Arfken 7판 3.10절, 4.4절 (직교 곡선좌표, 척도인자, 원통·구면좌표의 미분 연산자, 야코비안과 변수 변환)
| 좌표와 정의 | 척도인자 $(h_1,h_2,h_3)$와 $dV$ |
|---|---|
| 원통 $(\rho,\varphi,z)$ $x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$, $z=z$ | $(1,\ \rho,\ 1)$ $dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz$ |
| 구면 $(r,\theta,\varphi)$ $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$, $z=r\cos\theta$ | $(1,\ r,\ r\sin\theta)$ $dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$ |
| 포물기둥 $(u,v,z)$ $x=\frac12(u^2-v^2)$, $y=uv$, $z=z$ | $h_u=h_v=\sqrt{u^2+v^2}$, $h_z=1$ $dV=(u^2+v^2)\,du\,dv\,dz$ |
| 단위벡터 | 직교 성분 |
|---|---|
| $\hat{\boldsymbol\rho}$ (원통) | $(\cos\varphi,\ \sin\varphi,\ 0)$ |
| $\hat{\boldsymbol\varphi}$ (원통·구면 공통) | $(-\sin\varphi,\ \cos\varphi,\ 0)$ |
| $\hat{\mathbf z}$ (원통) | $(0,\ 0,\ 1)$ |
| $\hat{\mathbf r}$ (구면) | $(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta)$ |
| $\hat{\boldsymbol\theta}$ (구면) | $(\cos\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta)$ |
0이 아닌 미분: 원통 $\partial_\varphi\hat{\boldsymbol\rho}=\hat{\boldsymbol\varphi}$, $\partial_\varphi\hat{\boldsymbol\varphi}=-\hat{\boldsymbol\rho}$. 구면 $\partial_\theta\hat{\mathbf r}=\hat{\boldsymbol\theta}$, $\partial_\varphi\hat{\mathbf r}=\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi}$, $\partial_\theta\hat{\boldsymbol\theta}=-\hat{\mathbf r}$, $\partial_\varphi\hat{\boldsymbol\theta}=\cos\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi}$, $\partial_\varphi\hat{\boldsymbol\varphi}=-\sin\theta\,\hat{\mathbf r}-\cos\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}$.
$\mathbf r$ 이 $u_1,u_2,u_3$ 의 함수이므로 연쇄법칙으로
$$d\mathbf r=\frac{\partial\mathbf r}{\partial u_1}du_1+\frac{\partial\mathbf r}{\partial u_2}du_2+\frac{\partial\mathbf r}{\partial u_3}du_3.$$$u_i$ 하나만 $du_i$ 바꾸면 점은 $\partial\mathbf r/\partial u_i$ 방향으로 $\big|\partial\mathbf r/\partial u_i\big|\,du_i=h_i\,du_i$ 만큼 움직입니다. 척도인자는 "좌표를 1 바꿀 때 실제로 움직이는 거리"입니다($\varphi$를 바꾸면 반지름 $r\sin\theta$ 인 원을 따라 움직이니 $h_\varphi=r\sin\theta$).
제곱하면 $ds^2=d\mathbf r\cdot d\mathbf r=\sum_{i,j}\Big(\dfrac{\partial\mathbf r}{\partial u_i}\cdot\dfrac{\partial\mathbf r}{\partial u_j}\Big)du_i\,du_j$. 편미분 벡터끼리 수직이면 $i\ne j$ 항이 사라져 $\sum h_i^2du_i^2$ 만 남습니다. 방법 A(전개)와 방법 B(편미분 벡터)는 같은 계산을 다른 순서로 한 것입니다.
세 변이 서로 수직이고 길이가 $h_1du_1$, $h_2du_2$, $h_3du_3$ 인 작은 상자이므로 $dV=h_1h_2h_3\,du_1du_2du_3$, $u_1=$상수 면의 조각은 $h_2h_3\,du_2du_3$ 입니다.
