l-1}$. 양변을 $l+1$로 나누면 끝입니다.

예제 4-1 $l=2$로 미분 점화식 확인, 그리고 $\int_0^1P_3\,dx$

확인. $P_3'=\frac{15x^2-3}{2}$, $P_1'=1$ 이므로

$$\begin{aligned}P_3'-P_1'&=\frac{15x^2-3-2}{2}=\frac{15x^2-5}{2}\\&=5\cdot\frac{3x^2-1}{2}=5P_2.\ \checkmark\end{aligned}$$

적분. 레시피 3에 $l=3$을 넣고 예제 2-1의 $P_2(0)=-\frac12$, $P_4(0)=\frac38$을 씁니다.

$$\begin{aligned}\int_0^1P_3\,dx&=\frac{P_2(0)-P_4(0)}{7}=\frac{-\frac12-\frac38}{7}\\&=\frac{-\frac78}{7}=-\frac18.\end{aligned}$$

직접 계산과 비교: $\int_0^1\frac{5x^3-3x}{2}dx=\frac12\big(\frac54-\frac32\big)=-\frac18$. 같습니다.

5. 직교성으로 적분하기

레시피
  1. $\int_{-1}^1P_lP_m\,dx$는 $l\ne m$이면 0, $l=m$이면 $\dfrac{2}{2l+1}$입니다. 직접 적분하지 않습니다.
  2. 피적분함수에 $x$가 더 붙어 있으면 점화식을 거꾸로 써서 $xP_l$을 $P$들의 합으로 바꿉니다: $$xP_l=\frac{(l+1)P_{l+1}+lP_{l-1}}{2l+1}.$$
  3. 바꾼 뒤 직교성을 적용하면 살아남는 항만 남습니다. 그래서 $\int xP_lP_m$은 $m=l\pm1$일 때만 0이 아닙니다.
왜 되나? (증명 스케치)

(a) 직교: 로드리게스 공식과 부분적분 $l$번. $m<l$이라 하고 $\int_{-1}^1P_m\,\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\,dx$를 봅니다. $(x^2-1)^l=(x-1)^l(x+1)^l$은 $x=\pm1$에서 $l$중 영점이라, $l-1$번까지 미분한 것은 끝점에서 0입니다. 그래서 부분적분할 때마다 경계항이 사라지고 미분이 $P_m$으로 넘어갑니다.

$$\begin{aligned}&\int_{-1}^1P_m\,\frac{d^l(x^2-1)^l}{dx^l}dx\\&=(-1)^l\int_{-1}^1\frac{d^lP_m}{dx^l}\,(x^2-1)^l\,dx=0.\end{aligned}$$

$P_m$은 $m$차라서 $l>m$번 미분하면 0이기 때문입니다.

(b) 정규화 $\frac{2}{2l+1}$: 생성함수를 제곱해 적분.

$$\begin{aligned}\int_{-1}^1g^2\,dx&=\int_{-1}^1\frac{dx}{1-2xt+t^2}=\frac1t\ln\frac{1+t}{1-t}\\&=\sum_{l=0}^\infty\frac{2}{2l+1}t^{2l}.\end{aligned}$$

(마지막은 L01의 $\ln\frac{1+u}{1-u}$ 급수입니다.) 왼쪽에 $g^2=\sum_{l,m}P_lP_mt^{l+m}$을 넣으면 (a) 때문에 $l=m$ 항만 남아 $\sum_lt^{2l}\int P_l^2\,dx$가 됩니다. $t^{2l}$의 계수를 비교하면 $\int_{-1}^1P_l^2\,dx=\frac{2}{2l+1}$.

예제 5-1 (a) 직교성 직접 확인 (b) $\displaystyle\int_{-1}^1xP_lP_{l+1}\,dx$

(a) $P_2^2=\frac14(9x^4-6x^2+1)$ 이고 $\int_{-1}^1x^4=\frac25$, $\int_{-1}^1x^2=\frac23$, $\int_{-1}^11=2$ 이므로

$$\begin{aligned}\int_{-1}^1P_2^2\,dx&=\frac14\Big(\frac{18}{5}-4+2\Big)=\frac14\cdot\frac85\\&=\frac25=\frac{2}{2\cdot2+1}.\ \checkmark\end{aligned}$$

또 $\int_{-1}^1P_1P_3\,dx=\frac12\int_{-1}^1(5x^4-3x^2)dx=\frac12(2-2)=0$.

