부록 G · 출처: Kim–Oh–Kim, Boosting Vector Calculus with the Graphical Notation, Am. J. Phys. 89(2) (2021), arXiv:1911.00892 · J.-H. Kim 발표 "Re-presentation: Graphical Notations in Physics"
발표의 요지. Kim은 표기를 "기호(signifier)"와 "그 뜻(signified)"의 짝으로 보고, 둘 사이의 간격을 SSS(signifier–signified separation)라고 부릅니다. 좋은 표기는 SSS가 작은 표기, 즉 기호의 모양이 뜻의 구조를 그대로 닮은 표기라는 것이 발표의 주장입니다. 지표식 $\varepsilon_{ijk}A_jB_k$에서는 "어느 지표가 어디로 이어지나"를 글자 맞추기로 따라가야 하지만, 그림에서는 그 연결이 실제 선으로 보입니다. 그래서 더미 지표 이름 짓기, 지표 순환시키기 같은 군더더기 단계가 사라집니다.
| 그림 | 읽는 법 |
|---|---|
| $A_i$. 상자 = 텐서, 선 하나 = 지표 하나. 열린 끝(자유 지표)에는 이름을 적습니다. | |
| $A_iB_i=\mathbf A\cdot\mathbf B$. 이은 선 = 더하는 지표. 이름이 필요 없습니다. | |
| $\delta_{ij}$. 상자 없는 맨 선입니다. | |
| $\delta_{ii}=3$. 닫힌 고리 하나는 3입니다. | |
| $\varepsilon_{ijk}A_jB_k=(\mathbf A\times\mathbf B)_i$. 검은 점 = ε. 점 둘레를 반시계로 읽은 순서(출력 → A → B)가 지표 순서입니다. | |
| $\varepsilon_{ijk}A_iB_jC_k=\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)$. | |
| $T_{ij}$. 단자가 둘인 상자. 왼쪽 단자가 첫 지표입니다(G4와 같은 관례). | |
| $T_{ii}=\operatorname{tr}T$. 자기 두 단자를 이은 것입니다. |
(가) A의 선과 B의 선 사이에 맨 선 δ가 끼어 있습니다. 맨 선은 그냥 선이므로 A와 B를 이은 그림, 즉 $\mathbf A\cdot\mathbf B$입니다. 지표식으로는 $\delta_{ij}B_j=B_i$로 바꿔치기하는 단계인데, 그림에서는 아무 일도 하지 않습니다.
(나) $T_{ji}$의 두 단자가 맨 선 δ를 거쳐 서로 이어집니다. 자기 두 단자를 이은 그림이므로 $\operatorname{tr}T$입니다.
(다) 고리 두 개입니다. $3\times3=9$.
점의 값을 "팔이 떠나는 방향의 반시계 순서"로 정하면, 그림을 통째로 돌려도 순서는 순환만 합니다. $\varepsilon_{ijk}$는 순환해도 같으므로 그림을 돌려도 값이 같습니다. 그래서 그림의 값은 그리는 각도와 무관하게 잘 정해집니다.
두 팔을 꼬면 그 두 팔의 순서만 바뀝니다. 이것은 $\varepsilon_{ijk}$의 두 지표를 맞바꾼 것이라 $-1$입니다. 선끼리 교차하는 것 자체는 δ로 이은 것일 뿐이라 값을 바꾸지 않습니다. 거울에 비친 그림은 모든 점의 순서가 뒤집히므로 점 하나마다 $-1$이 붙습니다(점이 $n$개면 $(-1)^n$).
L07 예제 1-1에서 $\mathbf A=(2,-1,3)$, $\mathbf B=(1,4,-2)$이면 $\mathbf A\times\mathbf B=(-10,7,9)$입니다. 위의 clank 그림에서 꼰 그림은 B가 왼쪽 팔에 붙은 것과 같으므로 $\mathbf B\times\mathbf A=-(\mathbf A\times\mathbf B)=(10,-7,-9)$. 다시 계산할 필요가 없습니다.
