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L04 · 행렬식과 행렬

Arfken 7판 2.1–2.2절 (행렬식, 연립방정식, 역행렬, 행렬 연산, 직교·유니터리·에르미트 행렬, 파울리 행렬, 직접곱)

이 레슨이 끝나면 할 수 있는 계산
  1. 2×2·3×3 행렬식을 바로 쓰고, 큰 행렬식을 여인수 전개나 행 연산으로 줄이기
  2. 행렬식의 성질로 계산 없이 값 알아내기
  3. 크래머 공식으로 연립방정식 풀기, 동차 연립방정식이 0 아닌 해를 가질 조건 찾기, 벡터의 일차독립 판정하기
  4. 역행렬을 수반행렬과 가우스-조던 두 방법으로 구하기
  5. 행렬 곱, 교환자, 대각합, 전치·켤레·에르미트 켤레 계산하기
  6. 직교·유니터리 행렬 판정하기, 파울리 행렬 곱 계산하기
  7. 직접곱(크로네커 곱)을 만들고 혼합곱 규칙으로 계산하기

0. 외워 둘 공식

항목공식
2×2 행렬식$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$
3×3 행렬식$\det A=\varepsilon_{ijk}\,a_{1i}a_{2j}a_{3k}$ (항 6개, 사뤼스 규칙과 같은 내용)
여인수 전개$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$, $\ \det A=\sum_j a_{ij}C_{ij}$ (아무 행 $i$로나, 열로도 됨)
행 연산두 행 교환: $\times(-1)$ / 한 행을 $c$배: $\times c$ / 한 행에 다른 행의 상수배를 더함: 그대로
성질$\det A^T=\det A$, $\ \det(AB)=\det A\,\det B$, $\ \det(cA)=c^n\det A$ ($n\times n$), $\ \det A^{-1}=1/\det A$, 같거나 비례하는 두 행 → $0$
역행렬$A^{-1}=\dfrac{\operatorname{adj}A}{\det A}$, $\operatorname{adj}A=C^T$. 2×2: $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
곱의 규칙$(AB)^T=B^TA^T$, $\ (AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger$, $\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, $\ \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$
특별한 행렬대칭 $A^T=A$, 에르미트 $A^\dagger=A$, 직교 $O^TO=I$ ($\det=\pm1$), 유니터리 $U^\dagger U=I$ ($|\det|=1$)
일차독립$n$차원 벡터 $n$개를 열로 놓은 행렬의 $\det\ne0$ $\iff$ 일차독립
파울리 행렬$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$, $\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, $\ \sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+i\varepsilon_{ijk}\sigma_k$
직접곱$A\otimes B=\big(a_{ij}B\big)$, $\ (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD$, $\ \operatorname{tr}(A\otimes B)=\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$, $\ \det(A\otimes B)=(\det A)^n(\det B)^m$ ($A$: $m\times m$, $B$: $n\times n$)
이 레슨의 관례 (책마다 다른 곳)

1. 2×2·3×3 행렬식과 레비-치비타 기호

레시피
  1. 2×2: 주대각선 곱에서 반대 대각선 곱을 뺍니다. $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.
  2. 3×3 사뤼스(Sarrus) 규칙: 1·2열을 오른쪽에 한 번 더 베껴 씁니다. 왼쪽 위→오른쪽 아래 방향 대각선 3개의 곱은 더하고, 오른쪽 위→왼쪽 아래 방향 3개의 곱은 뺍니다. $$\begin{aligned}\det A&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}\\&\quad+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\\&\quad-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\end{aligned}$$
  3. 같은 6개 항을 레비-치비타 기호로 쓰면 $\det A=\varepsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$입니다. 1행에서 $i$열, 2행에서 $j$열, 3행에서 $k$열을 하나씩 고르고(열이 겹치면 안 됨), $(i,j,k)$가 $(1,2,3)$을 순환시킨 것이면 $+$, 두 개를 바꾼 것이면 $-$를 붙입니다.
  4. 사뤼스 규칙은 3×3에서만 됩니다. 4×4 이상에는 2절이나 3절 방법을 씁니다.

그림 표기로 보기: G1 7절 — 3×3 행렬식을 ε 점 두 개와 행렬 상자 셋으로 보기(평면 그림의 값은 −6 det A)

예제 1-1 (a) $\begin{vmatrix}3&-2\\5&4\end{vmatrix}$   (b) $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&1\end{pmatrix}$의 행렬식

(a) $3\cdot4-(-2)\cdot5=12+10=22$.

(b) 6개 항을 $\varepsilon$ 표로 정리합니다. 앞의 세 줄이 사뤼스의 "더하는" 대각선, 뒤의 세 줄이 "빼는" 대각선입니다.

$(i,j,k)$$\varepsilon_{ijk}$$a_{1i}a_{2j}a_{3k}$값
$(1,2,3)$$+1$$a_{11}a_{22}a_{33}=2\cdot(-1)\cdot1$$-2$
$(2,3,1)$$+1$$a_{12}a_{23}a_{31}=1\cdot4\cdot1$$4$
$(3,1,2)$$+1$$a_{13}a_{21}a_{32}=3\cdot0\cdot2$$0$
$(3,2,1)$$-1$$a_{13}a_{22}a_{31}=3\cdot(-1)\cdot1$$-3$
$(1,3,2)$$-1$$a_{11}a_{23}a_{32}=2\cdot4\cdot2$$16$
$(2,1,3)$$-1$$a_{12}a_{21}a_{33}=1\cdot0\cdot1$$0$
$$\begin{aligned}\det A&=(-2+4+0)-(-3+16+0)\\&=2-13=-11.\end{aligned}$$

그림 표기로 보기: G4 3·4절 — 행렬식 = 반대칭화 막대로 묶어 닫은 그림, $\det(AB)$를 그림 세 단계로, 여인수 = 상자 하나 빼기

