Arfken 7판 7.2절 (변수분리형, 완전미분형, 적분인자, 동차형, 등압형, 1계 선형)과 베르누이·리카티 방정식
| 유형 | 알아보는 모양 | 첫 수 |
|---|---|---|
| 변수분리형 | $y'=g(x)\,h(y)$ | $\displaystyle\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx$ |
| 1계 선형 | $y'+p(x)\,y=q(x)$ | $\mu=e^{\int p\,dx}$, $\ (\mu y)'=\mu q$ |
| 완전미분형 | $M\,dx+N\,dy=0$, $\ M_y=N_x$ | $\varphi_x=M$, $\varphi_y=N$ 인 $\varphi=C$ |
| 적분인자 | $M_y\ne N_x$ | $\dfrac{M_y-N_x}{N}=f(x)$ 이면 $\mu=e^{\int f\,dx}$ $\dfrac{N_x-M_y}{M}=g(y)$ 이면 $\mu=e^{\int g\,dy}$ |
| 동차형 | $y'=F(y/x)$ | $y=vx$, $\ y'=v+xv'$ |
| 등압형 | $x$에 차수 1, $y$에 차수 $m$을 주면 모든 항의 차수가 같음 | $y=vx^m$ → $xv'=(v\text{만의 식})$ |
| 베르누이 | $y'+p\,y=q\,y^n$ | $v=y^{1-n}$ → $v'+(1-n)p\,v=(1-n)q$ |
| 리카티 | $y'=a(x)+b(x)\,y+c(x)\,y^2$, 해 $y_1$ 하나를 앎 | $y=y_1+\dfrac1v$ → $v'+(b+2cy_1)v=-c$ |
여기서 $M_y=\partial M/\partial y$, $N_x=\partial N/\partial x$ 입니다.
checkodesol을 씁니다. 예제 2-1을 확인하는 코드입니다.from sympy import *
x = symbols('x'); y = Function('y')
ode = Eq(x*y(x).diff(x) + 2*y(x), x**2)
sol = Eq(y(x), x**2/4 - 1/(4*x**2))
print(checkodesol(ode, sol)) # (True, 0) 이면 맞음
print(dsolve(ode, ics={y(1): 0}))$H(y)=\int\frac{dy}{h(y)}$, $G(x)=\int g\,dx$ 로 둡니다. 해 $y(x)$를 넣은 $H(y(x))$ 를 연쇄법칙으로 미분하면
$$\begin{aligned}\frac{d}{dx}H\big(y(x)\big)&=\frac{y'}{h(y)}\\&=g(x)=G'(x)\end{aligned}$$도함수가 같으므로 $H(y)=G(x)+C$. "$dy$와 $dx$를 양쪽으로 나눈다"는 이 계산의 줄임말입니다.
해가 하나뿐인가(존재·유일성): $y'=f(x,y)$ 에서 $f$와 $\partial f/\partial y$ 가 초기점 근처에서 연속이면 해가 있고 하나뿐입니다(피카르 정리, 증명 생략). $\partial f/\partial y$ 가 터지는 곳에서는 깨질 수 있습니다. 예: $y'=2\sqrt y$, $y(0)=0$ 은 $y=0$ 과 $y=x^2$ ($x\ge0$) 두 해를 가집니다. $\partial f/\partial y=1/\sqrt y$ 가 $y=0$ 에서 발산합니다. 레시피 4번(상수해 확인)이 이런 해를 잡아 줍니다.
판별 우변 $=(-2x)\cdot y$ → 분리 가능.
$$\begin{aligned} \frac{dy}{y}&=-2x\,dx\\ \ln|y|&=-x^2+C\\ y&=Ae^{-x^2}\quad(A=\pm e^C) \end{aligned}$$나눈 $h(y)=y$ 가 0인 해 $y=0$ 은 $A=0$ 으로 포함됩니다. $y(0)=3$ 이면 $A=3$.
$$y=3e^{-x^2}$$검산 $y'=-6xe^{-x^2}=-2x\cdot3e^{-x^2}=-2xy$. $y(0)=3$. 맞습니다.