L07 1절 레시피 3의 검산 "결과와 A의 내적이 0"은 그림으로 보면 같은 A가 한 점에 두 번 붙은 삼중곱 $\mathbf A\cdot(\mathbf A\times\mathbf B)$이라 자동으로 0입니다.
L07 예제 1-2에서 $\mathbf C=(0,1,1)$이고 $\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)=16$이었습니다. 아래 첫 그림을 120° 돌린 것이 둘째·셋째 그림이므로 $\mathbf B\cdot(\mathbf C\times\mathbf A)=\mathbf C\cdot(\mathbf A\times\mathbf B)=16$입니다.
두 상자만 맞바꾸면 반시계 순서가 한 번 바뀌므로 $\mathbf A\cdot(\mathbf C\times\mathbf B)=-16$입니다.
H 그림을 반시계로 읽습니다. 위 점은 (가운데 $m$, 오른쪽 위 $j$, 왼쪽 위 $i$) 순서라 $\varepsilon_{mji}$, 아래 점은 (왼쪽 아래 $k$, 오른쪽 아래 $l$, 가운데 $m$) 순서라 $\varepsilon_{klm}=\varepsilon_{mkl}$입니다. L07의 축약 공식(첫 지표가 같을 때)에 넣으면
$$\begin{aligned}\varepsilon_{mji}\varepsilon_{mkl}&=\delta_{jk}\delta_{il}-\delta_{jl}\delta_{ik}.\end{aligned}$$첫 항 $\delta_{il}\delta_{jk}$는 왼쪽 위–오른쪽 아래, 오른쪽 위–왼쪽 아래를 잇는 X이고, 둘째 항 $\delta_{ik}\delta_{jl}$은 같은 쪽끼리 잇는 ‖입니다. 축약 공식 자체는 L07 7절의 경우 나누기(0이 아닌 경우가 셋뿐)로 확인합니다.
B×C 기계(아래 점)의 출력이 A×(…) 기계(위 점)로 들어갑니다. 가운데 선을 세로로 두면 정확히 H 모양이고, 네 모서리는 왼쪽 위 A, 오른쪽 위 출력 $i$, 왼쪽 아래 B, 오른쪽 아래 C입니다. 읽어서 확인합니다: 위 점은 (가운데, $i$, A) 순서라 $\varepsilon_{mia}A_a=(\mathbf A\times\cdots)_i$, 아래 점은 (B, C, 가운데) 순서라 $(\mathbf B\times\mathbf C)_m$입니다.
X: A와 C가 이어지고 B의 선이 $i$로 나갑니다 → $B_i(\mathbf A\cdot\mathbf C)$. ‖: A와 B가 이어지고 C의 선이 $i$로 나갑니다 → $C_i(\mathbf A\cdot\mathbf B)$. 따라서
$$\begin{aligned}\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)&=\mathbf B(\mathbf A\cdot\mathbf C)\\&\quad-\mathbf C(\mathbf A\cdot\mathbf B).\end{aligned}$$"+를 받는 것은 출력과 엇갈린 자리(왼쪽 아래)의 B"라고 기억하면 됩니다. L07 예제 1-2의 수치($\mathbf A\cdot\mathbf C=2$, $\mathbf A\cdot\mathbf B=-8$)를 넣으면 $2\mathbf B+8\mathbf C=(2,16,4)$.
선 중간이 부푼 모양(두 점을 두 선으로 이은 것)을 거품이라 합니다. 거품은 선의 $-2$배이고, 거품의 두 끝을 이은 세타(두 점을 세 선으로 이은 것)는 $-6$입니다.
세타는 거품의 두 끝을 이은 것이므로 $-2\times(\text{고리})=-2\times3=-6$입니다.
