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G7 · 선배(sunray) 도식 — 고정 변수 편미분을 그림자로

부록 G · 출처: J.-H. Kim, J. Nam, Thermodynamic Identities with Sunray Diagrams, Eur. J. Phys. 43(2), arXiv:1912.11485 · 관련 본문: L09 6절(Arfken 4.4절 야코비안, 기억 기반), L00b 2절, L29 10절

이 레슨이 끝나면 할 수 있는 계산
  1. 변수 셋(자유도 둘)의 미분 $dx,dy,dz$를 평면 화살표로 그리고, 평행사변형 분해로 편미분 두 개를 읽기
  2. 고정 변수 편미분 $(\partial x/\partial y)_z$를 "$dz$에 평행한 빛이 만든 그림자"로 읽기. 같은 기호 $\partial x/\partial r$가 $\cos\varphi$도 되고 $1/\cos\varphi$도 되는 이유를 그림 한 장으로 보이기
  3. 그림자 배율을 방향 넓이의 비 $(dx\wedge dz)/(dy\wedge dz)$로 계산하고, 야코비안과 같은 계산임을 확인하기
  4. 역수·순환($-1$)·연쇄 관계를 그림으로 설명하고, 음함수 미분의 마이너스를 "닫힌 삼각형"으로 이해하기
  5. 고정 변수 바꾸기 공식과 비 항등식을 두 줄로 유도하기
  6. 넓이 등식($dx\wedge dy=r\,dr\wedge d\varphi$, 열역학의 $dT\wedge dS=dP\wedge dV$)에서 맥스웰형 관계 얻기

0. 외워 둘 공식

변수 셋 $x,y,z$ 가운데 둘을 정하면 나머지가 정해진다(자유도 2)고 둡니다. 넷째 변수 $w$가 나오면 그것도 아무 두 변수의 함수입니다.

이름식그림으로
분해$dx=(\partial x/\partial y)_z\,dy+(\partial x/\partial z)_y\,dz$평행사변형 분해
그림자$(\partial x/\partial y)_z$ = $dx$를 $dz$에 평행한 빛으로 $dy$ 직선에 비춘 배율비스듬한 투영(직교 아님)
넓이 비$(\partial x/\partial y)_z=\dfrac{dx\wedge dz}{dy\wedge dz}=\dfrac{\partial(x,z)}{\partial(y,z)}$빛 방향으로 밀어도 넓이 불변
역수$(\partial x/\partial y)_z\,(\partial y/\partial x)_z=1$같은 빛으로 왕복
순환$(\partial x/\partial y)_z\,(\partial y/\partial z)_x\,(\partial z/\partial x)_y=-1$한 바퀴 돌면 $-dx$
연쇄$(\partial x/\partial y)_w\,(\partial y/\partial z)_w=(\partial x/\partial z)_w$같은 빛으로 두 번 = 한 번
고정 변수 바꾸기$(\partial x/\partial y)_w=(\partial x/\partial y)_z+(\partial x/\partial z)_y\,(\partial z/\partial y)_w$분해한 뒤 $w$-빛으로 비춤
비$\dfrac{(\partial x/\partial y)_z}{(\partial x/\partial y)_w}=\dfrac{(\partial w/\partial z)_y}{(\partial w/\partial z)_x}$넓이 비 넷
변수 넷(자유도 셋)네 인자 순환곱 $=+1$3차원 그림(10절)
출처와 관례

1. 무대: 미분은 화살표, 편미분은 평행사변형

레시피 (화살표 그리기)
  1. 변수 셋 $x,y,z$에서 아무 둘을 정하면 나머지가 정해지는지(자유도 2) 확인합니다. 예: 극좌표의 $x,r,\varphi$, 이상기체의 $P,V,T$, 곡면 $F(x,y,z)=0$ 위의 $x,y,z$.
  2. 기준 좌표 $(a,b)$를 고릅니다. 보통 문제에 이미 있는 독립변수입니다. 변수 $A$의 화살표는 $dA=(\partial A/\partial a,\ \partial A/\partial b)$이고, 기준 좌표 자신은 $da=(1,0)$, $db=(0,1)$입니다.
  3. 평면의 화살표 셋은 늘 일차종속이므로 $dx=\alpha\,dy+\beta\,dz$로 쓸 수 있습니다. 이때 $\alpha=(\partial x/\partial y)_z$, $\beta=(\partial x/\partial z)_y$입니다.
  4. 그림으로는 $dx$를 $dy$ 방향과 $dz$ 방향으로 나누는 평행사변형 분해입니다. $dy$와 $dz$가 직교할 필요는 없습니다.
  5. 화살표는 평행이동해도 됩니다. 값은 같은 직선 위의 길이 비로만 읽습니다.
왜 되나? (증명 스케치)

$x$를 $y,z$의 함수로 보면 전미분은 $dx=(\partial x/\partial y)_z\,dy+(\partial x/\partial z)_y\,dz$입니다(L00b 2절). 이 식을 기준 좌표 $a$로 미분한 식과 $b$로 미분한 식(연쇄법칙)으로 나누어 쓰면 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned}\frac{\partial x}{\partial a}&=\alpha\frac{\partial y}{\partial a}+\beta\frac{\partial z}{\partial a}\\ \frac{\partial x}{\partial b}&=\alpha\frac{\partial y}{\partial b}+\beta\frac{\partial z}{\partial b}\end{aligned}$$

두 줄을 성분으로 모으면 화살표 식 $dx=\alpha\,dy+\beta\,dz$입니다. $dy$와 $dz$가 평행하지 않으면 이렇게 나누는 방법은 하나뿐이라 $\alpha,\beta$가 정해집니다.

dy 0.8 dy dz 0.5 dz dx O

그림 1. $dy=(1,0)$, $dz=(0.4,1)$, $dx=(1,0.5)$. 굵은 선이 성분 $0.8\,dy$와 $0.5\,dz$이고, 점선이 평행사변형의 나머지 두 변입니다.

예제 1-1 그림 1의 수치 읽기: $(\partial x/\partial y)_z$와 $(\partial x/\partial z)_y$

$dx=\alpha\,dy+\beta\,dz$를 성분으로 씁니다: $(1,\ 0.5)=\alpha(1,\ 0)+\beta(0.4,\ 1)$.

답: $(\partial x/\partial y)_z=0.8$, $(\partial x/\partial z)_y=0.5$. 그림 1의 굵은 선 두 개가 이 두 성분입니다.

