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L00c · 벡터·행렬 기초

Arfken이 전제로 하는 계산 (책에 없는 선수 과정)

이 레슨이 끝나면 할 수 있는 계산
  1. 벡터의 덧셈·스칼라배, 크기, 단위벡터 구하기
  2. 내적으로 사잇각 구하기, 사영으로 평행·수직 성분 나누기, 외적을 행렬식 꼴로 계산하기
  3. 행렬 곱을 손으로 빠르고 정확하게 하기
  4. 2×2·3×3 행렬식 계산하기 (사뤼스 규칙), 넓이·부피 배율로 읽기
  5. 전치·단위행렬·2×2 역행렬 쓰기
  6. 연립방정식을 $A\mathbf x=\mathbf b$로 쓰고 가우스 소거로 풀기 (해가 하나 / 무수히 많음 / 없음)
  7. 2차원 회전 행렬로 점 돌리기

Arfken 2장(행렬)과 3장(벡터)은 이 계산을 빠르게 지나갑니다(기억 기반, 미검증). 이 레슨에서 손으로 하는 순서를 먼저 익힙니다. 계산마다 검산하는 방법도 함께 적었습니다.

이 레슨의 관례

0. 외워 둘 공식

항목공식
크기$|\mathbf a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
단위벡터$\hat{\mathbf a}=\dfrac{\mathbf a}{|\mathbf a|}$
내적$\mathbf a\cdot\mathbf b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
$\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
사영 (평행·수직 성분)$\mathbf a_\parallel=\dfrac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}\,\mathbf b$, $\ \mathbf a_\perp=\mathbf a-\mathbf a_\parallel$
외적$\mathbf a\times\mathbf b=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf x}&\hat{\mathbf y}&\hat{\mathbf z}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$
$|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta$
행렬 곱$(AB)_{ij}=\sum_ka_{ik}b_{kj}$ ($A$의 $i$행 · $B$의 $j$열)
2×2 행렬식$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$
3×3 행렬식 (사뤼스)$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+cdh$
$\qquad-ceg-afh-bdi$
전치$(A^T)_{ij}=a_{ji}$, $\ (AB)^T=B^TA^T$
2×2 역행렬$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
2D 회전$R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$, $\ R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$

1. 벡터의 덧셈, 스칼라배, 크기, 단위벡터

레시피
  1. 덧셈·뺄셈은 같은 자리 성분끼리 합니다. 스칼라배(scalar multiple)는 모든 성분에 같은 수를 곱합니다.
  2. 크기(길이)는 성분 제곱의 합에 근호를 씌웁니다: $|\mathbf a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ (피타고라스).
  3. 단위벡터(unit vector)는 크기로 나눈 벡터입니다: $\hat{\mathbf a}=\mathbf a/|\mathbf a|$. 방향은 같고 크기는 1입니다. 검산: 성분 제곱의 합이 1인지 봅니다.
  4. 점 $P$에서 점 $Q$로 가는 벡터는 $\overrightarrow{PQ}=Q-P$ (끝점 − 시작점)입니다.
예제 1-1 $\mathbf a=(1,2,2)$, $\mathbf b=(3,0,-4)$일 때 $2\mathbf a-\mathbf b$, $|\mathbf a|$, $|\mathbf b|$, $\hat{\mathbf a}$

2. 내적과 사잇각

레시피
  1. 성분으로 계산합니다: $\mathbf a\cdot\mathbf b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$. 결과는 숫자입니다.
  2. 사잇각은 내적(dot product)의 기하 공식에서 나옵니다: $$\cos\theta=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\,|\mathbf b|}$$
  3. 부호로 바로 압니다. $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$이면 수직, 양수면 예각, 음수면 둔각입니다.
  4. $\mathbf a\cdot\mathbf a=|\mathbf a|^2$입니다.
  5. $\mathbf a$의 $\mathbf b$ 방향 성분(사영, projection)은 $\mathbf a\cdot\hat{\mathbf b}$입니다. 일 $W=\mathbf F\cdot\mathbf d$가 이 계산입니다.
  6. 평행·수직 성분으로 나누기: $\mathbf a$를 $\mathbf b$에 평행한 부분과 수직인 부분으로 나눕니다. $$\begin{aligned}\mathbf a_\parallel&=(\mathbf a\cdot\hat{\mathbf b})\,\hat{\mathbf b}=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}\,\mathbf b\\ \mathbf a_\perp&=\mathbf a-\mathbf a_\parallel\end{aligned}$$ 둘째 꼴을 쓰면 근호 없이 계산됩니다. 검산은 두 가지입니다: $\mathbf a_\perp\cdot\mathbf b=0$, 그리고 $|\mathbf a|^2=|\mathbf a_\parallel|^2+|\mathbf a_\perp|^2$ (피타고라스). $|\mathbf a_\perp|$는 점 $\mathbf a$에서 원점을 지나는 $\mathbf b$ 방향 직선까지의 거리입니다. 빗면에서 무게를 빗면 방향과 수직 방향으로 나누는 계산이 이것입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