$\mathbf r=(r\sin\theta\cos\varphi,\ r\sin\theta\sin\varphi,\ r\cos\theta)$ 를 각 변수로 미분합니다.
$$\begin{aligned}\partial_r\mathbf r&=(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta),\\\partial_\theta\mathbf r&=(r\cos\theta\cos\varphi,\ r\cos\theta\sin\varphi,\ -r\sin\theta),\\\partial_\varphi\mathbf r&=(-r\sin\theta\sin\varphi,\ r\sin\theta\cos\varphi,\ 0).\end{aligned}$$크기는 차례로 $1$, $r$, $r\sin\theta$ 입니다. 크기 계산 예: $|\partial_\theta\mathbf r|^2=r^2\cos^2\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)+r^2\sin^2\theta=r^2$.
서로 내적하면 0입니다. 예: $\partial_r\mathbf r\cdot\partial_\theta\mathbf r=r\sin\theta\cos\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)-r\cos\theta\sin\theta=0$. 따라서
$$\begin{aligned}&h_r=1,\quad h_\theta=r,\quad h_\varphi=r\sin\theta,\\&ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2,\\&dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.\end{aligned}$$단위벡터는 각 편미분 벡터를 $h$로 나눈 것이고, 0절 표와 같습니다.
전미분: $dx=u\,du-v\,dv$, $dy=v\,du+u\,dv$.
$$\begin{aligned}dx^2+dy^2&=(u^2du^2-2uv\,du\,dv+v^2dv^2)\\&\quad+(v^2du^2+2uv\,du\,dv+u^2dv^2)\\&=(u^2+v^2)(du^2+dv^2).\end{aligned}$$교차항 $\mp2uv\,du\,dv$ 가 지워지므로 직교 좌표계입니다.
$$\begin{aligned}ds^2&=(u^2+v^2)(du^2+dv^2)+dz^2\\\Rightarrow\ h_u&=h_v=\sqrt{u^2+v^2},\quad h_z=1.\end{aligned}$$단위벡터: $\hat{\mathbf e}_u=\dfrac{(u,\ v,\ 0)}{\sqrt{u^2+v^2}}$, $\hat{\mathbf e}_v=\dfrac{(-v,\ u,\ 0)}{\sqrt{u^2+v^2}}$. 부피 요소 $dV=(u^2+v^2)\,du\,dv\,dz$.
라플라시안: $h_uh_vh_z=u^2+v^2$ 이고 $\frac{h_uh_vh_z}{h_u^2}=\frac{h_uh_vh_z}{h_v^2}=1$, $\frac{h_uh_vh_z}{h_z^2}=u^2+v^2$ 이므로
$$\nabla^2f=\frac{1}{u^2+v^2}\big(\partial_u^2f+\partial_v^2f\big)+\partial_z^2f.$$확인: $f=x=\frac12(u^2-v^2)$ 이면 $\partial_u^2f+\partial_v^2f=1-1=0$. 직교좌표에서도 $\nabla^2x=0$ 입니다.
단위벡터는 길이가 늘 1이므로 $\hat{\mathbf e}\cdot\hat{\mathbf e}=1$ 을 미분하면 $2\,\hat{\mathbf e}\cdot\partial\hat{\mathbf e}=0$. 단위벡터의 도함수는 자기 자신에 수직입니다. 그래서 $\partial_\theta\hat{\mathbf r}$ 에는 $\hat{\mathbf r}$ 성분이 없습니다.
크기는 "얼마나 빨리 도는가"입니다. $\theta$ 를 $d\theta$ 바꾸면 $\hat{\mathbf r}$ 은 경선을 따라 각 $d\theta$ 만큼 돌아서 $\partial_\theta\hat{\mathbf r}=\hat{\boldsymbol\theta}$. $\varphi$ 를 $d\varphi$ 바꾸면 $\hat{\mathbf r}$ 의 끝은 반지름 $\sin\theta$ 인 위도원을 따라 돌아서 $\partial_\varphi\hat{\mathbf r}=\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi}$.
또 $\hat{\mathbf e}_i\cdot\hat{\mathbf e}_j=0$ ($i\ne j$)을 미분하면 $\partial\hat{\mathbf e}_i\cdot\hat{\mathbf e}_j=-\hat{\mathbf e}_i\cdot\partial\hat{\mathbf e}_j$. 예: $\partial_\theta\hat{\mathbf r}\cdot\hat{\boldsymbol\theta}=1$ 이므로 $\partial_\theta\hat{\boldsymbol\theta}$ 의 $\hat{\mathbf r}$ 성분은 $-1$. 0절의 공식들은 이렇게 짝지어 있어서 절반만 기억하면 나머지를 만들 수 있습니다.
