Arfken 7판 4장 (텐서의 변환 법칙, 축약·직접곱, 의사텐서와 쌍대 텐서, 일반 좌표의 텐서: 계량 텐서·크리스토펠 기호·공변 미분, 미분형식의 미분과 적분)
| 항목 | 공식 |
|---|---|
| 반변(contravariant) 벡터 | $V'^i=\dfrac{\partial x'^i}{\partial x^j}V^j$ (좌표 미분 $dx^i$처럼 변환) |
| 공변(covariant) 벡터 | $V'_i=\dfrac{\partial x^j}{\partial x'^i}V_j$ (기울기 $\partial_i f$처럼 변환) |
| 2계 텐서 | $T'^{ij}=\dfrac{\partial x'^i}{\partial x^k}\dfrac{\partial x'^j}{\partial x^l}T^{kl}$ (지표마다 하나씩) |
| 회전 (직교좌표) | $A'_i=R_{ij}A_j$, $\ T'_{ij}=R_{ik}R_{jl}T_{kl}\iff T'=RTR^T$. $\operatorname{tr}T$, $\det T$ 불변 |
| 직접곱·축약 | $(A\otimes B)_{ij}=A_iB_j$ (계수가 더해짐), $\ T^i{}_i$ (계수가 2 줄어듦) |
| 대칭·반대칭 | $S_{ij}=\tfrac12(T_{ij}+T_{ji})$, $\ A_{ij}=\tfrac12(T_{ij}-T_{ji})$ |
| 쌍대(dual) | $C_i=\tfrac12\varepsilon_{ijk}A_{jk}\iff A_{ij}=\varepsilon_{ijk}C_k$ |
| 관성 텐서 | $I_{ij}=\sum m\,(r^2\delta_{ij}-x_ix_j)$ |
| 계량 텐서 | $ds^2=g_{ij}\,du^idu^j$, $\ g_{ij}=\dfrac{\partial x^a}{\partial u^i}\dfrac{\partial x^a}{\partial u^j}$, $\ g^{ik}g_{kj}=\delta^i_j$ |
| 올리고 내리기 | $V_i=g_{ij}V^j$, $\ V^i=g^{ij}V_j$, $\ |\mathbf V|^2=V^iV_i$ |
| 크리스토펠 기호 | $\Gamma^k_{ij}=\tfrac12g^{kl}\big(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij}\big)$ |
| 공변 미분 | $\nabla_jV^i=\partial_jV^i+\Gamma^i_{jk}V^k$, $\ \nabla_jV_i=\partial_jV_i-\Gamma^k_{ji}V_k$ |
| 공변 발산·라플라시안 | $\nabla_iV^i=\dfrac{1}{\sqrt g}\partial_i\big(\sqrt g\,V^i\big)$, $\ \nabla^2f=\dfrac{1}{\sqrt g}\partial_i\big(\sqrt g\,g^{ij}\partial_jf\big)$, $\ g=\det(g_{ij})$ |
| 측지선 | $\ddot u^k+\Gamma^k_{ij}\dot u^i\dot u^j=0$ (점은 호의 길이 $s$로 미분) |
| 민코프스키 | $a\cdot b=\eta_{\mu\nu}a^\mu b^\nu=a^0b^0-a^1b^1-a^2b^2-a^3b^3$ |
| 미분형식 | $dx\wedge dy=-dy\wedge dx$, $\ dx\wedge dx=0$, $\ d(f\,dx^I)=df\wedge dx^I$, $\ d^2=0$ |
반변의 원형은 좌표의 미분입니다. 연쇄법칙으로 $dx'^i=\dfrac{\partial x'^i}{\partial x^j}dx^j$. 속도 $dx^i/dt$ 처럼 "$dx$를 닮은 것"은 모두 이렇게 변환합니다.
공변의 원형은 기울기입니다. 연쇄법칙으로 $\dfrac{\partial f}{\partial x'^i}=\dfrac{\partial x^j}{\partial x'^i}\dfrac{\partial f}{\partial x^j}$. 이번에는 옛 좌표를 새 좌표로 미분한 것이 붙습니다.
2계 텐서는 $dx^i\,dx^j$ 나 $V^iW^j$ 처럼 지표가 두 개인 것이라, 지표마다 같은 인자를 하나씩 붙입니다. 두 변환 행렬이 서로 역행렬인 것도 연쇄법칙입니다: $\dfrac{\partial x'^i}{\partial x^j}\dfrac{\partial x^j}{\partial x'^k}=\dfrac{\partial x'^i}{\partial x'^k}=\delta^i_k$.
반변 성분: 직교좌표에서 $V^x=-y=-r\sin\theta$, $V^y=x=r\cos\theta$ 입니다.
$$\begin{aligned}V^r&=\frac{\partial r}{\partial x}V^x+\frac{\partial r}{\partial y}V^y\\&=\cos\theta(-r\sin\theta)+\sin\theta(r\cos\theta)=0,\\ V^\theta&=\frac{\partial \theta}{\partial x}V^x+\frac{\partial \theta}{\partial y}V^y\\&=\Big(-\frac{\sin\theta}{r}\Big)(-r\sin\theta)+\frac{\cos\theta}{r}(r\cos\theta)=1.\end{aligned}$$공변 성분: 직교좌표에서는 위·아래가 같으므로 $V_x=-y$, $V_y=x$ 입니다.
$$\begin{aligned}V_r&=\frac{\partial x}{\partial r}V_x+\frac{\partial y}{\partial r}V_y\\&=\cos\theta(-r\sin\theta)+\sin\theta(r\cos\theta)=0,\\ V_\theta&=\frac{\partial x}{\partial \theta}V_x+\frac{\partial y}{\partial \theta}V_y\\&=(-r\sin\theta)(-r\sin\theta)+(r\cos\theta)(r\cos\theta)=r^2.\end{aligned}$$검산: $V^iV_i=0\cdot0+1\cdot r^2=r^2$. 직교좌표에서도 $V^xV_x+V^yV_y=y^2+x^2=r^2$ 입니다.