기하 공식. 세 변이 $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf a-\mathbf b$인 삼각형을 봅니다. 내적은 분배법칙이 되므로

$$\begin{aligned}|\mathbf a-\mathbf b|^2&=(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf a-\mathbf b)\\&=|\mathbf a|^2+|\mathbf b|^2-2\,\mathbf a\cdot\mathbf b\end{aligned}$$

입니다. 코사인 법칙은 같은 변의 제곱을 $|\mathbf a|^2+|\mathbf b|^2-2|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$로 줍니다. 두 식을 비교하면 $\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$입니다.

사영. $\mathbf a$에서 $\mathbf b$ 쪽 직선으로 수선을 내리면 직각삼각형이 생기고, 그림자의 길이는 $|\mathbf a|\cos\theta=\mathbf a\cdot\hat{\mathbf b}$입니다. 방향 $\hat{\mathbf b}$를 붙이면 $\mathbf a_\parallel$이고, $\hat{\mathbf b}=\mathbf b/|\mathbf b|$를 넣으면 $\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}\mathbf b$입니다. 나머지는 $\mathbf a_\perp\cdot\hat{\mathbf b}=\mathbf a\cdot\hat{\mathbf b}-(\mathbf a\cdot\hat{\mathbf b})(\hat{\mathbf b}\cdot\hat{\mathbf b})=0$이라 수직입니다.

예제 2-1 (가) $\mathbf a=(1,1,0)$과 $\mathbf b=(1,0,1)$의 사잇각 (나) $\mathbf c=(1,2,-1)$과 $\mathbf d=(3,-1,1)$은 수직인가?

(가)

(나) $\mathbf c\cdot\mathbf d=1\cdot3+2\cdot(-1)+(-1)\cdot1=3-2-1=0$. 내적이 0이므로 수직입니다.

예제 2-2 (평행·수직 성분) $\mathbf a=(3,1,2)$를 $\mathbf b=(1,1,0)$에 평행한 성분과 수직인 성분으로 나누기

덤: 점 $(3,1,2)$에서 원점을 지나는 $(1,1,0)$ 방향 직선까지의 거리는 $|\mathbf a_\perp|=\sqrt6$입니다.

3. 외적

레시피
  1. 행렬식 꼴로 씁니다. 첫 행은 단위벡터, 둘째 행은 $\mathbf a$, 셋째 행은 $\mathbf b$입니다(순서 중요).
  2. 첫 행을 따라 펼칩니다. 각 단위벡터가 있는 행과 열을 가리고, 남은 2×2 행렬식을 곱합니다. 부호는 $+,\,-,\,+$입니다. $$\begin{aligned}\mathbf a\times\mathbf b&=\hat{\mathbf x}\,(a_2b_3-a_3b_2)\\&\quad-\hat{\mathbf y}\,(a_1b_3-a_3b_1)\\&\quad+\hat{\mathbf z}\,(a_1b_2-a_2b_1)\end{aligned}$$
  3. 검산: 외적(cross product)은 $\mathbf a$와 $\mathbf b$ 모두에 수직이므로, 결과와 $\mathbf a$, 결과와 $\mathbf b$의 내적이 둘 다 0이어야 합니다.
  4. 성질: $\mathbf b\times\mathbf a=-\mathbf a\times\mathbf b$, $\ \mathbf a\times\mathbf a=\mathbf 0$. 단위벡터는 $\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}=\hat{\mathbf z}$, $\hat{\mathbf y}\times\hat{\mathbf z}=\hat{\mathbf x}$, $\hat{\mathbf z}\times\hat{\mathbf x}=\hat{\mathbf y}$ (순환), 거꾸로 곱하면 $-$.
  5. 방향은 오른손 규칙입니다. 네 손가락을 $\mathbf a$에서 $\mathbf b$ 쪽으로 감으면 엄지가 $\mathbf a\times\mathbf b$ 방향입니다.
  6. 크기 $|\mathbf a\times\mathbf b|$는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다. 삼각형은 그 절반입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

수직. 레시피 2번의 성분과 $\mathbf a$의 내적은 $a_1(a_2b_3-a_3b_2)-a_2(a_1b_3-a_3b_1)+a_3(a_1b_2-a_2b_1)$입니다. 전개하면 여섯 항이 둘씩 지워져 0입니다. ($\mathbf a$가 두 행에 들어간 행렬식이 0인 것과 같습니다.) $\mathbf b$도 같습니다.

