Arfken 7판 7.3, 7.4, 7.6, 7.7절 (상수계수 ODE, 2계 선형 ODE와 론스키안, 두 번째 해, 비제차 선형 ODE)
이 레슨의 방정식은 모두 선형입니다. 그래서 일반해(general solution)는 항상 이 꼴입니다.
$$y=\underbrace{c_1y_1+c_2y_2}_{\text{동차해 } y_h}+\underbrace{y_p}_{\text{특수해}}$$동차(homogeneous)는 우변이 0인 방정식, 비제차(inhomogeneous)는 우변 $f(x)\ne0$인 방정식입니다. 특수해(particular solution) $y_p$는 비제차 방정식을 만족하는 해 하나면 됩니다.
| 상황 | 할 일 | 결과 |
|---|---|---|
| 상수계수 $ay''+by'+cy=0$ | $y=e^{rx}$ 대입 → $ar^2+br+c=0$ | 서로 다른 실근: $c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$ 중근 $r$: $(c_1+c_2x)e^{rx}$ 복소근 $\alpha\pm i\beta$: $e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)$ |
| 오일러-코시 $x^2y''+axy'+by=0$ | $y=x^m$ 대입 → $m(m-1)+am+b=0$ | 서로 다른 실근: $c_1x^{m_1}+c_2x^{m_2}$ 중근 $m$: $(c_1+c_2\ln x)x^m$ 복소근 $\alpha\pm i\beta$: $x^\alpha[c_1\cos(\beta\ln x)+c_2\sin(\beta\ln x)]$ |
| 론스키안 | $W=y_1y_2'-y_1'y_2$ | $W\ne0$ → 일차독립. 아벨 공식 $W=C\,e^{-\int P\,dx}$ |
| 두 번째 해 (축소법) | 표준형에서 $P$를 읽음 | $y_2=y_1\displaystyle\int\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_1^2}\,dx$ |
| 매개변수 변환법 | 표준형에서 $f$를 읽음 | $y_p=-y_1\displaystyle\int\frac{y_2f}{W}dx+y_2\int\frac{y_1f}{W}dx$ |
| 정적분 꼴 ($y(x_0)=y'(x_0)=0$) | $G(x,t)=\dfrac{y_1(t)y_2(x)-y_1(x)y_2(t)}{W(t)}$ | $y_p=\displaystyle\int_{x_0}^xG(x,t)\,f(t)\,dt$ |
$L[y]=y''+Py'+Qy$ 는 선형입니다: $L[c_1u+c_2v]=c_1L[u]+c_2L[v]$. 그래서 해 $y$와 특수해 $y_p$의 차는 $L[y-y_p]=f-f=0$, 즉 동차해입니다. 모든 해가 $y_p+(\text{동차해})$ 꼴이라는 뜻입니다.
2계 동차 방정식의 해 공간은 2차원입니다. 초기값 $y(x_0)$, $y'(x_0)$ 두 개를 정하면 해가 하나로 정해지기 때문입니다(존재·유일성, L15 1절). 그래서 독립인 해 두 개 $y_1$, $y_2$ 의 결합이면 충분합니다.
$L[y]=ay''+by'+cy$ 에 $e^{rx}$ 를 넣으면 미분마다 $r$이 나오므로 $L[e^{rx}]=p(r)\,e^{rx}$, $p(r)=ar^2+br+c$ 입니다. $e^{rx}\ne0$ 이라 해가 되려면 $p(r)=0$.
중근: $p(r)=a(r-r_0)^2$ 이면 $p(r_0)=p'(r_0)=0$. 등식 $L[e^{rx}]=p(r)e^{rx}$ 를 $r$로 미분합니다. $\frac{\partial}{\partial r}e^{rx}=xe^{rx}$ 이고, $L$은 $x$ 미분이라 $r$ 미분과 순서를 바꿔도 됩니다.
$$L[xe^{rx}]=p'(r)\,e^{rx}+p(r)\,xe^{rx}$$$r=r_0$ 에서 오른쪽이 0이므로 $xe^{r_0x}$ 도 해입니다. $k$중근이면 $k-1$번 미분해도 0이라 $x^{k-1}e^{r_0x}$ 까지 해입니다. (4절 축소법으로도 같은 답이 나옵니다.)