같은 화살표인데 $\theta$ 성분이 세 가지입니다. $V^\theta=1$, $V_\theta=r^2$, 그리고 L09식 단위벡터 성분은 $\mathbf V=r\,\hat{\boldsymbol\theta}$ 이므로 $F_\theta=r$ 입니다. 관계는 $F_\theta=h_\theta V^\theta=V_\theta/h_\theta$ ($h_\theta=r$) 입니다. 6절과 8절에서 다시 씁니다.
$\cos45^\circ=\sin45^\circ=\tfrac1{\sqrt2}$ 이므로
$$R=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&1&0\\0&0&\sqrt2\end{pmatrix}.$$① $M=RT$: 1행은 $T$의 (1행+2행), 2행은 (2행−1행)이고, 둘 다 $\tfrac1{\sqrt2}$배입니다. 3행은 그대로입니다.
$$M=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&5&0\\-1&1&0\\0&0&5\sqrt2\end{pmatrix}.$$② $T'=MR^T$: $R^T$를 오른쪽에 곱하면 열에 같은 조작을 합니다. 새 1열은 (1열+2열), 새 2열은 (2열−1열)이고 $\tfrac1{\sqrt2}$배입니다.
$$T'=\frac12\begin{pmatrix}1+5&5-1&0\\-1+1&1+1&0\\0&0&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2&0\\0&1&0\\0&0&5\end{pmatrix}.$$검산: $\operatorname{tr}T=1+3+5=9=3+1+5=\operatorname{tr}T'$. $\det T=15=\det T'$ (둘 다 위삼각 행렬이라 대각 성분의 곱).
덤: 반대칭 부분 $\tfrac12(T-T^T)$는 회전 전후 모두 $\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ 입니다. 4절에서 보듯 이것은 $z$ 방향 축벡터라서 $z$축 둘레 회전에 변하지 않습니다.
그림 표기로 보기: G3 6절 예제 6-3 — 회전 화살촉: 대각합 불변 = 화살촉 쌍소멸, 반대칭 부분 = 축벡터의 회전.
축약이 스칼라인 이유: 1절의 변환 법칙을 넣으면
$$V'^iW'_i=\frac{\partial x'^i}{\partial x^j}\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\,V^jW_k.$$가운데에서 $i$로 합한 것은 연쇄법칙으로 $\dfrac{\partial x^k}{\partial x^j}=\delta^k_j$ 이므로 $V'^iW'_i=V^jW_j$. 위 지표의 인자와 아래 지표의 인자가 서로 상쇄됩니다. 혼합 텐서의 대각합 $T^i{}_i$ 도 같은 이유로 스칼라입니다.
그래서 축약은 위 하나·아래 하나의 짝이어야 합니다. 위 지표끼리 $V^iW^i$ 를 합하면 두 인자가 모두 $\partial x'/\partial x$ 라 상쇄되지 않습니다. 직교좌표의 회전에서만 $R^{-1}=R^T$ 라서 위·아래 구별 없이 괜찮습니다.
대칭·반대칭이 좌표와 무관한 것도 같은 이유입니다: $T'^{ij}$ 와 $T'^{ji}$ 는 같은 인자로 변환되므로 $T^{ij}=\pm T^{ji}$ 가 그대로 유지됩니다.
축약: $T_{ii}=3-2+0=1$. 내적 $\mathbf a\cdot\mathbf b=3-2+0=1$ 과 같습니다.
분해: $T^T$와 더하고 빼서 반으로 나눕니다.
$$S=\begin{pmatrix}3&\tfrac52&1\\\tfrac52&-2&2\\1&2&0\end{pmatrix},$$ $$A=\begin{pmatrix}0&-\tfrac72&1\\\tfrac72&0&2\\-1&-2&0\end{pmatrix}.$$검산: $S+A=T$. 그리고 $S_{ij}A_{ij}$ (성분끼리 곱해서 전부 더하기)는 $-\tfrac{35}{4}+1+\tfrac{35}{4}+4-1-4=0$ 입니다.
반대칭 부분의 정체 (4절 미리보기): $C_i=\tfrac12\varepsilon_{ijk}A_{jk}$ 는 $(A_{23},A_{31},A_{12})=(2,-1,-\tfrac72)$ 입니다. 한편
$$\begin{aligned}(\mathbf a\times\mathbf b)_x&=2\cdot2-0\cdot(-1)=4,\\(\mathbf a\times\mathbf b)_y&=0\cdot3-1\cdot2=-2,\\(\mathbf a\times\mathbf b)_z&=1\cdot(-1)-2\cdot3=-7.\end{aligned}$$즉 $\mathbf C=\tfrac12\,\mathbf a\times\mathbf b$ 입니다. 외적은 직접곱의 반대칭 부분입니다.