$\hat{\mathbf r}=(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta)$ 를 미분합니다.
$$\begin{aligned}\partial_\theta\hat{\mathbf r}&=(\cos\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta)=\hat{\boldsymbol\theta},\\\partial_\varphi\hat{\mathbf r}&=(-\sin\theta\sin\varphi,\ \sin\theta\cos\varphi,\ 0)=\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi}.\end{aligned}$$$\hat{\boldsymbol\theta}=(\cos\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta)$ 를 미분합니다.
$$\begin{aligned}\partial_\theta\hat{\boldsymbol\theta}&=(-\sin\theta\cos\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ -\cos\theta)=-\hat{\mathbf r},\\\partial_\varphi\hat{\boldsymbol\theta}&=(-\cos\theta\sin\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0)=\cos\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi}.\end{aligned}$$$\hat{\boldsymbol\varphi}=(-\sin\varphi,\ \cos\varphi,\ 0)$ 는 $\theta$와 무관하므로 $\partial_\theta\hat{\boldsymbol\varphi}=0$. 그리고 $\partial_\varphi\hat{\boldsymbol\varphi}=(-\cos\varphi,\ -\sin\varphi,\ 0)$ 입니다. 이것을 $\hat{\mathbf r},\hat{\boldsymbol\theta}$로 읽습니다.
$$\begin{aligned}-\sin\theta\,\hat{\mathbf r}-\cos\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}&=\big(-(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\cos\varphi,\\&\qquad-(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\sin\varphi,\\&\qquad-\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\big)\\&=(-\cos\varphi,\ -\sin\varphi,\ 0).\end{aligned}$$따라서 $\partial_\varphi\hat{\boldsymbol\varphi}=-\sin\theta\,\hat{\mathbf r}-\cos\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}$. 세 단위벡터 모두 $r$로 미분하면 0입니다.
(가) 구면 단위벡터를 $x,y,z$로. 레시피 4를 넣습니다.
$$\begin{aligned}\hat{\mathbf r}&=\frac{(x,\ y,\ z)}{r},\\\hat{\boldsymbol\theta}&=\Big(\frac zr\frac x\rho,\ \frac zr\frac y\rho,\ -\frac\rho r\Big)=\frac{(xz,\ yz,\ -(x^2+y^2))}{r\rho},\\\hat{\boldsymbol\varphi}&=\frac{(-y,\ x,\ 0)}{\rho}.\end{aligned}$$(나) $\mathbf F=(-y,\ x,\ z)$ 를 원통 성분으로. $x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$ 를 넣고 내적합니다.
$$\begin{aligned}F_\rho&=\mathbf F\cdot\hat{\boldsymbol\rho}=-\rho\sin\varphi\cos\varphi+\rho\cos\varphi\sin\varphi=0,\\F_\varphi&=\mathbf F\cdot\hat{\boldsymbol\varphi}=\rho\sin^2\varphi+\rho\cos^2\varphi=\rho,\qquad F_z=z.\end{aligned}$$따라서 $\mathbf F=\rho\,\hat{\boldsymbol\varphi}+z\,\hat{\mathbf z}$.
(다) 상수 벡터장 $z\,\hat{\mathbf z}$ 를 구면 성분으로. $z=r\cos\theta$ 와 레시피 2의 $\hat{\mathbf z}$ 를 씁니다.
$$\begin{aligned}z\,\hat{\mathbf z}&=r\cos\theta\,(\cos\theta\,\hat{\mathbf r}-\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta})\\&=r\cos^2\theta\,\hat{\mathbf r}-r\sin\theta\cos\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}.\end{aligned}$$위치는 $\mathbf r=r\,\hat{\mathbf r}$ 입니다. 레시피 5로 미분합니다.
$$\mathbf v=\dot r\,\hat{\mathbf r}+r\frac{d\hat{\mathbf r}}{dt}=\dot r\,\hat{\mathbf r}+r\dot\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}+r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat{\boldsymbol\varphi}.$$한 번 더 미분할 때 쓰는 것:
$$\begin{aligned}\frac{d\hat{\boldsymbol\theta}}{dt}&=-\dot\theta\,\hat{\mathbf r}+\cos\theta\,\dot\varphi\,\hat{\boldsymbol\varphi},\\\frac{d\hat{\boldsymbol\varphi}}{dt}&=-\dot\varphi\,(\sin\theta\,\hat{\mathbf r}+\cos\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}).\end{aligned}$$$\mathbf v$의 세 항을 각각 곱의 미분으로 풀고 같은 단위벡터끼리 모읍니다.
