Arfken은 편미분과 다중적분을 자유롭게 쓴다고 보고 시작합니다. 이 레슨은 그 계산을 처음부터 한 단계씩 익힙니다. 1변수 미분·적분 기법은 L00a의 것을 그대로 씁니다.
이 레슨의 관례
편미분 표기: $\dfrac{\partial f}{\partial x}=f_x=\partial_xf$. 셋 다 같은 뜻입니다.
혼합 편미분: $f_{xy}=(f_x)_y=\dfrac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}$. 아래첨자는 왼쪽부터(먼저 $x$, 다음 $y$), $\partial$ 분수는 오른쪽부터 읽습니다. 이 레슨의 함수는 모두 매끄러워서 순서가 결과를 바꾸지 않습니다.
2차원 극좌표는 $(r,\theta)$입니다: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
원통좌표는 $(\rho,\varphi,z)$, 구면좌표는 $(r,\theta,\varphi)$입니다. 구면좌표의 $\theta$는 $+z$축에서 잰 극각($0\le\theta\le\pi$), $\varphi$는 $x$축에서 잰 방위각($0\le\varphi\le2\pi$)입니다. L09와 같은 관례입니다. 수학책 일부는 $\theta$와 $\varphi$의 역할을 바꿔 씁니다.
같은 평면 각을 2차원 극좌표에서는 $\theta$, 원통좌표에서는 $\varphi$로 부릅니다. 같은 거리 $\sqrt{x^2+y^2}$도 극좌표에서는 $r$, 원통좌표에서는 $\rho$입니다.
밀도: 원통좌표의 $\rho$와 겹치지 않게 면밀도(area density)는 $\sigma$, 부피밀도(volume density)는 $\mu$로 씁니다. 물리책은 부피밀도에 보통 $\rho$를 씁니다.
구의 부피 $\frac43\pi R^3$ 원판(중심축) $I=\frac12MR^2$, 속이 찬 구 $I=\frac25MR^2$
삼중적분에서 자주 나오는 1차원 적분: $\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta=2$, $\ \int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta=\frac43$, $\ \int_0^\pi\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta=\frac23$.
1. 편미분과 고계 편미분
레시피
$f_x$를 구할 때는 $y$(와 $z$)를 숫자처럼 봅니다. 그리고 1변수 미분 규칙을 그대로 씁니다. $y$만 있는 항은 상수이므로 미분하면 0입니다.
고계 편미분은 한 번 편미분한 결과를 다시 편미분합니다. 2변수 함수의 2계 편도함수는 $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$, $f_{yy}$ 네 개입니다.
혼합 편미분의 교환: 매끄러운 함수는 $f_{xy}=f_{yx}$입니다(클레로 정리, Clairaut's theorem). 그래서 둘 다 구해서 같은지 보면 계산 검산이 됩니다. 한쪽 순서가 더 쉬우면 그 순서로 미분해도 됩니다.
왜 되나? (증명 스케치)
작은 직사각형의 네 꼭짓점에서 $f$ 값을 $P=f(x,y)$, $Q=f(x+h,y)$, $R=f(x,y+k)$, $S=f(x+h,y+k)$로 줄여 씁니다. 그리고 더하고 빼는 양 하나를 봅니다.
$$\Delta=S-Q-R+P$$
$x$끼리 먼저 묶기: $\Delta=(S-R)-(Q-P)$. 괄호마다 $x$만 $h$ 바뀌므로 $S-R\approx h\,f_x(x,y+k)$, $Q-P\approx h\,f_x(x,y)$입니다. 그 둘의 차이는 $f_x$에서 $y$만 $k$ 바뀐 것이라 $\Delta\approx hk\,f_{xy}$입니다.
$y$끼리 먼저 묶기: $\Delta=(S-Q)-(R-P)$. 같은 방법으로 $\Delta\approx hk\,f_{yx}$입니다.
같은 $\Delta$를 두 순서로 어림했으므로 $f_{xy}=f_{yx}$입니다. "$\approx$"가 극한에서 정확해지려면 2계 편도함수가 연속이어야 합니다(엄밀한 증명은 생략).