그림 표기로 보기: G3 2절 예제 2-1 — 1 + 3 + 5 분해를 대칭화·반대칭화 막대로, 성분 제곱합 검산.
그림 표기로 보기: G1 연습 D3 — 반대칭 부분의 쌍대 ½εijkAjk = ½a×b를 ε 점과 팔 꼬기(clank)로 읽기
① $\mathbf C=(A_{23},A_{31},A_{12})=(1,\,2,\,3)$.
② 확인: $\mathbf v=(1,0,0)$이면 $A\mathbf v$는 $A$의 1열 $(0,-3,2)$ 입니다. 한편 $\mathbf v\times\mathbf C=(0\cdot3-0\cdot2,\ 0\cdot1-1\cdot3,\ 1\cdot2-0\cdot1)=(0,-3,2)$. 같습니다.
③ 반전: $\mathbf r=(1,0,0)$, $\mathbf p=(0,1,0)$ 이면 $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p=(0,0,1)$. 반전 뒤에는 $\mathbf r'=(-1,0,0)$, $\mathbf p'=(0,-1,0)$ 이고
$$\begin{aligned}\mathbf L'&=\mathbf r'\times\mathbf p'=\big(0,\ 0,\ (-1)(-1)-0\cdot0\big)\\&=(0,0,1)=\mathbf L.\end{aligned}$$보통 벡터라면 $R\mathbf L=-\mathbf L$ 이어야 하는데 그대로입니다. 의사벡터 법칙 $(\det R)R\mathbf L=(-1)(-1)\mathbf L=\mathbf L$ 과 맞습니다. 반대칭 텐서 $L_{ij}=x_ip_j-x_jp_i$ 로 보면 $(-1)^2=1$ 이라 당연합니다.
강체가 각속도 $\boldsymbol\omega$ 로 돌면 각 점의 속도는 $\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ 이고, 각운동량은 BAC−CAB(L07)로
$$\begin{aligned}\mathbf L&=\sum m\,\mathbf r\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)\\&=\sum m\big(r^2\boldsymbol\omega-(\mathbf r\cdot\boldsymbol\omega)\mathbf r\big).\end{aligned}$$성분으로 쓰면 $L_i=\sum m(r^2\delta_{ij}-x_ix_j)\,\omega_j=I_{ij}\omega_j$. 관성 텐서의 정의(비대각의 $-$ 부호 포함)가 여기서 나옵니다.
주축은 그 축으로 돌릴 때 $\mathbf L$ 이 $\boldsymbol\omega$ 와 나란한 축입니다: $I\boldsymbol\omega=\lambda\boldsymbol\omega$. 그대로 고유값 문제입니다. $I$ 가 실대칭이므로 고유값은 실수이고 주축은 서로 수직으로 고를 수 있습니다(L05). 주축 좌표에서는 $I$ 가 대각이라 회전 에너지가 $\tfrac12(I_1\omega_1^2+I_2\omega_2^2+I_3\omega_3^2)$ 로 교차항 없이 쓰입니다.
① 점마다 $r^2\delta_{ij}-x_ix_j$ 를 씁니다. 대각은 $r^2-x_i^2$, 비대각은 $-x_ix_j$ 입니다. $(1,1,0)$은 $r^2=2$ 이므로 대각이 $(2-1,\ 2-1,\ 2-0)$, $xy$ 자리가 $-1$ 입니다. $(0,0,1)$은 $r^2=1$ 입니다.
$$(1,1,0):\ \begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix},$$ $$(0,0,1):\ \operatorname{diag}(1,1,0).$$$(-1,-1,0)$은 $xy=(-1)(-1)=1$ 이라 $(1,1,0)$과 같습니다.
② 더하면
$$I=m\begin{pmatrix}3&-2&0\\-2&3&0\\0&0&4\end{pmatrix}.$$검산: $\operatorname{tr}I=10m=2m(2+2+1)$.
③ $z$는 따로 떨어져 있으므로 $4m$, 축 $\hat{\mathbf z}$. 남은 2×2 블록: $\lambda^2-6\lambda+5=0\Rightarrow\lambda=1,\,5$. $\lambda=1$이면 $(3-1)v_1-2v_2=0\Rightarrow\mathbf v\propto(1,1)$. $\lambda=5$이면 $\mathbf v\propto(1,-1)$.
④ 주관성모멘트 $m,\ 4m,\ 5m$. 주축 $\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0)$, $(0,0,1)$, $\tfrac1{\sqrt2}(1,-1,0)$.
물리 확인: $(1,1,0)$ 방향 축 위에는 두 점이 놓여 기여가 0이고, $(0,0,1)$의 점만 거리 1이라 $I=m$ 입니다.
