부록 G · 출처: Kim–Oh–Kim, Boosting Vector Calculus with the Graphical Notation, Am. J. Phys. 89(2) (2021), arXiv:1911.00892와 보충자료 "An Invitation to Graphical Tensor Methods" · J.-H. Kim 발표 "Re-presentation: Graphical Notations in Physics"
G1의 상자·선·점에 풍선 하나를 더합니다. 풍선은 감싼 상자를 미분하고, 풍선에 달린 꼬리가 $\partial$의 지표입니다(Kim–Oh–Kim; Penrose의 "미분 갈고리"에서 따왔다고 원문은 밝힙니다).
| 그림 | 읽는 법 |
|---|---|
| $\partial_if=(\nabla f)_i$. 선이 없는 상자(스칼라)를 풍선이 감싸고, 꼬리 $i$가 열린 끝입니다. | |
| $\partial_iA_j$. 꼬리 $i$와 A의 선 $j$가 둘 다 열린 끝입니다. | |
| $\partial_iA_i=\nabla\cdot\mathbf A$. 꼬리와 A의 선을 이은 것입니다. | |
| $\varepsilon_{ijk}\partial_jA_k=(\nabla\times\mathbf A)_i$. 출력을 아래로 두면 A의 선이 왼쪽, 꼬리가 오른쪽입니다(Kim 방향). 점을 반시계로 읽으면 (출력, 꼬리, A). | |
| $\partial_i\partial_if=\nabla^2f$. 풍선 두 겹(2계 미분)의 두 꼬리를 이은 것입니다. | |
| $B_j\partial_jA_i=\big((\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A\big)_i$. 꼬리가 B의 선으로 갑니다. |
$\partial_iA_j$ 표(행 $i$ = 꼬리, 열 $j$ = A의 선, 행·열 순서는 $x,y,z$)를 한 번만 만듭니다.
$$\partial_iA_j=\begin{pmatrix}2xy&0&z^2\\x^2&-2z&0\\0&-2y&2xz\end{pmatrix}$$발산 = 꼬리와 선을 이음 = 대각합: $2xy-2z+2xz$.
curl = ε 점 = 반대칭 부분. $(\nabla\times\mathbf A)_x=\partial_yA_z-\partial_zA_y$는 표의 $(y,z)$칸 빼기 $(z,y)$칸입니다.
$$\begin{aligned}(\nabla\times\mathbf A)_x&=0-(-2y)=2y,\\(\nabla\times\mathbf A)_y&=0-z^2=-z^2,\\(\nabla\times\mathbf A)_z&=0-x^2=-x^2.\end{aligned}$$L07의 행렬식 전개와 같은 $(2y,-z^2,-x^2)$입니다. 표를 만들어 두면 발산, curl, $(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A$(표의 행에 B를 곱함)를 모두 같은 표에서 읽습니다.
풍선은 $\partial_i$ 하나이고, 성분마다 보통의 곱 미분 $\partial_i(fA_j)=(\partial_if)A_j+f\,\partial_iA_j$가 성립합니다. 상자 둘을 감싼 풍선은 "두 상자의 곱(지표를 이은 것 포함)"을 미분하는 것이고, 지표를 잇는 것(더하기)과 미분은 순서를 바꿔도 되므로 풍선을 상자마다 나누면 됩니다. δ와 ε은 상수라 미분하면 0이므로 풍선이 감쌀 필요가 없습니다.
발산: 첫째 그림은 꼬리가 A의 선으로 가고 f만 미분됨 → $\mathbf A\cdot\nabla f$. 둘째는 f가 그냥 곱해지고 A의 발산 → $f\,\nabla\cdot\mathbf A$.
curl: 첫째 그림의 점은 (출력, f의 꼬리, A) 순서로 읽히므로 $\nabla f\times\mathbf A$입니다. L07에서 "둘째 항은 $\nabla f\times\mathbf A$ 순서"라고 따로 외웠던 것이 그림에서는 자동입니다. 둘째 그림은 $f\,\nabla\times\mathbf A$.