2. 여인수 전개

레시피
  1. 0이 가장 많은 행이나 열을 고릅니다.
  2. 부호는 체스판 무늬 $(-1)^{i+j}$입니다. 왼쪽 위가 $+$입니다. $$\begin{pmatrix}+&-&+&-\\-&+&-&+\\+&-&+&-\\-&+&-&+\end{pmatrix}$$
  3. 고른 행의 각 성분 × 부호 × (그 성분의 행과 열을 지운 소행렬식(minor))을 더합니다. 성분이 0인 항은 건너뜁니다.
  4. 남은 소행렬식이 3×3이면 사뤼스나 다시 전개, 더 크면 같은 방법을 반복합니다.
왜 되나? (증명 스케치)

3×3에서 봅니다. $\varepsilon$ 정의의 6개 항을 "1행에서 몇 번째 열을 골랐나"로 묶습니다.

$$\begin{aligned}\det A&=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})\\&\quad-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})\\&\quad+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).\end{aligned}$$
예제 2-1 $M=\begin{pmatrix}1&0&2&0\\3&0&1&5\\0&2&0&0\\4&1&3&2\end{pmatrix}$의 행렬식

3행에는 0이 아닌 성분이 $a_{32}=2$ 하나뿐입니다. 부호는 $(-1)^{3+2}=-1$입니다.

3행과 2열을 지운 소행렬식을 1행으로 전개합니다.

$$\begin{aligned}M_{32}&=\begin{vmatrix}1&2&0\\3&1&5\\4&3&2\end{vmatrix}\\&=1\cdot(1\cdot2-5\cdot3)-2\cdot(3\cdot2-5\cdot4)+0\\&=-13+28=15\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\det M&=a_{32}\cdot(-1)^{3+2}\cdot M_{32}\\&=2\cdot(-1)\cdot15=-30.\end{aligned}$$

3. 행 연산으로 상삼각화, 그리고 행렬식의 성질

레시피
  1. 목표: 대각선 아래를 전부 0으로 만듭니다(상삼각행렬, upper triangular). 그러면 행렬식은 대각 성분의 곱입니다.
  2. 세 가지 연산과 행렬식의 변화:
    • $R_i\leftrightarrow R_j$ (두 행 교환): 부호가 바뀝니다. 교환할 때마다 앞에 $(-1)$을 적어 둡니다.
    • $R_i\to cR_i$: 행렬식이 $c$배가 됩니다. 거꾸로, 한 행의 공통인수 $c$는 밖으로 꺼내 앞에 곱합니다.
    • $R_i\to R_i+cR_j$: 행렬식이 그대로입니다. 거의 이것만 씁니다.
  3. 피벗(대각 성분)이 0이면 아래 행과 교환합니다. 피벗이 1인 행을 위로 올리면 분수가 덜 생깁니다.
  4. 성질로 계산 줄이기: 두 행(또는 열)이 같거나 비례하면 $0$입니다. $\det A^T=\det A$이므로 행에 대해 성립하는 것은 열에도 성립합니다. $\det(AB)=\det A\,\det B$이므로 곱을 계산하지 말고 각각 구해 곱합니다. $\det(cA)=c^n\det A$입니다($c$가 $n$개 행에 모두 곱해지므로).
왜 되나? (증명 스케치)

행렬식의 모든 항은 "각 행에서 정확히 하나씩, 열이 겹치지 않게 고른 성분의 곱"에 $\pm$를 붙인 것입니다. 여기서 규칙이 모두 나옵니다.

예제 3-1 $M=\begin{pmatrix}0&2&4&2\\1&3&2&1\\2&5&4&3\\1&1&2&5\end{pmatrix}$의 행렬식, 그리고 $\det M^T$, $\det(2M)$, $\det M^{-1}$

① $a_{11}=0$이므로 $R_1\leftrightarrow R_2$. 부호 $(-1)$이 붙습니다.

$$\det M=-\begin{vmatrix}1&3&2&1\\0&2&4&2\\2&5&4&3\\1&1&2&5\end{vmatrix}$$

② 새 2행 $(0,2,4,2)$에서 공통인수 2를 꺼냅니다.

$$\det M=-2\begin{vmatrix}1&3&2&1\\0&1&2&1\\2&5&4&3\\1&1&2&5\end{vmatrix}$$

③ $R_3\to R_3-2R_1$: $(2,5,4,3)-(2,6,4,2)=(0,-1,0,1)$. $\ R_4\to R_4-R_1$: $(1,1,2,5)-(1,3,2,1)=(0,-2,0,4)$. 값은 그대로입니다.

$$\det M=-2\begin{vmatrix}1&3&2&1\\0&1&2&1\\0&-1&0&1\\0&-2&0&4\end{vmatrix}$$

④ $R_3\to R_3+R_2$: $(0,0,2,2)$. $\ R_4\to R_4+2R_2$: $(0,-2,0,4)+(0,2,4,2)=(0,0,4,6)$.

$$\det M=-2\begin{vmatrix}1&3&2&1\\0&1&2&1\\0&0&2&2\\0&0&4&6\end{vmatrix}$$

⑤ $R_4\to R_4-2R_3$: $(0,0,4,6)-(0,0,4,4)=(0,0,0,2)$.

$$\begin{aligned}\det M&=-2\begin{vmatrix}1&3&2&1\\0&1&2&1\\0&0&2&2\\0&0&0&2\end{vmatrix}\\&=-2\cdot(1\cdot1\cdot2\cdot2)=-8.\end{aligned}$$

나머지는 성질로 바로 나옵니다: $\det M^T=-8$, $\ \det(2M)=2^4\cdot(-8)=-128$, $\ \det M^{-1}=-\dfrac18$.