(b) 레시피 2로 $xP_l$을 바꾸고 $P_{l+1}$을 곱해 적분합니다. $P_{l-1}P_{l+1}$ 항은 0입니다.

$$\begin{aligned}\int_{-1}^1xP_lP_{l+1}\,dx&=\frac{l+1}{2l+1}\int_{-1}^1P_{l+1}^2\,dx\\&=\frac{l+1}{2l+1}\cdot\frac{2}{2l+3}\\&=\frac{2(l+1)}{(2l+1)(2l+3)}.\end{aligned}$$

$l=1$로 확인: 공식은 $\frac{4}{15}$. 직접 하면 $\int_{-1}^1x\cdot x\cdot\frac{3x^2-1}{2}dx=\frac12\big(\frac65-\frac23\big)=\frac4{15}$.

6. 다항식을 $P_l$로 전개

레시피 (위에서부터 깎기)
  1. 최고차 $x^n$을 $P_n$에서 풀어냅니다. 예: $P_2=\frac{3x^2-1}{2}$ → $x^2=\frac{2P_2+1}{3}$.
  2. 남은 낮은 차수 항을 이미 아는 전개로 바꿉니다.
  3. 짝·홀이 섞이지 않습니다: $x^n$에는 $P_n,P_{n-2},P_{n-4},\dots$만 나옵니다.
  4. 확인: $x=1$을 넣으면 계수의 합이 원래 함수의 $f(1)$과 같아야 합니다.
예제 6-1 $x^2$, $x^3$, $x^4$를 $P_l$로

$x^2$: $x^2=\frac13P_0+\frac23P_2$. (계수 합 $\frac13+\frac23=1$)

$x^3$: $P_3=\frac{5x^3-3x}{2}$ 에서 $x^3=\frac{2P_3+3x}{5}$ 이므로 $x^3=\frac25P_3+\frac35P_1$.

$x^4$: $P_4=\frac{35x^4-30x^2+3}{8}$ 에서 $x^4=\frac{8P_4+30x^2-3}{35}$. 여기에 $30x^2=10P_0+20P_2$를 넣습니다.

$$\begin{aligned}x^4&=\frac{8P_4+20P_2+10P_0-3P_0}{35}\\&=\frac{8}{35}P_4+\frac47P_2+\frac15P_0.\end{aligned}$$

확인: $\frac{8}{35}+\frac{20}{35}+\frac{7}{35}=1$.

7. 함수의 르장드르 급수

레시피 $f(x)=\sum_l a_lP_l(x)$, $-1<x<1$
  1. 계수 공식: $\displaystyle a_l=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1f(x)P_l(x)\,dx$. 앞의 $\frac{2l+1}{2}$는 직교성 $\frac2{2l+1}$의 역수입니다.
  2. 대칭부터 봅니다. $f$가 짝함수면 홀수 $l$의 계수가 0이고, 짝수 $l$은 $a_l=(2l+1)\int_0^1fP_l\,dx$ 입니다. 홀함수면 반대입니다.
  3. $f$가 $[0,1]$에서만 상수이면 4절의 $\int_0^1P_l\,dx$ 공식을 씁니다.
예제 7-1 계단함수 $f(x)=\begin{cases}0&-1<x<0\\1&0<x<1\end{cases}$ $$f(x)=\frac12+\frac34P_1(x)-\frac7{16}P_3(x)+\frac{11}{32}P_5(x)-\cdots$$

$x=0$에서는 홀수 $P_l$이 전부 0이라 급수가 $\frac12$, 즉 점프의 중간값을 줍니다.

예제 7-2 $f(x)=|x|$의 처음 세 계수

짝함수이므로 $a_l=(2l+1)\int_0^1xP_l\,dx$ (짝수 $l$만).

$$|x|=\frac12+\frac58P_2(x)-\frac3{16}P_4(x)+\cdots$$

8. 다중극 전개

생성함수에 $t=r_</r_>$, $x=\cos\gamma$를 넣으면 거리의 역수가 전개됩니다($\gamma$는 $\mathbf r$과 $\mathbf r'$ 사이의 각).

$$\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}=\sum_{l=0}^\infty\frac{r_<^l}{r_>^{l+1}}P_l(\cos\gamma)$$

여기서 $r_<=\min(r,r')$, $r_>=\max(r,r')$입니다.

