L10 · 해석함수와 코시 정리

예제 1-1 (다항식) $z^2$과 $z^3$ $$\begin{aligned}z^2&=(x+iy)^2=x^2+2ixy+i^2y^2\\&=(x^2-y^2)+i\,(2xy)\end{aligned}$$

따라서 $u=x^2-y^2$, $v=2xy$입니다.

$$\begin{aligned}z^3&=(x+iy)^3\\&=x^3+3x^2(iy)+3x(iy)^2+(iy)^3\\&=x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3\\&=(x^3-3xy^2)+i\,(3x^2y-y^3)\end{aligned}$$

따라서 $u=x^3-3xy^2$, $v=3x^2y-y^3$입니다.

예제 1-2 (분수·지수·삼각) $\dfrac1z$, $e^z$, $\sin z$

$\dfrac1z$: 분모의 켤레 $x-iy$를 위아래에 곱합니다.

$$\begin{aligned}\frac1z&=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}\\&=\frac{x}{x^2+y^2}+i\,\frac{-y}{x^2+y^2}\end{aligned}$$

$e^z$: $e^{x+iy}=e^x\cos y+i\,e^x\sin y$. 그래서 $u=e^x\cos y$, $v=e^x\sin y$입니다.

$\sin z$: 덧셈정리 $\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$를 씁니다.

$$\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin x\cos(iy)+\cos x\sin(iy)\\&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\end{aligned}$$

$\cosh y$는 $y$가 커지면 한없이 커집니다. 그래서 복소수에서는 $|\sin z|$가 1보다 클 수 있습니다.

예제 2-1 (해석적인 경우) $f(z)=z^3$

예제 1-1에서 $u=x^3-3xy^2$, $v=3x^2y-y^3$입니다.

$$\begin{aligned}u_x&=3x^2-3y^2,&v_y&=3x^2-3y^2\\u_y&=-6xy,&v_x&=6xy\end{aligned}$$

따라서 $u_x=v_y$, $u_y=-v_x$가 모든 $(x,y)$에서 성립하므로 $z^3$은 복소평면 전체에서 해석적입니다. 이런 함수를 전해석함수(entire function)라 합니다. 도함수도 확인합니다.

$$\begin{aligned}f'(z)&=u_x+iv_x=(3x^2-3y^2)+i\,6xy\\&=3(x+iy)^2=3z^2\end{aligned}$$

예제 2-2 (해석적이지 않은 경우) $\bar z$, $|z|^2$, $\mathrm{Re}\,z$

• $\bar z=x-iy$: $u=x$, $v=-y$. $u_x=1$, $v_y=-1$이라 $u_x\ne v_y$입니다. 어디서도 미분할 수 없습니다.
• $|z|^2=x^2+y^2$: $u=x^2+y^2$, $v=0$. 조건은 $u_x=2x=v_y=0$, $u_y=2y=-v_x=0$이라 $(x,y)=(0,0)$에서만 성립합니다. $z=0$ 한 점에서만 미분할 수 있고, 해석적인 곳은 없습니다. 빠른 판정으로도 $|z|^2=z\bar z$에 $\bar z$가 남습니다.
• $\mathrm{Re}\,z=x$: $u=x$, $v=0$. $u_x=1\ne v_y=0$. 어디서도 미분할 수 없습니다.

세 함수 모두 "매끄러운" 실함수인데도 복소함수로는 미분이 안 됩니다. 복소 미분은 그만큼 강한 조건입니다.

예제 3-1 (두 방법 비교) $u=x^2-y^2+2x$

조화 확인: $u_{xx}=2$, $u_{yy}=-2$, 합이 0이므로 조화함수입니다.

정공법: $u_x=2x+2$, $u_y=-2y$입니다.