4. 크래머 공식

레시피 ($A\mathbf x=\mathbf b$, 미지수 3개)
  1. $D=\det A$를 구합니다. $D\ne0$이어야 해가 하나로 정해집니다.
  2. $D_x$: $A$의 1열($x$의 계수)을 $\mathbf b$로 바꾼 행렬식입니다. $D_y$, $D_z$도 2열, 3열을 바꿔서 같은 식으로 구합니다.
  3. $x=D_x/D$, $\ y=D_y/D$, $\ z=D_z/D$.
  4. 원래 식 하나에 대입해 확인합니다. 이것만 해도 실수 대부분이 잡힙니다.
왜 되나? (증명 스케치)

$A$의 열을 $\mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3$이라 하면 $A\mathbf x=\mathbf b$는 $x\mathbf c_1+y\mathbf c_2+z\mathbf c_3=\mathbf b$입니다. $D_x$는 1열 자리에 $\mathbf b$를 넣은 행렬식이므로, 열에 대한 선형성으로 쪼갭니다.

$$\begin{aligned}D_x&=\det(\mathbf b,\mathbf c_2,\mathbf c_3)\\&=x\det(\mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3)\\&\quad+y\det(\mathbf c_2,\mathbf c_2,\mathbf c_3)+z\det(\mathbf c_3,\mathbf c_2,\mathbf c_3)\\&=xD+0+0.\end{aligned}$$

같은 열이 두 번 나오는 행렬식은 0입니다. 그래서 $x=D_x/D$. $y$, $z$도 같은 방법입니다.

예제 4-1 $\ x+2y-z=2,\quad 2x-y+z=3,\quad x+y+2z=9$

모든 행렬식을 1행으로 전개합니다.

$$\begin{aligned} D&=\begin{vmatrix}1&2&-1\\2&-1&1\\1&1&2\end{vmatrix}\\&=1(-2-1)-2(4-1)-1(2+1)=-12\\[6pt] D_x&=\begin{vmatrix}2&2&-1\\3&-1&1\\9&1&2\end{vmatrix}\\&=2(-2-1)-2(6-9)-1(3+9)=-12\\[6pt] D_y&=\begin{vmatrix}1&2&-1\\2&3&1\\1&9&2\end{vmatrix}\\&=1(6-9)-2(4-1)-1(18-3)=-24\\[6pt] D_z&=\begin{vmatrix}1&2&2\\2&-1&3\\1&1&9\end{vmatrix}\\&=1(-9-3)-2(18-3)+2(2+1)=-36 \end{aligned}$$ $$x=\tfrac{-12}{-12}=1,\quad y=\tfrac{-24}{-12}=2,\quad z=\tfrac{-36}{-12}=3.$$

확인: 첫 식 $1+4-3=2$. 맞습니다.

5. 동차 연립방정식과 일차독립

레시피 ($A\mathbf x=\mathbf 0$)
  1. $\mathbf x=\mathbf 0$은 언제나 해입니다(자명한 해, trivial solution).
  2. 0이 아닌 해가 있을 조건은 $\det A=0$입니다. 매개변수가 있으면 $\det A$를 그 매개변수의 다항식으로 정리하고 인수분해해서 근을 구합니다.
  3. 근마다 원래 식에 넣고, 독립인 식만 남겨 해를 구합니다. 해는 상수배가 자유입니다.
  4. 이 조건을 $\det(A-\lambda I)=0$에 적용한 것이 L05 고유값 문제입니다.
  5. 일차독립(linear independence) 판정: 벡터 $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n$이 일차독립이라는 것은 $c_1\mathbf v_1+\dots+c_n\mathbf v_n=\mathbf 0$의 해가 $c_i=0$뿐이라는 뜻입니다. 이것은 $\mathbf v_i$를 열로 놓은 행렬 $V$에 대한 동차 연립방정식 $V\mathbf c=\mathbf 0$입니다. 그래서 $n$차원 벡터 $n$개이면 $\det V\ne0$ ⇔ 일차독립, $\det V=0$ ⇔ 일차종속입니다.
  6. 종속이면 $V\mathbf c=\mathbf 0$을 풀어 관계식 $c_1\mathbf v_1+\dots=\mathbf 0$을 구하고, 원래 벡터에 넣어 확인합니다. 벡터 수가 차원보다 적으면(예: 3차원 벡터 2개) 정사각행렬이 아니라 $\det$를 못 씁니다. 그때는 직접 $c_i$를 풀거나, 3차원 두 벡터이면 외적이 $\mathbf 0$인지 봅니다.
왜 되나? (증명 스케치)
예제 5-1 $\ x+y+kz=0,\quad x+ky+z=0,\quad kx+y+z=0$ 이 0 아닌 해를 갖는 $k$와 그때의 해

계수 행렬을 $A$라 하고 1행으로 전개합니다.

$$\begin{aligned}\det A&=\begin{vmatrix}1&1&k\\1&k&1\\k&1&1\end{vmatrix}\\&=1\cdot(k-1)-1\cdot(1-k)+k\cdot(1-k^2)\\&=2(k-1)-k(k-1)(k+1)\\&=(k-1)(2-k-k^2)\\&=-(k-1)^2(k+2).\end{aligned}$$

따라서 $k=1$ 또는 $k=-2$.

예제 5-2 $\mathbf v_1=(1,2,3)$, $\mathbf v_2=(2,1,0)$, $\mathbf v_3=(0,3,6)$이 일차독립인지 판정하고, 종속이면 관계식 구하기

세 벡터를 열로 놓은 행렬식을 1행으로 전개합니다.

$$\begin{aligned}\det V&=\begin{vmatrix}1&2&0\\2&1&3\\3&0&6\end{vmatrix}\\&=1(6-0)-2(12-9)+0\\&=6-6=0.\end{aligned}$$

$\det V=0$이므로 일차종속입니다. 관계식은 $c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2+c_3\mathbf v_3=\mathbf 0$을 성분별로 씁니다.

$$\begin{aligned}c_1+2c_2&=0\\2c_1+c_2+3c_3&=0\\3c_1+6c_3&=0\end{aligned}$$

셋째 식에서 $c_1=-2c_3$, 첫 식에서 $c_2=-\frac{c_1}2=c_3$. 둘째 식에 넣으면 $-4c_3+c_3+3c_3=0$으로 맞습니다. $c_3=1$로 두면 $(c_1,c_2,c_3)=(-2,1,1)$.

$$-2\mathbf v_1+\mathbf v_2+\mathbf v_3=\mathbf 0.$$

확인: $\mathbf v_2+\mathbf v_3=(2,4,6)=2\mathbf v_1$. 맞습니다.

