Arfken 7판 3.7–3.9절 (선적분, 면적분, 부피적분, 발산정리, 스토크스 정리, 스칼라·벡터 퍼텐셜)
| 이름 | 공식 |
|---|---|
| 선적분 | $\displaystyle\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$ |
| 기울기 정리 | $\displaystyle\int_C\nabla\phi\cdot d\mathbf r=\phi(\text{끝점})-\phi(\text{시작점})$ |
| 면적분(플럭스) | $\displaystyle\int_S\mathbf F\cdot d\mathbf A=\iint\mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv$ |
| 발산정리 | $\displaystyle\oint_S\mathbf F\cdot d\mathbf A=\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV$ |
| 스토크스 정리 | $\displaystyle\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf A$ |
| 그린 정리 | $\displaystyle\oint_C(P\,dx+Q\,dy)=\iint_R\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dx\,dy$ |
| 넓이 | $\displaystyle\text{넓이}=\frac12\oint_C(x\,dy-y\,dx)$ |
| 가우스 법칙 꼴 | $\displaystyle\oint_S\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}\cdot d\mathbf A=4\pi$ (원점이 안에), $0$ (원점이 밖에) |
| 푸아송 방정식 | $\nabla^2\dfrac1r=-4\pi\delta^3(\mathbf r)$, $\ \nabla^2\phi=s\ \Rightarrow\ \phi=-\dfrac1{4\pi}\displaystyle\int\frac{s(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'$ |
| 그린 항등식 | $\displaystyle\int_V(u\nabla^2v-v\nabla^2u)\,dV=\oint_S(u\,\partial_nv-v\,\partial_nu)\,dA$ |
모두 $d\mathbf A=(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv$ 를 계산한 결과입니다.
| 면 (법선 방향) | 매개화와 $d\mathbf A$ |
|---|---|
| 평면 $z=c$ (위쪽) | $\mathbf r=(x,\,y,\,c)$ $d\mathbf A=\hat{\mathbf z}\,dx\,dy$ |
| 그래프 $z=g(x,y)$ (위쪽) | $\mathbf r=(x,\,y,\,g)$ $d\mathbf A=(-g_x,\,-g_y,\,1)\,dx\,dy$ |
| 원기둥 옆면 $\rho=a$ (바깥) | $\mathbf r=(a\cos\varphi,\,a\sin\varphi,\,z)$ $d\mathbf A=\hat{\boldsymbol\rho}\,a\,d\varphi\,dz$ |
| 구면 $r=a$ (바깥) | $\mathbf r=a\,\hat{\mathbf r}$ $d\mathbf A=\hat{\mathbf r}\,a^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ |
여기서 $\hat{\boldsymbol\rho}=(\cos\varphi,\ \sin\varphi,\ 0)$, $\hat{\mathbf r}=(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta)$ 입니다.
부피 요소: $dV=dx\,dy\,dz=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$.
자주 나오는 적분: $\int_0^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi=\int_0^{2\pi}\sin^2\varphi\,d\varphi=\pi$, $\int_0^{2\pi}\cos^4\varphi\,d\varphi=\frac{3\pi}4$, $\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta=2$, $\int_0^\pi\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta=\frac23$, $\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta=\frac43$.
$\mathbf F\cdot d\mathbf r=x^2\,dx+xy\,dy$ 입니다.
(가) 직선 $\mathbf r=(t,t)$: $dx=dy=dt$. $\displaystyle\int_0^1(t^2+t^2)\,dt=\frac23$.
(나) 포물선 $\mathbf r=(t,t^2)$: $dx=dt$, $dy=2t\,dt$.
$$\begin{aligned}&\int_0^1\big(t^2+t\cdot t^2\cdot2t\big)\,dt\\&=\int_0^1(t^2+2t^4)\,dt=\frac13+\frac25=\frac{11}{15}.\end{aligned}$$(다) 꺾인 경로 $(0,0)\to(1,0)\to(1,1)$: 첫 조각은 $y=0$, $dy=0$ 이라 $\int_0^1x^2\,dx=\frac13$. 둘째 조각은 $x=1$, $dx=0$ 이라 $\int_0^1y\,dy=\frac12$. 합은 $\frac56$.
세 값이 모두 다릅니다. 이 $\mathbf F$의 선적분은 경로에 따라 달라집니다. 실제로 $\nabla\times\mathbf F=(0,0,\ \partial_x(xy)-\partial_y(x^2))=(0,0,y)\ne0$ 입니다.