$$\begin{aligned}a_r&=\ddot r-r\dot\theta^2-r\sin^2\theta\,\dot\varphi^2,\\a_\theta&=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta-r\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2,\\a_\varphi&=r\sin\theta\,\ddot\varphi+2\dot r\dot\varphi\sin\theta+2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta.\end{aligned}$$예를 들어 $a_\theta$: $\frac{d}{dt}(r\dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}$ 에서 $\dot r\dot\theta+r\ddot\theta$, $\dot r\,\frac{d\hat{\mathbf r}}{dt}$ 에서 $\dot r\dot\theta$, $r\sin\theta\dot\varphi\frac{d\hat{\boldsymbol\varphi}}{dt}$ 에서 $-r\sin\theta\cos\theta\dot\varphi^2$ 가 나옵니다.
기울기: $\nabla f$ 는 "$df=\nabla f\cdot d\mathbf r$ 가 되는 벡터"입니다(L07 4절). 곡선좌표에서 양변을 씁니다. $d\mathbf r=\sum_ih_i\,du_i\,\hat{\mathbf e}_i$ 이고 단위벡터가 정규직교이므로
$$\begin{aligned}df&=\sum_i\frac{\partial f}{\partial u_i}du_i,\\\nabla f\cdot d\mathbf r&=\sum_i(\nabla f)_i\,h_i\,du_i.\end{aligned}$$모든 $du_i$ 에 대해 같아야 하므로 $(\nabla f)_i=\dfrac{1}{h_i}\dfrac{\partial f}{\partial u_i}$. "좌표 $u_i$를 1 바꾸면 실제로는 $h_i$만큼 움직이니 $h_i$로 나눈다"고 기억하면 됩니다.
발산과 라플라시안: L08 4절의 작은 상자 논법을 곡선좌표의 작은 상자(변 $h_1du_1$, $h_2du_2$, $h_3du_3$)로 합니다. $u_1$ 방향 두 면의 넓이는 $h_2h_3\,du_2du_3$ 인데, 이 넓이 자체가 $u_1$에 따라 달라집니다. 그래서 두 면에서 나가는 플럭스의 차는 $F_1$ 이 아니라 $h_2h_3F_1$ 의 차입니다.
$$\begin{aligned}&\big[(h_2h_3F_1)\big|_{u_1+du_1}-(h_2h_3F_1)\big|_{u_1}\big]du_2du_3\\&\approx\partial_1(h_2h_3F_1)\,du_1du_2du_3.\end{aligned}$$세 방향을 더하고 부피 $h_1h_2h_3\,du_1du_2du_3$ 로 나누면 0절의 발산 공식입니다. 라플라시안은 발산에 기울기 $F_i=\frac1{h_i}\partial_if$ 를 넣은 것뿐입니다: 예를 들어 $h_2h_3F_1=\dfrac{h_1h_2h_3}{h_1^2}\,\partial_1f$.
curl: curl의 $\hat{\mathbf e}_1$ 성분은 "$\hat{\mathbf e}_1$ 에 수직인 작은 고리의 순환 ÷ 넓이"입니다(L08 7절). 변이 $h_2du_2$, $h_3du_3$ 인 작은 고리를 돕니다. $u_2$ 방향 변의 기여는 $F_2\cdot h_2du_2$ 이고, 마주 보는 두 변(방향 반대)의 차에서 $-\partial_3(h_2F_2)\,du_2du_3$ 가 나옵니다. $u_3$ 방향 두 변에서는 $+\partial_2(h_3F_3)\,du_2du_3$.
$$(\nabla\times\mathbf F)_1=\frac{\partial_2(h_3F_3)-\partial_3(h_2F_2)}{h_2h_3}.$$나머지 성분은 $1\to2\to3$ 순환입니다. 세 식을 한꺼번에 쓴 것이 0절의 행렬식입니다. 첫 행에 $h_1\hat{\mathbf e}_1$ 이 있고 앞에 $\frac1{h_1h_2h_3}$ 이 있으니, 전개한 $\hat{\mathbf e}_1$ 의 계수가 $\frac{h_1}{h_1h_2h_3}=\frac1{h_2h_3}$ 배가 됩니다.