6. 역행렬

레시피

방법 1 — 수반행렬(adjugate) (3×3까지 손계산용)

  1. $\det A$를 구합니다. 0이면 역행렬이 없습니다.
  2. 여인수 $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$를 9개 모두 구해 여인수 행렬 $C$를 만듭니다.
  3. 전치합니다: $\operatorname{adj}A=C^T$. 이 전치를 빠뜨리는 실수가 가장 흔합니다.
  4. $A^{-1}=\operatorname{adj}A/\det A$. 마지막에 $A$의 한 행과 $\operatorname{adj}A$를 곱해 $(\det A,0,0)$ 꼴이 나오는지 봅니다.

방법 2 — 가우스-조던(Gauss–Jordan) 소거 (숫자가 깔끔하거나 4×4 이상일 때)

  1. $[A\,|\,I]$를 나란히 씁니다.
  2. 행 연산을 양쪽에 똑같이 해서 왼쪽을 $I$로 만듭니다. 먼저 아래쪽을 0으로, 다음에 위쪽을 0으로 만듭니다.
  3. 그때 오른쪽이 $A^{-1}$입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

수반행렬: $A\,\operatorname{adj}A=(\det A)\,I$. 곱의 $(i,k)$ 성분을 씁니다. $\operatorname{adj}A=C^T$이므로 $(\operatorname{adj}A)_{jk}=C_{kj}$입니다.

$$(A\,\operatorname{adj}A)_{ik}=\sum_ja_{ij}C_{kj}.$$

따라서 $A^{-1}=\operatorname{adj}A/\det A$. 지표가 $C_{kj}$로 뒤집혀 있는 것이 전치가 필요한 이유입니다.

가우스-조던: 행 연산 하나는 왼쪽에 기본행렬 $E$를 곱하는 것입니다. $E_m\cdots E_1A=I$가 되었다면 $E_m\cdots E_1=A^{-1}$입니다. 오른쪽 $I$에도 같은 연산을 했으므로 오른쪽에는 $E_m\cdots E_1I=A^{-1}$이 남습니다.

예제 6-1 (수반행렬) $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$의 역행렬

행렬식(1행 전개): $1\cdot(1-0)-2\cdot(0-1)+0=3$.

여인수 9개입니다. 표의 $i$행 $j$열 칸이 $C_{ij}$이고, 지운 행·열의 2×2 행렬식에 부호를 붙였습니다.

${+\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1}$${-\begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix}=1}$${+\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1}$
${-\begin{vmatrix}2&0\\0&1\end{vmatrix}=-2}$${+\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1}$${-\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=2}$
${+\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=2}$${-\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=-1}$${+\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1}$
$$C=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-2&1&2\\2&-1&1\end{pmatrix}$$ $$\operatorname{adj}A=C^T=\begin{pmatrix}1&-2&2\\1&1&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}$$ $$A^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}1&-2&2\\1&1&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}.$$

확인: $A$의 1행 $(1,2,0)$과 $\operatorname{adj}A$의 세 열을 곱하면 $1+2=3$, $-2+2=0$, $2-2=0$. $(\det A,0,0)$이 나왔습니다.

그림 표기로 보기: G4 6절 — 3×3 수반행렬을 여인수·전치 없이: $\operatorname{adj}A=A^2-e_1A+e_2I$ (이 예제를 다시 풂)

예제 6-2 (가우스-조던) $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$의 역행렬 $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&1&0&0\\1&2&1&0&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}\right)$$

① $R_2\to R_2-R_1$: $(0,1,1\,|\,-1,1,0)$.

② $R_3\to R_3-R_2$: $(0,1,2\,|\,0,0,1)-(0,1,1\,|\,-1,1,0)=(0,0,1\,|\,1,-1,1)$. 이제 아래쪽이 모두 0입니다.

③ $R_2\to R_2-R_3$: $(0,1,0\,|\,-2,2,-1)$.

④ $R_1\to R_1-R_2$: $(1,0,0\,|\,3,-2,1)$.

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&3&-2&1\\0&1&0&-2&2&-1\\0&0&1&1&-1&1\end{array}\right)$$ $$A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}.$$

$\det A=1$이라서 역행렬 성분이 모두 정수입니다. 확인: $A$의 2행 $(1,2,1)$과 $A^{-1}$의 2열 $(-2,2,-1)$의 곱은 $-2+4-1=1$.

7. 행렬 곱, 교환자, 대각합

레시피
  1. $(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$: $A$의 $i$행과 $B$의 $j$열을 내적합니다. 크기는 $(m\times n)(n\times p)=m\times p$이고, 안쪽 숫자 $n$이 같아야 곱할 수 있습니다.
  2. 일반적으로 $AB\ne BA$입니다. 그 차이가 교환자 $[A,B]=AB-BA$입니다.
  3. 대각합(trace) $\operatorname{tr}A=\sum_i a_{ii}$. $\operatorname{tr}(AB)=\sum_i\sum_ka_{ik}b_{ki}$이고, 이것은 $i$와 $k$의 이름만 바꾸면 $\operatorname{tr}(BA)$입니다. 그래서 교환자의 대각합은 항상 0입니다. 교환자를 구한 뒤 대각합이 0인지 보면 검산이 됩니다.
  4. 세 개 이상이면 순환만 허용됩니다: $\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$. $\operatorname{tr}(ACB)$와는 다를 수 있습니다.
예제 7-1 $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$의 $AB$, $BA$, $[A,B]$, 대각합 $$AB=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot0+2\cdot1\\0\cdot1+1\cdot3&0\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}$$ $$BA=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot0&1\cdot2+0\cdot1\\3\cdot1+1\cdot0&3\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}$$ $$[A,B]=\begin{pmatrix}6&0\\0&-6\end{pmatrix}.$$

$\operatorname{tr}(AB)=8=\operatorname{tr}(BA)$, $\ \operatorname{tr}[A,B]=0$. 검산 통과입니다.