판별 우변 $=\dfrac1{1+x^2}\cdot(1+y^2)$ → 분리 가능.
$$\begin{aligned} \int\frac{dy}{1+y^2}&=\int\frac{dx}{1+x^2}\\ \arctan y&=\arctan x+C \end{aligned}$$$y(0)=1$: $\arctan1=\frac\pi4=0+C$ 이므로 $C=\frac\pi4$. 탄젠트 덧셈정리 $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ 를 쓰면
$$\begin{aligned} y&=\tan\Big(\arctan x+\frac\pi4\Big)\\ &=\frac{x+1}{1-x}\qquad(x<1) \end{aligned}$$검산 $y'=\dfrac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=\dfrac{2}{(1-x)^2}$. 한편 $1+y^2=\dfrac{(1-x)^2+(1+x)^2}{(1-x)^2}=\dfrac{2(1+x^2)}{(1-x)^2}$ 이므로 $\dfrac{1+y^2}{1+x^2}=\dfrac2{(1-x)^2}$. 같습니다.
목표는 왼쪽 $y'+py$ 를 한 함수의 도함수로 만드는 것입니다. 곱의 미분은 $(\mu y)'=\mu y'+\mu'y$ 입니다. 이것이 양변에 $\mu$를 곱한 왼쪽 $\mu y'+\mu p\,y$ 와 같으려면
$$\begin{aligned}&\mu'=p\,\mu\ \Rightarrow\ \frac{\mu'}{\mu}=p\\&\Rightarrow\ \mu=e^{\int p\,dx}\end{aligned}$$$\mu$를 구하는 식 자체가 변수분리형(1절)입니다. 적분상수를 넣으면 $\mu$가 상수배만 달라지고 양변에서 약분되므로 생략합니다.
결과 $y=\frac1\mu\int\mu q\,dx+\frac C\mu$ 에서 $\frac C\mu=Ce^{-\int p\,dx}$ 는 $q=0$ 인 방정식의 해이고, 앞 항은 특수해 하나입니다. "일반해 = ($q=0$ 의 해) + (특수해 하나)" 구조는 L16에서 그대로 다시 나옵니다.
판별 $y'=x-\frac{2y}x$ → 덧셈으로 섞여 분리 안 됨 → $y$, $y'$가 1차 → 선형.
1. 표준형: $x$로 나누어 $y'+\dfrac2x\,y=x$. 따라서 $p=\dfrac2x$, $q=x$.
2. $\mu=e^{\int 2/x\,dx}=e^{2\ln x}=x^2$.
3–4. $(x^2y)'=x^2\cdot x=x^3$ 이므로 $x^2y=\dfrac{x^4}4+C$.
5. $y=\dfrac{x^2}4+\dfrac C{x^2}$. $y(1)=0$: $\frac14+C=0$, $C=-\frac14$.
$$y=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{4x^2}=\frac{x^4-1}{4x^2}$$검산 $y'=\dfrac x2+\dfrac1{2x^3}$. $xy'=\dfrac{x^2}2+\dfrac1{2x^2}$, $2y=\dfrac{x^2}2-\dfrac1{2x^2}$. 더하면 $x^2$. 맞습니다.
해가 $\varphi(x,y)=C$ 이면 그 곡선을 따라 전미분이 0입니다: $d\varphi=\varphi_x\,dx+\varphi_y\,dy=0$. 그래서 $M=\varphi_x$, $N=\varphi_y$ 인 $\varphi$를 찾는 문제가 됩니다.
그런 $\varphi$가 있으면 혼합편미분이 같으므로($\varphi_{xy}=\varphi_{yx}$) $M_y=\varphi_{xy}=\varphi_{yx}=N_x$. 판정식은 이 등식입니다. 거꾸로 (구멍 없는 영역에서) $M_y=N_x$ 이면 $\varphi$가 있습니다. L08의 보존장·퍼텐셜 조건과 같은 이야기입니다.
레시피 3단계에서 $h'(y)$ 에 $x$가 남지 않는 이유: $h'(y)=N-\dfrac{\partial}{\partial y}\displaystyle\int M\,dx$ 를 $x$로 미분하면 $N_x-M_y=0$ 입니다.