$h_r=1$, $h_\theta=r$, $h_\varphi=r\sin\theta$, $h_rh_\theta h_\varphi=r^2\sin\theta$. 괄호 안 인자 $\frac{h_1h_2h_3}{h_i^2}$ 는
$$\begin{aligned}&\frac{r^2\sin\theta}{1}=r^2\sin\theta,\qquad \frac{r^2\sin\theta}{r^2}=\sin\theta,\\&\frac{r^2\sin\theta}{r^2\sin^2\theta}=\frac1{\sin\theta}.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\nabla^2f=\frac{1}{r^2\sin\theta}\Big[&\partial_r(r^2\sin\theta\,\partial_rf)\\&+\partial_\theta(\sin\theta\,\partial_\theta f)\\&+\partial_\varphi\Big(\frac{1}{\sin\theta}\partial_\varphi f\Big)\Big].\end{aligned}$$첫 항에서 $\sin\theta$를 밖으로 빼면 0절의 구면 라플라시안이 됩니다.
적용: $f=r^2\cos\theta$.
$$\begin{aligned}\frac1{r^2}\partial_r(r^2\cdot2r\cos\theta)&=\frac{6r^2\cos\theta}{r^2}=6\cos\theta,\\\frac{1}{r^2\sin\theta}\partial_\theta\big(\sin\theta\cdot(-r^2\sin\theta)\big)&=\frac{-2r^2\sin\theta\cos\theta}{r^2\sin\theta}\\&=-2\cos\theta.\end{aligned}$$$\varphi$ 항은 0이므로 $\nabla^2f=4\cos\theta$.
직교좌표 검산: $f=zr$. L07의 곱 법칙으로 $\nabla^2(zr)=z\nabla^2r+2\nabla z\cdot\nabla r+r\nabla^2z=z\cdot\frac2r+2\frac zr+0=\frac{4z}r=4\cos\theta$.
L07에서 직교좌표로 한 계산과 같은 결과가 한 줄로 나옵니다.
(가) $F_\varphi=1/\rho$, 나머지 0. $\hat{\boldsymbol\rho}$ 성분 $-\partial_zF_\varphi=0$, $\hat{\boldsymbol\varphi}$ 성분 $0$, $\hat{\mathbf z}$ 성분
$$\begin{aligned}&\frac1\rho\partial_\rho\Big(\rho\cdot\frac1\rho\Big)=\frac1\rho\partial_\rho(1)=0\\&\Rightarrow\ \nabla\times\frac{\hat{\boldsymbol\varphi}}{\rho}=0\quad(\rho\ne0).\end{aligned}$$(나) $F_\varphi=\rho$: $\hat{\mathbf z}$ 성분 $\frac1\rho\partial_\rho(\rho^2)=2$. 따라서 $\nabla\times(\rho\hat{\boldsymbol\varphi})=2\hat{\mathbf z}$. 예제 2-2에서 $\rho\hat{\boldsymbol\varphi}=(-y,x,0)$ 이었고, L07 연습문제 C2의 결과 $(0,0,2)$와 같습니다.
(다) $f=r\cos\theta$: $\partial_rf=\cos\theta$, $\frac1r\partial_\theta f=-\sin\theta$, $\varphi$ 항은 0.
$$\nabla(r\cos\theta)=\cos\theta\,\hat{\mathbf r}-\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}=\hat{\mathbf z}.$$$r\cos\theta=z$ 이므로 $\nabla z=\hat{\mathbf z}$ 가 맞습니다(레시피 2의 역변환).
$(u,v)$ 평면의 작은 직사각형 $du\times dv$ 는 $(x,y)$ 평면의 작은 (거의) 평행사변형으로 갑니다. 두 변은 $(x_u,\,y_u)\,du$ 와 $(x_v,\,y_v)\,dv$ 입니다(L08 3절의 $\mathbf r_u\,du$, $\mathbf r_v\,dv$ 와 같은 생각).