그림 표기로 보기: G4 1절 — 대각합 = 고리, 고리는 돌릴 수 있음, $\operatorname{tr}(AB)=\sum A_{ij}B_{ji}$로 곱 행렬 없이 계산

8. 전치·켤레·에르미트 켤레, 직교·유니터리 판정

레시피
  1. $A^T$: 행과 열을 바꿉니다($a_{ij}\to a_{ji}$). $A^*$: 모든 성분에서 $i\to-i$. $A^\dagger$: 둘 다 합니다(순서 무관).
  2. 에르미트(Hermitian) 판정 $A^\dagger=A$: 대각 성분은 실수이고, 대각선에 대칭인 두 자리는 서로 켤레여야 합니다.
  3. 직교(orthogonal) 판정 $O^TO=I$: 손으로는 "열벡터들이 길이 1이고 서로 수직인가"를 봅니다(길이 $n$개, 내적 $n(n-1)/2$개). $\det O=+1$이면 회전, $-1$이면 반사가 섞여 있습니다.
  4. 유니터리(unitary) 판정 $U^\dagger U=I$: 열벡터끼리 복소 내적 $\mathbf u_j^\dagger\mathbf u_k=\sum_i u_{ij}^*u_{ik}$를 봅니다. 앞 벡터에 켤레를 붙입니다. $|\det U|=1$입니다.
왜 되나? (증명 스케치)
예제 8-1 (a) $U=\dfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}$의 $U^T$, $U^*$, $U^\dagger$, 대각합, 유니터리 여부   (b) $O=\dfrac13\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{pmatrix}$의 직교 여부와 $\det O$

(a) $U$는 대칭이라 $U^T=U$입니다. 켤레를 취하면

$$\begin{aligned}U^*&=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-i\\-i&1\end{pmatrix}\\U^\dagger&=(U^*)^T=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-i\\-i&1\end{pmatrix}\\\operatorname{tr}U&=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}U^\dagger U&=\frac12\begin{pmatrix}1\cdot1+(-i)\cdot i&1\cdot i+(-i)\cdot1\\(-i)\cdot1+1\cdot i&(-i)\cdot i+1\cdot1\end{pmatrix}\\&=\frac12\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=I.\end{aligned}$$

유니터리입니다. $\det U=\frac12(1-i^2)=1$. 하지만 $U^\dagger\ne U$이므로 에르미트는 아닙니다.

(b) 열벡터 $\mathbf c_1=\frac13(1,2,2)$, $\mathbf c_2=\frac13(2,1,-2)$, $\mathbf c_3=\frac13(2,-2,1)$.

직교 행렬입니다. 행렬식은 $\frac1{27}$을 밖으로 빼고(3행 각각에서 $\frac13$) 1행 전개합니다.

$$\begin{aligned}\det O&=\frac1{27}\big[1(1-4)-2(2+4)+2(-4-2)\big]\\&=\frac{-27}{27}=-1.\end{aligned}$$

$\det O=-1$이므로 반사가 섞인 직교 변환입니다.

9. 파울리 행렬

레시피
  1. 세 행렬을 외웁니다(0절 표). 셋 다 에르미트이고 유니터리이며, $\sigma_i^2=I$, $\operatorname{tr}\sigma_i=0$, $\det\sigma_i=-1$입니다.
  2. 곱 규칙: $\sigma_x\sigma_y=i\sigma_z$, $\sigma_y\sigma_z=i\sigma_x$, $\sigma_z\sigma_x=i\sigma_y$ (순환 $x\to y\to z\to x$). 순서를 거꾸로 하면 부호가 바뀝니다.
  3. 한 줄로 쓰면 $\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+i\varepsilon_{ijk}\sigma_k$입니다. 여기서 바로 $$\begin{aligned}[\sigma_i,\sigma_j]&=2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\\ \{\sigma_i,\sigma_j\}&=\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}I\end{aligned}$$ 가 나옵니다. $\{\ ,\ \}$는 반교환자(anticommutator)입니다.
  4. 벡터와 묶으면 $(\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma)(\mathbf b\cdot\boldsymbol\sigma)=(\mathbf a\cdot\mathbf b)I+i(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\boldsymbol\sigma$입니다. 여기서 $\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma=a_x\sigma_x+a_y\sigma_y+a_z\sigma_z$.
왜 되나? (증명 스케치)
예제 9-1 $\sigma_x\sigma_y$, $\sigma_y\sigma_x$를 직접 곱하고 $[\sigma_x,\sigma_y]$, $\{\sigma_x,\sigma_y\}$ 구하기 $$\begin{aligned}\sigma_x\sigma_y&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot i&0\cdot(-i)+1\cdot0\\1\cdot0+0\cdot i&1\cdot(-i)+0\cdot0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}=i\sigma_z\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\sigma_y\sigma_x&=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}=-i\sigma_z\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}[\sigma_x,\sigma_y]&=i\sigma_z-(-i\sigma_z)=2i\sigma_z\\ \{\sigma_x,\sigma_y\}&=i\sigma_z+(-i\sigma_z)=0\end{aligned}$$

공식으로 확인: $i=x$, $j=y$이면 $\delta_{xy}=0$, $\varepsilon_{xyz}=1$이므로 $\sigma_x\sigma_y=i\sigma_z$. 같은 결과입니다.