밀도 $\rho=M/a^3$. 각 변수의 적분 $\int_0^a dx=a$, $\int_0^ax\,dx=\tfrac{a^2}{2}$, $\int_0^ax^2dx=\tfrac{a^3}{3}$ 만 씁니다.
$$\begin{aligned}I_{xx}&=\rho\int(y^2+z^2)\,dV=\rho\Big(a\cdot\frac{a^3}{3}\cdot a+a\cdot a\cdot\frac{a^3}{3}\Big)\\&=\frac23\rho a^5=\frac23Ma^2,\\ I_{xy}&=-\rho\int xy\,dV=-\rho\cdot\frac{a^2}{2}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a=-\frac14Ma^2.\end{aligned}$$대칭성으로 대각은 모두 $\tfrac23$, 비대각은 모두 $-\tfrac14$ 입니다.
$$I=\frac{Ma^2}{12}\begin{pmatrix}8&-3&-3\\-3&8&-3\\-3&-3&8\end{pmatrix}.$$주축: 대칭성으로 대각선 $(1,1,1)$을 짐작합니다. 각 행의 합이 $8-3-3=2$ 이므로 $I(1,1,1)^T=\tfrac{2Ma^2}{12}(1,1,1)^T$, 즉 $\lambda=\tfrac{Ma^2}{6}$. 여기에 수직인 $(1,-1,0)$을 넣으면 $(8+3,\,-3-8,\,-3+3)=11(1,-1,0)$, 즉 $\lambda=\tfrac{11Ma^2}{12}$ (수직인 방향은 모두 이 값, 겹친 고유값).
검산 ①: $\tfrac{2+11+11}{12}Ma^2=2Ma^2=\operatorname{tr}I$.
검산 ② (평행축 정리): 중심에서는 $I=\tfrac{Ma^2}{6}\delta_{ij}$ 입니다. $\mathbf d=\tfrac a2(1,1,1)$, $d^2=\tfrac34a^2$ 이므로 대각 $\tfrac16+\tfrac34-\tfrac14=\tfrac23$, 비대각 $0-\tfrac14=-\tfrac14$ (단위 $Ma^2$). 맞습니다. 대각선 축은 중심을 지나므로 그 축의 값 $\tfrac{Ma^2}{6}$도 중심 값과 같습니다.
(a) 평면 극좌표 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. $\mathbf e_r=(\cos\theta,\ \sin\theta)$, $\mathbf e_\theta=(-r\sin\theta,\ r\cos\theta)$. 서로 내적하면 $g_{rr}=1$, $g_{r\theta}=0$, $g_{\theta\theta}=r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta=r^2$.
$$\begin{aligned}g_{ij}&=\begin{pmatrix}1&0\\0&r^2\end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1/r^2\end{pmatrix},\\ \sqrt g&=r.\end{aligned}$$(b) 구면좌표: L09 예제 1-1의 편미분 벡터는 서로 수직이고 길이가 $1,\ r,\ r\sin\theta$ 입니다.
$$\begin{aligned}g_{ij}&=\operatorname{diag}(1,\ r^2,\ r^2\sin^2\theta),\\ g^{ij}&=\operatorname{diag}\Big(1,\ \frac1{r^2},\ \frac1{r^2\sin^2\theta}\Big),\\ \sqrt g&=r^2\sin\theta.\end{aligned}$$(c) 반지름 $a$인 2-구 표면: $r=a$로 고정하면 $dr=0$ 이고 $ds^2=a^2d\theta^2+a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2$. 좌표는 $(\theta,\varphi)$ 두 개입니다.
$$\begin{aligned}g_{ij}&=\operatorname{diag}(a^2,\ a^2\sin^2\theta),\\ g^{ij}&=\operatorname{diag}\Big(\frac1{a^2},\ \frac1{a^2\sin^2\theta}\Big),\quad\sqrt g=a^2\sin\theta.\end{aligned}$$검산: 넓이 $\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi a^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=4\pi a^2$.
(d) 올리고 내리기 (2-구, $a=1$, $\theta=\pi/6$ 이라 $\sin^2\theta=\tfrac14$): $V^i=(V^\theta,V^\varphi)=(1,\,2)$.
$$V_\theta=g_{\theta\theta}V^\theta=1,\qquad V_\varphi=g_{\varphi\varphi}V^\varphi=\tfrac14\cdot2=\tfrac12.$$길이: $|\mathbf V|^2=V^iV_i=1\cdot1+2\cdot\tfrac12=2$. 되올리기: $V^\varphi=g^{\varphi\varphi}V_\varphi=4\cdot\tfrac12=2$. 단위벡터 성분으로도 $F_\theta=1\cdot1=1$, $F_\varphi=\tfrac12\cdot2=1$ 이라 $1^2+1^2=2$ 로 같습니다.
기저벡터 $\mathbf e_j=\partial\mathbf x/\partial u^j$ 의 미분을 다시 기저로 펼친 계수를 $\Gamma$ 로 정의합니다: $\partial_i\mathbf e_j=\Gamma^k_{ij}\mathbf e_k$. $\partial_i\mathbf e_j=\partial_i\partial_j\mathbf x$ 는 $i,j$ 에 대칭이므로 $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$.
$g_{jl}=\mathbf e_j\cdot\mathbf e_l$ 을 곱의 미분으로 미분하고 $\Gamma_{l,ij}\equiv\mathbf e_l\cdot\partial_i\mathbf e_j=g_{lk}\Gamma^k_{ij}$ 로 쓰면
$$\partial_ig_{jl}=\Gamma_{l,ij}+\Gamma_{j,il}.$$지표를 돌려 쓴 세 식 $\partial_ig_{jl}$, $\partial_jg_{il}$, $\partial_lg_{ij}$ 에서 앞의 둘을 더하고 셋째를 빼면, 뒤 두 지표의 대칭성 때문에 나머지가 짝지어 지워지고 $\Gamma_{l,ij}$ 만 두 번 남습니다.
$$\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij}=2\Gamma_{l,ij}.$$$g^{kl}$ 을 곱해 지표를 올리면 레시피 1의 공식입니다. 요점은 계량만 알면 $\mathbf x(u)$ 를 몰라도 $\Gamma$ 를 구할 수 있다는 것입니다.