크기. 성분으로 전개해서 정리하면 다음 항등식이 나옵니다(라그랑주 항등식, Lagrange's identity).

$$|\mathbf a\times\mathbf b|^2=|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$$

오른쪽은 $|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2(1-\cos^2\theta)=|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2\sin^2\theta$입니다. 평행사변형은 밑변 $|\mathbf a|$, 높이 $|\mathbf b|\sin\theta$이므로 넓이가 $|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta=|\mathbf a\times\mathbf b|$입니다.

예제 3-1 $(1,2,3)\times(4,5,6)$ $$\begin{vmatrix}\hat{\mathbf x}&\hat{\mathbf y}&\hat{\mathbf z}\\1&2&3\\4&5&6\end{vmatrix}$$

결과: $(1,2,3)\times(4,5,6)=(-3,\ 6,\ -3)$.

검산: $(1,2,3)\cdot(-3,6,-3)=-3+12-9=0$, $\ (4,5,6)\cdot(-3,6,-3)=-12+30-18=0$. 둘 다 수직입니다.

예제 3-2 세 점 $P(1,0,0)$, $Q(0,2,0)$, $R(0,0,3)$이 만드는 삼각형의 넓이

평행사변형의 넓이가 7이므로 삼각형의 넓이는 $\dfrac72$입니다.

4. 행렬의 덧셈, 스칼라배, 곱

레시피
  1. 덧셈은 크기가 같은 행렬끼리 같은 자리 성분을 더합니다. 스칼라배는 모든 성분에 곱합니다.
  2. 곱의 크기 확인: $(m\times n)(n\times p)=(m\times p)$. 가운데 두 수($A$의 열 수와 $B$의 행 수)가 같아야 곱할 수 있고, 바깥 두 수가 결과의 크기입니다.
  3. $(AB)_{ij}$는 $A$의 $i$행과 $B$의 $j$열을 짝지어 곱해서 더한 값입니다: $(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots$.
  4. 손으로 하는 순서: 결과 행렬의 빈칸($m\times p$)을 먼저 그립니다. 왼손 손가락으로 $A$의 1행을, 오른손 손가락으로 $B$의 1열을 짚고 "곱하고, 곱하고, 더하기"를 합니다. 1행을 끝까지(1열, 2열, …) 채운 다음 2행으로 내려갑니다.
  5. 일반적으로 $AB\ne BA$입니다. 곱의 순서를 함부로 바꾸지 않습니다.
  6. 단위행렬(identity matrix) $I$는 대각 성분이 1, 나머지가 0입니다. $AI=IA=A$입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

행렬 $A$는 벡터를 벡터로 보내는 규칙(선형변환, linear transformation) $\mathbf x\mapsto A\mathbf x$입니다. $A\mathbf x$의 $i$번째 성분은 $\sum_ka_{ik}x_k$, 곧 "$A$의 $i$행과 $\mathbf x$의 내적"입니다. 열로 보면 $A\mathbf x=x_1(\text{1열})+x_2(\text{2열})+\cdots$입니다.

먼저 $B$로, 다음에 $A$로 보내 봅니다. $\mathbf y=B\mathbf x$이면 $y_k=\sum_jb_{kj}x_j$이므로

$$\begin{aligned}&\big(A(B\mathbf x)\big)_i=\sum_ka_{ik}y_k\\&=\sum_j\Big(\sum_ka_{ik}b_{kj}\Big)x_j\end{aligned}$$

괄호 안이 $(AB)_{ij}$입니다. 행렬 곱은 "두 변환을 차례로 한 것"을 행렬 하나로 쓴 것이고, 그래서 행 × 열 규칙이 나옵니다. "먼저 $B$, 다음 $A$"와 "먼저 $A$, 다음 $B$"는 보통 다른 동작입니다(예: 90° 돌리고 $x$ 방향으로만 2배 늘이기 ≠ 늘이고 돌리기). 그래서 $AB\ne BA$가 보통입니다.

예제 4-1 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}0&1\\5&-2\end{pmatrix}$일 때 $A+B$, $3A$, $AB$, $BA$

덧셈과 스칼라배: $A+B=\begin{pmatrix}1&3\\8&2\end{pmatrix}$, $\ 3A=\begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}$.

$AB$를 칸마다 계산합니다.

$BA$도 같은 방법입니다. 이번에는 $B$의 행과 $A$의 열을 짝짓습니다.

$$\begin{aligned}AB&=\begin{pmatrix}10&-3\\20&-5\end{pmatrix}\\ BA&=\begin{pmatrix}3&4\\-1&2\end{pmatrix}\end{aligned}$$

$AB\ne BA$입니다.

예제 4-2 크기가 다른 행렬의 곱: $C=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}$ (2×3), $D=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{pmatrix}$ (3×2)

$CD$는 $(2\times3)(3\times2)=2\times2$입니다. 행 하나에 성분이 3개씩 짝지어집니다.

