L00a · 미분·적분 기본기

1. 곱·몫·연쇄법칙으로 웬만한 함수를 미분하기
2. 음함수 미분, 역함수 미분, 로그 미분, 고계 도함수 구하기
3. 로피탈 정리로 $\frac00$, $\frac\infty\infty$ 꼴 극한 구하기
4. 치환적분과 부분적분 중 맞는 쪽을 골라 끝까지 계산하기
5. 유리함수를 부분분수로 쪼개서(덮어 가리기 포함) 적분하기
6. 삼각함수 거듭제곱 적분과 삼각치환 적분 하기
7. 이상적분이 수렴하는지 판정하고 값 구하기

• $\ln x$는 밑이 $e$인 자연로그(natural logarithm)입니다. 일부 책과 SymPy 같은 프로그램은 같은 것을 $\log x$로 씁니다.
• 각은 모두 라디안(radian)입니다. $(\sin x)'=\cos x$ 같은 공식은 라디안에서만 맞습니다.
• $\sin^2x$는 $(\sin x)^2$입니다. 그런데 $\sin^{-1}x$는 역함수 $\arcsin x$이고, $\dfrac{1}{\sin x}$가 아닙니다. 헷갈리지 않게 이 레슨은 $\arcsin$, $\arctan$으로만 씁니다.
• $\arcsin x$의 값은 $-\frac\pi2$부터 $\frac\pi2$까지(양 끝 포함), $\arctan x$의 값은 $-\frac\pi2$와 $\frac\pi2$ 사이에서 고릅니다(주값).
• $\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$입니다.
• 부정적분에는 적분상수 $C$를 붙입니다. 내 답이 레슨의 답과 상수만큼 다르면 둘 다 맞습니다. 예: $\int\sin x\cos x\,dx$는 $\frac12\sin^2x+C$로도, $-\frac12\cos^2x+C$로도 씁니다. 확인은 언제나 "내 답을 미분하면 피적분함수가 나오는가"로 합니다.
• 부분분수의 계수는 $A$, $B$, $D$로 씁니다. 적분상수 $C$와 헷갈리지 않게 $C$는 비워 둡니다.

1. 식의 맨 바깥 연산을 봅니다. 곱이면 곱의 규칙, 몫이면 몫의 규칙, 함수 안에 함수가 들어 있으면 연쇄법칙(chain rule)입니다.
2. 연쇄법칙: 바깥 함수를 미분하고(안쪽은 그대로 둠), 안쪽의 도함수를 곱합니다. 안에 또 함수가 있으면 한 겹씩 계속 곱합니다. $$\frac{d}{dx}\sin(3x)=\underbrace{\cos(3x)}_{\text{바깥}}\cdot\underbrace{3}_{\text{안}}$$
3. 곱·몫의 규칙에 넣기 전에 $f$, $f'$, $g$, $g'$를 한 줄씩 따로 적습니다. 그다음 공식에 넣습니다.
4. 근호와 분수는 지수로 바꿔서 미분합니다: $\sqrt{u}=u^{1/2}$, $\dfrac1u=u^{-1}$.

1. 음함수 미분(implicit differentiation): $y$를 $x$로 풀지 않고, 식의 양변을 그대로 $x$로 미분합니다. $y$는 $x$의 함수이므로 $y$가 들어간 항을 미분할 때마다 연쇄법칙으로 $y'$가 붙습니다: $\dfrac{d}{dx}y^2=2y\,y'$, $\ \dfrac{d}{dx}(xy)=y+xy'$. 끝으로 $y'$가 있는 항을 한쪽에 모아 $y'$를 구합니다.
2. 역함수 미분(derivative of an inverse function): $y=\arctan x$처럼 역함수는 $\tan y=x$로 되돌려 쓰고 음함수 미분을 합니다. 일반적으로 $f(y)=x$를 미분하면 $f'(y)\,y'=1$이므로 $$y'=\frac{1}{f'(y)}$$ 마지막에 $f'(y)$를 항등식으로 $x$의 식으로 바꿉니다. 근호의 부호($\pm$)는 $y$의 값 범위(주값)로 정합니다.
3. 로그 미분(logarithmic differentiation): 밑과 지수에 모두 $x$가 있을 때($x^x$), 또는 곱·몫이 많이 얽혀 있을 때 씁니다. 양변에 $\ln$을 취하고, 양변을 미분한 다음, 마지막에 $y$를 곱합니다. 예: $y=x^x$ ($x>0$) $$\begin{aligned}\ln y&=x\ln x\\ \frac{y'}{y}&=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1\\ y'&=x^x(\ln x+1)\end{aligned}$$ $x^x$에는 거듭제곱 공식($nx^{n-1}$, 지수가 상수일 때)도, $a^x\ln a$(밑이 상수일 때)도 쓸 수 없습니다.
4. 고계 도함수(higher derivative): 미분을 한 번씩 되풀이합니다. $n$계 도함수가 필요하면 2~4번 해 보고 규칙을 찾습니다. 외워 둘 규칙:
   • $\dfrac{d^n}{dx^n}e^{ax}=a^ne^{ax}$
   • $\sin x\to\cos x\to-\sin x\to-\cos x\to\sin x$ (4번마다 처음으로 돌아옴)
   • $x^m$은 $m+1$번 미분하면 0 ($m$이 0 이상의 정수일 때)