레시피 ($k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$로 씁니다)
  1. 점전하: 전하마다 $r'$(원점에서 전하까지 거리)과 $\gamma$를 정합니다. $z$축 위 $+a$에 있으면 $\gamma=\theta$, $-a$에 있으면 $\gamma=\pi-\theta$이고 $P_l(\cos(\pi-\theta))=(-1)^lP_l(\cos\theta)$.
  2. 바깥($r>r'$)이면 $\dfrac{r'^l}{r^{l+1}}$, 안쪽($r<r'$)이면 $\dfrac{r^l}{r'^{l+1}}$을 씁니다.
  3. 축 대칭 분포의 지름길: $z$축 위($\theta=0$)에서 퍼텐셜을 정확히 구하고 $\frac1r$의 거듭제곱으로 전개합니다. 그 다음 $\dfrac{1}{r^{l+1}}$ 항마다 $P_l(\cos\theta)$를 붙이면 축 밖 퍼텐셜이 됩니다. ($P_l(1)=1$이라 축 위에서는 $P_l$이 안 보였을 뿐입니다.)
왜 되나? (증명 스케치)

다중극 전개는 생성함수 그 자체입니다. 코사인 법칙으로

$$\begin{aligned}|\mathbf r-\mathbf r'|^2&=r^2+r'^2-2rr'\cos\gamma\\&=r_>^2\big(1-2xt+t^2\big),\end{aligned}$$

여기서 $t=r_</r_>$, $x=\cos\gamma$입니다. 따라서 $\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}=\frac{1}{r_>}\,g(x,t)$이고, 생성함수 전개를 그대로 쓰면 위 식이 됩니다. $t<1$이 되도록 작은 쪽을 분자에 둔 것이 $r_<$, $r_>$입니다.

지름길이 맞는 이유: 축 대칭 퍼텐셜은 바깥에서 $\sum_l\frac{B_l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta)$ 꼴입니다. $\theta=0$에서는 $P_l(1)=1$이라 $\sum_l\frac{B_l}{r^{l+1}}$이 되므로, 축 위 전개의 계수가 바로 $B_l$입니다.

예제 8-1 쌍극자: $+q$가 $z=a$, $-q$가 $z=-a$. $r>a$에서 퍼텐셜

$+q$는 $\gamma=\theta$, $-q$는 $\gamma=\pi-\theta$입니다.

$$\begin{aligned}\Phi&=kq\sum_l\frac{a^l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta)\\&\quad-kq\sum_l\frac{a^l}{r^{l+1}}(-1)^lP_l(\cos\theta)\\&=kq\sum_l\big[1-(-1)^l\big]\frac{a^l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta).\end{aligned}$$

$1-(-1)^l$은 짝수 $l$에서 0, 홀수 $l$에서 2입니다.

$$\begin{aligned}\Phi&=2kq\Big[\frac{a}{r^2}P_1(\cos\theta)+\frac{a^3}{r^4}P_3(\cos\theta)+\cdots\Big]\\&\approx\frac{k\,p\cos\theta}{r^2},\qquad p=2qa.\end{aligned}$$

첫 항이 익숙한 쌍극자 퍼텐셜이고, 다음 보정은 $(a/r)^2$만큼 작습니다.

그림 표기로 보기: G3 3절 예제 3-2 — ℓ=2 항을 변환기 하나로: Φ₂ = (k/r³)[(3/2)n·Mn − ½ tr M], M = Σq r r. 연습 D1과 축 대칭이 아닌 사중극자.

예제 8-2 $z$축 위 $-L\le z\le L$에 고르게 퍼진 선전하(선밀도 $\lambda$, 총전하 $Q=2\lambda L$). $r>L$에서 퍼텐셜

축 위에서 정확히 ($z=r>L$):

$$\Phi(r,0)=k\lambda\int_{-L}^{L}\frac{ds}{r-s}=k\lambda\ln\frac{r+L}{r-L}.$$

L01의 $\ln\frac{1+u}{1-u}=2u+\frac{2u^3}{3}+\frac{2u^5}{5}+\cdots$에 $u=L/r$을 넣습니다.