$DC$는 $(3\times2)(2\times3)=3\times3$이라 크기부터 다릅니다.

$$\begin{aligned}CD&=\begin{pmatrix}5&1\\4&2\end{pmatrix}\\ DC&=\begin{pmatrix}2&3&7\\1&3&5\\1&0&2\end{pmatrix}\end{aligned}$$

5. 행렬식 — 2×2와 3×3 (사뤼스)

레시피
  1. 2×2: $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$. 오른쪽 아래로 가는 대각선의 곱에서 왼쪽 아래로 가는 대각선의 곱을 뺍니다.
  2. 3×3 사뤼스 규칙(rule of Sarrus): 행렬 오른쪽에 1열과 2열을 한 번 더 적습니다. 오른쪽 아래로 가는 대각선 3개(실선)의 곱은 더하고, 왼쪽 아래로 가는 대각선 3개(점선)의 곱은 뺍니다(아래 그림). $$\begin{aligned}\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}&=aei+bfg+cdh\\&\quad-ceg-afh-bdi\end{aligned}$$
  3. 검산용 다른 방법은 첫 행으로 펼치기입니다. 외적과 같은 $+,-,+$ 패턴입니다: $a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$.
  4. 사뤼스는 3×3에만 씁니다. 4×4 이상은 L04(여인수 전개, 행 연산)에서 다룹니다.
  5. 뜻 한 줄: 2×2 행렬식의 절댓값은 두 열벡터가 만드는 평행사변형의 넓이, 3×3은 평행육면체의 부피입니다. $\det A=0$이면 역행렬이 없습니다(6절).
abcdefghi abdegh +++−−−
왜 되나? (증명 스케치)

넓이 배율. 두 열벡터 $(a,c)$, $(b,d)$에 $z$성분 0을 붙여 3차원 벡터로 보고 외적을 하면 $z$성분만 남아 $ad-bc$입니다. 3절에 따라 그 크기가 두 열벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다. 그런데 이 평행사변형은 단위정사각형(넓이 1)을 $A$로 옮긴 모양입니다($A$는 $(1,0)$을 1열로, $(0,1)$을 2열로 보냄). 그래서 $|\det A|$는 $A$가 넓이를 몇 배로 만드는지를 나타냅니다. 3×3은 같은 이유로 부피 배율입니다. 부호가 음수이면 방향(오른손·왼손)이 뒤집힌 것입니다.

사뤼스가 3×3에서만 되는 이유. $n\times n$ 행렬식은 "행마다 하나씩, 열이 겹치지 않게" 고른 성분의 곱을 모두 더하고 뺀 것이라 항이 $n!$개입니다. 3×3은 $3!=6$개라서 대각선 6개가 정확히 다 셉니다. 4×4는 $4!=24$개인데, 열을 덧붙여 대각선을 그으면 8개뿐이라 16개를 놓칩니다.

예제 5-1 (가) $\begin{vmatrix}3&-2\\4&5\end{vmatrix}$ (나) $\det\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&0\end{pmatrix}$

(가) $3\cdot5-(-2)\cdot4=15+8=23$.

(나) 문자에 맞춰 읽습니다: $a=2,b=1,c=3$, $d=0,e=-1,f=4$, $g=1,h=2,i=0$.

검산(첫 행으로 펼치기):

$$\begin{aligned}&2\big((-1)\cdot0-4\cdot2\big)\\&-1\big(0\cdot0-4\cdot1\big)\\&+3\big(0\cdot2-(-1)\cdot1\big)\\&=-16+4+3=-9\end{aligned}$$

6. 전치, 단위행렬, 2×2 역행렬

레시피
  1. 전치(transpose) $A^T$는 행과 열을 바꾼 행렬입니다: $(A^T)_{ij}=a_{ji}$. 1행이 1열이 됩니다. 곱의 전치는 순서가 뒤집힙니다: $(AB)^T=B^TA^T$.
  2. 역행렬(inverse) $A^{-1}$은 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$인 행렬입니다.
  3. 2×2 역행렬 공식: $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$ 외우는 법: 대각 두 개는 자리를 바꾸고, 반대각 두 개는 부호만 바꾸고, 행렬식으로 나눕니다.
  4. 분모 $ad-bc$는 5절의 행렬식입니다. $ad-bc=0$이면 역행렬이 없습니다(특이행렬, singular matrix).
  5. 검산: $AA^{-1}$을 곱해서 $I$가 나오는지 봅니다.
왜 되나? (증명 스케치)

역행렬 공식은 곱해서 확인합니다. 자리 바꾸고 부호 바꾼 행렬을 원래 행렬에 곱합니다.

$$\begin{aligned}&\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ba\\cd-dc&-cb+da\end{pmatrix}\\&=(ad-bc)\,I\end{aligned}$$

그래서 $ad-bc$로 나누면 $I$입니다. 공식을 잊으면 "자리 바꾸고 부호 바꾼 행렬을 곱하면 행렬식배의 $I$"로 다시 만듭니다.