검산: 이 화살표는 기준 좌표 $(a,b)$에서 $y=a$, $z=0.4a+b$, $x=a+0.5b$인 경우입니다. $b=z-0.4y$를 넣으면 $x=y+0.5(z-0.4y)=0.8y+0.5z$. 같습니다.

2. 그림자 규칙: $z$ 고정 = $dz$에 평행한 빛

레시피 ($(\partial x/\partial y)_z$ 읽기)
  1. 물체·스크린·빛을 정합니다. 분자 $dx$가 물체, 분모 $dy$의 직선이 스크린, 아래 첨자 $z$의 화살표 $dz$가 빛의 방향입니다.
  2. 점 O에서 $dx$(O→A)를 그리고, O를 지나는 $dy$ 직선을 긋습니다.
  3. A에서 $dz$에 평행한 직선($z$-빛)을 그어 $dy$ 직선과 만나는 점 B를 찾습니다. 수선의 발(직교 투영)이 아닙니다.
  4. 그림자 OB가 $(\partial x/\partial y)_z\,dy$입니다. 배율은 OB와 $dy$의 길이 비이고, $dy$와 같은 쪽이면 $+$, 반대쪽이면 $-$입니다.
  5. $dz\parallel dy$이면 빛이 스크린과 평행해서 그림자가 생기지 않습니다. 그 점에서 $(\partial x/\partial y)_z$는 정의되지 않습니다(발산).
왜 되나? (증명 스케치)

1절의 분해 $dx=\alpha\,dy+\beta\,dz$에서 "$z$ 고정"은 $dz=0$, 곧 $dz$ 성분을 버리는 것입니다. 화살표에서 $dz$ 성분만 버리는 방법이 $dz$ 방향으로 미끄러뜨리는 것입니다: $A-\beta\,dz=\alpha\,dy=B$. 그래서 빛은 고정 변수의 화살표에 평행합니다.

Kim–Nam의 해석으로는 더 글자 그대로입니다. 화살표를 $90^\circ$ 돌린 그림에서는 $dz$ 방향이 "$z$가 일정한 곡선의 방향"이라, $dz$에 평행하게 움직이는 것이 곧 $z$를 고정하고 움직이는 것입니다.

직교 투영은 길이와 각도를 쓰므로 뜻이 없습니다. 그림 전체를 선형변환으로 찌그러뜨리면 직교 투영 값은 바뀌지만, 평행한 직선과 같은 직선 위의 비는 그대로라 그림자 배율은 바뀌지 않습니다(연습 A3).

A B O dz dx z-빛 0.8 dy 수직 ✗ dy

그림 2. 그림 1의 화살표입니다. $z$-빛(점선)이 A를 $dy$ 직선 위의 B로 보냅니다. 그림자 OB $=0.8\,dy$ (아래의 $dy$는 눈금용으로 옮겨 그린 것). 수선을 내리면 배율 1인 점에 떨어지지만 이 값에는 뜻이 없습니다.

예제 2-1 L09 예제 6-1 (가)(나)(다)를 그림으로: $(\partial x/\partial r)_\varphi$, $(\partial r/\partial x)_y$, $(\partial x/\partial r)_y$

기준 좌표는 $(x,y)$이고, 화살표는 기울기 성분입니다.

$$\begin{aligned}dx&=(1,0),\quad dy=(0,1)\\ dr&=(\cos\varphi,\ \sin\varphi)=\hat{\mathbf r}\\ d\varphi&=\frac1r(-\sin\varphi,\ \cos\varphi)=\frac{\hat{\boldsymbol\varphi}}{r}\end{aligned}$$

(가) 물체 $dx$, 스크린 $dr$ 직선, 빛 $\parallel d\varphi$. $\mathbf e_x=\cos\varphi\,\hat{\mathbf r}-\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol\varphi}$에서 $\hat{\boldsymbol\varphi}$ 성분을 버리면 $\cos\varphi\,\hat{\mathbf r}$. 답 $\cos\varphi$. 이때는 $\hat{\boldsymbol\varphi}\perp\hat{\mathbf r}$라서 우연히 직교 투영과 같습니다.

(다) 물체와 스크린은 그대로 두고 빛만 $\parallel dy$(세로)로 바꿉니다. $\mathbf e_x=\alpha\,\hat{\mathbf r}+\beta\,\mathbf e_y$의 첫째 성분이 $1=\alpha\cos\varphi$이므로 $\alpha=1/\cos\varphi$. 답 $1/\cos\varphi$.

(나) 물체 $dr$, 스크린 $dx$ 직선(가로), 빛 $\parallel dy$(세로). 세로로 내리면 $\hat{\mathbf r}$의 가로 성분만 남아 $\cos\varphi$. (다)와 빛이 같으므로 둘은 서로 역수입니다(4절).

그림 3은 $\cos\varphi=0.8$, $\sin\varphi=0.6$인 점입니다. 같은 물체를 같은 스크린에 비추는데 빛만 달라서 그림자가 $0.8$과 $1.25$로 갈립니다. L09 7절 마지막 실수 "고정하는 변수를 적지 않기"가 바로 이 차이입니다.

dr dx 0.8 dr (가) φ 고정 dr dx 1.25 dr (다) y 고정

그림 3. 왼쪽 (가) $\varphi$ 고정: 빛 $\parallel d\varphi$, 그림자 $0.8\,dr$. 오른쪽 (다) $y$ 고정: 빛 $\parallel dy$, 그림자 $1.25\,dr$. 가는 화살표가 $dr=\hat{\mathbf r}$입니다.

예제 2-2 L09 연습 D7을 그림으로: $(\partial\varphi/\partial x)_y$와 $(\partial\varphi/\partial x)_r$

물체는 $d\varphi=\frac1r(-\sin\varphi,\ \cos\varphi)$, 스크린은 $dx$ 직선(가로)입니다.

빛 $\parallel dy$(세로): 세로 성분을 버리면 가로 성분만 남습니다. 답 $(\partial\varphi/\partial x)_y=-\dfrac{\sin\varphi}{r}$.

빛 $\parallel dr$: $d\varphi=\alpha\,dx+\beta\,dr$로 놓고 성분을 비교합니다.