외적의 발산: 두 그림 모두 점의 반시계 순서는 (꼬리, A, B)입니다. A만 미분하면 $\varepsilon_{tab}(\partial_tA_a)B_b=\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf A)$. B만 미분하면 $\varepsilon_{tab}A_a(\partial_tB_b)$인데, B의 curl로 읽으려면 순서가 (꼬리, B)여야 하므로 맞바꿈 한 번(clank): $-\mathbf A\cdot(\nabla\times\mathbf B)$.
$$\begin{aligned}\nabla\cdot(\mathbf A\times\mathbf B)&=\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf A)\\&\quad-\mathbf A\cdot(\nabla\times\mathbf B).\end{aligned}$$바깥 풍선과 안 풍선을 각각 f 또는 A에 나눠 주면 네 가지인데, (안 f, 바깥 A)와 (안 A, 바깥 f)는 안팎을 바꾼 같은 그림이라 합쳐서 2배입니다. 가운데 그림은 f의 꼬리와 A의 꼬리를 이은 것, 즉 $\partial_if\,\partial_iA_j$입니다.
$$\begin{aligned}\nabla^2(f\mathbf A)&=(\nabla^2f)\,\mathbf A\\&\quad+2(\nabla f\cdot\nabla)\mathbf A\\&\quad+f\,\nabla^2\mathbf A.\end{aligned}$$같은 방법으로 스칼라끼리는 $\nabla^2(fg)=g\nabla^2f+2\nabla f\cdot\nabla g+f\nabla^2g$입니다.
두 겹 풍선은 안팎을 바꿔도 같습니다(혼합편미분의 순서 무관). 안팎을 바꾼 뒤 그림을 펴서(등위변형) 원래 모양으로 돌려 놓으면, 두 꼬리가 점에 붙는 순서만 바뀌어 있습니다. clank로 부호가 바뀌므로 "자기 자신 = −자기 자신", 즉 0입니다. 지표로는 대칭인 $\partial_j\partial_k$와 반대칭인 $\varepsilon_{ijk}$의 축약이 0이라는 L07 7절의 말과 같습니다.
안쪽 curl의 점과 바깥 curl의 점을 잇는 선에 H 규칙을 씁니다. 안쪽 점은 (출력, 안 꼬리, A) 순서, 바깥 점은 (안쪽 출력, 바깥 출력 $i$, 바깥 꼬리) 순서입니다. X는 A의 선이 바깥 꼬리와 이어지고 안 꼬리가 $i$로 나가므로 $\partial_i(\partial_jA_j)$, ‖는 두 꼬리끼리 이어지고 A의 선이 $i$로 나가므로 $\partial_j\partial_jA_i$입니다.
$$\begin{aligned}\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)&=\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)\\&\quad-\nabla^2\mathbf A.\end{aligned}$$L07에서는 순환 → 축약 공식 → δ 두 번의 다섯 줄이었습니다. L07 연습 E3의 (나) 경로가 바로 이 그림 등식입니다.
첫째 그림(풍선이 A만 감쌈)을 선 교환으로 바꿉니다.
X: 꼬리가 B로, A의 선이 $i$로 → $B_j\partial_jA_i=\big((\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A\big)_i$. H: 위 점은 (가운데, A, 꼬리) 순서로 읽혀서 Kim 방향 curl과 좌우가 반대입니다. 그래서 위 점 = $-(\nabla\times\mathbf A)$, 아래 점까지 읽으면 H $=-\mathbf B\times(\nabla\times\mathbf A)$입니다. 따라서 첫째 그림 $=(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A+\mathbf B\times(\nabla\times\mathbf A)$. 둘째 그림은 A와 B를 바꾼 것입니다.
$$\begin{aligned}\nabla(\mathbf A\cdot\mathbf B)&=(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A\\&\quad+\mathbf B\times(\nabla\times\mathbf A)\\&\quad+(\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B\\&\quad+\mathbf A\times(\nabla\times\mathbf B).\end{aligned}$$외우는 법: "풍선 하나당 두 항, 꼬리가 상대에게 가는 항($(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A$)과 상대가 curl에 곱해지는 항($\mathbf B\times\nabla\times\mathbf A$)". L07의 증명 스케치는 $\varepsilon_{kij}\varepsilon_{kmn}$을 풀어 $A_j\partial_iB_j$를 두 항으로 나눴는데, 그것이 바로 선 교환입니다.