(가) 퍼텐셜이 있으면 경로 무관: $\mathbf F=\nabla\phi$ 이면 곡선 위에서 $\mathbf F\cdot\mathbf r'(t)=\dfrac{d}{dt}\phi(\mathbf r(t))$ (연쇄법칙, L07 4절). 적분하면 $\phi(\text{끝})-\phi(\text{시작})$ 이고, 경로가 들어갈 자리가 없습니다.
(나) 경로 무관이면 퍼텐셜이 있음: 기준점 $\mathbf r_0$ 에서 $\phi(\mathbf r)=\int_{\mathbf r_0}^{\mathbf r}\mathbf F\cdot d\mathbf r$ 로 정의합니다. 끝점을 $x$ 방향으로 $\Delta x$ 옮기면 늘어난 조각은 $F_x\Delta x$ 이므로 $\partial_x\phi=F_x$. 레시피 2의 "차례로 적분"은 이 경로를 축에 나란한 선분으로 잡은 것과 같습니다.
(다) curl 0이면 닫힌 경로 0: 닫힌 경로가 어떤 면 $S$의 경계이면 스토크스 정리(7절)로 $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf A=0$. 닫힌 경로가 0이면 두 경로의 차가 0이라 경로 무관입니다.
구멍이 문제인 이유: $\hat{\boldsymbol\varphi}/\rho=(-y,x,0)/(x^2+y^2)$ 는 $z$축 밖에서 curl이 0입니다. 그런데 $z$축을 감는 원은 $z$축을 피하는 면의 경계가 될 수 없어서 (다)를 쓸 수 없습니다. 실제로 이 장은 방위각의 기울기 $\nabla\varphi$ 인데, $\varphi$는 한 바퀴 돌면 $2\pi$ 늘어나는 값이 여러 개인 함수라서 $\oint=2\pi$ 입니다(연습문제 B4).
판정: 세 성분을 계산합니다.
$$\begin{aligned}(\nabla\times\mathbf F)_x&=\partial_y(x-6yz)-\partial_z(x^2-3z^2)\\&=-6z+6z=0,\\(\nabla\times\mathbf F)_y&=\partial_z(2xy+z)-\partial_x(x-6yz)\\&=1-1=0,\\(\nabla\times\mathbf F)_z&=\partial_x(x^2-3z^2)-\partial_y(2xy+z)\\&=2x-2x=0.\end{aligned}$$보존장입니다. 퍼텐셜을 차례로 구합니다.
선적분: $\phi(1,2,1)-\phi(0,0,0)=2+1-6=-3$.
직선 $\mathbf r=(t,2t,t)$로 직접 확인합니다. $\mathbf F=(4t^2+t,\ -2t^2,\ t-12t^2)$, $\mathbf r'=(1,2,1)$ 이므로 $\mathbf F\cdot\mathbf r'=2t-12t^2$, $\int_0^1(2t-12t^2)\,dt=1-4=-3$. 같습니다.
$(u,v)$ 평면의 작은 직사각형 $du\times dv$ 는 곡면 위의 작은 (거의) 평행사변형으로 갑니다. 두 변은 $\mathbf r(u+du,v)-\mathbf r(u,v)\approx\mathbf r_u\,du$ 와 $\mathbf r_v\,dv$ 입니다.
평행사변형의 넓이는 두 변의 외적의 크기이고, 외적의 방향은 면에 수직입니다(L07 1절). 그래서 $d\mathbf A=(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv$. $u,v$ 순서를 바꾸면 외적의 부호가 바뀌므로, 레시피 3처럼 방향을 꼭 확인해야 합니다.
예: 구면에서 $\mathbf r_\theta$ 는 경선 방향으로 길이 $a$, $\mathbf r_\varphi$ 는 위도선(반지름 $a\sin\theta$) 방향으로 길이 $a\sin\theta$ 이고 둘이 수직입니다. 그래서 $dA=a^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$.