$$\Phi(r,0)=k\lambda\Big[\frac{2L}{r}+\frac{2L^3}{3r^3}+\frac{2L^5}{5r^5}+\cdots\Big].$$

$P_l$ 붙이기: $\frac1r$ 항은 $l=0$, $\frac1{r^3}$ 항은 $l=2$, $\frac1{r^5}$ 항은 $l=4$입니다.

$$\begin{aligned}\Phi(r,\theta)=\frac{kQ}{r}\Big[1&+\frac{L^2}{3r^2}P_2(\cos\theta)\\&+\frac{L^4}{5r^4}P_4(\cos\theta)+\cdots\Big].\end{aligned}$$

다중극 전개로 직접 해도 같습니다. $s<0$ 쪽은 $|s|^l(-1)^l=s^l$이 되어 계수가 $\lambda\int_{-L}^Ls^l\,ds$이고, 홀수 $l$은 0입니다.

9. 제2종 르장드르 함수 $Q_l$

레시피 (Arfken 15.6절, 절 번호는 기억 기반, 미검증)
  1. 르장드르 방정식은 2계라서 해가 두 개입니다. $P_l$ 말고 두 번째 해가 제2종 르장드르 함수(Legendre function of the second kind) $Q_l$입니다. $-1<x<1$에서 $$\begin{aligned}Q_0&=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x},\\ Q_1&=xQ_0-1.\end{aligned}$$ $|x|>1$에서 쓸 때는 $Q_0=\frac12\ln\frac{x+1}{x-1}$로 바꿉니다.
  2. 그 위는 $P_l$과 같은 점화식으로 쌓습니다: $(l+1)Q_{l+1}=(2l+1)xQ_l-lQ_{l-1}$. 결과는 언제나 $Q_l=P_lQ_0-(l-1\text{차 다항식})$ 꼴입니다.
  3. 패리티는 $P_l$과 반대입니다: $Q_l(-x)=(-1)^{l+1}Q_l(x)$.
  4. $x\to\pm1$에서 $Q_0$의 로그 때문에 발산합니다. 그래서 일반해 $y=AP_l+BQ_l$에서, 영역에 $\theta=0$이나 $\theta=\pi$(즉 $z$축)가 들어 있으면 $B=0$입니다. $z$축을 뺀 영역(예: 두 원뿔면 사이)에서는 $Q_l$도 남습니다.
  5. 확인: 론스키안 $P_lQ_l'-P_l'Q_l=\dfrac{1}{1-x^2}$ (모든 $l$).
왜 되나? (증명 스케치)

두 번째 해는 차수 내림법(L16)으로 나옵니다. $y''+p\,y'+q\,y=0$의 한 해가 $y_1$이면 $y_2=y_1\int\frac{e^{-\int p\,dx}}{y_1^2}dx$입니다. 르장드르 방정식을 $1-x^2$으로 나누면 $p=-\frac{2x}{1-x^2}$, 그래서 $e^{-\int p\,dx}=\frac{1}{1-x^2}$입니다.

$$Q_l=P_l\int\frac{dx}{(1-x^2)P_l^2}.$$

$l=0$이면 $\int\frac{dx}{1-x^2}$가 바로 $Q_0$입니다. 적분상수는 $P_l$의 배수를 더할 뿐이므로, 표준 $Q_l$은 $P_l$ 성분이 섞이지 않게(패리티가 $(-1)^{l+1}$이 되게) 고른 것입니다. 피적분함수가 $x=\pm1$에서 $\frac{1}{1-x^2}$처럼 커지니 $Q_l$이 로그로 발산하는 것도 여기서 보입니다.

론스키안: $Q_l=P_lF$, $F'=\frac{1}{(1-x^2)P_l^2}$로 두면 $P_lQ_l'-P_l'Q_l=P_l^2F'=\frac{1}{1-x^2}$입니다. (아벨 공식 $W=Ce^{-\int p\,dx}$에서 $C=1$인 경우)

예제 9-1 $Q_0$, $Q_1$을 차수 내림법으로, 그리고 $Q_1$이 방정식을 푸는지 확인

$Q_0$ ($P_0=1$): $Q_0=\int\frac{dx}{1-x^2}$. 부분분수 $\frac{1}{1-x^2}=\frac12\big(\frac1{1-x}+\frac1{1+x}\big)$로 적분하면 $\frac12\big[-\ln(1-x)+\ln(1+x)\big]=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}$.