예제 4-1에서 $\mathbf A=\mathbf B=\mathbf v$로 두면 두 풍선 그림이 같아지므로 $\nabla(v^2)=2(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v+2\mathbf v\times(\nabla\times\mathbf v)$. 2로 나누고 옮기면 위 식입니다. 외울 것이 없습니다.
L07의 강체 회전 $\mathbf v=(-y,x,0)$로 확인: $\nabla(\tfrac12v^2)=(x,y,0)$, $\nabla\times\mathbf v=(0,0,2)$, $\mathbf v\times(\nabla\times\mathbf v)=(2x,2y,0)$이므로 $(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v=(-x,-y,0)$.
H 규칙: X는 꼬리가 B의 선과, A의 선이 출력과 이어져 $\partial_j(A_iB_j)$, ‖는 꼬리가 A의 선과, B의 선이 출력과 이어져 $\partial_j(A_jB_i)$입니다. 이것이 L07 증명 스케치의 첫 줄 $\partial_j(A_iB_j)-\partial_j(A_jB_i)$입니다. 이제 풍선을 나눕니다.
X $=(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A+\mathbf A(\nabla\cdot\mathbf B)$, ‖ $=(\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B+\mathbf B(\nabla\cdot\mathbf A)$. 따라서
$$\begin{aligned}\nabla\times(\mathbf A\times\mathbf B)&=(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A\\&\quad-(\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B\\&\quad+\mathbf A(\nabla\cdot\mathbf B)\\&\quad-\mathbf B(\nabla\cdot\mathbf A).\end{aligned}$$BAC−CAB를 "미분이 A에 걸린 몫"과 "B에 걸린 몫"으로 두 번 쓴 모양이라는 L07의 설명이 그림에서는 "H 한 번 + 풍선 나누기"입니다.
$\partial_ix_j=\delta_{ij}$는 정의 그대로입니다. $r^2=x_kx_k$를 미분하면 $2r\,\partial_ir=2x_i$이므로 $\partial_ir=x_i/r=n_i$. $\mathbf n=\mathbf r\cdot r^{-1}$에 곱 규칙(풍선 나누기)을 쓰면
$$\begin{aligned}\partial_in_j&=\frac{\delta_{ij}}r+x_j\Big(-\frac{n_i}{r^2}\Big)\\&=\frac{\delta_{ij}-n_in_j}r.\end{aligned}$$$\mathbf n$의 길이는 늘 1이므로 미분은 $\mathbf n$에 수직인 방향으로만 생깁니다. 그것이 사영자 $\delta-\mathbf n\mathbf n$이 나오는 이유입니다.
풍선(r)을 맨 선으로 바꾸면 외적 점과 curl 점 사이에 선이 둘 생깁니다. 거품인데, 꼬리 쪽 선이 출력선을 넘어 반대편으로 들어가므로 꼰 거품이고 값은 $+2$입니다(G1 예제 6-2). 평면 거품 $-2$를 그대로 쓰면 $-2\mathbf a$라는 틀린 답이 나옵니다. 그림에서 꼬였는지 꼭 봅니다.
$\mathbf E=\mathbf n/r^2$ (점전하 장에서 $4\pi$를 뺀 것)라 두고 $r\ne0$ 부분부터 구합니다. $\mathbf E=\mathbf n\cdot r^{-2}$이므로 풍선을 나눕니다.