그림 표기로 보기: G7 7절(연습 D4) — 완전 판정 $M_y=N_x$는 넓이 등식 $dM\wedge dx=dy\wedge dN$이고, 열역학 맥스웰 관계 $dT\wedge dS=dP\wedge dV$와 같은 구조입니다(풀이 속도와는 무관한 참고).
판별 분리? 아니오. 선형? $e^y$, $y^2$ 때문에 아니오. 완전? $M_y=3x^2+e^y$, $N_x=3x^2+e^y$ → 예.
2. $\varphi=\displaystyle\int(3x^2y+e^y)\,dx=x^3y+xe^y+h(y)$.
3. $\varphi_y=x^3+xe^y+h'(y)=x^3+xe^y-2y$ 이므로 $h'(y)=-2y$, $h=-y^2$.
4. 해: $x^3y+xe^y-y^2=C$. $y(1)=0$ 을 넣으면 $0+1-0=C$.
$$x^3y+xe^y-y^2=1$$검산 $\varphi_x=3x^2y+e^y=M$, $\varphi_y=x^3+xe^y-2y=N$. 점 $(1,0)$도 만족합니다.
$\mu$가 $x$만의 함수라고 가정하고, 곱한 식 $\mu M\,dx+\mu N\,dy=0$ 의 완전 조건을 씁니다.
$$\begin{aligned}(\mu M)_y&=(\mu N)_x\\ \mu M_y&=\mu'N+\mu N_x\\ \frac{\mu'}{\mu}&=\frac{M_y-N_x}{N}\end{aligned}$$왼쪽은 $x$만의 함수이므로 오른쪽도 $x$만의 함수여야 합니다. 그럴 때만 가정이 통하고, 그때 $\mu=e^{\int f\,dx}$ 입니다.
$\mu$가 $y$만의 함수이면 $(\mu M)_y=\mu'M+\mu M_y$, $(\mu N)_x=\mu N_x$ 이므로 $\dfrac{\mu'}{\mu}=\dfrac{N_x-M_y}{M}$. 분자 순서와 분모가 바뀌는 이유가 이것입니다.
판별 분리? 아니오. 선형? $y^2$ 때문에 아니오. 완전? $M_y=4y$, $N_x=2y$ → 아니오.
적분인자: $\dfrac{M_y-N_x}{N}=\dfrac{4y-2y}{2xy}=\dfrac1x$ → $x$만의 함수. $\mu=e^{\int dx/x}=x$.
곱한 식: $(2xy^2+3x^2)\,dx+2x^2y\,dy=0$. 다시 판정: $M_y=4xy=N_x$. 완전입니다.
$\varphi=\int(2xy^2+3x^2)\,dx=x^2y^2+x^3+h(y)$. $\varphi_y=2x^2y+h'=2x^2y$ 이므로 $h'=0$.
$$x^2y^2+x^3=C$$검산 $\varphi_x=2xy^2+3x^2=\mu M$, $\varphi_y=2x^2y=\mu N$. (이 식은 $y'+\frac{y}{x}=-\frac{3}{2}y^{-1}$ 로 쓰면 $n=-1$인 베르누이 방정식이기도 합니다.)
판별 분리? 아니오. $y$에 대해 선형? 아니오. 완전? $M_y=1$, $N_x=2$ → 아니오.
$x$만? $\dfrac{M_y-N_x}{N}=\dfrac{-1}{2x-ye^y}$ → $y$가 섞여 있어 실패.
$y$만? $\dfrac{N_x-M_y}{M}=\dfrac{2-1}{y}=\dfrac1y$ → 성공. $\mu=e^{\int dy/y}=y$.
곱한 식: $y^2\,dx+(2xy-y^2e^y)\,dy=0$. $M_y=2y=N_x$. 완전입니다.
$\varphi=\int y^2\,dx=xy^2+h(y)$. $\varphi_y=2xy+h'(y)=2xy-y^2e^y$ 이므로 $h'=-y^2e^y$.