두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이는 그 성분으로 만든 2×2 행렬식의 절댓값입니다: $|x_uy_v-x_vy_u|\,du\,dv=|J|\,du\,dv$. 3차원에서는 세 변이 만드는 평행육면체의 부피, 즉 스칼라 삼중곱 = 3×3 행렬식입니다(L07 1절). 부호는 방향(오른손/왼손)이라 넓이에는 절댓값을 씁니다.
직교 곡선좌표에서는 세 변이 서로 수직이라 부피가 그냥 길이의 곱 $h_1h_2h_3$ 입니다. 역수 규칙은 6절의 연쇄법칙에서 나옵니다.
(가) 극좌표 $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$:
$$J=\begin{vmatrix}\cos\varphi&-r\sin\varphi\\\sin\varphi&r\cos\varphi\end{vmatrix}=r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi=r.$$(나) 구면좌표: 열 순서는 $(r,\theta,\varphi)$ 입니다.
$$J=\begin{vmatrix}\sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\\sin\theta\sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\\cos\theta&-r\sin\theta&0\end{vmatrix}.$$셋째 행으로 전개합니다(부호 $+,-,+$). 셋째 성분은 0이라 두 항만 남습니다.
$$\begin{aligned}J&=\cos\theta\,\begin{vmatrix}r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\end{vmatrix}\\&\quad-(-r\sin\theta)\begin{vmatrix}\sin\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\\sin\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\end{vmatrix}\\&=\cos\theta\cdot r^2\sin\theta\cos\theta+r\sin\theta\cdot r\sin^2\theta\\&=r^2\sin\theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2\sin\theta.\end{aligned}$$$h_rh_\theta h_\varphi=1\cdot r\cdot r\sin\theta$ 와 같습니다.
(다) $u=x+y$, $v=x-y$: 거꾸로 계산하는 쪽이 쉽습니다.
$$\begin{aligned}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}&=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\\\Rightarrow\ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}&=-\frac12,\qquad dx\,dy=\frac12\,du\,dv.\end{aligned}$$확인: $x=\frac{u+v}2$, $y=\frac{u-v}2$ 를 직접 미분하면 $\begin{vmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{vmatrix}=-\frac12$.
(가) 타원 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1$ 의 넓이. $x=ar\cos\varphi$, $y=br\sin\varphi$ 로 두면 영역은 $0\le r\le1$, $0\le\varphi\le2\pi$ 입니다.
$$\begin{aligned}J&=\begin{vmatrix}a\cos\varphi&-ar\sin\varphi\\b\sin\varphi&br\cos\varphi\end{vmatrix}=abr,\\\text{넓이}&=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1abr\,dr\,d\varphi=\pi ab.\end{aligned}$$(나) 꼭짓점이 $(0,0)$, $(2,1)$, $(3,3)$, $(1,2)$ 인 평행사변형 $R$에서 $\displaystyle\iint_R(x+y)\,dx\,dy$.
변의 방정식: $(0,0)$–$(2,1)$ 과 $(1,2)$–$(3,3)$ 은 $2y-x=0$, $2y-x=3$. $(0,0)$–$(1,2)$ 와 $(2,1)$–$(3,3)$ 은 $2x-y=0$, $2x-y=3$. 그래서
$$\begin{aligned}&u=2x-y,\quad v=2y-x,\\&0\le u\le3,\quad 0\le v\le3.\end{aligned}$$ $$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}2&-1\\-1&2\end{vmatrix}=3\ \Rightarrow\ dx\,dy=\frac13\,du\,dv.$$피적분 함수: $u+v=x+y$ 입니다. 따라서
$$\begin{aligned}\iint_R(x+y)\,dx\,dy&=\frac13\int_0^3\!\!\int_0^3(u+v)\,du\,dv\\&=\frac13\Big(3\cdot\frac92+3\cdot\frac92\Big)=9.\end{aligned}$$검산: 넓이 $=\frac13\cdot9=3$ 이고, 이는 두 변 벡터의 외적 $|(2,1)\times(1,2)|=|4-1|=3$ 과 같습니다. 또 $x+y$는 1차식이라 평균값이 중심 $(1.5,1.5)$에서의 값 $3$이므로 $3\times3=9$.