$\det=0$이면 왜 없나. 5절에 따라 넓이 배율이 0이면 평면 전체가 직선(또는 점)으로 납작해집니다. 서로 다른 점이 같은 점으로 가 버리므로 되돌리는 규칙을 만들 수 없습니다.

$(AB)^T=B^TA^T$. $\big((AB)^T\big)_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_ka_{jk}b_{ki}=\sum_k(B^T)_{ik}(A^T)_{kj}=(B^TA^T)_{ij}$.

예제 6-1 $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$의 $A^T$와 $A^{-1}$ $$A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$$

검산 $AA^{-1}$: $(1,1)$ $2\cdot3+1\cdot(-5)=1$, $(1,2)$ $2\cdot(-1)+1\cdot2=0$, $(2,1)$ $5\cdot3+3\cdot(-5)=0$, $(2,2)$ $5\cdot(-1)+3\cdot2=1$. 단위행렬이 나옵니다.

그림 표기로 보기: G4 6절 — "자리 바꾸고 부호 바꾸기"의 이유: 케일리-해밀턴 $A^{-1}=\frac{(\operatorname{tr}A)I-A}{\det A}$ (미리보기)

7. 연립방정식 — 행렬로 쓰기와 가우스 소거

레시피
  1. 행렬로 쓰기: 계수를 모은 행렬 $A$, 미지수 열벡터 $\mathbf x$, 우변 열벡터 $\mathbf b$로 $A\mathbf x=\mathbf b$라고 씁니다. 방정식 하나가 $A$의 행 하나입니다. $A$의 $i$행과 $\mathbf x$를 짝지어 곱해 더하면 $i$번째 방정식의 좌변입니다.
  2. 첨가행렬(augmented matrix) $[A\,|\,\mathbf b]$를 적습니다. 세로선 오른쪽이 우변입니다.
  3. 행 연산 세 가지(해를 바꾸지 않음): (가) 두 행 바꾸기 $R_1\leftrightarrow R_2$ (나) 한 행에 0이 아닌 수 곱하기 $R_2\to\frac12R_2$ (다) 한 행에 다른 행의 상수배 더하기 $R_2\to R_2-2R_1$. 행 연산을 할 때마다 이 기록을 적습니다. 우변 칸도 같이 바뀝니다.
  4. 목표는 계단꼴(row echelon form)입니다. 1열에서 1행 아래를 모두 0으로 만들고, 그다음 2열에서 2행 아래를 0으로 만듭니다. 각 행에서 처음 나오는 0이 아닌 수를 피벗(pivot)이라 부릅니다.
  5. 뒤에서부터 대입(back substitution): 마지막 행에서 마지막 변수를 구하고, 위로 올라가며 나머지를 구합니다.
  6. 세 가지 결말
    계단꼴의 모양해
    모든 변수 열에 피벗이 있음하나
    $[\,0\ 0\ 0\,|\,0\,]$ 행이 생기고 모순은 없음무수히 많음. 피벗이 없는 변수를 $t$로 둠
    $[\,0\ 0\ 0\,|\,c\,]$, $c\ne0$인 행이 있음 ($0=c$)없음
  7. $A$가 정사각행렬이면 $\det A\ne0$일 때 해가 하나입니다. $\det A=0$이면 $\mathbf b$에 따라 무수히 많거나 없습니다.
왜 되나? (증명 스케치)

행 연산 하나는 왼쪽에 행렬 하나를 곱하는 것과 같습니다. 그 행렬 $E$는 단위행렬에 같은 행 연산을 한 것입니다. 예: 3×3에서 $R_2\to R_2-2R_1$은

$$E=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

을 $[A\,|\,\mathbf b]$의 왼쪽에 곱한 것입니다(4절의 "행 × 열"로 곱해 보면 2행만 바뀝니다). $E$는 되돌릴 수 있습니다. $R_2\to R_2+2R_1$이 $E^{-1}$입니다.

$$A\mathbf x=\mathbf b\iff EA\mathbf x=E\mathbf b$$

오른쪽으로는 $E$를, 왼쪽으로는 $E^{-1}$을 곱하면 됩니다. 양쪽 화살표가 모두 성립하므로 해의 집합이 그대로입니다. 행 바꾸기와 0이 아닌 수 곱하기도 같은 방법으로 되돌릴 수 있습니다. 0을 곱하는 것은 되돌릴 수 없어서 행 연산에 넣지 않습니다.

예제 7-1 (해가 하나) $$\begin{aligned}x+y+z&=6\\2x+y-z&=1\\x-y+2z&=5\end{aligned}$$

행렬로 쓰기:

$$\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\1\\5\end{pmatrix}$$

첨가행렬:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&1&-1&1\\1&-1&2&5\end{array}\right)$$

1열 정리: $R_2\to R_2-2R_1$ 은 $(2-2,\ 1-2,\ -1-2\,|\,1-12)=(0,-1,-3\,|\,-11)$. $R_3\to R_3-R_1$ 은 $(0,-2,1\,|\,-1)$.