부분적분 두 번: $\int y^2e^y\,dy=(y^2-2y+2)e^y$. 따라서
$$xy^2-(y^2-2y+2)e^y=C$$검산 $\varphi_y=2xy-(2y-2)e^y-(y^2-2y+2)e^y=2xy-y^2e^y$. 맞습니다. (이 식은 $\frac{dx}{dy}+\frac2y x=e^y$ 로 보면 $x$에 대한 선형 방정식이기도 합니다.)
판별 분리? 아니오. 선형? $y^2$ 때문에 아니오. 완전? $(x^2+y^2)\,dx-xy\,dy=0$ 에서 $M_y=2y$, $N_x=-y$ → 아니오. 동차? 분자·분모 모두 2차 → 예.
분자·분모를 $x^2$로 나누면 $F(v)=\dfrac{1+v^2}{v}=\dfrac1v+v$.
$$\begin{aligned} v+xv'&=\frac1v+v\\ xv'&=\frac1v\\ v\,dv&=\frac{dx}{x}\\ \frac{v^2}2&=\ln x+C \end{aligned}$$되돌리면 $y^2=2x^2(\ln x+C)$. $y(1)=2$: $4=2C$, $C=2$.
$$\begin{aligned} y^2&=2x^2(\ln x+2)\\ y&=x\sqrt{2\ln x+4} \end{aligned}$$검산 $y^2=2x^2\ln x+4x^2$ 을 미분: $2yy'=4x\ln x+2x+8x$, 즉 $y'=\dfrac{x(2\ln x+5)}{y}$. 원래 우변: $\dfrac{x^2+2x^2\ln x+4x^2}{xy}=\dfrac{x(2\ln x+5)}{y}$. 같습니다.
동차형은 $x\to tx$, $y\to ty$ 로 크기를 함께 바꿔도 $f$가 그대로인 방정식입니다. $t=\frac1x$ 로 두면 $f(x,y)=f(1,\tfrac yx)$, 즉 비율 $v=\frac yx$ 만의 함수입니다. $y=vx$ 를 넣으면 $v+xv'=F(v)$ 이고, $x$는 $xv'$ 에만 남으므로 분리됩니다.
등압형은 $x\to tx$, $y\to t^my$ 로 바꿀 때 $y'$과 같은 배율 $t^{m-1}$ 로 모든 항이 바뀌는 방정식입니다. 같은 이유로 $f(x,y)=x^{m-1}F\big(\tfrac{y}{x^m}\big)$ 이고, $y=vx^m$ 을 넣으면
$$\begin{aligned}&x^mv'+mx^{m-1}v=x^{m-1}F(v)\\&\Rightarrow\ xv'=F(v)-mv\end{aligned}$$레시피의 "차수"는 이 배율의 지수입니다. 모든 항의 차수가 같다는 말이 곧 이 대칭입니다.
판별 분리? 아니오. 선형? $y^2$ 때문에 아니오. 동차? $m=1$ 로 세면 $x^2y'$ 은 2차, $1$ 은 0차라 아니오.
등압 차수를 셉니다: $x^2y'\to m+1$, $1\to0$, $xy\to1+m$, $x^2y^2\to2+2m$. $m+1=0$ 에서 $m=-1$ 이고, $1+m=0$, $2+2m=0$ 도 맞습니다.
$y=\dfrac vx$ 로 둡니다. $y'=\dfrac{v'}{x}-\dfrac{v}{x^2}$ 이므로 $x^2y'=xv'-v$. 우변은 $1-v+v^2$.
$$\begin{aligned}xv'-v&=1-v+v^2\\ xv'&=1+v^2\\ \frac{dv}{1+v^2}&=\frac{dx}{x}\\ \arctan v&=\ln x+C\end{aligned}$$ $$y=\frac{\tan(\ln x+C)}{x}$$검산 $u=\ln x+C$ 로 두면 $y'=\dfrac{\sec^2u}{x^2}-\dfrac{\tan u}{x^2}$, 즉 $x^2y'=1+\tan^2u-\tan u$. 우변 $1-xy+x^2y^2=1-\tan u+\tan^2u$. 같습니다.