$f$가 가장 빨리 커지는 방향은 $\nabla f$ 방향이고, 그 변화율은 $|\nabla f|$입니다. $\nabla f$는 등고선(등위면)에 수직입니다.
음함수 미분(implicit differentiation) 공식: 곡선 $F(x,y)=0$ 위에서 $y$를 $x$의 함수로 보면
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\quad(F_y\ne0)$$
곡면 $F(x,y,z)=0$에서 $z$를 $x$, $y$의 함수로 보면 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z}$, $\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y}{F_z}$입니다. 편도함수는 그 점에서 계산하고, 앞의 마이너스를 잊지 않습니다. L00a 2절처럼 양변을 미분해도 같은 답이 나오지만, 이 공식이 더 빠릅니다.
왜 되나? (증명 스케치)
전미분. 점 $P_0=(x,y)$에서 $P_2=(x+\Delta x,\,y+\Delta y)$로 갈 때, 먼저 $x$ 방향으로만 가서 $P_1=(x+\Delta x,\,y)$에 들르고, 다음에 $y$ 방향으로만 간다고 생각합니다.
기울기. 단위벡터 $\hat{\mathbf u}=(u_1,u_2)$ 방향으로 거리 $s$만큼 가면 $\Delta x=su_1$, $\Delta y=su_2$이므로 $\Delta f\approx s\,(f_xu_1+f_yu_2)=s\,\nabla f\cdot\hat{\mathbf u}$입니다. 내적은 $|\nabla f|\cos\phi$ ($\phi$는 사잇각)이므로 $\phi=0$일 때 가장 크고 $\phi=90^\circ$이면 0입니다. 등고선을 따라가면 $f$가 변하지 않으므로, 등고선 방향이 바로 $\phi=90^\circ$인 방향입니다. 그래서 $\nabla f$는 등고선에 수직입니다.
음함수 미분. 곡선 $F(x,y)=0$ 위를 움직이면 $F$는 계속 0이므로 $dF=F_x\,dx+F_y\,dy=0$입니다. $\dfrac{dy}{dx}$에 대해 풀면 $-\dfrac{F_x}{F_y}$. 곡면에서는 $y$를 고정하고($dy=0$) $F_x\,dx+F_z\,dz=0$을 풀면 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z}$입니다.
예제 2-1 (오차 어림) 원기둥 부피 $V=\pi r^2h$. 반지름 $r=3$ cm, 높이 $h=10$ cm를 쟀고, 오차는 $|\Delta r|\le0.02$ cm, $|\Delta h|\le0.05$ cm입니다. $V$의 최대 오차는?
한편 $f$를 처음부터 $r$, $\theta$의 함수로 보면 $df=f_r\,dr+f_\theta\,d\theta$입니다. $dr$의 계수끼리 비교하면 $f_r=f_xx_r+f_yy_r$이고, $d\theta$도 같습니다. 트리 그림의 "경로마다 곱하고, 경로끼리 더하기"가 바로 이 대입과 묶기입니다. (엄밀하게는 $f$가 미분가능해야 하지만 생략합니다.)
예제 3-1 극좌표 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$에서 $f(x,y)$의 $\dfrac{\partial f}{\partial r}$, $\dfrac{\partial f}{\partial\theta}$. 그리고 $f=x^2y$로 확인
직접 대입해도 같습니다: $f=r^3\cos^2\theta\sin\theta$이므로 $\partial_rf=3r^2\cos^2\theta\sin\theta$이고, $\theta$로 곱의 규칙을 쓰면 $\partial_\theta f=r^3(-2\cos\theta\sin^2\theta+\cos^3\theta)$입니다.
4. 이중적분 — 반복적분
레시피
영역 $D$를 그립니다. 경계 곡선과 교점을 표시합니다.
$dy\,dx$ 순서라면 세로선을 하나 긋습니다. 세로선이 영역에 들어가는 곡선이 안쪽 적분의 아래 끝 $g_1(x)$, 나가는 곡선이 위 끝 $g_2(x)$입니다. 세로선이 움직이는 $x$ 범위가 바깥 적분의 범위입니다.
$$\begin{aligned}&\iint_Df\,dA\\&=\int_a^b\Big[\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\Big]dx\end{aligned}$$
안쪽부터 적분합니다. 안쪽 적분 동안 바깥 변수 $x$는 상수입니다.