(a) 평면 극좌표: $g_{rr}=1$, $g_{\theta\theta}=r^2$. $r$에 의존하는 것은 $g_{\theta\theta}$뿐입니다.
$$\begin{aligned}\Gamma^r_{\theta\theta}&=\tfrac12g^{rr}\big(\partial_\theta g_{\theta r}+\partial_\theta g_{\theta r}-\partial_rg_{\theta\theta}\big)\\&=\tfrac12(0+0-2r)=-r,\\ \Gamma^\theta_{r\theta}&=\tfrac12g^{\theta\theta}\big(\partial_rg_{\theta\theta}+\partial_\theta g_{r\theta}-\partial_\theta g_{r\theta}\big)\\&=\tfrac12\cdot\frac1{r^2}\cdot2r=\frac1r=\Gamma^\theta_{\theta r}.\end{aligned}$$나머지 $\Gamma^r_{rr}$, $\Gamma^r_{r\theta}$, $\Gamma^\theta_{rr}$, $\Gamma^\theta_{\theta\theta}$는 상수인 $g_{rr}$의 미분이나 $\partial_\theta g_{\theta\theta}=0$ 만 들어 있어서 0입니다. (8절 측지선 방정식에서 $\Gamma^r_{\theta\theta}=-r$ 이 구심 가속도 항 $-r\dot\theta^2$ 을 만듭니다.)
(b) 반지름 $a$인 2-구: $g_{\theta\theta}=a^2$ (상수), $g_{\varphi\varphi}=a^2\sin^2\theta$ ($\theta$에 의존).
$$\begin{aligned}\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}&=-\frac{\partial_\theta g_{\varphi\varphi}}{2g_{\theta\theta}}=-\frac{2a^2\sin\theta\cos\theta}{2a^2}\\&=-\sin\theta\cos\theta,\\ \Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}&=\frac{\partial_\theta g_{\varphi\varphi}}{2g_{\varphi\varphi}}=\frac{2a^2\sin\theta\cos\theta}{2a^2\sin^2\theta}\\&=\cot\theta.\end{aligned}$$나머지 4개는 0입니다. 반지름 $a$는 약분되어 사라집니다.
0이 아닌 $\Gamma$ 는 $\Gamma^r_{\theta\theta}=-r$, $\Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}=\frac1r$ 뿐입니다(예제 7-1).
(가) 1절 방법으로 $V^r=\frac{\partial r}{\partial y}=\sin\theta$, $V^\theta=\frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{\cos\theta}{r}$.
$$\begin{aligned}\nabla_rV^r&=\partial_r(\sin\theta)=0,\\\nabla_\theta V^r&=\partial_\theta(\sin\theta)+\Gamma^r_{\theta\theta}V^\theta\\&=\cos\theta+(-r)\frac{\cos\theta}{r}=0,\\\nabla_rV^\theta&=\partial_r\Big(\frac{\cos\theta}{r}\Big)+\Gamma^\theta_{r\theta}V^\theta\\&=-\frac{\cos\theta}{r^2}+\frac1r\cdot\frac{\cos\theta}{r}=0,\\\nabla_\theta V^\theta&=\partial_\theta\Big(\frac{\cos\theta}{r}\Big)+\Gamma^\theta_{\theta r}V^r\\&=-\frac{\sin\theta}{r}+\frac1r\sin\theta=0.\end{aligned}$$성분 $V^r$, $V^\theta$ 는 위치마다 변하지만, 그 변화는 기저벡터가 도는 것($\Gamma$ 항)과 정확히 상쇄됩니다. 상수 벡터라는 검산이 맞습니다.
(나) 예제 1-1에서 $V^r=0$, $V^\theta=1$.
$$\begin{aligned}\nabla_rV^r&=0,\\\nabla_\theta V^r&=0+\Gamma^r_{\theta\theta}V^\theta=-r,\\\nabla_rV^\theta&=0+\Gamma^\theta_{r\theta}V^\theta=\frac1r,\\\nabla_\theta V^\theta&=0+\Gamma^\theta_{\theta r}V^r=0.\end{aligned}$$축약 $\nabla_iV^i=\nabla_rV^r+\nabla_\theta V^\theta=0$. 직교좌표의 $\nabla\cdot(-y,x)=0$ 과 같습니다. ($\partial_\theta V^\theta=0$ 이어도 $\nabla_\theta V^r=-r$ 처럼 $\Gamma$ 항에서 0이 아닌 성분이 생깁니다.)
축약 $\nabla_iV^i=\partial_iV^i+\Gamma^i_{ik}V^k$ 에서 $\Gamma^i_{ik}$ 만 알면 됩니다. 크리스토펠 공식을 $i$로 축약하면 $g^{il}\partial_ig_{kl}$ 과 $-g^{il}\partial_lg_{ik}$ 가 (더하는 글자 $i,l$ 을 맞바꾸면) 서로 지워지고 $\Gamma^i_{ik}=\tfrac12g^{il}\partial_kg_{il}$ 만 남습니다.