L09의 답과 같습니다. 3절의 넓이 비로 쓰면 한 줄입니다: $\dfrac{d\varphi\wedge dr}{dx\wedge dr}=\dfrac{-1/r}{\sin\varphi}$.

3. 방향 넓이: 그림자 배율 = 넓이 비 = 야코비안

레시피
  1. 방향 넓이(oriented area) $p\wedge q=p_1q_2-p_2q_1$. $p,q$가 만드는 평행사변형의 넓이에 부호를 붙인 것입니다($p$에서 $q$로 반시계면 $+$).
  2. 성질: $q\wedge p=-p\wedge q$, $p\wedge p=0$, 그리고 각 자리에서 선형입니다.
  3. 핵심 공식: $(\partial x/\partial y)_z=\dfrac{dx\wedge dz}{dy\wedge dz}$. 고정 변수 $dz$는 분자와 분모의 같은 자리에 둡니다.
  4. 기준 좌표로 쓰면 $dx\wedge dz=\dfrac{\partial(x,z)}{\partial(a,b)}\,da\wedge db$이므로 $(\partial x/\partial y)_z=\dfrac{\partial(x,z)}{\partial(y,z)}$입니다. L09 6절 레시피 2와 같은 식이고, 2차원 크라메르 공식(L04)과 같은 계산입니다.
  5. $dx,dy,dz$를 1-형식으로 보고 쐐기곱을 전개해도(L29 10절) 계수가 같습니다.
왜 되나? (증명 스케치)

분해 $dx=\alpha\,dy+\beta\,dz$의 양변에 오른쪽에서 $\wedge dz$를 겁니다. $dz\wedge dz=0$이므로 $dx\wedge dz=\alpha\,dy\wedge dz$, 곧 $\alpha=\dfrac{dx\wedge dz}{dy\wedge dz}$입니다.

그림으로는 "밑변이 같고 같은 평행선 사이에 있는 평행사변형은 넓이가 같다"입니다. 평행사변형 $dx\wedge dz$의 꼭짓점 A를 $z$-빛을 따라 B로 밀면 $(\alpha\,dy)\wedge dz$가 됩니다. 밑변 $dz$와 두 평행선($dz$ 직선과 $z$-빛)이 그대로라 넓이가 같습니다(그림 4). 평면의 넓이는 모두 같은 평면에 있으니 두 넓이의 비는 언제나 정의됩니다.

A B O dz dx∧dz z-빛 (0.8 dy)∧dz

그림 4. 실선 평행사변형 $dx\wedge dz$와 칠한 평행사변형 $(0.8\,dy)\wedge dz$는 넓이가 둘 다 $0.8$입니다. 꼭짓점을 $z$-빛(점선)을 따라 밀었을 뿐이기 때문입니다. $dy\wedge dz=1$이므로 비는 $0.8$.

예제 3-1 L29 연습 G1을 이어서: $u=2x+3y$, $v=x-y$일 때 $(\partial u/\partial x)_v$

넓이 비로 씁니다: $(\partial u/\partial x)_v=\dfrac{du\wedge dv}{dx\wedge dv}$.

답: $\dfrac{-5}{-1}=5$. 직접 확인: $v$ 고정이면 $y=x-v$이고 $u=2x+3(x-v)=5x-3v$, 그래서 $5$입니다. 쐐기곱 계산(L29)과 고정 변수 편미분(L09)이 이 공식 한 줄로 이어집니다.

예제 3-2 L09 연습 D9를 넓이 비로: $u=x+y$, $v=xy$ ($x>y$)일 때 $(\partial x/\partial u)_v$

$dv=y\,dx+x\,dy$입니다.

답: $(\partial x/\partial u)_v=\dfrac{x}{x-y}$. L09의 야코비안 풀이(분자 행렬식 $x$, 분모 행렬식 $x-y$)와 한 줄 한 줄 같은 계산입니다. 편미분 하나를 구하는 속도는 똑같습니다.

4. 역수와 순환 관계: 한 바퀴 돌면 $-dx$

레시피
  1. 역수: $(\partial x/\partial y)_z\,(\partial y/\partial x)_z=1$. 같은 $z$-빛으로 $dx\to dy$ 직선 $\to dx$ 직선으로 왕복하면 제자리입니다. 빛이 같을 때만 성립합니다.
  2. 순환: $dx$를 $z$-빛으로 $dy$ 직선에, 그것을 $x$-빛으로 $dz$ 직선에, 그것을 $y$-빛으로 $dx$ 직선에 비춥니다. 돌아온 화살표는 $-dx$이고, 세 배율의 곱은 다음과 같습니다. $$\begin{aligned}&(\partial x/\partial y)_z\,(\partial y/\partial z)_x\\&\quad\times(\partial z/\partial x)_y=-1\end{aligned}$$
  3. 닫힌 삼각형: 평면의 화살표 셋은 늘 $F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz=0$을 만족합니다(예: 곡면 $F(x,y,z)=0$의 전미분). 화살표 $F_x\,dx$, $F_y\,dy$, $F_z\,dz$를 이어 붙이면 삼각형이 닫힙니다.
  4. 그러면 $(\partial z/\partial x)_y=-F_x/F_z$, $(\partial x/\partial y)_z=-F_y/F_x$, $(\partial y/\partial z)_x=-F_z/F_y$입니다. 마이너스는 "삼각형이 닫히려면 셋째 변이 되돌아와야 한다"는 뜻입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

삼각형으로: 레시피 4의 세 식을 곱하면 $\Big(-\dfrac{F_y}{F_x}\Big)\Big(-\dfrac{F_z}{F_y}\Big)\Big(-\dfrac{F_x}{F_z}\Big)=-1$. $F$들은 약분되고 마이너스 셋만 남습니다. $(\partial z/\partial x)_y$는 $F_z\,dz=-F_x\,dx-F_y\,dy$에서 $dy$ 성분을 버린 것이라 $-F_x/F_z$입니다.

넓이로: 세 인자를 넓이 비로 씁니다.

$$\frac{dx\wedge dz}{dy\wedge dz}\cdot\frac{dy\wedge dx}{dz\wedge dx}\cdot\frac{dz\wedge dy}{dx\wedge dy}$$

분자 하나하나가 분모 하나와 순서만 반대입니다($dx\wedge dz=-dz\wedge dx$ 등). 그래서 $(-1)^3=-1$. L09 6절 증명 스케치의 야코비안 논증과 같은 내용입니다.

dx −dx 0.8 dy −0.5 dz z-빛 x-빛 y-빛 dz 직선

그림 5. 그림 1의 화살표로 한 바퀴. 가는 점선 셋이 $dx$, $dy$, $dz$ 직선입니다. A0 $=dx$ → ($z$-빛) → A1 $=0.8\,dy$ → ($x$-빛) → A2 $=-0.5\,dz$ → ($y$-빛) → A3 $=-dx$.