• $v_y=u_x=2x+2$를 $y$로 적분: $v=2xy+2y+g(x)$.
• $v_x=2y+g'(x)$이고, 이것이 $-u_y=2y$와 같아야 하므로 $g'(x)=0$, $g=C$.
• $v=2xy+2y+C$.

$$\begin{aligned}f&=u+iv\\&=(x^2-y^2+2ixy)+2(x+iy)+iC\\&=z^2+2z+iC\end{aligned}$$

Milne-Thomson: $u_x(z,0)=2z+2$, $u_y(z,0)=0$이므로 $f'(z)=2z+2$. 적분하면 $f=z^2+2z+iC$. 같은 답이 두 줄 만에 나옵니다.

예제 3-2 (Milne-Thomson) $u=e^x(x\cos y-y\sin y)$

편도함수 (곱의 미분):

$$\begin{aligned}u_x&=e^x(x\cos y-y\sin y)+e^x\cos y\\u_y&=e^x(-x\sin y-\sin y-y\cos y)\end{aligned}$$

조화 확인: 한 번 더 미분하면 $u_{xx}=e^x\big((x+2)\cos y-y\sin y\big)$, $u_{yy}=-e^x\big((x+2)\cos y-y\sin y\big)$. 합이 0입니다.

$y=0$ 대입: $\cos 0=1$, $\sin0=0$이므로 $u_x(x,0)=e^x(x+1)$, $u_y(x,0)=0$.

$$f'(z)=(z+1)e^z\quad\Rightarrow\quad f(z)=ze^z+iC$$

확인: $(ze^z)'=e^z+ze^z=(z+1)e^z$. 조화공액은 $v=\mathrm{Im}(ze^z)=e^x(x\sin y+y\cos y)$입니다.

예제 4-1 $\displaystyle\oint_{|z|=r}z^n\,dz$ ($n$은 정수)와 $\displaystyle\oint_{|z|=r}\bar z\,dz$

$z=re^{i\theta}$, $dz=ire^{i\theta}d\theta$를 넣습니다.

$$\begin{aligned}\oint z^n\,dz&=\int_0^{2\pi}r^ne^{in\theta}\cdot ire^{i\theta}\,d\theta\\&=ir^{n+1}\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)\theta}\,d\theta\end{aligned}$$

• $n=-1$: 지수가 0이라 피적분함수가 1입니다. 결과는 $i\cdot 2\pi=2\pi i$.
• $n\ne-1$: $e^{ik\theta}$ ($k\ne0$)를 한 주기 적분하면 0입니다.

$$\begin{aligned}\oint_{|z|=r}\frac{dz}{z}&=2\pi i\\\oint_{|z|=r}z^n\,dz&=0\quad(n\ne-1)\end{aligned}$$

반지름 $r$과 상관이 없다는 점을 기억하세요. 이 결과가 이 레슨과 다음 레슨의 출발점입니다.

비교: $\bar z=re^{-i\theta}$이므로 $\displaystyle\oint\bar z\,dz=\int_0^{2\pi}re^{-i\theta}\cdot ire^{i\theta}\,d\theta=2\pi i\,r^2\ne0$. 해석적이지 않은 함수는 폐곡선 적분이 0이 아닐 수 있습니다.

예제 4-2 (경로에 따라 값이 다름) $\displaystyle\int\bar z\,dz$, $0$에서 $1+i$까지

경로 1 — 선분: $z=(1+i)t$, $\bar z=(1-i)t$, $dz=(1+i)\,dt$.

$$\int_0^1(1-i)t\cdot(1+i)\,dt=\int_0^1 2t\,dt=1$$

경로 2 — $0\to1\to1+i$:

• $0\to1$: $z=t$, $\bar z=t$, $dz=dt$. $\int_0^1 t\,dt=\tfrac12$.
• $1\to1+i$: $z=1+it$, $\bar z=1-it$, $dz=i\,dt$. $\int_0^1(1-it)\,i\,dt=\int_0^1(i+t)\,dt=i+\tfrac12$.

합은 $1+i$입니다. 끝점이 같은데 경로 1의 값 $1$과 다릅니다.