$Q_1$ ($P_1=x$): 부분분수 $\frac{1}{x^2(1-x^2)}=\frac1{x^2}+\frac{1}{1-x^2}$ 이므로

$$\begin{aligned}Q_1&=x\int\Big(\frac1{x^2}+\frac1{1-x^2}\Big)dx\\&=x\Big(-\frac1x+Q_0\Big)=xQ_0-1.\end{aligned}$$

확인 ($l=1$이면 $l(l+1)=2$). $Q_0'=\frac1{1-x^2}$을 쓰면

$$\begin{aligned}Q_1'&=Q_0+\frac{x}{1-x^2},\\ Q_1''&=\frac{1}{1-x^2}+\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}=\frac{2}{(1-x^2)^2}.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&(1-x^2)Q_1''-2xQ_1'+2Q_1\\&=\frac{2}{1-x^2}-2xQ_0-\frac{2x^2}{1-x^2}+2xQ_0-2\\&=\frac{2-2x^2}{1-x^2}-2=0.\ \checkmark\end{aligned}$$
예제 9-2 점화식으로 $Q_2$, 그리고 $l=1$ 론스키안

$Q_2$: 점화식에 $l=1$을 넣습니다.

$$\begin{aligned}2Q_2&=3xQ_1-Q_0=3x(xQ_0-1)-Q_0\\&=(3x^2-1)Q_0-3x,\\ Q_2&=P_2Q_0-\frac32x.\end{aligned}$$

패리티 확인: $Q_0$이 홀함수, $P_2$가 짝함수라 $Q_2$는 홀함수입니다. $(-1)^{2+1}=-1$과 맞습니다.

론스키안 ($l=1$):

$$\begin{aligned}P_1Q_1'-P_1'Q_1&=x\Big(Q_0+\frac{x}{1-x^2}\Big)-(xQ_0-1)\\&=\frac{x^2}{1-x^2}+1=\frac{1}{1-x^2}.\ \checkmark\end{aligned}$$

$x\to1$ 근처에서 $Q_2\approx\frac12\ln\frac{2}{1-x}-\frac32$로 발산합니다. $z$축을 포함하는 문제에서 $Q_l$을 버리는 이유입니다.

10. 자주 하는 실수

11. 연습문제

종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다.

A. 다항식 만들기와 특수값

A1. 로드리게스 공식으로 $P_4$를 구하세요.

답$\dfrac{35x^4-30x^2+3}{8}$ — $(x^2-1)^4=x^8-4x^6+6x^4-4x^2+1$을 네 번 미분하면 $1680x^4-1440x^2+144$. $2^4\cdot4!=384$로 나눕니다.

A2. 점화식으로 $P_6$을 구하세요.

답$P_6=\dfrac{231x^6-315x^4+105x^2-5}{16}$ — $l=5$: $6P_6=11xP_5-5P_4$. 분모 8로 맞춰 계산하고 $x=1$에서 $\frac{231-315+105-5}{16}=1$ 확인.

A3. $P_5(1)$, $P_5(-1)$, $P_6(0)$, $P_8(0)$

답$1,\ -1,\ -\dfrac5{16},\ \dfrac{35}{128}$ — $P_{2n}(0)$ 공식에 $n=3$, $n=4$: $-\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}$, $+\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{2\cdot4\cdot6\cdot8}$.

A4. 르장드르 방정식에 $x=1$을 넣어 $P'_l(1)=\frac{l(l+1)}{2}$를 보이고, $P'_4(1)$을 구하세요.

답$P'_4(1)=10$ — $x=1$에서 $(1-x^2)y''$ 항이 사라져 $-2P'_l(1)+l(l+1)P_l(1)=0$. 직접 미분: $P_4'=\frac{140x^3-60x}{8}$에 $x=1$이면 $\frac{80}{8}=10$.

A5. $P_3(\cos\theta)$를 $\cos3\theta$와 $\cos\theta$로 쓰세요.

답$\dfrac{5\cos3\theta+3\cos\theta}{8}$ — $\cos^3\theta=\frac{\cos3\theta+3\cos\theta}{4}$를 $\frac{5\cos^3\theta-3\cos\theta}{2}$에 넣습니다.

B. 점화식과 적분

B1. $l=3$에서 미분 점화식 $P_4'-P_2'=7P_3$을 확인하세요.