풍선(n) $=\frac1r(\delta-\mathbf n\mathbf n)$, 풍선($r^{-2}$) $=-2r^{-3}\mathbf n$이므로 ($r\ne0$)
$$\begin{aligned}\partial_iE_j&=\frac{\delta_{ij}-n_in_j}{r^3}-\frac{2n_in_j}{r^3}\\&=-\frac{3n_in_j-\delta_{ij}}{r^3}.\end{aligned}$$δ 계수: 반지름 $\epsilon$인 작은 공에서 적분합니다. $r\ne0$ 부분은 각도 평균 $\langle3n_in_j-\delta_{ij}\rangle=3\cdot\frac13\delta_{ij}-\delta_{ij}=0$이라 기여하지 않습니다(각도부터 적분). 경계에서는
$$\begin{aligned}\oint n_iE_j\,dS&=\oint n_i\frac{n_j}{\epsilon^2}\,\epsilon^2d\Omega\\&=\frac{4\pi}3\delta_{ij}.\end{aligned}$$그래서 원점에 $\frac{4\pi}3\delta_{ij}\delta^3$이 숨어 있습니다.
그림 규칙은 성분을 점마다 미분하는 규칙이라 $r=0$처럼 장이 정의되지 않는 점은 보지 못합니다. 분포(δ)로서의 미분은 "작은 영역에서 적분한 값"으로 정의되므로, 원점을 감싼 작은 공에서 적분해 $r\ne0$ 부분이 주는 몫을 빼면 원점의 몫이 남습니다. $r\ne0$ 부분 $\propto(3n_in_j-\delta_{ij})/r^3$은 각도 평균이 0이라(대칭 논증: $\langle n_in_j\rangle$는 $c\,\delta_{ij}$이고 대각합을 잡으면 $c=\frac13$) 원점 근처의 공 적분이 0으로 갑니다. (엄밀하게는 이 적분이 조건수렴이라 "각도부터 적분"하는 약속이 필요하지만 생략합니다.)
단위: 퍼텐셜 $\phi=\dfrac{\mathbf p\cdot\mathbf n}{4\pi r^2}$, $\mathbf E=-\nabla\phi$, 벡터 퍼텐셜 $\mathbf A=\dfrac{\mathbf m\times\mathbf n}{4\pi r^2}$, $\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$ (SI에서 $\varepsilon_0=\mu_0=1$로 둔 것).
(가) 전기: $\phi=\frac1{4\pi}p_jE_j$이므로 $-\partial_i\phi=-\frac1{4\pi}p_j\,\partial_iE_j$. 예제 6-1을 넣으면
$$\begin{aligned}-\nabla\Big(\frac{\mathbf p\cdot\mathbf n}{4\pi r^2}\Big)&=\frac{3\mathbf n(\mathbf n\cdot\mathbf p)-\mathbf p}{4\pi r^3}\\&\quad-\frac13\mathbf p\,\delta^3(\mathbf r).\end{aligned}$$(나) 자기: $\mathbf m\times\mathbf E$의 curl에 H 규칙을 씁니다.
X = $\mathbf m(\nabla\cdot\mathbf E)$, ‖ = $(\mathbf m\cdot\nabla)\mathbf E$. 그림에서 X는 $r\ne0$에서 0이지만 원점에서 $4\pi\mathbf m\delta^3$입니다. ‖는 예제 6-1에서 $\frac{4\pi}3\mathbf m\delta^3-\frac{3\mathbf n(\mathbf n\cdot\mathbf m)-\mathbf m}{r^3}$. 빼면 δ 계수가 $4\pi-\frac{4\pi}3=\frac{8\pi}3$이고, $4\pi$로 나누면
$$\begin{aligned}&\nabla\times\Big(\frac{\mathbf m\times\mathbf n}{4\pi r^2}\Big)\\&=\frac{3\mathbf n(\mathbf n\cdot\mathbf m)-\mathbf m}{4\pi r^3}+\frac23\mathbf m\,\delta^3(\mathbf r).\end{aligned}$$바깥($r\ne0$)의 모양은 전기와 같은데 δ항은 $-\frac13$과 $+\frac23$으로 다릅니다. 계수 하나($\frac{4\pi}3$)에서 둘 다 나왔습니다.