안쪽 결과에 위·아래 끝을 넣으면 $x$만 남습니다. 그것을 $a$부터 $b$까지 적분합니다. 바깥 적분의 범위는 언제나 상수입니다.
영역이 직사각형이고 $f=g(x)h(y)$이면 $\Big(\int g\,dx\Big)\Big(\int h\,dy\Big)$로 쪼개집니다.
예제 4-1 곡선 $y=x^2$와 직선 $y=x$로 둘러싸인 영역 $D$에서 $\displaystyle\iint_D xy\,dA$
교점: $x^2=x$에서 $x(x-1)=0$, 즉 $x=0$, $x=1$.
위·아래: $0<x<1$에서 어느 쪽이 위인지 한 점으로 확인합니다. $x=\frac12$이면 $x^2=\frac14<\frac12$. 그래서 아래가 $y=x^2$, 위가 $y=x$입니다(그림 B의 굵은 세로선).
영역: 직선 $y=x$의 위쪽, 직선 $y=1$의 아래쪽, $x=0$의 오른쪽입니다. 꼭짓점이 $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$인 삼각형입니다(그림 C).
가로로 자릅니다. $y$는 $0$부터 $1$까지입니다. 높이 $y$에서 가로선은 $x=0$에서 들어가 직선 $y=x$, 즉 $x=y$에서 나갑니다. 그래서 $0\le x\le y$.
$$\int_0^1\int_0^{y}e^{y^2}\,dx\,dy$$
안쪽: $x$로 적분하는 동안 $e^{y^2}$는 상수입니다. $\int_0^ye^{y^2}dx=y\,e^{y^2}$.
바깥: $u=y^2$, $du=2y\,dy$, 범위 $0\to1$.
$$\begin{aligned}\int_0^1y\,e^{y^2}\,dy&=\frac12\int_0^1e^u\,du\\&=\frac{e-1}{2}\end{aligned}$$
6. 극좌표 이중적분
레시피
언제: 영역이 원, 원환(도넛), 부채꼴이거나, 피적분함수에 $x^2+y^2$이 있을 때입니다.
바꾸기: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $x^2+y^2=r^2$, 그리고 $dA=dx\,dy$ 자리에 $r\,dr\,d\theta$. $r$ 하나를 꼭 곱합니다. 작은 조각이 대략 가로 $dr$, 세로 $r\,d\theta$인 직사각형이기 때문입니다(아래 상자, 일반적인 방법은 L09).
마지막 항은 작은 양 세 개의 곱이라 버립니다. 그래서 $dA=r\,dr\,d\theta$입니다. 모양으로는 반지름 방향 변이 $dr$, 둘레 방향 변이 호의 길이 $r\,d\theta$인 거의 직사각형입니다. 원점에서 멀수록 같은 $d\theta$가 더 긴 호를 만들어서 $r$이 붙습니다.
안쪽: $u=r^2$, $du=2r\,dr$, 범위 $0\to a^2$. 덧붙은 $r$ 덕분에 치환이 됩니다.
$$\begin{aligned}\int_0^ae^{-r^2}r\,dr&=\frac12\int_0^{a^2}e^{-u}\,du\\&=\frac12\big(1-e^{-a^2}\big)\end{aligned}$$
바깥: $\theta$에 대한 함수가 없으므로 $2\pi$를 곱합니다. 결과는 $\pi\big(1-e^{-a^2}\big)$.
$a\to\infty$이면 $e^{-a^2}\to0$이므로 평면 전체 적분은 $\pi$입니다.
덤: 평면 전체 적분은 직교좌표로 쓰면 $\int\!\!\int e^{-x^2}e^{-y^2}dx\,dy=\Big(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\Big)^2$입니다. 그래서 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$. L03의 가우스 적분이 이렇게 나옵니다.