매개화: $\mathbf r(x,y)=(x,\ y,\ 1-x-y)$, 영역 $T$: $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le1$.
$$\begin{aligned}\mathbf r_x&=(1,0,-1),\quad \mathbf r_y=(0,1,-1),\\\mathbf r_x\times\mathbf r_y&=(1,1,1).\end{aligned}$$$z$성분이 양수이므로 위쪽이 맞습니다. 면 위에서 $\mathbf F=(x,0,1-x-y)$ 이므로
$$\begin{aligned}\mathbf F\cdot\mathbf N&=x+0+(1-x-y)=1-y,\\\text{플럭스}&=\int_0^1\!\!\int_0^{1-y}(1-y)\,dx\,dy\\&=\int_0^1(1-y)^2\,dy=\frac13.\end{aligned}$$(4절의 발산정리로도 확인됩니다. $\nabla\cdot\mathbf F=2$, 사면체 부피 $\frac16$, 좌표평면 세 면에서는 $\mathbf F\cdot\hat{\mathbf n}=0$.)
(가) 원기둥 옆면 $\rho=a$, $0\le z\le h$, 바깥 법선, $\mathbf F=(xz,\ yz,\ 0)$.
$$\begin{aligned}\mathbf r&=(a\cos\varphi,\,a\sin\varphi,\,z),\\\mathbf r_\varphi\times\mathbf r_z&=(-a\sin\varphi,\,a\cos\varphi,\,0)\times(0,0,1)\\&=(a\cos\varphi,\,a\sin\varphi,\,0).\end{aligned}$$바깥 방향이 맞습니다. 면 위에서 $\mathbf F=(az\cos\varphi,\ az\sin\varphi,\ 0)$ 이므로 $\mathbf F\cdot\mathbf N=a^2z(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=a^2z$.
$$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^h a^2z\,dz\,d\varphi=2\pi a^2\cdot\frac{h^2}2=\pi a^2h^2.$$(나) 구면 $r=a$, 바깥 법선, $\mathbf F=z\,\hat{\mathbf z}$.
$$\begin{aligned}\mathbf r_\theta\times\mathbf r_\varphi&=a^2\sin\theta\,(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta)\\&=a^2\sin\theta\,\hat{\mathbf r}.\end{aligned}$$면 위에서 $z=a\cos\theta$, $\hat{\mathbf z}\cdot\hat{\mathbf r}=\cos\theta$ 이므로 $\mathbf F\cdot\mathbf N=a\cos\theta\cdot\cos\theta\cdot a^2\sin\theta$.
$$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi a^3\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=a^3\cdot\frac23\cdot2\pi=\frac{4\pi a^3}3.$$$\nabla\cdot\mathbf F=1$ 이므로 공의 부피와 같아야 합니다. 맞습니다.
작은 상자 $[x,x+\Delta x]\times[y,y+\Delta y]\times[z,z+\Delta z]$ 를 봅니다. 면 $x+\Delta x$ (바깥 법선 $+\hat{\mathbf x}$)와 면 $x$ (바깥 법선 $-\hat{\mathbf x}$)에서 나가는 플럭스의 합은
$$\begin{aligned}&\big[F_x(x+\Delta x)-F_x(x)\big]\Delta y\,\Delta z\\&\approx\partial_xF_x\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z.\end{aligned}$$$y$, $z$ 방향의 면도 같으므로 상자 하나의 플럭스는 $(\nabla\cdot\mathbf F)\,\Delta V$ 입니다. 즉 발산은 "단위 부피당 나가는 플럭스"입니다.
큰 영역을 작은 상자로 채우고 모두 더하면, 이웃한 두 상자가 공유하는 면에서는 법선이 서로 반대라 한쪽이 내보낸 만큼 다른 쪽이 받아 상쇄됩니다. 바깥 경계면만 남으므로 $\oint_S\mathbf F\cdot d\mathbf A=\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV$. (굽은 경계를 상자로 근사하는 부분은 엄밀하게는 극한 논증이 필요하지만 생략합니다.)
부피 쪽: $\nabla\cdot\mathbf F=1+1+2z=2+2z$.
$$\begin{aligned}&\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^a\!\!\int_0^h(2+2z)\,dz\,\rho\,d\rho\,d\varphi\\&=2\pi\cdot\frac{a^2}2\cdot(2h+h^2)=2\pi a^2h+\pi a^2h^2.\end{aligned}$$면 쪽: 세 조각으로 나눕니다.
합 $2\pi a^2h+\pi a^2h^2$. 양변이 같습니다.