예제 4-1 그림 5의 세 배율과 곱

먼저 필요한 방향 넓이를 구합니다($p\wedge q=p_1q_2-p_2q_1$).

세 배율은 넓이 비 $\frac{dx\wedge dz}{dy\wedge dz}$, $\frac{dy\wedge dx}{dz\wedge dx}$, $\frac{dz\wedge dy}{dx\wedge dy}$입니다.

$$\begin{aligned}(\partial x/\partial y)_z&=\frac{0.8}{1}=0.8\\ (\partial y/\partial z)_x&=\frac{0.5}{-0.8}=-0.625\\ (\partial z/\partial x)_y&=\frac{-1}{-0.5}=2\end{aligned}$$

곱: $0.8\times(-0.625)\times2=-1$. 그림에서도 화살표가 뒤집혀 $-dx=(-1,\ -0.5)$로 돌아옵니다. 가운데 미끄럼 A1→A2의 변위는 $(-1,\ -0.5)$로 정확히 $-dx$입니다.

예제 4-2 L00b 예제 2-3 (나)와 연습 B5를 닫힌 삼각형으로: 음함수 미분의 마이너스

(나) 타원면 $x^2+2y^2+3z^2=6$, 점 $(1,1,1)$. 전미분 $2\,dx+4\,dy+6\,dz=0$입니다. 세 화살표 $2\,dx$, $4\,dy$, $6\,dz$가 닫힌 삼각형을 이룹니다(그림 6).

B5 곡면 $xyz+z^3=10$, 점 $(1,1,2)$: 삼각형 $2\,dx+2\,dy+13\,dz=0$에서 $(\partial z/\partial x)_y=(\partial z/\partial y)_x=-\dfrac{2}{13}$.

L00b 9절의 실수 "음함수 미분 공식의 마이너스를 빠뜨리기"를 그림이 막아 줍니다. 삼각형의 셋째 변($6\,dz$)은 앞의 두 변을 되돌아와야 닫히므로, 그림자는 늘 반대 방향입니다.

2dx 4dy 6dz 그림자 −2dx = y-빛

그림 6. 닫힌 삼각형 $2\,dx+4\,dy+6\,dz=0$. $4\,dy$ 변이 곧 $y$-빛입니다. $6\,dz$ 변을 $y$-빛으로 $dx$ 직선에 비춘 그림자는 아래 굵은 화살표 $-2\,dx$입니다.

5. 연쇄 관계와 고정 변수 바꾸기

레시피
  1. 연쇄: $(\partial x/\partial y)_w(\partial y/\partial z)_w=(\partial x/\partial z)_w$. 같은 $w$-빛으로 $dy$ 직선을 거쳐 $dz$ 직선에 가는 것은 곧장 가는 것과 같습니다.
  2. 고정 변수 바꾸기: $$\begin{aligned}&\Big(\frac{\partial x}{\partial y}\Big)_w=\Big(\frac{\partial x}{\partial y}\Big)_z\\&\quad+\Big(\frac{\partial x}{\partial z}\Big)_y\Big(\frac{\partial z}{\partial y}\Big)_w\end{aligned}$$
    • 먼저 $dx$를 $dy$, $dz$로 분해합니다(1절): $dx=(\partial x/\partial y)_z\,dy+(\partial x/\partial z)_y\,dz$.
    • 양변을 $w$-빛으로 $dy$ 직선에 비춥니다. $dy$ 성분은 이미 스크린 위라 그대로이고, $dz$ 성분은 $(\partial z/\partial y)_w$배의 그림자가 됩니다.
  3. 쓰는 곳: 원하는 고정 변수 $w$로는 계산이 불편하고, 다른 고정 변수 $z$로는 쉬울 때. 쉬운 쪽으로 계산하고 보정항 하나를 더합니다.
  4. 외우는 법: 오른쪽 둘째 항은 "고정 변수를 $z$에서 $w$로 바꾼 값"이 아니라 "$dz$ 성분의 $w$-그림자"입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

그림자 내리기(빛 방향을 정하고 스크린에 비추기)는 선형입니다. 두 화살표를 더한 것의 그림자는 그림자의 합이고, 상수배의 그림자는 그림자의 상수배입니다. 평행선이 평행선으로, 같은 직선 위의 비가 그대로 가기 때문입니다.

넓이로 쓰면: $dx=\alpha\,dy+\beta\,dz$에 오른쪽에서 $\wedge dw$를 걸고 $dy\wedge dw$로 나눕니다.

$$\frac{dx\wedge dw}{dy\wedge dw}=\alpha+\beta\,\frac{dz\wedge dw}{dy\wedge dw}$$

이것이 레시피 2입니다. 연쇄 관계는 $\dfrac{dx\wedge dw}{dy\wedge dw}\cdot\dfrac{dy\wedge dw}{dz\wedge dw}$에서 가운데가 약분되는 것입니다.

dw dx A 0.8 dy 0.7 dy w-빛 dy O B C

그림 7. 그림 1의 화살표에 $dw=(-1,\ 1)$을 더했습니다. $w$-빛(점선)으로 비추면 $dx$의 그림자는 $1.5\,dy$입니다. 이것은 성분 $0.8\,dy$(굵은 선 OB)에, 성분 $0.5\,dz$(B→A 화살표)의 $w$-그림자 $0.7\,dy$(굵은 선 BC)를 더한 것입니다.

예제 5-1 그림 7의 수치로 공식 확인

방향 넓이: $dx\wedge dw=1\cdot1-0.5\cdot(-1)=1.5$, $\ dy\wedge dw=1\cdot1-0\cdot(-1)=1$, $\ dz\wedge dw=0.4\cdot1-1\cdot(-1)=1.4$.