H 그림의 오른쪽 두 끝을 이으면 거품이 됩니다. 같은 일을 X와 ‖에도 하면, X는 한 줄로 이어진 선(자기 자신과 한 번 교차할 뿐)이고, ‖는 선 하나 옆에 고리 하나가 생깁니다.
따라서 거품 = 선 − 3·선 = −2·선입니다. 지표로는 $\varepsilon_{ikl}\varepsilon_{jkl}=2\delta_{ij}$의 $+2$와 부호가 다른데, 그 이유는 아래 경고 상자에 있습니다.
위 그림은 자유 끝이 1개인 가장 간단한 예입니다(올챙이). 지표로는 $\varepsilon_{ijj}=0$이고, 대칭 논증으로도 바로 0입니다.
δ와 ε만으로 만든 그림은 좌표축을 어떻게 돌려도 성분이 변하지 않는 텐서(회전 불변 텐서)입니다. 그런데 3차원에서 회전해도 변하지 않는 벡터는 0뿐이고(어느 방향을 가리켜도 돌리면 바뀌므로), 2지표 텐서는 $\delta$의 상수배뿐, 3지표 텐서는 $\varepsilon$의 상수배뿐입니다. 그래서 자유 끝 개수만 보면 답의 모양이 정해지고, 남는 것은 상수 하나입니다. 양변을 똑같이 닫으면 양변에 같은 일을 했으므로 등식이 유지되고, 상수가 나옵니다.
(엄밀하게는 "회전 불변 텐서는 δ와 ε의 곱의 합"이라는 정리가 필요하지만 생략합니다. 원문은 이 논증을 Schur 보조정리로 설명합니다.)
점 세 개를 삼각형으로 잇고 각 점에서 바깥으로 끝 $i,j,k$를 냅니다. 자유 끝이 3개이므로 점 하나(같은 자리에 $i,j,k$)의 상수배입니다.
상수를 구하려고 양변의 세 끝을 새 점 하나에 똑같이 이어 닫습니다. 왼쪽은 사면체 모양(점 넷이 서로 다 이어진 그림), 오른쪽은 세타가 됩니다. 아래 그림은 보기 좋게 다시 그린 것입니다(선을 늘이고 옮겼을 뿐 점마다 팔의 순서는 같음).
사면체의 값은 $+6$입니다(연습 D2에서 H 규칙 한 번으로 구함). 세타는 $-6$이므로 $6=c\cdot(-6)$, 즉 $c=-1$: 삼각형 = −(점 하나). 지표식으로 확인할 수도 있습니다. 변 이름을 위–왼쪽 $a$, 아래 $b$, 오른쪽–위 $c$로 두고 점마다 반시계로 읽으면 $\varepsilon_{iac}\varepsilon_{jba}\varepsilon_{kcb}$이고, 직접 계산하면 $-\varepsilon_{ijk}$입니다.
세 H는 예제 3-1의 그림에서 상자 이름만 A→B→C→A로 돌린 것입니다. 각각을 X − ‖로 바꾸면
$$\begin{aligned}&\big[\mathbf B(\mathbf A\cdot\mathbf C)-\mathbf C(\mathbf A\cdot\mathbf B)\big]\\&+\big[\mathbf C(\mathbf B\cdot\mathbf A)-\mathbf A(\mathbf B\cdot\mathbf C)\big]\\&+\big[\mathbf A(\mathbf C\cdot\mathbf B)-\mathbf B(\mathbf C\cdot\mathbf A)\big]=0.\end{aligned}$$첫 H의 X 그림(B가 출력, A–C 이음)과 셋째 H의 ‖ 그림(B가 출력, C–A 이음)이 같은 그림이라 지워집니다. 나머지 두 쌍도 같은 식으로 지워집니다.
그림으로 보면 외우기 쉽습니다: 옆에 매달린 상자 D가 점의 세 팔에 차례로 들어가고, 쫓겨난 상자가 그 자리에서 열린 끝을 받습니다. 부호는 모두 +입니다(팔의 자리가 그대로이므로).