면적분을 직접 하려면 $\sin(yz)$, $e^{xz}$ 를 구면 위에서 적분해야 합니다. 대신 발산을 봅니다.
$$\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf F&=3x^2+\partial_x\sin(yz)+3y^2+\partial_ye^{xz}\\&\quad+3z^2+\partial_z(x^2y)\\&=3(x^2+y^2+z^2)=3r^2.\end{aligned}$$복잡한 항은 미분하는 변수가 들어 있지 않아서 모두 0이 됩니다. 구면좌표로 부피적분합니다.
$$\begin{aligned}&\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\!\!\int_0^a3r^2\cdot r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi\\&=3\cdot\frac{a^5}{5}\cdot2\cdot2\pi=\frac{12\pi a^5}{5}.\end{aligned}$$그림 표기로 보기: G2 6절 — ∂i(nj/r²)의 원점 δ항 (4π/3)δij와 쌍극자장의 −⅓p, +⅔m δ항
원점에서 거리 $r$ 인 작은 면 조각 $dA$ 의 법선이 $\hat{\mathbf r}$ 과 각 $\alpha$ 를 이루면 $\dfrac{\hat{\mathbf r}\cdot d\mathbf A}{r^2}=\dfrac{dA\cos\alpha}{r^2}$. 이것은 그 조각을 원점에서 본 입체각(solid angle) $d\Omega$ 입니다. 원점 중심 단위구면에 비친 그림자의 넓이라고 생각하면 됩니다($dA\cos\alpha$ 는 시선에 수직인 넓이, $1/r^2$ 은 거리에 따른 축소).
원점이 안에 있으면 원점에서 나가는 모든 시선이 면을 (알짜로) 한 번 뚫고 나가므로, 합은 단위구면 전체 넓이 $4\pi$ 입니다. 원점이 밖에 있으면 시선 하나가 면에 들어갔다가 나오므로 $-d\Omega$ 와 $+d\Omega$ 가 상쇄되어 0입니다.
그래서 $\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)$ 는 원점 밖에서 0인데, 원점을 감싸면 적분이 $4\pi$ 입니다. 원점에 모든 원천이 몰려 있는 $4\pi\delta^3(\mathbf r)$ 라는 뜻입니다(9절에서 씀).
(가) $[-1,1]^3$은 원점을 포함합니다. 전체 플럭스 $=4\pi$.
(나) 여섯 면은 서로 대칭이므로 면 $x=1$ 하나의 플럭스는 $\dfrac{4\pi}6=\dfrac{2\pi}3$ 입니다. 그 면에서 $\mathbf E\cdot\hat{\mathbf x}=x/r^3=(1+y^2+z^2)^{-3/2}$ 이므로
$$\int_{-1}^1\!\!\int_{-1}^1\frac{dy\,dz}{(1+y^2+z^2)^{3/2}}=\frac{2\pi}3.$$이 적분을 직접 하는 것보다 대칭으로 얻는 것이 훨씬 빠릅니다.
(다) $[1,2]\times[-1,1]\times[-1,1]$ 은 원점을 포함하지 않습니다. 전체 플럭스 $=0$. 원점 쪽 면 $x=1$으로 들어온 만큼 나머지 다섯 면으로 나갑니다.
그림 표기로 보기: G2 7절 — 스토크스·발산·기울기 정리를 "풍선 뒤집기" 하나로, 넓이 공식의 3차원판 ∫d²a = ½∮r×dl
작은 직사각형 $[x,x+\Delta x]\times[y,y+\Delta y]$ 를 반시계로 돕니다. 아래 변(오른쪽으로)과 위 변(왼쪽으로)의 $P\,dx$ 를 더하면
$$\big[P(x,y)-P(x,y+\Delta y)\big]\Delta x\approx-\partial_yP\,\Delta x\,\Delta y.$$오른쪽 변(위로)과 왼쪽 변(아래로)의 $Q\,dy$ 는 $\big[Q(x+\Delta x,y)-Q(x,y)\big]\Delta y\approx\partial_xQ\,\Delta x\,\Delta y$. 합하면 칸 하나의 순환이 $(\partial_xQ-\partial_yP)\,\Delta A$ 입니다.
영역을 작은 칸으로 채워 더하면, 이웃한 두 칸이 공유하는 변은 서로 반대 방향으로 한 번씩 지나가서 상쇄됩니다. 바깥 경계만 남으므로 그린 정리가 됩니다(4절 발산정리의 "안쪽 면 상쇄"와 같은 논법).
넓이 공식은 $\partial_xQ-\partial_yP=1$ 인 아무 $P,Q$ 나 쓰면 됩니다. $(0,\,x)$ 나 $(-y,\,0)$ 도 되지만, $(-\frac y2,\,\frac x2)$ 가 대칭이라 계산이 편합니다.