그림 표기로 보기: G5 2절 예제 2-2 — σ^a X σ^a = 2(tr X)·I − X, 파울리 네 개의 대각합을 곱셈 없이.

10. 직접곱 (크로네커 곱)

레시피
  1. $A$ ($m\times m$)와 $B$ ($n\times n$)의 직접곱 $A\otimes B$는 $A$의 성분 $a_{ij}$ 자리에 블록 $a_{ij}B$를 놓은 $mn\times mn$ 행렬입니다. $$A\otimes B=\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B\\a_{21}B&a_{22}B\end{pmatrix}\quad(m=2)$$ 벡터도 같습니다: $\mathbf u\otimes\mathbf v=(u_1\mathbf v,\,u_2\mathbf v,\dots)$.
  2. 혼합곱 규칙: $(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD)$. 큰 행렬을 곱하지 말고 작은 것끼리 곱합니다.
  3. 따름 규칙: $(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$, $\ (A\otimes B)^\dagger=A^\dagger\otimes B^\dagger$ (순서를 뒤집지 않습니다), $\ \operatorname{tr}(A\otimes B)=\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$, $\ \det(A\otimes B)=(\det A)^n(\det B)^m$.
  4. 일반적으로 $A\otimes B\ne B\otimes A$입니다. 성분은 같고 배열 순서만 다릅니다.
  5. 쓰는 곳: 두 입자(두 스핀)의 상태와 연산자. 첫째 스핀에만 작용하는 $\sigma_z$는 $\sigma_z\otimes I$, 둘째에만 작용하면 $I\otimes\sigma_z$입니다. 디랙 행렬도 파울리 행렬의 직접곱으로 만듭니다(연습문제 G3).
왜 되나? (증명 스케치)

혼합곱: 블록 행렬은 성분처럼 곱합니다. 곱의 $(i,j)$ 블록은

$$\sum_k(a_{ik}B)(c_{kj}D)=\Big(\sum_ka_{ik}c_{kj}\Big)BD=(AC)_{ij}\,BD.$$

이것이 $(AC)\otimes(BD)$의 $(i,j)$ 블록입니다.

대각합과 행렬식: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$, $B\mathbf w=\mu\mathbf w$이면 혼합곱으로 $(A\otimes B)(\mathbf v\otimes\mathbf w)=\lambda\mu\,(\mathbf v\otimes\mathbf w)$입니다. 고유값이 $\lambda_i\mu_k$ ($mn$개)이므로 대각합은 $\sum_i\lambda_i\sum_k\mu_k=\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$, 행렬식은 $\prod_{i,k}\lambda_i\mu_k=(\det A)^n(\det B)^m$입니다. (대각합=고유값의 합, 행렬식=고유값의 곱은 L05에서 봅니다. 대각합은 대각 블록 $a_{ii}B$의 대각합을 더해도 바로 나옵니다.)

예제 10-1 (a) $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$에 대해 $A\otimes\sigma_x$와 $\sigma_x\otimes A$ (b) $(\sigma_x\otimes\sigma_x)(\sigma_z\otimes\sigma_z)$와 $(\sigma_z\otimes\sigma_z)(\sigma_x\otimes\sigma_x)$

(a) $A$의 성분마다 $\sigma_x$ 블록을 놓습니다.

$$\begin{aligned}A\otimes\sigma_x&=\begin{pmatrix}1\cdot\sigma_x&2\sigma_x\\0\cdot\sigma_x&1\cdot\sigma_x\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&1&0&2\\1&0&2&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}\end{aligned}$$

순서를 바꾸면 $\sigma_x$의 성분($0,1,1,0$) 자리에 $A$ 블록이 놓입니다.

$$\begin{aligned}\sigma_x\otimes A&=\begin{pmatrix}0&A\\A&0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&0&1&2\\0&0&0&1\\1&2&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}\end{aligned}$$

두 행렬은 다릅니다. 대각합은 둘 다 $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}\sigma_x=2\cdot0=0$, 행렬식은 둘 다 $(\det A)^2(\det\sigma_x)^2=1\cdot1=1$.

(b) 혼합곱 규칙과 파울리 곱 $\sigma_x\sigma_z=-i\sigma_y$, $\sigma_z\sigma_x=i\sigma_y$를 씁니다.

$$\begin{aligned}(\sigma_x\otimes\sigma_x)(\sigma_z\otimes\sigma_z)&=(\sigma_x\sigma_z)\otimes(\sigma_x\sigma_z)\\&=(-i\sigma_y)\otimes(-i\sigma_y)\\&=-\sigma_y\otimes\sigma_y\\[4pt](\sigma_z\otimes\sigma_z)(\sigma_x\otimes\sigma_x)&=(i\sigma_y)\otimes(i\sigma_y)\\&=-\sigma_y\otimes\sigma_y\end{aligned}$$

같습니다. $\sigma_x$와 $\sigma_z$는 서로 반교환하지만, 양쪽 인수에서 $-1$이 한 번씩 나와 곱해지므로 $\sigma_x\otimes\sigma_x$와 $\sigma_z\otimes\sigma_z$는 교환합니다. 직접 쓰면 $\sigma_y\otimes\sigma_y$는 반대각선이 위에서부터 $(-1,1,1,-1)$이고 나머지가 0인 실행렬입니다.

그림 표기로 보기: G4 2절 — 크로네커 곱 = 두 줄 그림, 혼합곱과 $\operatorname{tr}(A\otimes B)=\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$(고리 둘)

11. 자주 하는 실수

12. 연습문제

종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다.

A. 행렬식 계산

A1. $\begin{vmatrix}4&7\\-1&3\end{vmatrix}$

답$19$ — $4\cdot3-7\cdot(-1)=12+7$.