유도. 점 셋짜리 나무 $(\mathbf B\times\mathbf C)\times(\mathbf A\times\mathbf D)$를 그립니다. 가운데 점과 왼쪽 점을 잇는 선 ①에 H 규칙(BAC−CAB)을 쓸 수도, 오른쪽 선 ②에 쓸 수도 있습니다.
$$\begin{aligned}\text{②: }&\mathbf A\big((\mathbf B\times\mathbf C)\cdot\mathbf D\big)\\&-\mathbf D\big((\mathbf B\times\mathbf C)\cdot\mathbf A\big),\\\text{①: }&\mathbf C\big(\mathbf B\cdot(\mathbf A\times\mathbf D)\big)\\&-\mathbf B\big(\mathbf C\cdot(\mathbf A\times\mathbf D)\big).\end{aligned}$$두 식을 같다고 놓고 $\mathbf D(\mathbf A\cdot\mathbf B\times\mathbf C)$에 대해 풀면 위 전개가 됩니다(삼중곱을 순환시켜 모양만 맞춤: $\mathbf B\cdot(\mathbf A\times\mathbf D)=\mathbf A\cdot\mathbf D\times\mathbf B=-\mathbf A\cdot\mathbf B\times\mathbf D$ 등).
전개를 지표로 쓰면 $\delta_{id}\varepsilon_{abc}=\delta_{ia}\varepsilon_{dbc}+\delta_{ib}\varepsilon_{adc}+\delta_{ic}\varepsilon_{abd}$입니다. 좌변에서 우변을 뺀 양을 $Y$라 하면, $Y$는 $d,a,b,c$ 네 지표 중 어느 둘을 맞바꿔도 부호가 바뀝니다(네 항이 서로 자리를 바꾸며 부호가 바뀜). 그런데 3차원에서는 지표 값이 1, 2, 3뿐이라 네 지표가 모두 다를 수 없고, 두 지표가 같으면 "맞바꿔도 같고 부호는 바뀌어야" 하므로 $Y=0$입니다. 원문은 이것을 "3차원에서 선 넷을 반대칭화하면 0"이라는 그림 규칙으로 씁니다.
$-\mathbf n\times(\mathbf n\times\mathbf v)$는 $\mathbf v$에서 $\mathbf n$ 방향 성분을 뺀 것입니다. $\mathbf v$를 떼어 낸 2지표 그림은 왼쪽 위와 왼쪽 아래가 n인 H입니다.
−H = ‖ − X. ‖는 n–n 아령($\mathbf n\cdot\mathbf n=1$)과 맨 선이라 $\delta_{ij}$, X는 $n_in_j$입니다. 따라서 $P_{ij}=\delta_{ij}-n_in_j$. 그림으로 확인하는 두 성질:
L07 7절의 지표 계산 레시피는 6단계입니다(성분 쓰기 → ε마다 새 지표 → 공통 지표 순환 → 축약 공식 → δ 바꿔치기 → 다시 읽기). 그림으로는 3·5단계가 사라지고, 2·4단계가 "그리기"와 "H 한 번"으로 줄어듭니다.
(가) 두 점을 세 선으로 잇되, 두 점 모두 $(i,j,k)$를 반시계 순서로 읽어야 합니다. 꼬지 않고 그리면 마주 보는 점은 반대 순서가 되어 세타($-6$)입니다. 그래서 두 선을 한 번 꼬아 그리고, clank로 부호가 바뀌어 $+6$입니다.
(나) BAC−CAB는 예제 3-1의 H 한 장입니다. L07의 여러 줄 계산(순환 → 축약 → δ 두 번 → 다시 읽기)이 "X − ‖를 읽기" 한 번으로 줄었습니다.