연쇄법칙: 편미분의 연쇄법칙 $\dfrac{\partial x_i}{\partial s_k}=\sum_j\dfrac{\partial x_i}{\partial u_j}\dfrac{\partial u_j}{\partial s_k}$ 는 야코비안 행렬의 곱입니다. 행렬식은 곱을 곱으로 보내므로($\det AB=\det A\,\det B$, L04) 야코비안도 곱해집니다. $s=x$ 로 두면 역수 규칙입니다.
고정 변수: $\dfrac{\partial(u,y)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}u_x&u_y\\0&1\end{vmatrix}=u_x$. 둘째 행이 $(\partial y/\partial x,\ \partial y/\partial y)=(0,1)$ 이라 "$y$ 고정 편미분"만 남습니다.
삼중곱 규칙: 세 인자를 야코비안으로 쓰면 $\dfrac{\partial(x,z)}{\partial(y,z)}\cdot\dfrac{\partial(y,x)}{\partial(z,x)}\cdot\dfrac{\partial(z,y)}{\partial(x,y)}$. 위쪽 두 함수의 순서를 바꾸면 부호가 바뀌므로 $\partial(x,z)=-\partial(z,x)$, $\partial(y,x)=-\partial(x,y)$, $\partial(z,y)=-\partial(y,z)$. 그러면 분자와 분모가 같아지고 $(-1)^3=-1$ 이 남습니다.
먼저 $\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}=r$ 입니다(예제 5-1).
(가) $\varphi$ 고정: $x=r\cos\varphi$ 를 그대로 미분해서 $\big(\frac{\partial x}{\partial r}\big)_\varphi=\cos\varphi$.
(나) $y$ 고정: 직접 하면 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 에서 $\big(\frac{\partial r}{\partial x}\big)_y=\frac xr=\cos\varphi$. 야코비안으로는
$$\begin{aligned}\Big(\frac{\partial r}{\partial x}\Big)_y&=\frac{\partial(r,y)}{\partial(x,y)}\\&=\frac{\partial(r,y)/\partial(r,\varphi)}{\partial(x,y)/\partial(r,\varphi)}\\&=\frac{r\cos\varphi}{r}=\cos\varphi.\end{aligned}$$여기서 $\dfrac{\partial(r,y)}{\partial(r,\varphi)}=\begin{vmatrix}1&0\\\sin\varphi&r\cos\varphi\end{vmatrix}=r\cos\varphi$ 입니다.
(다) $\big(\frac{\partial x}{\partial r}\big)_y$ 는 같은 $y$ 를 고정한 (나)의 역수입니다: $\dfrac{1}{\cos\varphi}$. 직접: $x=\sqrt{r^2-y^2}$ 에서 $\frac{r}{x}=\frac1{\cos\varphi}$.
(가)와 (다)는 같은 기호 $\partial x/\partial r$ 인데 값이 $\cos\varphi$ 와 $1/\cos\varphi$ 로 다릅니다. 고정하는 변수를 꼭 적어야 하는 이유입니다. 또 $\big(\frac{\partial r}{\partial x}\big)_y=\cos\varphi$ 는 $\big(\frac{\partial x}{\partial r}\big)_\varphi=\cos\varphi$ 의 역수가 아닙니다(고정 변수가 다름).
그림 표기로 보기: G7 2절 — 같은 $dx$를 같은 $dr$ 직선에 비추되 빛 방향만 다르면 $\cos\varphi$와 $1/\cos\varphi$ (선배 도식, 그림자 규칙). 고정 변수 바꾸기 공식은 G7 5절.
$\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{vmatrix}=4(x^2+y^2)=4r^2$.
연쇄법칙: $\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(r,\varphi)}=\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\cdot\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}=4r^2\cdot r=4r^3$.
직접 확인: $u=r^2\cos2\varphi$, $v=r^2\sin2\varphi$ 이므로
$$\begin{aligned}\frac{\partial(u,v)}{\partial(r,\varphi)}&=\begin{vmatrix}2r\cos2\varphi&-2r^2\sin2\varphi\\2r\sin2\varphi&2r^2\cos2\varphi\end{vmatrix}\\&=4r^3(\cos^22\varphi+\sin^22\varphi)=4r^3.\end{aligned}$$(이 사상은 복소수로 $w=z^2$ 입니다. 넓이 배율 $4r^2$ 은 $|dw/dz|^2=|2z|^2$ 과 같습니다. L10에서 다시 나옵니다.)