대조: 해석함수 $z$는 원시함수 $z^2/2$가 있으므로 어느 경로든 $\frac{(1+i)^2}{2}=\frac{2i}{2}=i$입니다. 경로 2로 직접 해 보면 $\tfrac12+\int_0^1(1+it)\,i\,dt=\tfrac12+(i-\tfrac12)=i$로 같습니다.

예제 5-1 다음 적분은 모두 0입니다. 이유를 확인합니다.

1. $\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z-2}\,dz$: 특이점은 $z=2$. $|2-0|=2>1$이므로 밖. 따라서 0.
2. $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{z^2}{z^2+9}\,dz$: $z^2=-9$에서 $z=\pm3i$. $|\pm3i|=3>2$이므로 둘 다 밖. 따라서 0.
3. $\displaystyle\oint_{|z-1|=1}\frac{dz}{z^2+1}$: 특이점 $z=\pm i$. 중심이 1이므로 $|i-1|=\sqrt2\approx1.41>1$, $|-i-1|=\sqrt2>1$. 둘 다 밖. 따라서 0.
4. $\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{\sin z}{z}\,dz$: $z=0$이 특이점처럼 보이지만 $\frac{\sin z}{z}=1-\frac{z^2}{6}+\cdots$라 극한이 1입니다. 가짜 특이점이므로 0.

예제 6-1 (코시 적분공식)

(a) $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}\,dz$. $a=1$은 안($|1|<2$), $f(z)=e^z$는 해석적입니다.

$$\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}\,dz=2\pi i\,e^1=2\pi i e$$

(b) $\displaystyle\oint_{|z-i|=1}\frac{dz}{z^2+1}$. 먼저 인수분해합니다: $z^2+1=(z-i)(z+i)$.

• $z=i$: $|i-i|=0<1$이므로 안.
• $z=-i$: $|-i-i|=2>1$이므로 밖.

밖에 있는 인수를 $f$에 넣습니다: $\dfrac{1}{z^2+1}=\dfrac{1/(z+i)}{z-i}$, $f(z)=\dfrac1{z+i}$.

$$\oint_{|z-i|=1}\frac{dz}{z^2+1}=2\pi i\cdot f(i)=2\pi i\cdot\frac{1}{2i}=\pi$$

예제 6-2 (도함수 공식)

(a) $\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{e^{2z}}{z^4}\,dz$. $a=0$, 분모 지수 $4=n+1$이므로 $n=3$, $f(z)=e^{2z}$.

$$\begin{aligned}&f'''(z)=8e^{2z},\quad f'''(0)=8\\&\oint=\frac{2\pi i}{3!}\cdot8=\frac{8\pi i}{3}\end{aligned}$$

(b) $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{(z-\pi/2)^3}\,dz$. $a=\frac\pi2\approx1.57<2$이므로 안. $n=2$, $f(z)=\sin z$.

$$\begin{aligned}&f''(z)=-\sin z,\quad f''\!\left(\tfrac\pi2\right)=-1\\&\oint=\frac{2\pi i}{2!}\cdot(-1)=-\pi i\end{aligned}$$

예제 7-1 $\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{e^z}{z(z-2)}\,dz$

특이점 $0$과 $2$가 모두 안에 있습니다($|2|<3$).

방법 1: 가리기로 계수를 구합니다. $\dfrac1z$의 계수는 $\dfrac{1}{0-2}=-\dfrac12$, $\dfrac1{z-2}$의 계수는 $\dfrac{1}{2}$.

$$\frac{1}{z(z-2)}=-\frac12\cdot\frac1z+\frac12\cdot\frac1{z-2}$$ $$\begin{aligned}\oint\frac{e^z\,dz}{z(z-2)}&=-\frac12\cdot2\pi i\,e^0+\frac12\cdot2\pi i\,e^2\\&=\pi i\,(e^2-1)\end{aligned}$$

방법 2: $z=0$ 둘레에서는 $f=\dfrac{e^z}{z-2}$, $z=2$ 둘레에서는 $f=\dfrac{e^z}{z}$입니다.

$$\begin{aligned}&2\pi i\cdot\frac{e^0}{0-2}+2\pi i\cdot\frac{e^2}{2}\\&=-\pi i+\pi i\,e^2=\pi i\,(e^2-1)\end{aligned}$$

예제 7-2 (한 점이 2차) $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{\cos z}{z^2(z-1)}\,dz$

특이점 $0$(분모 $z^2$)과 $1$이 모두 안에 있습니다.