이 식은 $y'=\frac1{x^2}-\frac yx+y^2$ 이므로 7절의 리카티 방정식이기도 합니다. 그런데 $y_1=\frac kx$ 를 넣어 보면 $k^2=-1$ 이라 실수 해를 추측할 수 없습니다. 등압 치환은 해를 추측하지 않아도 됩니다.
걸림돌은 $y^n$ 하나입니다. 양변을 $y^n$ 으로 나누면 $y^{-n}y'+p\,y^{1-n}=q$. 연쇄법칙으로 $(y^{1-n})'=(1-n)\,y^{-n}y'$ 이므로 첫 항은 $\dfrac{1}{1-n}(y^{1-n})'$ 입니다. 즉 $v=y^{1-n}$ 에 대해서는 모든 항이 1차입니다.
$n=0$ 이면 처음부터 선형이고, $n=1$ 이면 $y'=(q-p)\,y$ 로 분리형이라 제외합니다.
판별 분리? 아니오. 선형? $y^2$ 때문에 아니오. 완전? $\big(\frac yx-xy^2\big)dx+dy=0$ 에서 $M_y=\frac1x-2xy$, $N_x=0$ → 아니오. 동차? $xy^2$ 항의 차수가 달라 아니오. 베르누이? $n=2$ → 예.
$y^2$으로 나누기: $y^{-2}y'+\dfrac1x\,y^{-1}=x$. $v=y^{-1}$, $v'=-y^{-2}y'$ 이므로
$$-v'+\frac vx=x\ \Rightarrow\ v'-\frac1x\,v=-x.$$선형입니다. $p=-\frac1x$ 이므로 $\mu=e^{-\ln x}=\dfrac1x$. $\Big(\dfrac vx\Big)'=\dfrac1x\cdot(-x)=-1$ 이므로 $\dfrac vx=-x+C$, $v=Cx-x^2$.
$$y=\frac{1}{Cx-x^2}$$검산 $y'=-\dfrac{C-2x}{(Cx-x^2)^2}$, $\dfrac yx=\dfrac{C-x}{(Cx-x^2)^2}$. 더하면 $\dfrac{x}{(Cx-x^2)^2}=xy^2$. 맞습니다.
$y_1$이 해이므로 $y_1'=a+by_1+cy_1^2$. $y=y_1+u$ 를 넣은 식에서 이것을 빼면 $a$가 사라집니다.
$$\begin{aligned}u'&=b\,u+c\big[(y_1+u)^2-y_1^2\big]\\&=(b+2cy_1)\,u+c\,u^2\end{aligned}$$$u^2$ 항 하나만 남은 베르누이($n=2$)입니다. 베르누이 치환 $v=u^{1-2}=\frac1u$ 가 바로 $y=y_1+\frac1v$ 입니다. 넣으면 $-\frac{v'}{v^2}=\frac{b+2cy_1}{v}+\frac{c}{v^2}$ 이고, $-v^2$ 을 곱하면 레시피 3번의 식입니다.
해를 하나도 모르면 일반적으로 닫힌 꼴이 없습니다. 대신 $y=-\dfrac{w'}{c\,w}$ 로 두면 $w$에 대한 2계 선형 방정식 $w''-\big(b+\frac{c'}{c}\big)w'+ac\,w=0$ 이 됩니다(L16). 리카티는 2계 선형과 같은 난이도라는 뜻입니다.
판별 분리? 아니오(덧셈). 선형? $y^2$ 때문에 아니오. 베르누이? $y$ 없는 항 $-\frac2{x^2}$ 이 있어 아니오. $a=-\frac2{x^2}$, $b=0$, $c=1$ 인 리카티입니다.
1. $y_1=\dfrac kx$ 를 넣습니다. $y_1'=-\dfrac k{x^2}$, 우변 $\dfrac{k^2-2}{x^2}$ 이므로 $-k=k^2-2$, $(k+2)(k-1)=0$. $k=1$ 을 골라 $y_1=\dfrac1x$.
2–3. $b+2cy_1=\dfrac2x$ 이므로 $v'+\dfrac2x\,v=-1$.