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다(일부는 수치로 확인).
A1. 원통좌표의 $ds^2$ 와 척도인자를 방법 A로 구하세요.
A2. 타원기둥 좌표 $x=a\cosh u\cos v$, $y=a\sinh u\sin v$, $z=z$ 의 척도인자
A3. 포물선 좌표 $x=\xi\eta\cos\varphi$, $y=\xi\eta\sin\varphi$, $z=\frac12(\xi^2-\eta^2)$ 의 척도인자
A4. $x=u+v$, $y=v$ 는 직교 좌표계인가요?
B1. 원통좌표에서 $\partial_\varphi\hat{\boldsymbol\rho}$, $\partial_\varphi\hat{\boldsymbol\varphi}$ 를 구하고, 속도와 가속도를 쓰세요.
B2. $\hat{\mathbf y}$ 를 구면 단위벡터로 쓰세요.
B3. (가) $\mathbf F=(x,y,z)$ 를 구면 성분으로 (나) $\mathbf G=(y,\ -x,\ 0)$ 을 원통 성분으로
B4. 점 $(x,y,z)=(1,\ 1,\ \sqrt2)$ 에서 $r,\theta,\varphi$ 와 $\hat{\mathbf r},\hat{\boldsymbol\theta},\hat{\boldsymbol\varphi}$ 의 직교 성분
B5. 입자가 $r=R$, $\theta=\frac\pi3$ 에 머물며 $\varphi=\omega t$ 로 돕니다. 가속도의 구면 성분은?
C1. $\nabla\cdot(\hat{\boldsymbol\rho}/\rho)$ 와 $\nabla\cdot(\rho\,\hat{\boldsymbol\rho})$
C2. $\nabla^2(\ln\rho)$
C3. $\nabla(r^2\sin\theta\cos\varphi)$
C4. $\nabla\cdot(r^n\hat{\mathbf r})$
C5. $\nabla^2\Big(\dfrac{3\cos^2\theta-1}{r^3}\Big)$ ($r\ne0$)
C6. $\nabla\times\Big(\dfrac{\sin\theta}{r^2}\hat{\boldsymbol\varphi}\Big)$
그림 표기로 보기: G2 예제 6-2(다) — C6을 sinθ φ̂/r² = ẑ×n/r²로 바꿔 곡선좌표 공식 없이 풀기(원점의 δ항 포함)
C7. 예제 1-2의 포물기둥 좌표에서 $f=\frac14(u^2+v^2)^2$ 의 $\nabla^2f$ (힌트: $f=x^2+y^2$)
D1. 영역 $-1\le x+y\le1$, $0\le x-y\le1$ 에서 $\displaystyle\iint(x+y)^2e^{x-y}\,dx\,dy$
D2. 꼭짓점이 원점이고 높이 $h$, 윗면 반지름 $a$인 원뿔($\rho\le\frac ahz$, $0\le z\le h$)의 부피를 원통좌표로
D3. 타원체 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le1$ 의 부피 ($x=ar\sin\theta\cos\varphi$ 등으로)
D4. $\displaystyle\iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$ 를 극좌표로 구하고, $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ 를 얻으세요.
D5. 제1사분면에서 $xy=1$, $xy=3$, $y=x$, $y=4x$ 로 둘러싸인 넓이 ($u=xy$, $v=y/x$)
D6. 예제 1-2의 포물기둥 좌표에서 $\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$
D7. 극좌표에서 $\big(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\big)_y$ 와 $\big(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\big)_r$
D8. 이상기체 $PV=nRT$ ($n$, $R$ 상수)에서 $\big(\frac{\partial P}{\partial V}\big)_T\big(\frac{\partial V}{\partial T}\big)_P\big(\frac{\partial T}{\partial P}\big)_V$
그림 표기로 보기: G7 4절 — 한 바퀴 비추면 $-dx$로 돌아오고, 닫힌 삼각형 $V\,dP+P\,dV-nR\,dT=0$에서 마이너스 셋이 곱해져 $-1$.
D9. $u=x+y$, $v=xy$ ($x>y$) 일 때 $\big(\frac{\partial x}{\partial u}\big)_v$