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-1&-3&-11\\0&-2&1&-1\end{array}\right)$$

2열 정리: $R_3\to R_3-2R_2$ 는 $(0,\ -2+2,\ 1+6\,|\,-1+22)=(0,0,7\,|\,21)$.

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-1&-3&-11\\0&0&7&21\end{array}\right)$$

뒤에서부터 대입:

검산: $A\,(1,2,3)^T=(1+2+3,\ 2+2-3,\ 1-2+6)=(6,1,5)$. 우변과 같습니다.

예제 7-2 (무수히 많음, 또는 없음) $k=11$일 때와 $k=10$일 때 $$\begin{aligned}x+2y-z&=3\\2x+5y+z&=8\\3x+7y\phantom{{}+z}&=k\end{aligned}$$

첨가행렬에서 시작합니다. 셋째 식에는 $z$가 없으니 그 자리에 0을 적습니다.

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\2&5&1&8\\3&7&0&k\end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\0&1&3&2\\0&0&0&k-11\end{array}\right)$$

$k=11$: 3행이 $0=0$입니다. 모순이 없으니 해가 있습니다. $z$ 열에는 피벗이 없으므로 $z=t$로 둡니다.

$k=10$: 3행이 $0=-1$입니다. 모순이므로 해가 없습니다.

두 경우 모두 $\det A=0$입니다. 원래 셋째 식의 좌변이 첫째 식과 둘째 식 좌변의 합이기 때문입니다.

8. 2차원 회전 행렬

레시피
  1. 점 $(x,y)$를 원점 둘레로 반시계 방향 $\theta$만큼 돌린 점 $(x',y')$: $$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
  2. 외우는 법: 1열은 $(1,0)$을 돌린 곳 $(\cos\theta,\sin\theta)$, 2열은 $(0,1)$을 돌린 곳 $(-\sin\theta,\cos\theta)$입니다.
  3. 자주 쓰는 각: $90^\circ$이면 $R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, 즉 $(x,y)\to(-y,x)$. $180^\circ$이면 $(x,y)\to(-x,-y)$. 시계 방향은 $\theta$에 음수를 넣습니다.
  4. 두 번 돌리면 각이 더해집니다: $R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$. 되돌리기는 $R(\theta)^{-1}=R(-\theta)=R(\theta)^T$입니다. $\det R(\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$입니다.
  5. 검산: 회전은 길이를 바꾸지 않습니다. 돌린 점의 원점까지 거리가 그대로인지 봅니다.
왜 되나? (증명 스케치)

열 읽기. 회전은 선형변환이라 $(x,y)=x(1,0)+y(0,1)$을 돌린 결과는 $x\cdot R(1,0)+y\cdot R(0,1)$입니다. 단위원 위에서 $(1,0)$은 각 $0$에서 각 $\theta$로 가서 $(\cos\theta,\sin\theta)$, $(0,1)$은 각 $\frac\pi2$에서 $\frac\pi2+\theta$로 가서 $(-\sin\theta,\cos\theta)$가 됩니다. 이 둘이 1열, 2열입니다(4절 상자의 "열로 보기").

두 번 돌리기. $\beta$만큼 돌린 뒤 $\alpha$만큼 더 돌리면 $\alpha+\beta$만큼 돈 것입니다. 그래서 $R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$입니다. 왼쪽을 곱해 칸끼리 비교하면(예제 8-2) 삼각함수 덧셈정리가 나옵니다.

길이 보존. $R(\theta)^TR(\theta)=I$를 곱해서 확인할 수 있습니다. 그러면 $|R\mathbf x|^2=(R\mathbf x)^T(R\mathbf x)=\mathbf x^TR^TR\mathbf x=|\mathbf x|^2$입니다.

예제 8-1 (가) 점 $(2,1)$을 $90^\circ$ 돌리기 (나) 점 $(1,1)$을 $45^\circ$ 돌리기

(가) 행 × 열로 곱합니다.

$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0\cdot2+(-1)\cdot1\\1\cdot2+0\cdot1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\end{aligned}$$

검산: 길이는 둘 다 $\sqrt5$이고, $(2,1)\cdot(-1,2)=0$이라 정말 $90^\circ$ 돌았습니다.

(나) $\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}$.

$(0,\sqrt2)$입니다. $(1,1)$은 $45^\circ$ 방향에 있었으니 $90^\circ$ 방향(위쪽 $y$축)으로 갔고, 길이 $\sqrt2$도 그대로입니다.

예제 8-2 $R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$를 손으로 확인

$\cos\alpha=c_\alpha$, $\sin\alpha=s_\alpha$처럼 줄여 씁니다. 칸마다 행 × 열입니다.