F1(가) $\delta_{ij}\delta_{jk}\delta_{ki}$: 맨 선 세 토막을 이어 붙이면 고리 하나 → 3.
F1(나) $\varepsilon_{ijk}\delta_{jk}$: 점의 두 팔을 이은 올챙이(4절 그림) → 0.
F2 $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mjk}$: 두 점을 두 선($j$, $k$)으로 이은 거품입니다. 두 점을 모두 $(i,j,k)$, $(m,j,k)$ 순서로 읽으려면 두 선을 꼬아야 하므로 $-(-2)=+2$: $2\delta_{im}$. L07처럼 "순환시켜 $\varepsilon_{jki}\varepsilon_{jkm}$으로 바꾸기"가 필요 없습니다.
A×B 기계를 180° 돌려 출력이 아래로 가게 하면 A가 오른쪽 위, B가 왼쪽 위에 옵니다(돌려도 값은 같음). 그 출력을 C×D 기계의 출력에 이으면 H입니다.
X: B–D, A–C → $(\mathbf A\cdot\mathbf C)(\mathbf B\cdot\mathbf D)$. ‖: B–C, A–D → $(\mathbf A\cdot\mathbf D)(\mathbf B\cdot\mathbf C)$.
$$\begin{aligned}&(\mathbf A\times\mathbf B)\cdot(\mathbf C\times\mathbf D)\\&=(\mathbf A\cdot\mathbf C)(\mathbf B\cdot\mathbf D)\\&\quad-(\mathbf A\cdot\mathbf D)(\mathbf B\cdot\mathbf C).\end{aligned}$$$\mathbf C=\mathbf A$, $\mathbf D=\mathbf B$로 두면 L07 1절의 검산식 $|\mathbf A\times\mathbf B|^2=|\mathbf A|^2|\mathbf B|^2-(\mathbf A\cdot\mathbf B)^2$입니다.
L04 1절의 $\det A=\varepsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$를 대칭인 꼴 $\det A=\frac16\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}a_{il}a_{jm}a_{kn}$로 쓰면, 위 점과 아래 점 사이에 행렬 상자 셋을 끼운 그림입니다. 두 점을 평면에서 마주 보게 그리면 6절과 같은 이유로 부호가 하나 붙습니다.
위 점은 (왼쪽, 가운데, 오른쪽) 순서, 아래 점은 (오른쪽, 가운데, 왼쪽) 순서로 읽히므로 그림의 값은 $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{nml}a_{il}a_{jm}a_{kn}=-6\det A$입니다. L04 예제 1-1(b)의 행렬($\det A=-11$)을 넣으면 그림의 값은 $66$입니다.
3×3에서는 빨라지는 계산이 아니라 "행렬식 = ε 둘에 행렬 셋"이라는 구조를 보여 주는 그림입니다. 행렬을 선으로 다루는 방법(대각합, 케일리-해밀턴, 일반 $n$의 행렬식)은 G4에서 자세히 다룹니다.
| 레슨·위치 | 계산 | 그림으로 하면 |
|---|---|---|
| L07 1절 예제 1-2, 연습 A5 | $\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)$ 수치 | H 한 장(예제 3-1). 누가 +를 받는지 그림으로 보임 |
| L07 1절 레시피 3 | 외적 검산 $(\mathbf A\times\mathbf B)\cdot\mathbf A=0$, $|\mathbf A\times\mathbf B|^2$ | 같은 벡터 두 팔 → 0(예제 2-1), H 한 장(예제 6-3) |
| L07 7절 예제 7-1 | $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}=6$, BAC−CAB | 꼰 세타, H 한 번(예제 6-1). 6단계 레시피의 순환·δ 단계가 사라짐 |
| L07 7절 연습 F1, F2 | $\delta\delta\delta$, $\varepsilon\delta$, $\varepsilon\varepsilon=2\delta$ | 고리, 올챙이, 꼰 거품(예제 6-2) |
| L07 7절 연습 F4 | $(\mathbf A\times\mathbf B)\cdot(\mathbf C\times\mathbf D)$ | H 한 번(예제 6-3) |
| L07 0절 축약표 | $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn}=2\delta_{kn}$ 등 | 거품·세타·H 세 그림만 기억(3절) |
| L29 3절 예제 3-1, 4절 | 반대칭 부분의 쌍대 $C_i=\frac12\varepsilon_{ijk}A_{jk}$ | 점에 반대칭 상자 → $\frac12\mathbf a\times\mathbf b$(연습 D3) |
| L04 1절 예제 1-1(b) | 3×3 행렬식 | 빨라지지는 않음. 구조와 부호 확인용(7절) |
| L07 6–7절 미분 항등식 | $\nabla(\mathbf A\cdot\mathbf B)$, $\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)$ | G2(미분 풍선) |
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 그림 등식은 텐서 네트워크 계산으로, 답은 SymPy로 검산했습니다.