1. 먼저 그냥 대입해 봅니다. $\frac00$ 또는 $\frac\infty\infty$ 꼴일 때만 로피탈 정리(L'Hôpital's rule)를 씁니다. 다른 꼴에 쓰면 틀린 답이 나옵니다.
2. 분자와 분모를 각각 따로 미분합니다. 몫의 미분이 아닙니다. $$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
3. 결과에 다시 대입합니다. 아직 $\frac00$이면 한 번 더 합니다. 매번 꼴을 확인합니다.
4. $0\cdot\infty$ 꼴은 분수로 바꿉니다. 예: $x\ln x=\dfrac{\ln x}{1/x}$는 $x\to0^+$에서 $\frac{-\infty}{\infty}$ 꼴입니다. $$\begin{aligned}\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x}&=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}\\&=\lim_{x\to0^+}(-x)=0\end{aligned}$$
5. $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ 꼴은 $\ln$을 취해 $0\cdot\infty$ 꼴로 만들고, 극한을 구한 뒤 $e^{(\text{그 값})}$을 씌웁니다.

L01 7절의 급수 방법으로 구해도 답이 같아야 합니다. 둘 중 빠른 쪽을 씁니다.

1. $u$ 고르기: 피적분함수 안에서 "어떤 식 $g(x)$"와 "그 도함수 $g'(x)$"가 함께 보이면 $u=g(x)$로 둡니다. 도함수는 상수배만큼 달라도 됩니다. 후보는 괄호 속, 근호 속, 지수, 분모입니다.
2. $du=g'(x)\,dx$를 한 줄로 적습니다. 상수배가 맞지 않으면 나눠서 맞춥니다. 예: $u=x^2$이면 $du=2x\,dx$이므로 $x\,dx=\frac12du$.
3. 적분 안의 $x$와 $dx$를 전부 $u$와 $du$로 바꿉니다. $x$가 하나라도 남으면 $u$를 잘못 고른 것입니다.
4. $u$로 적분합니다. 부정적분이면 마지막에 $u=g(x)$를 되돌려 넣습니다.
5. 정적분이면 적분 범위도 $u$값으로 바꿉니다. 그러면 $x$로 되돌릴 필요가 없습니다.

1. $u$ 고르기 (LIATE 순서): 아래 순서에서 앞에 있는 것을 $u$(미분할 쪽)로 둡니다. 나머지 전부가 $dv$(적분할 쪽)입니다.
   L 로그 $\ln x$ → I 역삼각 $\arctan x$, $\arcsin x$ → A 대수(다항식 $x^n$) → T 삼각 $\sin$, $\cos$ → E 지수 $e^x$
2. 네 칸을 먼저 적습니다: $u$, $du$, $dv$, $v$. 그다음 공식에 넣습니다.
3. $\ln x$, $\arctan x$처럼 하나만 있으면 $u$는 그것, $dv=dx$($v=x$)로 둡니다.
4. 표 방법(tabular method): $u$가 다항식이면 부분적분을 여러 번 해야 합니다. 왼쪽 열에 $u$를 0이 될 때까지 미분해 적고, 오른쪽 열에 $dv$를 계속 적분해 적습니다. 왼쪽 칸과 한 줄 아래 오른쪽 칸을 곱하고, 부호를 $+,-,+,-,\dots$ 순서로 붙여 모두 더합니다.
5. 원래 적분으로 되돌아오는 경우: $e^{ax}\sin bx$, $e^{ax}\cos bx$는 두 번 부분적분하면 원래 적분 $I$가 다시 나옵니다. $I$에 대한 1차방정식을 풀면 끝입니다. 두 번 모두 같은 종류(삼각함수 쪽)를 $u$로 둡니다.

0. 차수 확인: 분자 차수가 분모 차수 이상이면 먼저 다항식 나눗셈을 합니다. (다항식) + (분자 차수가 더 낮은 분수)로 만든 다음 아래로 갑니다.
1. 분모를 끝까지 인수분해합니다.
2. 인수마다 항을 세웁니다.