답$P_4'=\frac{35x^3-15x}{2}$, $P_2'=3x$. 차이는 $\frac{35x^3-21x}{2}=7\cdot\frac{5x^3-3x}{2}$.

B2. $\displaystyle\int_0^1P_5\,dx$

답$\dfrac1{16}$ — $\frac{P_4(0)-P_6(0)}{11}=\frac{\frac38+\frac5{16}}{11}=\frac{11/16}{11}$.

B3. $\displaystyle\int_{-1}^1xP_2P_3\,dx$

답$\dfrac{6}{35}$ — 예제 5-1 공식에 $l=2$: $\frac{2\cdot3}{5\cdot7}$.

B4. $\displaystyle\int_{-1}^1xP_1P_3\,dx$

답$0$ — $xP_3=\frac{4P_4+3P_2}{7}$에는 $P_1$이 없습니다. (차수가 2 차이 나면 0)

B5. $\displaystyle\int_{-1}^1x^2P_2\,dx$

답$\dfrac4{15}$ — $x^2=\frac13P_0+\frac23P_2$ 이므로 $\frac23\cdot\frac25$.

B6. $\displaystyle\int_{-1}^1x^2P_2^2\,dx$

답$\dfrac{22}{105}$ — $xP_2=\frac{3P_3+2P_1}{5}$를 제곱해 적분: $\frac{1}{25}\big(9\cdot\frac27+4\cdot\frac23\big)$.

B7. $\displaystyle\int_{-1}^1P_l\,P'_{l+1}\,dx$ (모든 $l$에 대해)

답$2$ — 미분 점화식을 반복하면 $P'_{l+1}=(2l+1)P_l+(2l-3)P_{l-2}+\cdots$. 예: $P_5'=9P_4+5P_2+P_0$. 직교성으로 첫 항만 남아 $(2l+1)\cdot\frac{2}{2l+1}$.

C. 르장드르 급수 전개

C1. $1+x+x^2$를 $P_l$로 전개하세요.

답$\dfrac43P_0+P_1+\dfrac23P_2$ — 계수 합 $\frac43+1+\frac23=3=f(1)$.

C2. $x^5$를 $P_l$로 전개하세요.

답$\dfrac8{63}P_5+\dfrac49P_3+\dfrac37P_1$ — $x^5=\frac{8P_5+70x^3-15x}{63}$에 $x^3=\frac25P_3+\frac35P_1$을 넣습니다.

C3. $f(x)=0$ ($-1<x<0$), $f(x)=x$ ($0<x<1$)의 $a_0$, $a_1$, $a_2$

답$a_0=\dfrac14,\ a_1=\dfrac12,\ a_2=\dfrac5{16}$ — $a_2=\frac52\int_0^1x\frac{3x^2-1}{2}dx=\frac52\cdot\frac18$.

C4. 부호함수 $\mathrm{sgn}\,x$의 $a_1$, $a_3$, $a_5$

답$\dfrac32,\ -\dfrac78,\ \dfrac{11}{16}$ (짝수 $l$은 0) — $\mathrm{sgn}\,x=2f-1$ ($f$는 예제 7-1의 계단함수)이므로 계수를 2배 합니다.

C5. $e^x$의 $a_0$, $a_1$

답$a_0=\sinh1,\ a_1=\dfrac3e$ — $a_0=\frac12(e-e^{-1})$, $\int_{-1}^1xe^x\,dx=\big[(x-1)e^x\big]_{-1}^1=\frac2e$.

C6. $|x|$의 $a_6$ (예제 7-2에 이어서)

답$\dfrac{13}{128}$ — $a_6=13\int_0^1xP_6\,dx$, A2의 $P_6$을 쓰면 $\int_0^1xP_6\,dx=\frac{1}{16}\big(\frac{231}{8}-\frac{315}{6}+\frac{105}{4}-\frac52\big)=\frac1{128}$.

D. 다중극 전개

D1. 선형 사중극자(quadrupole): $z=\pm a$에 $q$, 원점에 $-2q$. $r>a$에서 퍼텐셜의 첫 항

답$\Phi\approx\dfrac{2kqa^2}{r^3}P_2(\cos\theta)=\dfrac{kqa^2(3\cos^2\theta-1)}{r^3}$ — 두 $q$의 합은 $[1+(-1)^l]$로 짝수 $l$만 남고, $l=0$ 항 $\frac{2kq}{r}$은 $-2q$가 지웁니다. 다음 항은 $\frac{2kqa^4}{r^5}P_4$.