(다) L09 연습 C6을 그림으로: $\hat{\mathbf z}\times\mathbf n=\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi}$이므로 $\dfrac{\sin\theta}{r^2}\hat{\boldsymbol\varphi}=\hat{\mathbf z}\times\mathbf E$. (나)에서 $\mathbf m=\hat{\mathbf z}$로 두면 $r\ne0$에서
$$\begin{aligned}&\nabla\times\Big(\frac{\sin\theta}{r^2}\hat{\boldsymbol\varphi}\Big)\\&=\frac{3\cos\theta\,\mathbf n-\hat{\mathbf z}}{r^3}\\&=\frac{2\cos\theta\,\hat{\mathbf r}+\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}}{r^3}.\end{aligned}$$마지막 등호는 $\hat{\mathbf z}=\cos\theta\,\hat{\mathbf r}-\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}$. 곡선좌표 curl 공식 없이 L09의 답이 나왔고, 덤으로 원점에 $\frac{8\pi}3\hat{\mathbf z}\,\delta^3$이 숨어 있다는 것도 알 수 있습니다.
이 그림 등식은 적분 정리라서 다른 그림들처럼 텐서 네트워크로 계산해 확인할 수 없습니다. 대신 구체적인 면과 장(단위원판과 $\mathbf F=(-y,x,0)$, 기울어진 타원)으로 양변을 SymPy로 검산했습니다.
L08의 증명과 같습니다. 영역을 작은 칸으로 나누면 칸 하나에서는 "미분 × 칸의 크기 = 칸 경계에서의 차이"(미분의 정의)이고, 이웃한 칸이 공유하는 경계는 서로 반대 방향이라 지워져 바깥 경계만 남습니다. 그림의 "다리 하나에 꼬리를 붙이면 풍선이 영역을 감싼다"는 이 두 단계(칸 하나에서 미분 = 경계 차이, 안쪽 경계 상쇄)를 한 모양으로 적은 것입니다.
스토크스 정리를 장 대신 "$i$를 열린 끝으로 남긴 $\varepsilon_{imk}x_m$"에 씁니다. 경계 쪽은 $\oint\varepsilon_{imk}x_m\,dl_k=\big(\oint\mathbf r\times d\mathbf l\big)_i$입니다. 면 쪽의 피적분 함수는
$$\begin{aligned}&da_a\,\varepsilon_{ajk}\,\partial_j(\varepsilon_{imk}x_m)\\&=da_a\,\varepsilon_{ajk}\varepsilon_{ijk}=2\,da_i.\end{aligned}$$그림으로는 풍선(r)이 맨 선이 되어 두 점 사이에 선 둘이 남는 거품이고, 지표 순서가 같은(꼰) 거품이라 $+2$입니다. 따라서 $\oint\mathbf r\times d\mathbf l=2\int d^2\mathbf a$.
평면($xy$평면)에서 $z$성분만 보면 $\frac12\oint(x\,dy-y\,dx)$, L08 6절의 넓이 공식입니다. L08 연습 E3의 삼각형 $(0,0),(2,0),(0,3)$에 쓰면 원점을 지나는 두 변에서는 $x\,dy-y\,dx=0$이고, 남은 변 $(2,0)\to(0,3)$에서 $\frac12\int_0^1\big[(2-2t)\cdot3-3t\cdot(-2)\big]dt=\frac12\cdot6=3$.