대각 계량이면 이것은 $\tfrac12\sum_i\dfrac{\partial_kg_{ii}}{g_{ii}}=\tfrac12\partial_k\ln(g_{11}g_{22}g_{33})=\partial_k\ln\sqrt g$ 입니다. (일반 계량에서도 $\partial_k\ln\det g=g^{il}\partial_kg_{il}$ 이라 결과가 같습니다.)
그러면 $\nabla_iV^i=\partial_iV^i+V^i\,\partial_i\ln\sqrt g=\dfrac1{\sqrt g}\partial_i\big(\sqrt g\,V^i\big)$ 입니다(곱의 미분을 거꾸로 읽음). 라플라시안은 $V^i=g^{ij}\partial_jf$ 를 넣은 것입니다.
$\sqrt g=r^2\sin\theta$ 이고, 반변 성분은 $V^r=F_r$, $V^\theta=F_\theta/r$, $V^\varphi=F_\varphi/(r\sin\theta)$ 입니다.
$$\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf F&=\frac{1}{r^2\sin\theta}\Big[\partial_r\big(r^2\sin\theta\,F_r\big)\\&\qquad+\partial_\theta\Big(r^2\sin\theta\,\frac{F_\theta}{r}\Big)\\&\qquad+\partial_\varphi\Big(r^2\sin\theta\,\frac{F_\varphi}{r\sin\theta}\Big)\Big]\\&=\frac1{r^2}\partial_r(r^2F_r)+\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\,F_\theta)\\&\quad+\frac1{r\sin\theta}\partial_\varphi F_\varphi.\end{aligned}$$첫 항에서는 $\sin\theta$가, 둘째 항에서는 $r$이, 셋째 항에서는 $r\sin\theta$가 미분 밖으로 나왔습니다. L09 0절의 구면좌표 발산 공식과 똑같습니다.
빠른 확인: $\mathbf F=r\,\hat{\mathbf r}=(x,y,z)$ 이면 $F_r=r$ 이고 $\frac1{r^2}\partial_r(r^3)=3$. 직교좌표에서도 $\nabla\cdot(x,y,z)=3$ 입니다.
예제 7-1(b)의 $\Gamma$ 두 종류를 넣습니다. $\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}$ 이라 두 번 셉니다.
$$\begin{aligned}\ddot\theta-\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2&=0,\\ \ddot\varphi+2\cot\theta\,\dot\theta\,\dot\varphi&=0.\end{aligned}$$적도 $\theta=\tfrac\pi2$, $\varphi=\omega s$: $\dot\theta=\ddot\theta=0$, $\dot\varphi=\omega$, $\ddot\varphi=0$.
따라서 적도(대원)는 측지선입니다.
비교: 적도가 아닌 위도선 $\theta=\theta_0$ ($0<\theta_0<\tfrac\pi2$)이면 첫 식이 $-\sin\theta_0\cos\theta_0\,\omega^2\ne0$ 이라 측지선이 아닙니다.
$\gamma=\dfrac1{\sqrt{1-9/25}}=\dfrac54$, $\gamma\beta=\dfrac34$.
부스트 전: $a\cdot b=2\cdot3-1\cdot0-0\cdot1-0=6$, $a\cdot a=4-1=3$.
변환: $a'^0=\gamma a^0-\gamma\beta a^1$, $a'^1=-\gamma\beta a^0+\gamma a^1$, 나머지는 그대로.
$$\begin{aligned}a'&=\Big(\tfrac54\cdot2-\tfrac34\cdot1,\ -\tfrac34\cdot2+\tfrac54\cdot1,\ 0,\ 0\Big)\\&=\Big(\tfrac74,\ -\tfrac14,\ 0,\ 0\Big),\\ b'&=\Big(\tfrac54\cdot3,\ -\tfrac34\cdot3,\ 1,\ 0\Big)=\Big(\tfrac{15}4,\ -\tfrac94,\ 1,\ 0\Big).\end{aligned}$$부스트 후:
$$\begin{aligned}a'\cdot b'&=\tfrac74\cdot\tfrac{15}4-\big(-\tfrac14\big)\big(-\tfrac94\big)-0\cdot1=\tfrac{105-9}{16}=6,\\ a'\cdot a'&=\tfrac{49}{16}-\tfrac1{16}=3.\end{aligned}$$둘 다 그대로입니다. 지표를 내려서 계산해도 같습니다: $b_\mu=(3,0,-1,0)$ 이므로 $a^\mu b_\mu=2\cdot3+1\cdot0+0\cdot(-1)+0=6$.
| 형식 | $d$를 걸면 | 벡터 연산 |
|---|---|---|
| 0-형식 $f$ | $\partial_xf\,dx+\partial_yf\,dy+\partial_zf\,dz$ | $\nabla f$ |
| 1-형식 $A_x\,dx+A_y\,dy+A_z\,dz$ | $(\nabla\times\mathbf A)_x\,dy\wedge dz+(\nabla\times\mathbf A)_y\,dz\wedge dx+(\nabla\times\mathbf A)_z\,dx\wedge dy$ | $\nabla\times\mathbf A$ |
| 2-형식 $F_x\,dy\wedge dz+F_y\,dz\wedge dx+F_z\,dx\wedge dy$ | $(\nabla\cdot\mathbf F)\,dx\wedge dy\wedge dz$ | $\nabla\cdot\mathbf F$ |
그림 표기로 보기: G2 7절 — ∫Mdω = ∮∂Mω를 벡터 그림의 "풍선 뒤집기"로 보기
쐐기곱 → 야코비안: 반대칭이므로 $(a\,dx+b\,dy)\wedge(c\,dx+d\,dy)=ad\,dx\wedge dy+bc\,dy\wedge dx=(ad-bc)\,dx\wedge dy$. "선형 + 두 개를 바꾸면 부호 반대"라는 성질은 행렬식을 정하는 성질과 같아서, 계수가 저절로 행렬식이 됩니다. $dx\wedge dx=0$ 은 "같은 행이 두 개면 행렬식이 0"과 같은 말입니다. 그래서 $dx\wedge dy$ 를 새 변수로 펼치면 야코비안이 나옵니다.