4. $\mu=x^2$: $(x^2v)'=-x^2$, $x^2v=-\dfrac{x^3}3+C$. $K=3C$ 로 두면 $v=\dfrac{K-x^3}{3x^2}$.
$$y=\frac1x+\frac{3x^2}{K-x^3}$$검산 $y'=-\dfrac1{x^2}+\dfrac{6Kx+3x^4}{(K-x^3)^2}$. 한편 $y^2-\dfrac2{x^2}=-\dfrac1{x^2}+\dfrac{6x(K-x^3)+9x^4}{(K-x^3)^2}$ 이고 분자는 $6Kx+3x^4$. 같습니다. $K=0$ 이면 $y=-\frac2x$ 로, 1단계의 다른 근 $k=-2$ 가 나옵니다. $K\to\infty$ 이면 $y_1=\frac1x$ 로 돌아갑니다.
(a) 전지 $V_0$, 저항 $R$, 축전기 $C$를 직렬로 연결하고, $t=0$에 전하 $Q(0)=0$. 전압의 합: $R\dfrac{dQ}{dt}+\dfrac QC=V_0$.
판별 상수계수이므로 분리도 되고 선형이기도 합니다. 선형 레시피로 풉니다.
표준형 $Q'+\dfrac{1}{RC}Q=\dfrac{V_0}{R}$, $\mu=e^{t/RC}$:
$$\begin{aligned} \big(Qe^{t/RC}\big)'&=\frac{V_0}{R}e^{t/RC}\\ Qe^{t/RC}&=CV_0\,e^{t/RC}+K\\ Q&=CV_0+Ke^{-t/RC} \end{aligned}$$$Q(0)=0$ 이면 $K=-CV_0$.
$$\begin{aligned} Q(t)&=CV_0\big(1-e^{-t/RC}\big)\\ I&=\frac{dQ}{dt}=\frac{V_0}{R}e^{-t/RC} \end{aligned}$$검산 $RQ'+\dfrac QC=V_0e^{-t/RC}+V_0\big(1-e^{-t/RC}\big)=V_0$. 시간상수 $\tau=RC$.
(b) 질량 $m$인 물체가 정지 상태에서 떨어지고, 공기저항이 $-kv$ (아래를 $+$). $m\dfrac{dv}{dt}=mg-kv$, $v(0)=0$.
표준형 $v'+\dfrac kmv=g$. (a)와 같은 모양이며 $a=\frac km$, $b=g$ 입니다. 레시피 2의 공식으로
$$\begin{aligned} v(t)&=\frac{mg}{k}\big(1-e^{-kt/m}\big)\\ v_\infty&=\frac{mg}{k}\quad(\text{종단속도}) \end{aligned}$$검산 $mv'=mg\,e^{-kt/m}$, $mg-kv=mg-mg\big(1-e^{-kt/m}\big)=mg\,e^{-kt/m}$. 같습니다.
대응: $Q\leftrightarrow v$, $RC\leftrightarrow m/k$, $CV_0\leftrightarrow mg/k$.
처음에는 $A$만 $N_0$개: $N_A(0)=N_0$, $N_B(0)=N_C(0)=0$. $\lambda_A\ne\lambda_B$ 라고 둡니다.
판별 첫 식은 분리형. 둘째 식은 $N_A(t)$를 넣으면 $N_B$에 대한 선형.
1단계: $N_A=N_0e^{-\lambda_At}$.
2단계: $N_B'+\lambda_BN_B=\lambda_AN_0e^{-\lambda_At}$. $\mu=e^{\lambda_Bt}$:
$$\begin{aligned} \big(N_Be^{\lambda_Bt}\big)'&=\lambda_AN_0\,e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\\ N_Be^{\lambda_Bt}&=\frac{\lambda_AN_0}{\lambda_B-\lambda_A}e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}+K \end{aligned}$$$N_B(0)=0$ 에서 $K=-\dfrac{\lambda_AN_0}{\lambda_B-\lambda_A}$. 따라서
$$N_B(t)=\frac{\lambda_AN_0}{\lambda_B-\lambda_A}\big(e^{-\lambda_At}-e^{-\lambda_Bt}\big).$$3단계: 세 식을 더하면 $(N_A+N_B+N_C)'=0$ 이므로 $N_C=N_0-N_A-N_B$.