A1. 다음 그림을 지표식과 벡터식으로 쓰세요.
A2. 다음 그림(아래 두 팔을 꼰 것)의 값을 A1의 답으로 쓰세요.
A3. 다음 그림의 값은?
A4. $\varepsilon_{ijk}A_iB_jA_k$의 값을 그림으로 판단하세요.
B1. 선 위에 거품이 두 개 있는 그림의 값은?
B2. 세타의 한 선에 거품이 달린 그림의 값은?
B3. 지표식 $\varepsilon_{ikl}\varepsilon_{jlk}$의 값은?
C1. $(\mathbf A\times\mathbf B)\times\mathbf C$를 H 규칙으로 전개하세요.
C2. $|\mathbf A\times\mathbf B|^2$을 그림으로 계산하세요.
C3. $(\mathbf A\times\mathbf B)\times(\mathbf C\times\mathbf D)$를 두 가지로 전개하세요.
C4. $\mathbf A\times\big(\mathbf B\times(\mathbf C\times\mathbf D)\big)$를 전개하세요.
C5. $\mathbf n=(0,0,1)$, $\mathbf v=(1,2,3)$일 때 $\mathbf n\times(\mathbf n\times\mathbf v)$와 $(\delta-\mathbf n\mathbf n)\mathbf v$를 구하세요.
C6. L07 연습문제 A5의 $\mathbf A=(1,0,1)$, $\mathbf B=(2,1,0)$, $\mathbf C=(0,1,3)$에서 $\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)=(6,1,-6)$이었습니다. $\mathbf B\times(\mathbf C\times\mathbf A)+\mathbf C\times(\mathbf A\times\mathbf B)$를 계산 없이 구하세요.
C7. $(\mathbf A\times\mathbf B)\cdot\big[(\mathbf B\times\mathbf C)\times(\mathbf C\times\mathbf A)\big]=(\mathbf A\cdot\mathbf B\times\mathbf C)^2$을 보이세요.
D1. 다음 그림(자유 끝 1개)의 값은?
D2. 사면체 그림(가운데 점이 삼각형의 세 점과 이어짐)의 값을 H 규칙으로 구하고, 예제 4-1의 $c=-1$을 확인하세요.
D3. (L29 예제 3-1을 그림으로) $T_{ij}=a_ib_j$의 반대칭 부분 $A_{jk}=\frac12(a_jb_k-a_kb_j)$에 대해 $C_i=\frac12\varepsilon_{ijk}A_{jk}$가 $\frac12\mathbf a\times\mathbf b$임을 보이고, $\mathbf a=(1,2,0)$, $\mathbf b=(3,-1,2)$에서 값을 구하세요.
E1. 두 점을 세 줄로 이은 다음 그림의 값을 구하고, 7절의 공식으로 $\det I=1$인지 확인하세요.
E2. L04 예제 1-1(b)의 $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&1\end{pmatrix}$에 대해 7절 그림의 값은?