넓이 비 $\frac{dx\wedge dw}{dy\wedge dw}$와 $\frac{dz\wedge dw}{dy\wedge dw}$로 읽습니다.

$$\begin{aligned}(\partial x/\partial y)_w&=\frac{1.5}{1}=1.5\\ (\partial z/\partial y)_w&=\frac{1.4}{1}=1.4\end{aligned}$$

예제 1-1에서 $(\partial x/\partial y)_z=0.8$, $(\partial x/\partial z)_y=0.5$였습니다. 오른쪽은 $0.8+0.5\times1.4=0.8+0.7=1.5$로 왼쪽과 같습니다.

그림에서 $0.7$은 성분 $0.5\,dz$(B에서 A로 가는 화살표)를 $w$-빛으로 비춘 그림자 길이입니다.

예제 5-2 극좌표에서 $(\partial x/\partial r)_y$를 고정 변수 바꾸기로

$y$ 고정은 불편하고 $\varphi$ 고정은 쉽습니다. 공식에서 $x\to x$, $y\to r$, $z\to\varphi$, $w\to y$로 놓습니다.

$$\begin{aligned}\Big(\frac{\partial x}{\partial r}\Big)_y&=\Big(\frac{\partial x}{\partial r}\Big)_\varphi\\&\quad+\Big(\frac{\partial x}{\partial\varphi}\Big)_r\Big(\frac{\partial\varphi}{\partial r}\Big)_y\end{aligned}$$

예제 2-1 (다)와 같은 답입니다. L09 6절 레시피 3은 야코비안 사이에 계산하기 쉬운 변수를 끼워 넣는 방법이고, 이 공식은 같은 일을 "쉬운 값 + 보정항"으로 합니다.

6. 비 항등식

레시피
  1. 식: $\dfrac{(\partial x/\partial y)_z}{(\partial x/\partial y)_w}=\dfrac{(\partial w/\partial z)_y}{(\partial w/\partial z)_x}$. 같은 편미분을 두 고정 변수로 잰 비를, 다른 편미분의 비로 바꿉니다.
  2. 증명은 넓이로 합니다. 왼쪽은 $\dfrac{(dx\wedge dz)(dy\wedge dw)}{(dy\wedge dz)(dx\wedge dw)}$입니다.
  3. 오른쪽은 $\dfrac{(dw\wedge dy)(dz\wedge dx)}{(dz\wedge dy)(dw\wedge dx)}$입니다. 넓이 넷의 순서를 모두 뒤집으면($-1$이 네 번) 왼쪽과 같아집니다.
  4. 이 식은 화살표 미끄럼보다 넓이(야코비안) 계산이 더 쉽습니다. Kim–Nam도 같은 평가를 적었습니다.
예제 6-1 극좌표에서 확인: $x\to x$, $y\to r$, $z\to\varphi$, $w\to y$

식은 $\dfrac{(\partial x/\partial r)_\varphi}{(\partial x/\partial r)_y}=\dfrac{(\partial y/\partial\varphi)_r}{(\partial y/\partial\varphi)_x}$이 됩니다.

7. 넓이 등식을 입력으로: 맥스웰형 관계

레시피
  1. 1–6절의 항등식은 화살표 사이의 일차 관계만 씁니다. 그래서 어떤 함수든 성립합니다. 여기에 두 넓이가 같다(또는 비례한다)는 추가 정보가 있으면 새 관계가 나옵니다.
  2. 수학의 예: 극좌표의 $dx\wedge dy=r\,dr\wedge d\varphi$ (L29 예제 10-2). 이것은 좌표 변환에서 나오는 사실입니다.
  3. 물리의 예(Arfken 범위 밖, 아래 예제 하나만): 열역학 1법칙 $dE=T\,dS-P\,dV$에서 $dT\wedge dS=dP\wedge dV$. 이것은 수학 항등식이 아니라 물리 입력입니다. 아무 네 함수에서나 성립하지 않습니다.
  4. 절차: 원하는 편미분을 넓이 비로 씁니다 → 분자(또는 분모)의 넓이를 같은 넓이로 바꿉니다 → 다시 편미분으로 읽습니다. 고정 변수가 뒤 자리에 오도록 순서를 맞추고, 순서를 바꿀 때마다 $-1$을 붙입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

$dE=T\,dS-P\,dV$의 외미분을 취합니다. $d(dE)=0$이고(L29 10절의 $d^2=0$) $d(T\,dS)=dT\wedge dS$, $d(P\,dV)=dP\wedge dV$이므로 $0=dT\wedge dS-dP\wedge dV$입니다.

그림으로는 "$T$-$S$ 평행사변형과 $P$-$V$ 평행사변형의 넓이가 같다"입니다. Kim–Nam 3.2절에 따르면 Maxwell(1871)의 넓이 미끄럼이 바로 이 계산을 그림으로 한 것입니다. 극좌표의 $dx\wedge dy=r\,dr\wedge d\varphi$는 L29 예제 10-2처럼 쐐기곱을 전개하면 나옵니다.

예제 7-1 열역학 예제 하나: 맥스웰 관계와 $C_P-C_V$

단일 성분, 입자 수 고정(자유도 2)인 계입니다. 정의: $C_P=T(\partial S/\partial T)_P$, $C_V=T(\partial S/\partial T)_V$, $\alpha_P=\frac1V(\partial V/\partial T)_P$, $\kappa_T=-\frac1V(\partial V/\partial P)_T$.

(가) 맥스웰 관계 $(\partial S/\partial V)_T=(\partial P/\partial T)_V$:

$$\begin{aligned}(\partial S/\partial V)_T&=\frac{dS\wedge dT}{dV\wedge dT}\\&=\frac{dT\wedge dS}{dT\wedge dV}\\&=\frac{dP\wedge dV}{dT\wedge dV}\\&=(\partial P/\partial T)_V\end{aligned}$$

둘째 등호는 분자·분모의 순서를 함께 뒤집은 것(부호 상쇄), 셋째 등호가 물리 입력입니다.

(나) $C_P-C_V$:

  1. 정의에서 $C_P-C_V=T\big[(\partial S/\partial T)_P-(\partial S/\partial T)_V\big]$.
  2. 고정 변수 바꾸기(5절, $x\to S$, $y\to T$, $z\to V$, $w\to P$): $(\partial S/\partial T)_P=(\partial S/\partial T)_V+(\partial S/\partial V)_T(\partial V/\partial T)_P$. 그래서 대괄호 $=(\partial S/\partial V)_T(\partial V/\partial T)_P$.
  3. (가)를 넣습니다: $=(\partial P/\partial T)_V(\partial V/\partial T)_P$. 물리 입력은 이 단계 하나뿐입니다.
  4. 순환과 역수(4절): $(\partial P/\partial T)_V=-\dfrac{(\partial V/\partial T)_P}{(\partial V/\partial P)_T}$.
  5. 정리: $C_P-C_V=-T\dfrac{(\partial V/\partial T)_P^{\,2}}{(\partial V/\partial P)_T}=\dfrac{TV\alpha_P^2}{\kappa_T}$.