   분모의 인수	세울 항
   서로 다른 1차 $(x-a)$	$\dfrac{A}{x-a}$
   중근 $(x-a)^2$	$\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}$ (차수마다 하나씩)
   기약 2차 $x^2+k^2$	$\dfrac{Bx+D}{x^2+k^2}$ (분자는 1차식)

   기약(irreducible)은 실수 범위에서 더 인수분해되지 않는다는 뜻입니다. 일반 2차식 $x^2+px+q$ (판별식 $p^2-4q<0$)는 완전제곱으로 $(x+\frac p2)^2+k^2$ 꼴로 바꿔서 같은 방법을 씁니다.
3. 양변에 원래 분모를 곱해서 분자끼리의 등식을 만듭니다.
4. 계수 찾기: (가) 1차 인수의 근 $x=a$를 대입하면 다른 항이 사라져 계수 하나가 바로 나옵니다. (나) 남은 계수는 양쪽의 $x^2$ 계수나 상수항을 비교해 구합니다. (다) 아직 안 쓴 $x$값 하나를 넣어 검산합니다.
5. 빠른 길 — 덮어 가리기(cover-up): (가)를 3번 등식 없이 바로 하는 방법입니다. 서로 다른 1차 인수 $(x-a)$의 계수는 원래 분수에서 $(x-a)$를 손가락으로 가리고, 남은 식에 $x=a$를 넣은 값입니다. 중근 $(x-a)^2$이면 $(x-a)^2$ 전체를 가려서 가장 높은 차수 항 $\frac{D}{(x-a)^2}$의 계수만 구합니다. 중근의 낮은 차수 항과 기약 2차의 $Bx+D$는 덮어 가리기로 나오지 않으니 (나)로 구합니다.
6. 항별로 적분합니다. $$\begin{aligned}\int\frac{dx}{x-a}&=\ln|x-a|\\ \int\frac{dx}{(x-a)^2}&=-\frac{1}{x-a}\\ \int\frac{Bx+D}{x^2+k^2}dx&=\frac B2\ln(x^2+k^2)\\&\quad+\frac Dk\arctan\frac xk\end{aligned}$$

1. $\cos$의 지수 $n$이 홀수: $\cos x$ 하나를 떼어 $dx$ 옆에 둡니다. 남은 $\cos^{n-1}x$(짝수 제곱)는 $\cos^2x=1-\sin^2x$로 바꿉니다. 그다음 $u=\sin x$, $du=\cos x\,dx$.
2. $\sin$의 지수 $m$이 홀수: $\sin x$ 하나를 떼고, 남은 것은 $\sin^2x=1-\cos^2x$로 바꿉니다. $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$ (마이너스 주의).
3. 둘 다 짝수(0도 짝수): 반각 공식으로 차수를 낮춥니다. $$\begin{aligned}\sin^2x&=\frac{1-\cos2x}{2}\\ \cos^2x&=\frac{1+\cos2x}{2}\\ \sin x\cos x&=\frac{\sin2x}{2}\end{aligned}$$

가장 많이 쓰는 결과입니다.

반 주기나 한 주기에서 $\sin^2$과 $\cos^2$의 평균은 $\frac12$입니다. 푸리에 급수(L18)에서 계속 씁니다.

1. 표대로 치환합니다. $\theta$는 $-\frac\pi2$와 $\frac\pi2$ 사이로 잡습니다. 그러면 $\cos\theta\ge0$, $\sec\theta>0$이라서 근호를 벗길 때 절댓값이 필요 없습니다.
2. $\theta$에 대한 삼각함수 적분을 합니다(7절).
3. 되돌리기: 직각삼각형을 그립니다(아래 그림). $\sin\theta=\frac xa$이면 빗변 $a$, 높이 $x$, 밑변 $\sqrt{a^2-x^2}$입니다. $\tan\theta=\frac xa$이면 높이 $x$, 밑변 $a$, 빗변 $\sqrt{a^2+x^2}$입니다. 필요한 삼각비를 그림에서 읽습니다.
4. 정적분이면 범위를 $\theta$값으로 바꾸고, 되돌리기는 건너뜁니다.

1. 적분 구간이 무한하거나, 구간 안에서 피적분함수가 무한대로 가면 이상적분(improper integral)입니다. 문제가 되는 끝을 유한한 값 $b$(또는 $\epsilon$)로 자르고 계산한 다음 극한을 취합니다. 극한이 유한하면 수렴, 아니면 발산입니다.
2. 기준이 되는 두 적분($p$-적분)을 외웁니다. $p\ne1$이면 $\int x^{-p}dx=\dfrac{x^{1-p}}{1-p}$이므로 $$\begin{aligned}\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}&=\lim_{b\to\infty}\frac{b^{1-p}-1}{1-p}\\&=\begin{cases}\dfrac{1}{p-1}&(p>1)\\ \text{발산}&(p\le1)\end{cases}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\int_0^1\frac{dx}{x^p}&=\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{1-\epsilon^{1-p}}{1-p}\\&=\begin{cases}\dfrac{1}{1-p}&(p<1)\\ \text{발산}&(p\ge1)\end{cases}\end{aligned}$$ $p=1$이면 둘 다 $\ln$이 나와서 발산합니다. 외우는 법: 무한대 쪽은 빨리 줄어야($p>1$), 0 쪽은 천천히 커져야($p<1$) 수렴합니다.
3. 바로 계산이 안 되면 비교합니다. 문제가 되는 끝에서 피적분함수가 $\dfrac{c}{x^p}$처럼 행동하면 결론도 위와 같습니다.
4. $x\to\infty$에서 $e^{-x}$는 어떤 거듭제곱보다 빨리 0으로 갑니다: $x^ne^{-x}\to0$ (로피탈을 $n$번 쓰면 나옵니다).