$x=a\cos t$, $y=b\sin t$, $0\le t\le2\pi$ (반시계).
$$x\,y'-y\,x'=a\cos t\cdot b\cos t-b\sin t\cdot(-a\sin t)=ab.$$ $$\text{넓이}=\frac12\int_0^{2\pi}ab\,dt=\pi ab.$$곡면 $S$ 를 작은 (거의 평평한) 조각으로 나눕니다. 조각 하나를 그 평면의 좌표로 보면 6절의 그린 정리가 그대로 성립해서, 조각 둘레의 순환은 $(\nabla\times\mathbf F)\cdot\hat{\mathbf n}\,\Delta A$ 입니다. 예를 들어 $\hat{\mathbf n}=\hat{\mathbf z}$ 인 조각이면 $(\nabla\times\mathbf F)_z=\partial_xF_y-\partial_yF_x$ 가 바로 그린 정리의 피적분 함수입니다. 즉 curl의 한 성분은 "그 방향에 수직인 작은 고리의 순환 ÷ 넓이"입니다.
모든 조각의 순환을 더하면 안쪽 변은 이웃 조각과 반대 방향으로 두 번 지나가서 상쇄되고, 바깥 경계 $C$만 남습니다. 그래서 $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf A$.
결과가 경계에만 의존하므로 같은 경계를 가진 면이면 어떤 것이든 같은 값입니다(레시피 4(나)). 두 면을 이어 붙인 닫힌 면에 발산정리를 쓰면 $\int\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)\,dV=0$ 이 되는 것과 같은 말입니다.
선적분: $\mathbf r=(a\cos t,\ a\sin t,\ 0)$, $\mathbf r'=(-a\sin t,\ a\cos t,\ 0)$.
$$\begin{aligned}\mathbf F\cdot\mathbf r'&=(-a^3\sin^3t)(-a\sin t)+(a^3\cos^3t)(a\cos t)\\&=a^4(\sin^4t+\cos^4t).\end{aligned}$$ $$\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=a^4\Big(\frac{3\pi}4+\frac{3\pi}4\Big)=\frac{3\pi a^4}2.$$($\sin^4t=\frac{3-4\cos2t+\cos4t}{8}$ 이라서 한 주기 적분은 $\frac{3}{8}\cdot2\pi$.)
curl:
$$\nabla\times\mathbf F=\big(xz\,e^{xy},\ -yz\,e^{xy},\ 3x^2+3y^2\big).$$원판 $S_1$ ($z=0$, $\hat{\mathbf n}=\hat{\mathbf z}$): $z$성분만 필요합니다.
$$\begin{aligned}\int_{S_1}(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf A&=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^a3\rho^2\,\rho\,d\rho\,d\varphi\\&=3\cdot\frac{a^4}4\cdot2\pi=\frac{3\pi a^4}2.\end{aligned}$$검증 끝. 이제 이용: 위쪽 반구면 $S_2$ ($r=a$, $z\ge0$, 바깥 법선)의 $\int_{S_2}(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf A$ 는 직접 하면 $e^{xy}$ 항 때문에 어렵습니다. 그러나 경계가 같은 $C$이고 방향도 맞으므로, 계산 없이 $\dfrac{3\pi a^4}{2}$ 입니다.
$\hat{\mathbf z}\times\mathbf r=(0\cdot z-1\cdot y,\ 1\cdot x-0\cdot z,\ 0)=(-y,x,0)$ 이므로
$$\begin{aligned}\mathbf A_1&=\frac12\mathbf B\times\mathbf r=\frac{B_0}2(-y,\ x,\ 0),\\(\nabla\times\mathbf A_1)_z&=\partial_x\Big(\frac{B_0x}2\Big)-\partial_y\Big(-\frac{B_0y}2\Big)=B_0.\end{aligned}$$나머지 성분은 0이므로 $\nabla\times\mathbf A_1=B_0\hat{\mathbf z}$. 또 $\mathbf A_2=(0,\ B_0x,\ 0)$ 도 $(\nabla\times\mathbf A_2)_z=B_0$ 입니다. 둘의 차이는
$$\mathbf A_2-\mathbf A_1=\Big(\frac{B_0y}2,\ \frac{B_0x}2,\ 0\Big)=\nabla\Big(\frac{B_0xy}2\Big).$$스토크스 정리로 확인: 반지름 $R$인 원(반시계)에서 $\mathbf A_1\cdot\mathbf r'=\frac{B_0}2(R^2\sin^2t+R^2\cos^2t)=\frac{B_0R^2}2$, 따라서 $\oint\mathbf A_1\cdot d\mathbf r=\pi R^2B_0$. 원판을 지나는 $\mathbf B$의 플럭스와 같습니다.