검산 스크립트에서 반데르발스형 모형과 이상기체로 확인했습니다. 이상기체는 $nR$이 나옵니다(연습 D1).

8. 야코비안 기법과 비교: 어디서 이기나

레시피 (Landau식 야코비안 기법, 기억 기반)
  1. J1 정의: $\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{vmatrix}$.
  2. J2 고정 변수: $(\partial u/\partial x)_y=\dfrac{\partial(u,y)}{\partial(x,y)}$.
  3. J3 위(또는 아래)의 두 함수 순서를 바꾸면 부호가 바뀝니다.
  4. J4 연쇄·역수: $\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(s,t)}\cdot\dfrac{\partial(s,t)}{\partial(x,y)}$.
  5. 대응: $\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\dfrac{du\wedge dv}{dx\wedge dy}$. J2는 3절의 넓이 비, J3은 $q\wedge p=-p\wedge q$, J4는 약분입니다. 같은 계산의 두 표기입니다.
할 일야코비안선배 도식
편미분 하나의 값행렬식 두 개의 비넓이 두 개의 비 — 같은 계산, 같은 속도
순환 $-1$의 이유순서 바꾸기 $(-1)^3$한 바퀴 돌면 $-dx$, 닫힌 삼각형
고정 변수 바꾸기어느 변수 쌍을 끼울지 떠올려야 함분해한 뒤 $w$-빛으로 비춤(경로가 보임)
비 항등식넓이 넷의 순서 바꾸기(쉬움)화살표만으로는 번거로움
$\cos\varphi$와 $1/\cos\varphi$ 구분고정 변수를 적어야 구분됨빛 방향이 다른 것이 보임
예제 8-1 예제 7-1 (나)를 야코비안으로 (Landau 방식)

$C_V$를 $(T,P)$ 기준으로 옮깁니다.

$$\begin{aligned}C_V&=T\frac{\partial(S,V)}{\partial(T,V)}\\&=T\,\frac{\partial(S,V)/\partial(T,P)}{\partial(T,V)/\partial(T,P)}\end{aligned}$$

분자는 J1의 행렬식 $(\partial S/\partial T)_P(\partial V/\partial P)_T-(\partial S/\partial P)_T(\partial V/\partial T)_P$이고, 분모는 J2로 $(\partial V/\partial P)_T$입니다. $T(\partial S/\partial T)_P=C_P$이므로

$$\begin{aligned}C_V&=C_P\\&\quad-T\Big(\frac{\partial S}{\partial P}\Big)_T\frac{(\partial V/\partial T)_P}{(\partial V/\partial P)_T}\end{aligned}$$

맥스웰 관계 $(\partial S/\partial P)_T=-(\partial V/\partial T)_P$(연습 D2)를 넣으면 $C_P-C_V=-T\dfrac{(\partial V/\partial T)_P^{\,2}}{(\partial V/\partial P)_T}$. 예제 7-1과 같습니다.

줄 수는 비슷합니다. 차이는 첫 줄에서 "왜 $(T,P)$로 옮기나"를 미리 떠올려야 한다는 점입니다. 선배 도식에서는 "$P$-빛 그림자 = $V$-빛 그림자 + 보정항"이라는 경로가 그림에 보입니다.

솔직한 결론. 편미분 하나를 구하는 속도는 야코비안과 같습니다. 2차원에서 그림자 = 넓이 비 = 크라메르 공식이기 때문입니다(예제 3-2). 선배 도식이 이기는 곳은 세 가지입니다: ① 항등식의 경로 찾기(특히 고정 변수 바꾸기), ② 부호와 $-1$의 이유(닫힌 삼각형, 한 바퀴), ③ 같은 기호인데 고정 변수가 달라 값이 다른 경우를 한눈에 구분(그림 3). 반대로 비 항등식처럼 넓이 넷을 다루는 식은 야코비안 쪽이 더 쉽습니다.

9. 이 표기로 빨라지는 Arfken 계산

아래 레슨 번호·절·문항은 각 레슨 파일을 직접 열어 확인했습니다. Arfken 원문에서의 위치(4.4절 야코비안)는 L09의 기억 기반 표시를 따릅니다.

레슨·절대상선배 도식으로 얻는 것효과이 레슨
L09 6절예제 6-1 (가)(나)(다)같은 물체·같은 스크린, 빛만 달라 $\cos\varphi$와 $1/\cos\varphi$큼(실수 방지)예제 2-1, 그림 3
L09 6절레시피 3(고정 변수 바꾸기), 레시피 4(역수·삼중곱)"쉬운 값 + 보정항" 공식, $-1$의 이유큼(경로·부호)4–5절, 예제 5-2
L09 7절실수 목록 마지막 항목역수는 같은 빛일 때만큼2절, 연습 C3
L09 8절연습 D7같은 물체, 빛 둘보통예제 2-2
L09 8절연습 D8닫힌 삼각형 → 마이너스 셋보통(이유를 줌, 속도는 같음)연습 B6
L09 8절연습 D9넓이 비 = 야코비안없음(같은 계산)예제 3-2
L00b 2절예제 2-3 (나), 연습 B5, 9절 실수 둘째 항목닫힌 삼각형 → $-F_x/F_z$의 마이너스보통예제 4-2, 그림 6
L29 10절레시피 2, 예제 10-2, 연습 G1$(\partial u/\partial x)_v=(du\wedge dv)/(dx\wedge dv)$로 L09와 연결보통예제 3-1, 연습 B5, D3
L15 3절완전 판정 $M_y=N_x$, 예제 3-1$dM\wedge dx=dy\wedge dN$ (맥스웰형 구조)작음(ODE 풀이 속도는 그대로)연습 D4
L00b 3절연쇄법칙 트리 그림트리의 $\partial f/\partial r$는 $\theta$ 고정이라는 확인 정도작음(트리가 이미 좋은 도구)—