| 레슨·위치 | 계산 | 그림으로 하면 |
|---|---|---|
| L07 0절·6절 항등식 표 | $\nabla(\mathbf A\cdot\mathbf B)$, $\nabla\times(\mathbf A\times\mathbf B)$ 외우기 | 선 교환 한 번(예제 4-1), H 한 번 + 풍선 나누기(예제 4-3). 외울 필요 없음 |
| L07 6절 예제 6-1, 레시피 2 | 곱 법칙, $\nabla f\times\mathbf A$의 순서 | 풍선 나누기(예제 2-1, 연습 B4). 순서가 그림에서 자동 |
| L07 6절 예제 6-2, 연습 E6 | $(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v$ 항등식 | 예제 4-1에서 A = B(예제 4-2) |
| L07 7절 예제 7-2, 연습 E3 | $\nabla\times\nabla\times\mathbf A$ | H 한 번(예제 3-1) |
| L07 3절 레시피 5, 6절 레시피 4 | curl grad = 0, div curl = 0 | 두 겹 풍선 + 점 = 0(3절) |
| L07 5절 예제 5-1, 연습 D2, E1, E2, E4, E5, F3 | $\mathbf r$, $r$, $\hat{\mathbf r}$의 미분 | 풍선(r) = 맨 선, 풍선(r) = n(5절, 연습 D1–D2) |
| L09 연습 C4, C6 | 곡선좌표 발산·curl | 직교좌표 그림 규칙으로 바로(연습 D3, 예제 6-2(다)). 곡선좌표 공식이 필요 없음 |
| L08 5절, L27 4절 | $\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)=4\pi\delta^3$, $\nabla^2\frac1r=-4\pi\delta^3$ | 계수 $\frac{4\pi}3$ 하나에서(6절, 연습 E1–E2). 쌍극자 δ항(본문 레슨에는 없음)도 같은 계수 |
| L08 6절 예제 6-1, 연습 E3 | 넓이 $\frac12\oint(x\,dy-y\,dx)$ | $\int d^2\mathbf a=\frac12\oint\mathbf r\times d\mathbf l$의 $z$성분(예제 7-1). 계산량은 같음 |
| L08 4·7절 발산·스토크스 정리 | 정리 적용 | "풍선 뒤집기" 하나로 기억(7절). 실제 매개화 계산은 그대로 |
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 그림 등식은 구체적인 장으로 텐서 네트워크 계산을 해서, 답은 SymPy로 검산했습니다.
A1. 다음 그림을 지표식과 벡터식으로 쓰세요.
A2. 다음 그림은 $+\nabla\times\mathbf A$인가요, $-\nabla\times\mathbf A$인가요?
A3. $\mathbf v=(-y,x,0)$의 $\partial_iv_j$ 표를 만들고, 발산과 curl을 표에서 읽으세요.
B1. $\nabla\cdot(f\nabla g)$
B2. $\nabla\times(f\nabla g)$
B3. (L07 예제 6-1(가)를 그림으로) $\nabla\cdot(e^{-r}\mathbf r)$
C1. $\mathbf a$가 상수일 때 $\nabla(\mathbf a\cdot\mathbf B)$
C2. $\mathbf a$가 상수일 때 $\nabla\times(\mathbf a\times\mathbf B)$
C3. $\mathbf u=\nabla\Phi$일 때 $(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u=\frac12\nabla(u^2)$임을 보이세요.
C4. $(\nabla\times\mathbf A)\cdot(\nabla\times\mathbf B)$를 $\partial_iA_j$, $\partial_iB_j$로 쓰세요.
D1. (L07 연습 E1) $\nabla\cdot\big((\mathbf a\cdot\mathbf r)\mathbf r\big)$
D2. (L07 연습 E2) $\nabla\times\big((\mathbf a\cdot\mathbf r)\mathbf r\big)$
D3. (L09 연습 C4를 그림으로) $\nabla\cdot(r^n\hat{\mathbf r})$
D4. $\nabla(\mathbf a\cdot\mathbf n)$
D5. $\nabla^2\mathbf n$
E1. 예제 6-1에서 대각합을 잡아 $\nabla\cdot(\mathbf n/r^2)$를 구하세요.
E2. (L27 4절) $\nabla^2\frac1r$
E3. 반지름 $R$인 공 안에서 전기 쌍극자장(예제 6-2(가))을 부피적분하면?
F1. (L08 연습 E3) 꼭짓점 $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,3)$인 삼각형의 넓이를 $\frac12\oint\mathbf r\times d\mathbf l$로 구하세요.
F2. (L08 예제 6-1) 타원 $x=a\cos t$, $y=b\sin t$의 넓이