복소근: $e^{(\alpha\pm i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x\pm i\sin\beta x)$. 해의 합을 2로 나눈 것과 차를 $2i$로 나눈 것도 해(선형)이므로 $e^{\alpha x}\cos\beta x$, $e^{\alpha x}\sin\beta x$ 가 실수 해입니다.
(a) $y''-y'-6y=0$. 특성방정식은 $r^2-r-6=(r-3)(r+2)=0$, 근은 $r=3,\,-2$입니다.
$$y=c_1e^{3x}+c_2e^{-2x}$$(b) $y''-6y'+9y=0$. $r^2-6r+9=(r-3)^2=0$이므로 $r=3$은 중근(repeated root)입니다.
$$y=(c_1+c_2x)e^{3x}$$$xe^{3x}$가 정말 해인지 확인합니다. $y=xe^{3x}$, $y'=(1+3x)e^{3x}$, $y''=(6+9x)e^{3x}$ 이므로
$$\begin{aligned}&y''-6y'+9y\\&=\big[(6+9x)-6(1+3x)+9x\big]e^{3x}\\&=0\end{aligned}$$(c) $y''+2y'+5y=0$. $r=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=-1\pm2i$. 따라서 $\alpha=-1$, $\beta=2$입니다.
$$y=e^{-x}(c_1\cos2x+c_2\sin2x)$$특성방정식은 $r^3-1=0$입니다. $r=1$을 넣으면 0이므로 $(r-1)$로 나눕니다: $r^3-1=(r-1)(r^2+r+1)$.
$r^2+r+1=0$에서 $r=\dfrac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=-\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt3}{2}i$.
$$\begin{aligned}y&=c_1e^{x}\\&\quad+e^{-x/2}\big(c_2\cos\beta x+c_3\sin\beta x\big)\end{aligned}$$여기서 $\beta=\frac{\sqrt3}{2}$입니다.
같은 방법으로 $y''''-y=0$은 $r^4-1=(r-1)(r+1)(r^2+1)$이므로 $y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3\cos x+c_4\sin x$입니다.
$x=e^t$ ($t=\ln x$)로 두고 $t$ 미분을 점으로 씁니다. 연쇄법칙으로 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1x\dot y$ 이므로 $xy'=\dot y$. 한 번 더 미분하면
$$\begin{aligned}y''&=-\frac1{x^2}\dot y+\frac1{x^2}\ddot y\\ x^2y''&=\ddot y-\dot y\end{aligned}$$방정식은 $\ddot y+(a-1)\dot y+by=0$, 상수계수입니다. 특성방정식 $r^2+(a-1)r+b=0$ 은 $m(m-1)+am+b=0$ 과 같은 식입니다. 그래서 $e^{rt}=x^r$, 중근의 $te^{rt}=x^r\ln x$, $\cos\beta t=\cos(\beta\ln x)$ 가 됩니다. $m(m-1)$ 의 $-m$ 이 바로 $-\dot y$ 에서 온 것입니다.
(a) $x^2y''-2y=0$ ($a=0$, $b=-2$). $m(m-1)-2=m^2-m-2=(m-2)(m+1)=0$.
$$y=c_1x^2+c_2x^{-1}$$(b) $x^2y''-xy'+y=0$ ($a=-1$, $b=1$). $m(m-1)-m+1=m^2-2m+1=(m-1)^2=0$, 중근 $m=1$.
$$y=c_1x+c_2x\ln x$$확인: $y=x\ln x$이면 $y'=\ln x+1$, $y''=\frac1x$입니다. $x^2\cdot\frac1x-x(\ln x+1)+x\ln x=x-x\ln x-x+x\ln x=0$.