7. 삼중적분 — 직교·원통·구면좌표
레시피
직교좌표: 상자 모양이나 평면으로 둘러싸인 입체. $dV=dx\,dy\,dz$. 범위는 이중적분과 같은 방법으로 안쪽부터 정합니다.
원통좌표 $(\rho,\varphi,z)$: $z$축 둘레로 둥근 입체(원기둥, 원뿔, 포물면). $dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz$. $x^2+y^2=\rho^2$입니다.
구면좌표 $(r,\theta,\varphi)$: 구, 구 껍질, 원뿔($\theta=$상수). $dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$. 구 전체의 범위는 $0\le r\le R$, $0\le\theta\le\pi$, $0\le\varphi\le2\pi$입니다. $z\ge0$인 반구는 $0\le\theta\le\frac\pi2$입니다.
이 부피요소가 왜 이런 모양인지는 아래 상자에서 작은 상자의 세 변으로 보입니다. 일반적인 방법(척도인자, 야코비안)은 L09에서 다룹니다.
범위가 모두 상수이고 피적분함수가 각 변수 함수의 곱이면, 세 1차원 적분의 곱이 됩니다.
왜 되나? (증명 스케치)
세 좌표를 각각 조금씩 늘리면 거의 직육면체인 작은 상자가 생깁니다. 상자의 세 변의 길이를 곱하면 부피요소입니다.
원통좌표: $\rho$ 방향 $d\rho$, 둘레 방향 호 $\rho\,d\varphi$, 높이 $dz$. 곱하면 $\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz$입니다(6절의 $dA$에 $dz$를 곱한 것).
구면좌표: 반지름 방향 $dr$. 극각 방향은 반지름 $r$인 원(경선) 위의 호라서 $r\,d\theta$. 방위각 방향은 $z$축에서 거리가 $r\sin\theta$인 원(위선) 위의 호라서 $r\sin\theta\,d\varphi$.
범위: 두 면이 만나는 곳은 $\rho^2=4$, 즉 $\rho=2$. 그래서 $0\le\rho\le2$, $0\le\varphi\le2\pi$이고, 높이는 포물면에서 평면까지 $\rho^2\le z\le4$입니다.
$$V=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{\rho^2}^4\rho\,dz\,d\rho\,d\varphi$$
무게중심(center of mass): $\bar x=\dfrac1M\iint x\,\sigma\,dA$, $\bar y$, $\bar z$도 같은 꼴입니다. 밀도가 균일하면 밀도가 약분되어 $\bar x=\dfrac1A\iint x\,dA$입니다.
대칭을 먼저 봅니다. 균일한 물체의 무게중심은 대칭축(대칭면) 위에 있습니다. 그 좌표는 계산 없이 정해집니다.
관성모멘트(moment of inertia): $I=\int d^2\,dm$, $d$는 회전축까지의 거리입니다. $z$축이 축이면 $d^2=x^2+y^2$이고, 이것은 극좌표 $r^2$, 원통좌표 $\rho^2$, 구면좌표 $r^2\sin^2\theta$입니다.
답은 마지막에 질량 $M$으로 나타냅니다. 균일하면 $\sigma=M/A$, $\mu=M/V$를 넣습니다.
왜 되나? (증명 스케치)
가중평균. 점 질량 $m_1,\dots,m_n$이 $x_1,\dots,x_n$에 있으면 무게중심은 $\bar x=\dfrac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}$, 곧 질량으로 가중한 평균입니다. 받침점을 $\bar x$에 두면 돌림힘의 합 $\sum m_i(x_i-\bar x)g$가 0이 되어 균형을 이룹니다.
연속체. 작은 조각 $dm=\sigma\,dA$로 나누면 합이 적분이 됩니다: $\sum m_ix_i\to\iint x\,\sigma\,dA$, $\ \sum m_i\to M$.
대칭. 균일한 물체가 $y$축에 대해 대칭이면 $x$에 있는 조각마다 $-x$에 같은 조각이 있습니다. 그래서 $\iint x\,dA$가 짝끼리 지워져 $\bar x=0$입니다.
관성모멘트도 같은 방식입니다. 점 질량의 $I=md^2$를 조각마다 더하면 $\int d^2\,dm$입니다.