네 칸이 정확히 $R(\alpha+\beta)$입니다. 거꾸로 말하면, 삼각함수 덧셈정리를 잊어도 이 곱으로 다시 만들 수 있습니다. 예: $R(30^\circ)R(60^\circ)=R(90^\circ)$.

2차원 회전끼리는 순서를 바꿔도 결과가 같습니다. 3차원 회전은 일반적으로 순서를 바꾸면 결과가 달라집니다. 3차원 좌표 회전은 L07에서 다룹니다.

9. 자주 하는 실수

10. 연습문제

종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다.

A. 벡터

A1. $\mathbf a=(2,-1,3)$, $\mathbf b=(1,4,-2)$일 때 $\mathbf a+\mathbf b$, $3\mathbf a-2\mathbf b$, $|\mathbf a|$, $\hat{\mathbf a}$

답$(3,3,1)$, $(4,-11,13)$, $\sqrt{14}$, $\dfrac{1}{\sqrt{14}}(2,-1,3)$ — $3\mathbf a=(6,-3,9)$, $2\mathbf b=(2,8,-4)$을 자리마다 뺍니다.

A2. $(1,1,0)$과 $(-1,0,1)$의 사잇각

답$120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}$ — 내적 $-1$, 크기 $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$이므로 $\cos\theta=-\frac12$.

A3. $(1,k,2)$와 $(3,-1,k)$가 수직이 되는 $k$

답$k=-3$ — 내적 $3-k+2k=3+k=0$.

A4. $(2,0,1)\times(1,3,-1)$

답$(-3,\ 3,\ 6)$ — $\hat{\mathbf x}$: $0\cdot(-1)-1\cdot3=-3$, $\hat{\mathbf y}$: $-\big(2\cdot(-1)-1\cdot1\big)=3$, $\hat{\mathbf z}$: $2\cdot3-0\cdot1=6$. 두 벡터와의 내적이 모두 0입니다.

A5. 세 점 $P(1,1,0)$, $Q(2,3,1)$, $R(0,2,2)$가 만드는 삼각형의 넓이

답$\dfrac{3\sqrt3}{2}$ — $\overrightarrow{PQ}=(1,2,1)$, $\overrightarrow{PR}=(-1,1,2)$, 외적 $(3,-3,3)$, 크기 $\sqrt{27}=3\sqrt3$의 절반.

A6. $(\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf y})\times(\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z})$ (성분 없이 단위벡터 규칙으로)

답$\hat{\mathbf x}-\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z}=(1,-1,1)$ — 분배: $\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf z}+\hat{\mathbf y}\times\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf y}\times\hat{\mathbf z}=\hat{\mathbf z}-\hat{\mathbf y}+\mathbf 0+\hat{\mathbf x}$.

A7. $\mathbf a=(1,2,3)$을 $\mathbf b=(1,0,1)$에 평행한 성분과 수직인 성분으로

답$\mathbf a_\parallel=(2,0,2)$, $\ \mathbf a_\perp=(-1,2,1)$ — $\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}=\frac42=2$. 검산: $\mathbf a_\perp\cdot\mathbf b=-1+1=0$, $8+6=14=|\mathbf a|^2$.

A8. 빗면 방향 단위벡터가 $\hat{\mathbf t}=\frac15(4,3)$이고 무게가 $\mathbf W=(0,-10)$일 때, $\mathbf W$의 빗면 방향 성분과 수직 성분, 수직 성분의 크기

답$\mathbf W_\parallel=\big(-\frac{24}5,-\frac{18}5\big)$, $\ \mathbf W_\perp=\big(\frac{24}5,-\frac{32}5\big)$, $|\mathbf W_\perp|=8$ — $\mathbf W\cdot\hat{\mathbf t}=-6$이므로 $\mathbf W_\parallel=-6\,\hat{\mathbf t}$. 검산: $6^2+8^2=10^2$.

A9. 점 $P(2,3,1)$에서 원점을 지나고 방향이 $(1,2,2)$인 직선까지의 거리 (두 방법: 사영, 외적)

답$\dfrac{\sqrt{26}}{3}$ — 사영: $|\mathbf a_\perp|^2=|\mathbf a|^2-\frac{(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2}{\mathbf b\cdot\mathbf b}=14-\frac{100}9=\frac{26}9$. 외적: $(2,3,1)\times(1,2,2)=(4,-3,1)$, 크기 $\sqrt{26}$을 $|\mathbf b|=3$으로 나눕니다(평행사변형 넓이 ÷ 밑변 = 높이).

B. 행렬 연산

B1. $A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&4\\-2&1\end{pmatrix}$일 때 $2A-B$

답$\begin{pmatrix}3&-6\\2&5\end{pmatrix}$ — $2A=\begin{pmatrix}4&-2\\0&6\end{pmatrix}$에서 자리마다 뺍니다.