(c) $x^2y''-xy'+5y=0$. $m(m-1)-m+5=m^2-2m+5=0$, $m=1\pm2i$.
$$y=x\big[c_1\cos(2\ln x)+c_2\sin(2\ln x)\big]$$$y_1$, $y_2$ 가 $y''+Py'+Qy=0$ 의 해라고 합니다. $W=y_1y_2'-y_1'y_2$ 를 미분하면 $y_1'y_2'$ 끼리 지워집니다.
$$W'=y_1y_2''-y_1''y_2$$$y''=-Py'-Qy$ 를 두 곳에 넣으면 $Q$ 항도 지워집니다.
$$\begin{aligned}W'&=y_1(-Py_2'-Qy_2)\\&\quad+(Py_1'+Qy_1)\,y_2\\&=-P\,(y_1y_2'-y_1'y_2)\\&=-P\,W\end{aligned}$$$W$에 대한 1계 분리형입니다(L15). 따라서 $W=Ce^{-\int P\,dx}$. 지수함수는 0이 되지 않으므로 $C=0$ 이면 어디서나 $W=0$, $C\ne0$ 이면 어디서도 $W\ne0$ 입니다. 레시피 2번의 "둘 중 하나"가 이것입니다.
(a) $W(e^{3x},e^{-2x})=e^{3x}\cdot(-2e^{-2x})-3e^{3x}\cdot e^{-2x}=-5e^{x}\ne0$ → 독립입니다.
(b) $y_1=e^{ax}\cos bx$, $y_2=e^{ax}\sin bx$. 먼저 도함수를 씁니다.
$$\begin{aligned}y_1'&=e^{ax}(a\cos bx-b\sin bx)\\ y_2'&=e^{ax}(a\sin bx+b\cos bx)\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}W&=e^{2ax}\big[\cos bx\,(a\sin bx+b\cos bx)\\&\qquad-(a\cos bx-b\sin bx)\sin bx\big]\\&=e^{2ax}\,b\,(\cos^2bx+\sin^2bx)\\&=b\,e^{2ax}\end{aligned}$$$a\sin\cos$ 항끼리 지워집니다. $b\ne0$이면 독립입니다.
(c) 예제 2-1(b)의 두 해. $W(x,\,x\ln x)=x(\ln x+1)-1\cdot x\ln x=x$.
아벨 공식으로 확인합니다. 표준형은 $y''-\frac1xy'+\frac1{x^2}y=0$이므로 $P=-\frac1x$, $e^{-\int P\,dx}=e^{\ln x}=x$. 같은 모양입니다($C=1$).
공식의 출처 한 줄: $y_2=v\,y_1$로 놓으면 $v'$에 대한 1계 방정식이 되고(L15), 그 해가 위 피적분함수입니다. 이 방법을 축소법(reduction of order)이라고 부릅니다.
몫의 미분을 보면
$$\Big(\frac{y_2}{y_1}\Big)'=\frac{y_1y_2'-y_1'y_2}{y_1^2}=\frac{W}{y_1^2}.$$$W$는 3절 아벨 공식으로 $y_2$를 몰라도 $e^{-\int P\,dx}$ (상수배 무시) 입니다. 그러니 적분하고 $y_1$을 곱하면 끝입니다.
$$\begin{aligned}y_2&=y_1\int\frac{W}{y_1^2}\,dx\\&=y_1\int\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_1^2}\,dx\end{aligned}$$예: 중근인 $y''-2ry'+r^2y=0$ 에서 $y_1=e^{rx}$, $P=-2r$ 이면 피적분함수가 $\frac{e^{2rx}}{e^{2rx}}=1$ 이라 $y_2=xe^{rx}$. 1절의 중근 규칙과 같습니다.
먼저 $y_1=x$가 해인지 봅니다: $y_1''=0$, $-2x\cdot1+2x=0$. 맞습니다.