D2. 반지름 $a$, 총전하 $Q$인 고리가 $xy$평면에 원점 중심으로 놓여 있습니다. $r>a$에서 퍼텐셜 (축 위 지름길 사용)

답$\Phi=kQ\sum_n P_{2n}(0)\dfrac{a^{2n}}{r^{2n+1}}P_{2n}(\cos\theta)=\dfrac{kQ}{r}\Big[1-\dfrac{a^2}{2r^2}P_2(\cos\theta)+\dfrac{3a^4}{8r^4}P_4(\cos\theta)-\cdots\Big]$ — 축 위 $\frac{kQ}{\sqrt{z^2+a^2}}=\frac{kQ}{z}(1+t^2)^{-1/2}$, $t=a/z$. 이 전개의 계수가 바로 예제 2-1의 $P_{2n}(0)$입니다.

D3. 예제 8-1의 쌍극자에서 안쪽 영역 $r<a$의 퍼텐셜

답$\Phi=\dfrac{2kq}{a}\Big[\dfrac ra P_1(\cos\theta)+\dfrac{r^3}{a^3}P_3(\cos\theta)+\cdots\Big]$ — $r_<=r$, $r_>=a$로 바꾸면 $\frac{r^l}{a^{l+1}}$이 됩니다. 홀수 $l$만 남는 것은 같습니다.

D4. $z$축 위 $0\le z\le L$에만 있는 선전하(선밀도 $\lambda$). $r>L$에서 퍼텐셜

답$\Phi=k\lambda\sum_{l=0}^\infty\dfrac{L^{l+1}}{(l+1)\,r^{l+1}}P_l(\cos\theta)$ — 축 위 $k\lambda\ln\frac{r}{r-L}=k\lambda\sum_{n\ge1}\frac{(L/r)^n}{n}$에 $P_l$을 붙입니다. 이번에는 대칭이 없어 모든 $l$이 남습니다.

E. 제2종 르장드르 함수

E1. 점화식으로 $Q_3$을 구하세요.

답$Q_3=P_3Q_0-\dfrac52x^2+\dfrac23$ — $l=2$: $3Q_3=5xQ_2-2Q_1$. $Q_0$의 계수는 $5xP_2-2x=\frac{15x^3-9x}{2}=3P_3$, 나머지는 $-\frac{15}{2}x^2+2$. 3으로 나눕니다.

E2. $Q_0$, $Q_1$을 $x=0$ 근처에서 $x^5$까지 전개하세요.

답$Q_0=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots$, $Q_1=-1+x^2+\dfrac{x^4}{3}+\cdots$ — L01의 $\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}$ 급수. $Q_0$은 홀함수, $Q_1$은 짝함수로 $P_0$, $P_1$과 반대입니다.

E3. $l=2$에서 론스키안 $P_2Q_2'-P_2'Q_2=\dfrac{1}{1-x^2}$을 확인하세요. (어려움)

답$Q_2'=P_2'Q_0+\frac{P_2}{1-x^2}-\frac32$를 넣으면 $Q_0$ 항이 지워지고 $\frac{P_2^2}{1-x^2}-\frac32P_2+\frac92x^2$이 남습니다. $4(1-x^2)$로 통분하면 분자는 $(3x^2-1)^2-3(3x^2-1)(1-x^2)+18x^2(1-x^2)=4$.

E4. $(1-x^2)y''-2xy'=0$ ($l=0$)을 직접 풀어 일반해를 쓰고, $Q_0(\cos\theta)=\ln\cot\frac\theta2$임을 보이세요.

답$y=A+C\,Q_0(x)$ — 방정식은 $\big((1-x^2)y'\big)'=0$이라 $y'=\frac{C}{1-x^2}$. 또 $\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}=\frac{2\cos^2(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)}=\cot^2\frac\theta2$ 이므로 $Q_0=\frac12\ln\cot^2\frac\theta2=\ln\cot\frac\theta2$. $\theta\to0,\pi$에서 발산하므로 $z$축을 포함하는 영역이면 $C=0$입니다.

12. 다음

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