B2. B1의 $A$, $B$로 $AB$와 $BA$

답$AB=\begin{pmatrix}4&7\\-6&3\end{pmatrix}$, $BA=\begin{pmatrix}2&11\\-4&5\end{pmatrix}$ — 예: $(AB)_{11}=2\cdot1+(-1)(-2)=4$, $(BA)_{12}=1\cdot(-1)+4\cdot3=11$.

B3. $\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$

답$\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}$ — 크기 $(2\times3)(3\times1)=2\times1$. $1-3=-2$, $4-6=-2$.

B4. $\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&0\\0&3&1\\1&0&1\end{pmatrix}$

답$\begin{pmatrix}4&1&2\\0&3&1\\-1&-1&1\end{pmatrix}$ — 예: $(1,1)$은 $1\cdot2+0\cdot0+2\cdot1=4$, $(3,1)$은 $(-1)\cdot2+0+1\cdot1=-1$.

B5. $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$의 $A^T$와 $A+A^T$

답$A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$, $A+A^T=\begin{pmatrix}2&5\\5&8\end{pmatrix}$ — $A+A^T$는 언제나 대칭행렬($M^T=M$)입니다.

B6. $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$일 때 $N^2$

답$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ — $N\ne0$인데 $N^2=0$입니다. 행렬은 수와 달리 이런 일이 생깁니다.

C. 행렬식·역행렬

C1. $\det\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{pmatrix}$

답$-3$ — 사뤼스: 더하는 항 $50+84+96=230$, 빼는 항 $105+48+80=233$.

C2. $\det\begin{pmatrix}3&1&0\\-1&2&4\\2&0&1\end{pmatrix}$

답$15$ — 더하는 항 $6+8+0=14$, 빼는 항 $0+0+(-1)=-1$. $14-(-1)=15$.

C3. $\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\2&1-\lambda\end{vmatrix}=0$이 되는 $\lambda$

답$\lambda=3,\ -1$ — $(1-\lambda)^2-4=0$이므로 $1-\lambda=\pm2$. 이것이 L05 고유값 계산의 첫 단계입니다.

C4. $\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}^{-1}$

답$\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}$ — 행렬식 $24-14=10$.

C5. $\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}$의 역행렬

답없음 — 행렬식 $2\cdot2-4\cdot1=0$. 두 행이 비례합니다.

C6. $2x+y=5$, $5x+3y=13$을 역행렬로 풀기

답$x=2$, $y=1$ — 계수 행렬은 예제 6-1의 $A$입니다. $\mathbf x=A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15-13\\-25+26\end{pmatrix}$.

D. 가우스 소거

D1. $x+2y=5$, $3x-y=1$

답$(x,y)=(1,2)$ — $R_2\to R_2-3R_1$로 $-7y=-14$.

D2. $x+y+z=2$, $x+2y+3z=5$, $2x+3y+5z=9$

답$(x,y,z)=(1,-1,2)$ — $R_2-R_1$: $(0,1,2\,|\,3)$, $R_3-2R_1$: $(0,1,3\,|\,5)$, $R_3-R_2$: $(0,0,1\,|\,2)$. 그래서 $z=2$, $y=3-4=-1$, $x=2+1-2=1$.

D3. $x+y-z=2$, $2x+3y+z=7$, $4x+5y-z=11$

답무수히 많음: $(x,y,z)=(-1+4t,\ 3-3t,\ t)$ — $R_2-2R_1$과 $R_3-4R_1$이 둘 다 $(0,1,3\,|\,3)$이 되어 마지막 행이 $0=0$. $y=3-3t$, $x=2-y+z$.

D4. $x+2y=3$, $2x+4y=k$의 해가 몇 개인지 $k$에 따라

답$k=6$이면 무수히 많음($x=3-2t$, $y=t$), $k\ne6$이면 없음 — $R_2-2R_1$: $(0,0\,|\,k-6)$.

E. 회전

E1. 점 $(3,4)$를 $90^\circ$, $180^\circ$ 돌린 점

답$(-4,3)$, $(-3,-4)$ — $90^\circ$는 $(x,y)\to(-y,x)$. 길이 5는 그대로입니다.

E2. 점 $(2,1)$을 $45^\circ$ 돌린 점

답$\Big(\dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{3\sqrt2}{2}\Big)$ — $x'=\frac{2-1}{\sqrt2}$, $y'=\frac{2+1}{\sqrt2}$. 길이 $\sqrt5$ 그대로.

E3. $R(120^\circ)$를 성분으로 쓰고, $R(120^\circ)^3$을 구하기

답$R(120^\circ)=\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\end{pmatrix}$, $R(120^\circ)^3=R(360^\circ)=I$ — 각이 더해지므로 세 번이면 한 바퀴입니다.

11. 다음

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