$d^2=0$: $d(df)=\sum_{i,j}\partial_j\partial_if\,dx^j\wedge dx^i$. $\partial_j\partial_if$ 는 $i,j$ 에 대칭, $dx^j\wedge dx^i$ 는 반대칭이라 $(i,j)$ 항과 $(j,i)$ 항이 서로 지웁니다(L07의 "대칭×반대칭=0"). 더 높은 형식도 계수마다 같은 논법입니다.
3차원 대응표로 옮기면 $d^2=0$ 은 $\nabla\times\nabla f=0$, $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)=0$ 이고, $\int_Md\omega=\oint_{\partial M}\omega$ 는 L08의 기울기 정리·스토크스 정리·발산정리를 한 식으로 쓴 것입니다(연습문제 G4).
① $d\omega=d(x^2y)\wedge dz=(2xy\,dx+x^2\,dy)\wedge dz=2xy\,dx\wedge dz+x^2\,dy\wedge dz$.
순환 순서로 정리합니다: $dx\wedge dz=-dz\wedge dx$ 이므로
$$d\omega=x^2\,dy\wedge dz-2xy\,dz\wedge dx+0\,dx\wedge dy.$$대응표 확인: $\mathbf A=(0,0,x^2y)$ 이면 $\nabla\times\mathbf A=(\partial_y(x^2y),\ -\partial_x(x^2y),\ 0)=(x^2,\ -2xy,\ 0)$. 같습니다.
② $d(d\omega)$: 각 계수의 $d$를 앞에 붙입니다.
$$\begin{aligned}d(d\omega)&=d(x^2)\wedge dy\wedge dz\\&\quad+d(-2xy)\wedge dz\wedge dx\\&=2x\,dx\wedge dy\wedge dz\\&\quad+(-2y\,dx-2x\,dy)\wedge dz\wedge dx.\end{aligned}$$$dx\wedge dz\wedge dx=0$ ($dx$가 두 번). $dy\wedge dz\wedge dx$는 $dx\wedge dy\wedge dz$의 순환이라 같은 부호입니다. 따라서
$$\begin{aligned}d(d\omega)&=2x\,dx\wedge dy\wedge dz-2x\,dx\wedge dy\wedge dz\\&=0.\end{aligned}$$벡터로는 $\nabla\cdot(x^2,-2xy,0)=2x-2x=0$ 입니다.
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ 의 전미분:
$$\begin{aligned}dx&=\cos\theta\,dr-r\sin\theta\,d\theta,\\ dy&=\sin\theta\,dr+r\cos\theta\,d\theta.\end{aligned}$$쐐기곱을 전개합니다. $dr\wedge dr=d\theta\wedge d\theta=0$ 이라 엇갈린 두 항만 남습니다.
$$\begin{aligned}dx\wedge dy&=\cos\theta\cdot r\cos\theta\,dr\wedge d\theta\\&\quad+(-r\sin\theta)\sin\theta\,d\theta\wedge dr\\&=r\cos^2\theta\,dr\wedge d\theta+r\sin^2\theta\,dr\wedge d\theta\\&=r\,dr\wedge d\theta.\end{aligned}$$야코비안 $r$이 계산 중에 저절로 나왔습니다. 이것으로 반지름 $R$인 원판에서
$$\begin{aligned}\iint(x^2+y^2)\,dx\wedge dy&=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^Rr^2\cdot r\,dr\,d\theta\\&=2\pi\cdot\frac{R^4}{4}=\frac{\pi R^4}{2}.\end{aligned}$$주의: $dx\wedge dy=-r\,d\theta\wedge dr$ 입니다. 적분 변수의 순서를 바꾸면 부호(방향)도 바뀝니다.
그림 표기로 보기: G7 3절 — 2차원 쐐기곱의 비가 곧 고정 변수 편미분입니다: $(\partial u/\partial x)_v=(du\wedge dv)/(dx\wedge dv)$ (L09 6절과 같은 식).
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다.