L07에서 $\hat{\mathbf r}/r^2=-\nabla(1/r)$ 이고 5절에서 $\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)=4\pi\delta^3(\mathbf r)$ 이므로 $\nabla^2(1/r)=-4\pi\delta^3(\mathbf r)$. 원점을 $\mathbf r'$ 으로 옮기면 $\nabla^2\dfrac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}=-4\pi\delta^3(\mathbf r-\mathbf r')$ 입니다.
원천을 점원천의 합 $s(\mathbf r)=\int s(\mathbf r')\,\delta^3(\mathbf r-\mathbf r')\,dV'$ 으로 보고, 점마다 $-\dfrac{s(\mathbf r')\,dV'}{4\pi|\mathbf r-\mathbf r'|}$ 를 두어 더하면
$$\begin{aligned}&\nabla^2\Big[-\frac1{4\pi}\int\frac{s(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'\Big]\\&=\int s(\mathbf r')\,\delta^3(\mathbf r-\mathbf r')\,dV'=s(\mathbf r).\end{aligned}$$헬름홀츠: 위 공식의 $\phi$ 는 $\nabla^2\phi=\nabla\cdot\mathbf F$, $\mathbf A$ 는 $\nabla^2\mathbf A=-\nabla\times\mathbf F$ 를 만족합니다($\nabla\cdot\mathbf A=0$ 은 부분적분으로 나오지만 생략). $\mathbf G=\nabla\phi+\nabla\times\mathbf A$ 로 두면 $\nabla\cdot\mathbf G=\nabla^2\phi=\nabla\cdot\mathbf F$, $\nabla\times\mathbf G=\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A=\nabla\times\mathbf F$ (L07의 curl curl). 차 $\mathbf F-\mathbf G$ 는 발산도 curl도 0이고 무한대에서 0이므로 0입니다(10절의 유일성 논법).
대칭으로 $\mathbf F=F_r(r)\,\hat{\mathbf r}$ 입니다. 반지름 $r$ 구면에 발산정리를 씁니다.
$$\begin{aligned}r<a:&\ \ F_r\cdot4\pi r^2=s_0\cdot\tfrac43\pi r^3\\&\Rightarrow\ F_r=\frac{s_0r}{3},\\r>a:&\ \ F_r\cdot4\pi r^2=s_0\cdot\tfrac43\pi a^3\\&\Rightarrow\ F_r=\frac{s_0a^3}{3r^2}.\end{aligned}$$퍼텐셜($r\to\infty$ 에서 0): 밖에서 $\phi=-\displaystyle\int_r^\infty\frac{s_0a^3}{3r'^2}dr'=-\frac{s_0a^3}{3r}$. 안에서는 $\phi'=\frac{s_0r}3$ 이므로 $\phi=\frac{s_0r^2}6+C$ 이고, $r=a$ 에서 이어지려면 $\frac{s_0a^2}{6}+C=-\frac{s_0a^2}{3}$, 즉 $C=-\frac{s_0a^2}2$.
$$\phi=\frac{s_0}{6}\big(r^2-3a^2\big)\quad(r\le a).$$확인 1: $\nabla^2\phi=\frac{s_0}6\nabla^2r^2=\frac{s_0}6\cdot6=s_0$ (L07의 $\nabla^2r^2=6$). 밖에서는 $\nabla^2(1/r)=0$.
확인 2 (푸아송 적분, 중심에서): $|\mathbf 0-\mathbf r'|=r'$ 이므로
$$\begin{aligned}\phi(0)&=-\frac{1}{4\pi}\int_0^a\frac{s_0}{r'}\,4\pi r'^2\,dr'\\&=-s_0\frac{a^2}2.\end{aligned}$$위 식에 $r=0$ 을 넣은 $\frac{s_0}6(0-3a^2)$ 과 같습니다.