A2. $\begin{vmatrix}1&2&3\\0&4&5\\1&0&6\end{vmatrix}$ (사뤼스 규칙으로)

답$22$ — 더하는 항 $24+10+0=34$, 빼는 항 $12+0+0=12$.

A3. $\begin{vmatrix}2&0&0&1\\0&3&0&0\\1&4&1&2\\0&5&0&1\end{vmatrix}$ (여인수 전개로)

답$6$ — 3열에는 $a_{33}=1$만 있습니다(부호 $+$). 남은 $\begin{vmatrix}2&0&1\\0&3&0\\0&5&1\end{vmatrix}$를 2행(3만 있음)으로 전개하면 $3\cdot\begin{vmatrix}2&1\\0&1\end{vmatrix}=3\cdot2$.

A4. 상삼각행렬 $\begin{pmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{pmatrix}$에서 $\varepsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$의 6개 항 중 0이 아닌 항은?

답$(i,j,k)=(1,2,3)$ 항 $adf$ 하나뿐 — $a_{3k}\ne0$이려면 $k=3$, 그러면 $a_{2j}\ne0$이고 $j\ne3$이려면 $j=2$, 남은 $i=1$.

A5. 예제 1-1의 $A$에 대해 $\varepsilon_{ijk}\,a_{i2}\,a_{j1}\,a_{k3}$의 값

답$11$ — $\varepsilon_{ijk}a_{i1}a_{j2}a_{k3}$는 열 기준으로 쓴 $\det A$입니다($\det A^T=\det A$). 이 식은 1열과 2열을 바꾼 행렬의 행렬식이므로 $-\det A=11$.

B. 행 연산과 성질

B1. $\begin{vmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&3\\0&1&1&2\\1&3&2&0\end{vmatrix}$ (행 연산으로)

답$4$ — $R_2-2R_1=(0,0,1,1)$, $R_4-R_1=(0,1,2,-1)$. 2행 피벗이 0이므로 $R_2\leftrightarrow R_3$(부호 $-$). $R_4-R_2=(0,0,1,-3)$, $R_4-R_3=(0,0,0,-4)$. 대각 곱 $-4$에 교환 부호 $-1$을 곱합니다.

B2. $\begin{vmatrix}2&4&6\\1&5&9\\1&2&3\end{vmatrix}$ (계산하지 말고)

답$0$ — 1행이 3행의 2배입니다.

B3. 3×3 행렬 $A$의 $\det A=5$일 때 $\det(2A)$, $\det A^T$, $\det A^{-1}$, $\det(-A)$, $\det(A^2A^T)$

답$40,\ 5,\ \dfrac15,\ -5,\ 125$ — $2^3\cdot5$, 전치 불변, 역수, $(-1)^3\cdot5$, $5\cdot5\cdot5$.

B4. $A=\begin{pmatrix}1&4&-2\\0&2&7\\0&0&3\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&0&0\\5&1&0\\-3&8&-1\end{pmatrix}$일 때 $\det(AB)$

답$-12$ — 둘 다 삼각행렬이라 $\det A=1\cdot2\cdot3=6$, $\det B=2\cdot1\cdot(-1)=-2$. 곱 $AB$는 계산할 필요가 없습니다.

B5. $\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}$ (방데르몽드 행렬식, Vandermonde)

답$(b-a)(c-a)(c-b)$ — 열 연산 $C_2-C_1$, $C_3-C_1$을 하면 1행이 $(1,0,0)$이 됩니다. 남는 $\begin{vmatrix}b-a&c-a\\b^2-a^2&c^2-a^2\end{vmatrix}$에서 $(b-a)(c-a)$를 꺼내면 $\begin{vmatrix}1&1\\b+a&c+a\end{vmatrix}=c-b$.

C. 연립방정식과 일차독립

C1. 크래머 공식으로: $3x+2y=7,\ x-y=-1$

답$x=1,\ y=2$ — $D=-3-2=-5$, $D_x=-7+2=-5$, $D_y=-3-7=-10$.

C2. 크래머 공식으로: $x+y+z=2,\ 2x-y+z=6,\ x+2y-z=-1$

답$(x,y,z)=(2,-1,1)$ — $D=7$, $D_x=14$, $D_y=-7$, $D_z=7$.

C3. $x+y+z=0,\ x+\lambda y+2z=0,\ x+2y+\lambda z=0$이 0 아닌 해를 갖는 $\lambda$와 그때의 해

답$\det=\lambda(\lambda-2)$. $\lambda=0$: $t(-2,1,1)$. $\lambda=2$: $t(0,1,-1)$ — $\lambda=2$이면 2·3행이 같아집니다. 1행을 빼면 $y+z=0$, 그러면 $x=0$.

C4. $(1-k)x+2y=0,\ 3x+(2-k)y=0$이 0 아닌 해를 갖는 $k$와 그때의 해

답$(1-k)(2-k)-6=k^2-3k-4=(k-4)(k+1)$. $k=4$: $t(2,3)$. $k=-1$: $t(1,-1)$ — 이것은 $\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}$의 고유값 문제와 같습니다(L05).

C5. $(1,1,0)$, $(0,1,1)$, $(1,0,1)$은 일차독립인가?

답독립 — 세 벡터를 열로 놓은 행렬식이 $1\cdot(1-0)-0+1\cdot(1-0)=2\ne0$.

C6. $(1,2,k)$, $(0,1,1)$, $(1,3,4)$가 일차종속이 되는 $k$와 그때의 관계식

답$k=3$, $\ \mathbf v_1+\mathbf v_2-\mathbf v_3=\mathbf 0$ — 행렬식 $=3-k$. $k=3$이면 $(1,2,3)+(0,1,1)=(1,3,4)$.