방법 1: $\dfrac{1}{z^2(z-1)}=\dfrac Az+\dfrac B{z^2}+\dfrac C{z-1}$로 둡니다.

• $C$: $(z-1)$을 가리고 $z=1$ → $C=1$.
• $B$: $z^2$을 가리고 $z=0$ → $B=\dfrac{1}{0-1}=-1$.
• $A$: 양변에 분모를 곱하면 $1=Az(z-1)+B(z-1)+Cz^2$. $z^2$의 계수를 비교하면 $A+C=0$, 따라서 $A=-1$.

$$\frac{1}{z^2(z-1)}=-\frac1z-\frac1{z^2}+\frac1{z-1}$$

조각마다 공식을 씁니다. $\frac{\cos z}{z^2}$ 조각은 도함수 공식($n=1$)이고 $(\cos z)'=-\sin z$가 $0$에서 0입니다.

$$\begin{aligned}\oint&=-2\pi i\cos0-2\pi i\,(-\sin 0)+2\pi i\cos1\\&=2\pi i\,(\cos1-1)\end{aligned}$$

방법 2: $z=0$ 둘레에서 $f_0=\dfrac{\cos z}{z-1}$, $n=1$입니다.

$$\begin{aligned}f_0'(z)&=\frac{-\sin z\,(z-1)-\cos z}{(z-1)^2}\\f_0'(0)&=\frac{0-1}{1}=-1\end{aligned}$$

$z=1$ 둘레에서 $f_1=\dfrac{\cos z}{z^2}$, $f_1(1)=\cos1$. 합은 $2\pi i(-1)+2\pi i\cos1=2\pi i(\cos1-1)$로 같습니다.

예제 8-1 세 함수로 옮기기

(a) $w=z^2$, 제1사분면과 직선 $x=1$. 제1사분면은 $0<\theta<\frac\pi2$입니다. 각이 두 배가 되므로 $0<\arg w<\pi$, 곧 상반평면입니다. 직선 $x=1$은 $z=1+it$로 둡니다.

$$\begin{aligned}w&=(1+it)^2=(1-t^2)+i\,(2t)\\u&=1-t^2,\quad v=2t\end{aligned}$$

$t=\frac v2$를 넣으면 $u=1-\dfrac{v^2}{4}$. 왼쪽으로 열린 포물선입니다.

(b) $w=\dfrac1z$, 직선 $x=1$과 반평면 $x>1$. $z=1+it$를 넣고 분모를 실수로 만듭니다.

$$\begin{aligned}w&=\frac{1}{1+it}=\frac{1-it}{1+t^2}\\u&=\frac{1}{1+t^2},\quad v=\frac{-t}{1+t^2}\end{aligned}$$

$u^2+v^2=\dfrac{1+t^2}{(1+t^2)^2}=\dfrac1{1+t^2}=u$입니다. 정리하면

$$\Big(u-\frac12\Big)^2+v^2=\frac14$$

중심 $\frac12$, 반지름 $\frac12$인 원입니다($t\to\pm\infty$에 해당하는 $w=0$은 빠짐). 시험점 $z=2$는 $w=\frac12$, 원의 중심으로 갑니다. 그래서 반평면 $x>1$은 이 원의 안쪽으로 갑니다.

(c) $w=e^z$, 띠 $0<y<\pi$. $w=e^xe^{iy}$에서 $|w|=e^x$는 $0$부터 $\infty$까지 모든 양수, $\arg w=y$는 $0$부터 $\pi$까지입니다. 그래서 띠는 상반평면으로 갑니다. 경계 $y=0$은 양의 실축, $y=\pi$는 음의 실축으로 갑니다.