대칭으로 $\mathbf F=F_\varphi(\rho)\,\hat{\boldsymbol\varphi}$ 로 둡니다. 반지름 $\rho$ 원(반시계)과 그 원판에 스토크스 정리를 씁니다.
$$\begin{aligned}\rho<a:&\ \ F_\varphi\cdot2\pi\rho=J_0\cdot\pi\rho^2\\&\Rightarrow\ F_\varphi=\frac{J_0\rho}2,\\\rho>a:&\ \ F_\varphi\cdot2\pi\rho=J_0\cdot\pi a^2\\&\Rightarrow\ F_\varphi=\frac{J_0a^2}{2\rho}.\end{aligned}$$직교좌표로 확인합니다. $\hat{\boldsymbol\varphi}=(-y,x,0)/\rho$ 이므로 안에서 $\mathbf F=\frac{J_0}{2}(-y,\ x,\ 0)$, curl은 $(0,0,J_0)$ (L07 연습문제 C2). 밖에서 $\mathbf F=\frac{J_0a^2}2\cdot\frac{(-y,\ x,\ 0)}{x^2+y^2}$, curl은 0 (연습문제 B4). 발산은 둘 다 0입니다.
(전자기학에서 앙페르 법칙으로 균일한 전류가 흐르는 도선의 자기장을 구하는 계산과 같습니다.)
발산정리에 $\mathbf F=u\nabla v$ 를 넣습니다. L07의 곱 법칙으로 $\nabla\cdot(u\nabla v)=\nabla u\cdot\nabla v+u\nabla^2v$ 이고, 면 쪽은 $u\nabla v\cdot\hat{\mathbf n}=u\,\partial_nv$. 이것이 제1 항등식입니다.
$u$와 $v$를 바꿔 쓴 제1 항등식을 빼면 $\nabla u\cdot\nabla v$ 가 지워져서 제2 항등식이 됩니다.
유일성: $\nabla^2\psi=0$, 경계에서 $\psi=0$ 인 $\psi$ 에 제1 항등식을 $u=v=\psi$ 로 쓰면 $\int_V|\nabla\psi|^2dV=0$. 그래서 $\nabla\psi=0$, $\psi$는 상수이고 경계값이 0이라 $\psi\equiv0$. 같은 원천·같은 경계값을 갖는 두 해의 차가 바로 이런 $\psi$ 입니다.
라플라시안: $\nabla^2z^2=2$, $\nabla^2r^4=4\cdot5\,r^2=20r^2$ (L07의 $n(n+1)r^{n-2}$).
부피 쪽: $u\nabla^2v-v\nabla^2u=20z^2r^2-2r^4$. 대칭으로 $\int z^2r^2\,dV=\frac13\int r^4\,dV$ 이고, $\int_{\text{공}}r^4\,dV=\int_0^ar^4\cdot4\pi r^2dr=\frac{4\pi a^7}7$ 이므로
$$\begin{aligned}\int(20z^2r^2-2r^4)\,dV&=\Big(\frac{20}3-2\Big)\frac{4\pi a^7}{7}\\&=\frac{14}3\cdot\frac{4\pi a^7}7=\frac{8\pi a^7}{3}.\end{aligned}$$면 쪽($r=a$, $\partial_n=\partial_r$): $\partial_rv=4a^3$, 그리고 $u=r^2\cos^2\theta$ 이므로 $\partial_ru=2a\cos^2\theta=\frac{2z^2}a$.
$$\begin{aligned}u\,\partial_rv-v\,\partial_ru&=4a^3z^2-a^4\cdot\frac{2z^2}{a}\\&=2a^3z^2.\end{aligned}$$구면 위에서 $\oint z^2\,dA=\frac13\oint r^2\,dA=\frac13a^2\cdot4\pi a^2$ 이므로 $\oint2a^3z^2\,dA=\frac{8\pi a^7}3$. 양쪽이 같습니다.
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다(일부는 수치 적분으로 확인).
A1. $\mathbf F=(y,\ -x,\ 0)$, 단위원을 반시계로 한 바퀴
A2. 예제 1-1의 $\mathbf F=(x^2,xy,0)$ 를 꺾인 경로 $(0,0)\to(0,1)\to(1,1)$ 로
A3. 나선 $\mathbf r=(\cos t,\ \sin t,\ t)$, $0\le t\le2\pi$, $\mathbf F=(-y,\ x,\ z)$
B1. $\mathbf F=(y^2+2x,\ 2xy+z,\ y)$ 가 보존장인지 보이고, $\phi$와 $(0,0,0)\to(1,1,1)$ 선적분을 구하세요.