A1. 벡터 $\mathbf V=(x,\ y)$ (반지름 방향)의 극좌표 반변 성분과 공변 성분
A2. 상수 벡터 $\mathbf V=(1,\ 0)$의 극좌표 반변·공변 성분과 $V^iV_i$
A3. $f=x^2-y^2$의 기울기(공변 벡터) $(\partial_rf,\ \partial_\theta f)$를 변환 법칙 $V'_i=\frac{\partial x^j}{\partial x'^i}V_j$로 구하고, $f=r^2\cos2\theta$를 직접 미분한 것과 비교
B1. $z$축 $90^\circ$ 회전 $R=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ 로 $T=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}$ 를 변환하고, $\operatorname{tr}T$와 $T_{ij}T_{ij}$ (성분 제곱합)가 그대로인지 확인
B2. $\mathbf a=(1,0,1)$, $\mathbf b=(0,2,1)$: $T_{ij}=a_ib_j$, 축약 $T_{ii}$, 대칭 부분 $S$, 반대칭 부분 $A$, 그리고 $A$의 쌍대 벡터를 $\tfrac12\mathbf a\times\mathbf b$와 비교
C1. 축벡터 $\boldsymbol\omega=(2,-1,3)$의 쌍대 반대칭 행렬 $\Omega_{ij}=\varepsilon_{ijk}\omega_k$ 를 쓰고, $\mathbf r=(1,0,0)$일 때 $\Omega\mathbf r$과 $\mathbf r\times\boldsymbol\omega$를 비교
C2. 반전 $\mathbf r\to-\mathbf r$에서 부호가 바뀌는 것은? (가) $\mathbf r$ (나) $\mathbf r\times\mathbf p$ (다) $\mathbf r\cdot(\mathbf p\times\mathbf q)$ ($\mathbf r,\mathbf p,\mathbf q$ 모두 극벡터) (라) 2계 텐서 $x_ix_j$
C3. $xy$평면 거울 반사 $R=\operatorname{diag}(1,1,-1)$. $\mathbf a=(1,0,1)$, $\mathbf b=(0,1,1)$을 반사한 뒤의 $\mathbf a'\times\mathbf b'$을 직접 계산하고, 보통 벡터 법칙 $R(\mathbf a\times\mathbf b)$와 의사벡터 법칙 $(\det R)R(\mathbf a\times\mathbf b)$ 중 어느 것과 맞는지 보기
D1. 질량 $m$인 점 두 개 $(a,0,0)$, $(0,a,a)$의 원점 관성 텐서와 주축
D2. 균일한 얇은 정사각형 판 (질량 $M$, $0\le x,y\le a$, $z=0$)의 꼭짓점(원점) 관성 텐서와 주축
E1. 원통좌표 $(\rho,\varphi,z)$의 $g_{ij}$, $g^{ij}$, $\sqrt g$, 그리고 0이 아닌 크리스토펠 기호
E2. 축 사이 각이 $60^\circ$인 비스듬한 좌표 $x=u+\tfrac12v$, $y=\tfrac{\sqrt3}{2}v$: $g_{ij}$, $g^{ij}$, 그리고 $V^i=(1,1)$의 $V_i$와 $|\mathbf V|^2$
E3. 3차원 구면좌표 $(r,\theta,\varphi)$의 0이 아닌 크리스토펠 기호 전부 (대각 계량 지름길 사용)
E4. 공변 발산으로 원통좌표의 발산 공식을 얻고, $\mathbf F=\rho^2\hat{\boldsymbol\rho}+z\hat{\mathbf z}$의 발산을 구하기
E5. 공변 라플라시안으로 단위 구면($a=1$) 위의 라플라시안을 쓰고 $f=\cos\theta$에 걸기
E6. 평면 극좌표의 측지선 방정식을 쓰고, 직선 $x=1$ (즉 $r=\sqrt{1+t^2}$, $\theta=\arctan t$, $t$는 호의 길이)이 만족하는지 확인
E7. 2-구(반지름 $a$)에서 (가) 경선 $\varphi=\varphi_0$, $\theta=s/a$ (나) 위도선 $\theta=\frac\pi6$, $\varphi=\omega s$ 가 측지선인가?
E8. 평면 극좌표에서 $\mathbf V=(x,\ y)$ ($V^r=r$, $V^\theta=0$, 연습문제 A1)의 $\nabla_jV^i$ 네 성분과 축약 $\nabla_iV^i$
E9. 구면좌표에서 $\Gamma^i_{ir}$ 과 $\Gamma^i_{i\theta}$ ($i$로 합)를 E3의 목록으로 구하고 $\partial_k\ln\sqrt g$ 와 비교하세요.
E10. 평면 극좌표에서 $\nabla_rg_{\theta\theta}$ 와 $\nabla_\theta g_{r\theta}$ 를 계산해 0임을 확인하세요. (공변 2계 텐서: $\nabla_kg_{ij}=\partial_kg_{ij}-\Gamma^m_{ki}g_{mj}-\Gamma^m_{kj}g_{im}$)
F1. $\beta=\tfrac45$ 부스트로 $a=(5,3,0,0)$을 변환하고 $a\cdot a$가 그대로인지 확인
F2. 빛의 4-벡터 $k=(1,1,0,0)$에 $\beta=\tfrac35$ 부스트를 걸고 $k\cdot k$를 확인
G1. $(2\,dx+3\,dy)\wedge(dx-dy)$
G2. $f=x^2yz$의 $df$를 구하고, $d(df)$의 세 계수가 모두 0임을 확인
G3. $\omega=yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz$의 $d\omega$
G4. $\omega=-y\,dx+x\,dy$: $d\omega$를 구하고, 단위원판에서 $\iint d\omega$와 경계 원에서 $\oint\omega$를 각각 계산해 비교 (스토크스 정리 $\int_Dd\omega=\oint_{\partial D}\omega$)
G5. 구면좌표에서 $dx\wedge dy\wedge dz=r^2\sin\theta\,dr\wedge d\theta\wedge d\varphi$ 임을 쐐기곱 전개로 확인 (힌트: 계수는 $3\times3$ 행렬식)