10. 맛보기: 변수 넷과 sunplane — 순환곱은 $+1$

레시피 (자유도 셋, 변수 넷 $x,y,z,w$)
  1. 화살표는 3차원에 그립니다. 편미분 하나가 변수 둘을 고정하므로, 빛 대신 고정된 두 화살표가 펼치는 평면(sunplane)에 평행하게 비춥니다.
  2. 넓이 대신 부피(3×3 행렬식)의 비입니다: $(\partial x/\partial y)_{z,w}=\dfrac{\det(dx,dz,dw)}{\det(dy,dz,dw)}$.
  3. 순환곱은 $+1$입니다(아래 식). Kim–Nam과 발표 슬라이드 76에 있는 식입니다.
  4. 일반화: 변수 $n$개(자유도 $n-1$)이면 순환곱은 $(-1)^n$입니다. 원문은 $n=3,4$만 적었고, $n=5$에서 $-1$인 것은 검산으로만 확인했습니다(추론). "순환곱은 늘 $-1$"로 외우면 틀립니다.
$$\begin{aligned}&(\partial x/\partial y)_{z,w}\,(\partial y/\partial z)_{w,x}\\&\times(\partial z/\partial w)_{x,y}\,(\partial w/\partial x)_{y,z}=+1\end{aligned}$$

3차원 그림은 휴대폰에서 읽기 어렵고 Arfken 문제에 나올 일도 드물어서, 이 레슨에서는 연습 E1 하나로만 다룹니다.

11. 자주 하는 실수

12. 연습문제

종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다.

A. 그림 읽기

A1. 화살표 $dy=(1,0)$, $dz=(1,2)$, $dx=(3,1)$일 때 $(\partial x/\partial y)_z$와 $(\partial x/\partial z)_y$

답$\dfrac52$, $\dfrac12$ — $(3,1)=\alpha(1,0)+\beta(1,2)$에서 $\beta=\frac12$, $\alpha=3-\frac12$. 넓이 비로는 $\frac{dx\wedge dz}{dy\wedge dz}=\frac{3\cdot2-1\cdot1}{1\cdot2-0\cdot1}=\frac52$.

A2. 같은 화살표로 $(\partial y/\partial z)_x$, $(\partial z/\partial x)_y$를 구하고 순환곱을 확인하세요.

답$-\dfrac15$, $2$, 곱 $\frac52\cdot\big(-\frac15\big)\cdot2=-1$ — $\frac{dy\wedge dx}{dz\wedge dx}=\frac{1}{1-6}$, $\frac{dz\wedge dy}{dx\wedge dy}=\frac{-2}{-1}$.

A3. A1의 화살표 모두에 행렬 $M=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$을 곱한 그림에서 $(\partial x/\partial y)_z$를 다시 구하세요. $dx$를 $dy$ 직선에 수직으로 내린 계수 $\frac{dx\cdot dy}{dy\cdot dy}$는 변환 전후에 어떻게 되나요?

답$(\partial x/\partial y)_z$는 그대로 $\dfrac52$, 수직 계수는 $3\to5$ — 새 화살표는 $dy=(1,0)$, $dz=(5,2)$, $dx=(5,1)$이고 $\frac{5\cdot2-1\cdot5}{1\cdot2-0\cdot5}=\frac52$. 모든 넓이가 $\det M=1$배라 비가 그대로입니다. 수직 계수는 변환에 따라 바뀌므로 편미분이 아닙니다.

A4. A1의 화살표에 $dw=(0,1)$을 더합니다. $(\partial x/\partial y)_w$를 직접 구하고, 고정 변수 바꾸기 공식으로도 구하세요.

답$3$ — 직접: $\frac{dx\wedge dw}{dy\wedge dw}=\frac31$. 공식: $(\partial z/\partial y)_w=\frac{dz\wedge dw}{dy\wedge dw}=1$이므로 $\frac52+\frac12\cdot1=3$.

B. 좌표와 기존 레슨 문제

B1. 극좌표에서 $(\partial y/\partial r)_x$

답$\dfrac{1}{\sin\varphi}$ — 물체 $dy=\mathbf e_y$, 스크린 $dr$ 직선, 빛 $\parallel dx$(가로). 둘째 성분 $1=\alpha\sin\varphi$. 직접: $y=\sqrt{r^2-x^2}$에서 $\frac ry$.

B2. 극좌표에서 $(\partial r/\partial\varphi)_x$를 구하고, $(\partial x/\partial r)_\varphi(\partial r/\partial\varphi)_x(\partial\varphi/\partial x)_r=-1$을 확인하세요.

답$r\tan\varphi$ — $x=r\cos\varphi$ 고정이면 $\cos\varphi\,dr-r\sin\varphi\,d\varphi=0$. 곱: $\cos\varphi\cdot r\tan\varphi\cdot\big(-\frac{1}{r\sin\varphi}\big)=-1$ (마지막 인자는 예제 2-2).

B3. $u=x+y$, $v=xy$ ($x>y$)에서 $(\partial y/\partial u)_v$ (L09 D9의 짝)

답$-\dfrac{y}{x-y}$ — $\frac{dy\wedge dv}{du\wedge dv}$에서 $dy\wedge dv=dy\wedge(y\,dx+x\,dy)=-y\,dx\wedge dy$, $du\wedge dv=(x-y)\,dx\wedge dy$.

B4. $u=x^2-y^2$, $v=2xy$ (L09 예제 6-2의 사상)에서 $(\partial u/\partial x)_v$

답$\dfrac{2(x^2+y^2)}{x}$ — $du\wedge dv=4(x^2+y^2)\,dx\wedge dy$ (L09 예제 6-2), $dx\wedge dv=dx\wedge(2y\,dx+2x\,dy)=2x\,dx\wedge dy$.

B5. $u=2x+3y$, $v=x-y$ (L29 연습 G1)에서 $(\partial v/\partial y)_u$

답$-\dfrac52$ — $\frac{dv\wedge du}{dy\wedge du}$에서 $dv\wedge du=5\,dx\wedge dy$, $dy\wedge du=dy\wedge2\,dx=-2\,dx\wedge dy$. 직접: $x=\frac{u-3y}2$이므로 $v=\frac u2-\frac{5y}2$.