B2. $\mathbf F=(e^y,\ xe^y+\cos z,\ -y\sin z)$ 의 $\phi$ 와 $(0,0,0)\to(1,1,\pi)$ 선적분
B3. $\mathbf F=(axy+z^3,\ x^2,\ bxz^2)$ 가 보존장이 되도록 $a,b$를 정하고 $\phi$를 구하세요.
B4. $\mathbf F=\dfrac{(-y,\ x,\ 0)}{x^2+y^2}$ 의 curl을 구하고($\rho\ne0$), 단위원(반시계) 선적분을 구하세요. 왜 모순이 아닌가요?
B5. 중력 $\mathbf F=-GMm\,\hat{\mathbf r}/r^2$ 의 퍼텐셜 $\phi$ ($\mathbf F=\nabla\phi$)와 $r_1$에서 $r_2$까지 한 일
C1. 원기둥 옆면 $\rho=2$, $0\le z\le3$ (바깥), $\mathbf F=(x,\ y,\ 0)$
C2. 구면 $r=a$ (바깥), $\mathbf F=(x,\ 0,\ 0)$
C3. 포물면 $z=1-x^2-y^2$ ($z\ge0$, 위쪽), $\mathbf F=(0,\ 0,\ z)$
C4. 반지름 $a$인 공에서 $\displaystyle\int(x^2+y^2)\,dV$
C5. 반지름 $a$인 위쪽 반구($z\ge0$)에서 $\displaystyle\int z\,dV$
D1. 단위 정육면체 $[0,1]^3$, $\mathbf F=(x^2,\ y^2,\ z^2)$ 로 발산정리 양변
D2. 바닥 없는 위쪽 반구 껍질 $r=a$, $z\ge0$ (바깥), $\mathbf F=(x,\ y,\ 1)$
D3. $\mathbf E=\hat{\mathbf r}/r^2$ 가 정육면체 $[-1,1]^3$의 면 $x=-1$ 을 지나는 (바깥 방향) 플럭스
D4. $\mathbf E=\hat{\mathbf r}/r^2$ 가 중심 $(3,0,0)$, 반지름 $1$인 구면을 지나는 플럭스
E1. $\mathbf F=(y,\ z,\ x)$, 단위원판 $z=0$ ($+\hat{\mathbf z}$)과 경계(반시계)로 스토크스 정리 양변
E2. 삼각형 $(1,0,0)\to(0,1,0)\to(0,0,1)\to(1,0,0)$ 을 도는 $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r$, $\mathbf F=(z,\ x,\ y)$. 스토크스 정리로
E3. 꼭짓점 $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,3)$인 삼각형 넓이를 $\frac12\oint(x\,dy-y\,dx)$ 로
E4. $\oint_C\big[(x^2-y)\,dx+(x+y^2)\,dy\big]$, $C$: 정사각형 $[0,1]^2$ 의 경계(반시계)
E5. 아스트로이드 $x=\cos^3t$, $y=\sin^3t$ 로 둘러싸인 넓이
F1. 균일한 $\mathbf B=(B_1,B_2,B_3)$ 에 대해 $\mathbf A=\frac12\mathbf B\times\mathbf r$ 를 성분으로 쓰고 $\nabla\times\mathbf A=\mathbf B$ 를 확인하세요.
F2. $\mathbf B=(0,\ 0,\ x)$ 에 대해 $\nabla\cdot\mathbf B=0$ 을 확인하고 $\mathbf A$ 하나를 구하세요.
G1. $\nabla\times\mathbf F=0$, $\nabla\cdot\mathbf F=kr$ ($r<a$), $0$ ($r>a$) 인 구대칭 장의 $F_r(r)$
G2. $\mathbf r_0=(0,0,2)$ 일 때 $\displaystyle\int_{\text{전체 공간}}(x^2+y^2+z^2+1)\,\nabla^2\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r_0|}\,dV$
G3. $\nabla\cdot\mathbf F=0$, $\nabla\times\mathbf F=k\rho\,\hat{\mathbf z}$ (모든 $\rho$) 인 $z$축 대칭 장 $F_\varphi(\rho)\hat{\boldsymbol\varphi}$ ($z$축에서 유한)
H1. 단위 정육면체 $[0,1]^3$ 에서 $u=v=x$ 로 제1 그린 항등식의 양변을 계산하세요.
H2. 껍질 $a\le r\le b$ 에서 $u=1/r$, $v=r^2$ 로 제2 그린 항등식의 양변을 계산하세요.