D. 역행렬

D1. $\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}^{-1}$

답$\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}$ — $\det=1$. 대각을 바꾸고 비대각의 부호를 바꿉니다.

D2. 수반행렬로: $\begin{pmatrix}2&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}^{-1}$

답$\dfrac13\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&2&1\\1&-2&2\end{pmatrix}$ — $\det=3$, 여인수 행렬 $C=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&2&-2\\-1&1&2\end{pmatrix}$을 전치.

D3. 가우스-조던으로: $\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}^{-1}$

답$\begin{pmatrix}-24&18&5\\20&-15&-4\\-5&4&1\end{pmatrix}$ — $\det=1$. $R_3-5R_1$로 시작합니다. 확인은 $A$의 한 행과 곱해 보기.

E. 곱·켤레·직교·유니터리

E1. $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{pmatrix}$의 $AB$, $BA$와 각각의 대각합

답$AB=\begin{pmatrix}5&1\\4&2\end{pmatrix}$ (2×2), $BA=\begin{pmatrix}2&3&7\\1&3&5\\1&0&2\end{pmatrix}$ (3×3). 크기는 달라도 대각합은 둘 다 $7$.

E2. $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$의 $[A,B]$

답$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}=\sigma_z$ — $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, $BA=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$. 대각합 0 확인.

E3. $M=\begin{pmatrix}2&1-i\\3i&-1\end{pmatrix}$의 $M^\dagger$. $M$은 에르미트인가? $M+M^\dagger$는?

답$M^\dagger=\begin{pmatrix}2&-3i\\1+i&-1\end{pmatrix}$. 에르미트가 아닙니다($1-i\ne(3i)^*=-3i$). $M+M^\dagger=\begin{pmatrix}4&1-4i\\1+4i&-2\end{pmatrix}$는 에르미트입니다.

E4. $O=\dfrac17\begin{pmatrix}2&3&6\\3&-6&2\\6&2&-3\end{pmatrix}$이 직교 행렬인지 확인하고 $\det O$를 구하기

답직교, $\det O=+1$ — 열 길이 $\frac{4+9+36}{49}=1$ 등, 내적 $\frac{6-18+12}{49}=0$ 등. $\det\begin{pmatrix}2&3&6\\3&-6&2\\6&2&-3\end{pmatrix}=28+63+252=343=7^3$.

E5. $U=\dfrac12\begin{pmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{pmatrix}$이 유니터리인지 확인하고 $\det U$를 구하기

답유니터리, $\det U=i$ — 1열 길이 제곱 $\frac{|1+i|^2+|1-i|^2}{4}=1$, 열 내적 $\frac{(1-i)(1-i)+(1+i)(1+i)}{4}=\frac{-2i+2i}{4}=0$. $\det U=\frac{(1+i)^2-(1-i)^2}{4}=\frac{4i}{4}$.

F. 파울리 행렬

F1. $\sigma_y\sigma_z$, $\sigma_z\sigma_y$, $[\sigma_y,\sigma_z]$

답$i\sigma_x,\ -i\sigma_x,\ 2i\sigma_x$ — $\sigma_y\sigma_z=\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}$.

F2. $\sigma_x\sigma_y\sigma_z$

답$iI$ — $\sigma_x\sigma_y=i\sigma_z$이고 $\sigma_z^2=I$.

F3. $\mathbf a=(1,2,0)$, $\mathbf b=(0,1,1)$일 때 $(\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma)(\mathbf b\cdot\boldsymbol\sigma)$를 공식으로 구하고 직접 곱해서 확인

답$2I+i(2\sigma_x-\sigma_y+\sigma_z)=\begin{pmatrix}2+i&-1+2i\\1+2i&2-i\end{pmatrix}$ — $\mathbf a\cdot\mathbf b=2$, $\mathbf a\times\mathbf b=(2,-1,1)$. 직접: $\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma=\begin{pmatrix}0&1-2i\\1+2i&0\end{pmatrix}$, $\mathbf b\cdot\boldsymbol\sigma=\begin{pmatrix}1&-i\\i&-1\end{pmatrix}$.

G. 직접곱

G1. $I_2\otimes\sigma_x$와 $\sigma_x\otimes I_2$를 4×4로 쓰고 같은지 비교

답$I_2\otimes\sigma_x=\begin{pmatrix}\sigma_x&0\\0&\sigma_x\end{pmatrix}$ (블록 대각), $\ \sigma_x\otimes I_2=\begin{pmatrix}0&I_2\\I_2&0\end{pmatrix}$. 다릅니다 — 앞의 것은 1행이 $(0,1,0,0)$, 뒤의 것은 $(0,0,1,0)$.

G2. $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&4\\0&2\end{pmatrix}$일 때 $\operatorname{tr}(A\otimes B)$와 $\det(A\otimes B)$ (4×4를 쓰지 말고)

답$15$, $\ 100$ — $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B=5\cdot3$, $\ (\det A)^2(\det B)^2=5^2\cdot2^2$.

G3. $\gamma^0=\sigma_z\otimes I_2$, $\gamma^k=i\sigma_y\otimes\sigma_k$ ($k=x,y,z$)일 때 $(\gamma^0)^2$, $(\gamma^k)^2$, $\gamma^0\gamma^k+\gamma^k\gamma^0$를 혼합곱 규칙으로

답$I_4$, $\ -I_4$, $\ 0$ — $(\sigma_z^2)\otimes I_2$; $(i\sigma_y)^2\otimes\sigma_k^2=-I_2\otimes I_2$; $\gamma^0\gamma^k=(i\sigma_z\sigma_y)\otimes\sigma_k=\sigma_x\otimes\sigma_k$, $\gamma^k\gamma^0=(i\sigma_y\sigma_z)\otimes\sigma_k=-\sigma_x\otimes\sigma_k$. 이것이 디랙 행렬(디랙 표현)의 성질입니다.

13. 다음

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