B6. L09 연습 D8을 닫힌 삼각형으로: 이상기체 $PV=nRT$에서 $(\partial P/\partial V)_T$, $(\partial V/\partial T)_P$, $(\partial T/\partial P)_V$와 그 곱

답$-\dfrac PV$, $\dfrac{nR}P$, $\dfrac V{nR}$, 곱 $-1$ — 전미분 $V\,dP+P\,dV-nR\,dT=0$이 닫힌 삼각형입니다. 계수 $F_P=V$, $F_V=P$, $F_T=-nR$로 $(\partial P/\partial V)_T=-F_V/F_P$ 등이고, 마이너스 셋이 곱해져 $-1$.

C. 항등식

C1. B4를 고정 변수 바꾸기 공식 $(\partial u/\partial x)_v=(\partial u/\partial x)_y+(\partial u/\partial y)_x(\partial y/\partial x)_v$로 다시 구하세요.

답$2x+(-2y)\big(-\frac yx\big)=\dfrac{2(x^2+y^2)}{x}$ — $v=2xy$ 고정이면 $y\,dx+x\,dy=0$이므로 $(\partial y/\partial x)_v=-\frac yx$.

C2. 연쇄 관계 $(\partial x/\partial y)_w(\partial y/\partial z)_w=(\partial x/\partial z)_w$를 넓이 비로 증명하세요.

답$\dfrac{dx\wedge dw}{dy\wedge dw}\cdot\dfrac{dy\wedge dw}{dz\wedge dw}=\dfrac{dx\wedge dw}{dz\wedge dw}$ — 가운데 넓이가 약분됩니다. 그림으로는 같은 $w$-빛으로 두 번 미끄러지는 것이 한 번 미끄러지는 것과 같습니다.

C3. 그림 7의 화살표($dx=(1,0.5)$, $dy=(1,0)$, $dz=(0.4,1)$, $dw=(-1,1)$)로 $(\partial x/\partial y)_z$와 $1/(\partial y/\partial x)_w$를 비교하세요.

답$0.8$과 $1.5$로 다릅니다 — $1/(\partial y/\partial x)_w=(\partial x/\partial y)_w=1.5$. 역수 관계는 같은 빛(같은 고정 변수)일 때만 성립합니다.

C4. 같은 화살표로 비 항등식(6절)의 양변을 계산하세요.

답양변 모두 $\dfrac{8}{15}$ — 왼쪽 $\frac{0.8}{1.5}$. 오른쪽: $(\partial w/\partial z)_y=\frac{dw\wedge dy}{dz\wedge dy}=\frac{-1}{-1}=1$, $(\partial w/\partial z)_x=\frac{dw\wedge dx}{dz\wedge dx}=\frac{-1.5}{-0.8}=\frac{15}8$이므로 $1\big/\frac{15}8$.

D. 넓이 등식

D1. 이상기체($PV=nRT$)의 $C_P-C_V$를 예제 7-1의 결과로 구하세요.

답$nR$ — $\alpha_P=\frac1V\cdot\frac{nR}P=\frac1T$, $\kappa_T=-\frac1V\big(-\frac VP\big)=\frac1P$. $\frac{TV\alpha_P^2}{\kappa_T}=\frac{PV}{T}=nR$.

D2. $dT\wedge dS=dP\wedge dV$에서 $(\partial S/\partial P)_T=-(\partial V/\partial T)_P$를 유도하세요. 마이너스는 어디서 나오나요?

답$(\partial S/\partial P)_T=\frac{dS\wedge dT}{dP\wedge dT}=\frac{dT\wedge dS}{dT\wedge dP}=\frac{dP\wedge dV}{dT\wedge dP}=-\frac{dV\wedge dP}{dT\wedge dP}=-(\partial V/\partial T)_P$ — 마지막에 고정 변수 $dP$를 뒤 자리로 옮기며 $dP\wedge dV=-dV\wedge dP$를 쓸 때 나옵니다.

D3. 넓이 관계 $dx\wedge dy=r\,dr\wedge d\varphi$를 써서 $(\partial y/\partial\varphi)_x=r\,(\partial r/\partial x)_\varphi$임을 보이고 값을 구하세요.

답$\dfrac{r}{\cos\varphi}$ — $\frac{dy\wedge dx}{d\varphi\wedge dx}=\frac{dx\wedge dy}{dx\wedge d\varphi}=\frac{r\,dr\wedge d\varphi}{dx\wedge d\varphi}=r(\partial r/\partial x)_\varphi$이고 $(\partial r/\partial x)_\varphi=\frac1{\cos\varphi}$. 직접: $y=x\tan\varphi$에서 $x\sec^2\varphi$.

D4. (L15 3절) $d\Phi=M\,dx+N\,dy$일 때(L15의 $\varphi$를 여기서는 $\Phi$로 씀), 완전 판정 $M_y=N_x$가 넓이 등식 $dM\wedge dx=dy\wedge dN$과 같음을 보이세요. L15 예제 3-1의 $M,N$으로 확인하세요.

답$dM\wedge dx=M_y\,dy\wedge dx=-M_y\,dx\wedge dy$, $dy\wedge dN=N_x\,dy\wedge dx=-N_x\,dx\wedge dy$이므로 같은 말입니다. 예제 3-1: $M_y=N_x=3x^2+e^y$. ($M\leftrightarrow T$, $x\leftrightarrow S$, $-N\leftrightarrow P$, $y\leftrightarrow V$로 놓으면 $dT\wedge dS=dP\wedge dV$와 같은 모양입니다.)

E. 변수 넷

E1. 변수 넷 $x,y,z,w$ (자유도 셋)의 화살표가 $dy=(1,0,0)$, $dz=(0,1,0)$, $dw=(0,0,1)$, $dx=(1,2,3)$입니다. $(\partial x/\partial y)_{z,w}$, $(\partial y/\partial z)_{w,x}$, $(\partial z/\partial w)_{x,y}$, $(\partial w/\partial x)_{y,z}$와 그 곱을 구하세요.

답$1$, $-2$, $-\dfrac32$, $\dfrac13$, 곱 $+1$ — 예를 들어 $(\partial y/\partial z)_{w,x}$는 $dy=\alpha\,dz+\beta\,dw+\gamma\,dx$로 풀어 $dz$의 계수를 읽습니다: 첫째 성분 $\gamma=1$, 둘째 성분 $\alpha+2\gamma=0$이므로 $\alpha=-2$. 부피 비 $\frac{\det(dy,dw,dx)}{\det(dz,dw,dx)}$로 해도 같습니다.

13. 다음

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