덤: $N_B$가 최대인 시각은 $N_B'=0$, 즉 $\lambda_Ae^{-\lambda_At}=\lambda_Be^{-\lambda_Bt}$ 에서 $t^*=\dfrac{\ln(\lambda_A/\lambda_B)}{\lambda_A-\lambda_B}$.
검산 $N_B'+\lambda_BN_B=\dfrac{\lambda_AN_0}{\lambda_B-\lambda_A}\big(-\lambda_Ae^{-\lambda_At}+\lambda_Be^{-\lambda_At}\big)=\lambda_AN_0e^{-\lambda_At}$. $N_B(0)=0$.
주변 온도 $T_s$인 방에서 물체의 온도는 $T'=-k(T-T_s)$ 를 따릅니다.
판별 $u=T-T_s$ 로 두면 $u'=-ku$ → 분리형. 해는 $u=u_0e^{-kt}$, 즉
$$T(t)=T_s+(T_0-T_s)e^{-kt}.$$수치: 커피가 $90^\circ$C, 방이 $20^\circ$C, 10분 뒤 $60^\circ$C. 언제 $30^\circ$C가 될까요?
검산 $T'=-k(T_0-T_s)e^{-kt}=-k(T-T_s)$. $T(0)=T_0$.
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy(checkodesol, 음함수 미분)로 검산했습니다. 답의 $C$는 임의의 상수입니다.
A1. $y'=e^{x+y}$
A2. $y'+x^2y=\sin x$
A3. $y'=\dfrac{xy+y^2}{x^2}$
A4. $y'+y=xy^3$
A5. $y'=x+y$
A6. $y'=x^2+y^2$
B1. $y'=xy^2$, $\ y(0)=1$
B2. $y'=e^{x+y}$, $\ y(0)=0$
B3. $y'+2xy=x$
B4. $xy'-y=x^3$ $\ (x>0)$
B5. $y'+y\cot x=2\cos x$ $\ (0<x<\pi)$
B6. $y'+y=xe^{-x}$, $\ y(0)=1$
B7. $y'=3y^{2/3}$, $\ y(0)=0$ 의 해를 두 개 찾고, 유일성이 깨지는 이유를 쓰세요.
C1. $(2x+y)\,dx+(x+2y)\,dy=0$
C2. $(ye^{xy}+2x)\,dx+(xe^{xy}-2y)\,dy=0$
C3. $(y^2+2x)\,dx+xy\,dy=0$
C4. $y\,dx+(3x-2y)\,dy=0$
D1. $y'=1+\dfrac yx$ $\ (x>0)$
D2. $(x+y)\,dx-(x-y)\,dy=0$
D3. $y'-y=e^xy^2$
D4. 로지스틱 방정식 $y'=ry\Big(1-\dfrac yK\Big)$, $\ y(0)=y_0$
E1. RL 회로: $L\dfrac{dI}{dt}+RI=V_0$, $\ I(0)=0$
E2. 예제 8-1(b)에서 낙하 거리 $x(t)$ ($x(0)=0$)
E3. 붕괴 연쇄에서 $\lambda_A=\lambda_B=\lambda$ 이면 $N_B(t)$와 최대 시각은?
E4. $100^\circ$C인 물체를 $20^\circ$C인 방에 두었더니 5분 뒤 $60^\circ$C. 10분 뒤 온도는?
E5. 공기저항이 속력의 제곱인 낙하: $m\dfrac{dv}{dt}=mg-cv^2$, $\ v(0)=0$
F1. $y'=\dfrac{2y}{x}+x\,e^{-y/x^2}$ $\ (x>0)$
F2. $y'=\dfrac{2y}{x}+\dfrac{x^3}{x^2+y}$ $\ (x>0)$
F3. $y'=(y-x)^2+1$
F4. $y'=y^2-\dfrac yx-\dfrac1{x^2}$ $\ (x>0)$, 해 하나는 $y_1=\dfrac1x$