표준형: $(1-x^2)$로 나눕니다.
$$\begin{aligned}&y''-\frac{2x}{1-x^2}y'+\frac{2}{1-x^2}y=0\\&\Rightarrow\ P=-\frac{2x}{1-x^2}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}-\int P\,dx&=\int\frac{2x}{1-x^2}dx\\&=-\ln(1-x^2)\\ e^{-\int P\,dx}&=\frac{1}{1-x^2}\end{aligned}$$공식에 넣습니다.
$$y_2=x\int\frac{dx}{x^2(1-x^2)}$$부분분수: $\dfrac{1}{x^2(1-x^2)}=\dfrac1{x^2}+\dfrac1{1-x^2}$ (통분하면 분자가 $(1-x^2)+x^2=1$). 각각 적분하면
$$\int\frac{dx}{x^2(1-x^2)}=-\frac1x+\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}.$$ $$\begin{aligned}y_2&=x\Big(-\frac1x+\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}\Big)\\&=\frac x2\ln\frac{1+x}{1-x}-1\end{aligned}$$이것이 르장드르 제2종 함수 $Q_1$입니다(L21). $x=\pm1$에서 로그 발산이 생긴다는 점을 기억해 두세요.
상수계수 방정식이고 우변이 다항식, 지수, sin·cos, 또는 이들의 곱일 때 씁니다. 이것을 미정계수법(method of undetermined coefficients)이라고 합니다.
| 우변 $f(x)$ | 시도해 $y_p$ | 겹침 검사에 쓰는 수 |
|---|---|---|
| $n$차 다항식 | $A_nx^n+\cdots+A_1x+A_0$ (낮은 차수까지 전부) | $0$ |
| $e^{\alpha x}$ | $Ae^{\alpha x}$ | $\alpha$ |
| $\cos\beta x$ 또는 $\sin\beta x$ | $A\cos\beta x+B\sin\beta x$ (둘 다) | $\pm i\beta$ |
| $e^{\alpha x}\cos\beta x$ 또는 $e^{\alpha x}\sin\beta x$ | $e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)$ | $\alpha\pm i\beta$ |
| ($n$차 다항식)$\times e^{\alpha x}$ | ($n$차 일반 다항식)$\times e^{\alpha x}$ | $\alpha$ |
| 공명: 위 수가 $k$중 특성근 | 위 시도해 전체 $\times x^k$ |
지름길 ($f=e^{\alpha x}$, 특성다항식 $p(r)$): $p(\alpha)\ne0$이면 $y_p=\dfrac{e^{\alpha x}}{p(\alpha)}$. $\alpha$가 단근이면 $y_p=\dfrac{xe^{\alpha x}}{p'(\alpha)}$. 중근이면 $y_p=\dfrac{x^2e^{\alpha x}}{p''(\alpha)}$. 복소수 $\alpha$에도 그대로 쓰고 실수부나 허수부를 취합니다.
1절의 등식 $L[e^{\alpha x}]=p(\alpha)\,e^{\alpha x}$ 에서 시작합니다. $p(\alpha)\ne0$ 이면 양변을 $p(\alpha)$ 로 나누어 $L\Big[\dfrac{e^{\alpha x}}{p(\alpha)}\Big]=e^{\alpha x}$. 지름길 첫 줄입니다.
$p(\alpha)=0$ (공명)이면 나눌 수 없습니다. 등식을 $\alpha$로 미분하면 $L[xe^{\alpha x}]=p'(\alpha)e^{\alpha x}+p(\alpha)\,xe^{\alpha x}=p'(\alpha)\,e^{\alpha x}$. 단근이면 $p'(\alpha)\ne0$ 이라 $\dfrac{xe^{\alpha x}}{p'(\alpha)}$ 가 특수해입니다. 중근이면 한 번 더 미분해서 $L[x^2e^{\alpha x}]=p''(\alpha)e^{\alpha x}$. "공명이면 $x$를 곱한다"는 규칙이 이 미분입니다.
표의 다른 줄도 같은 원리입니다. $L$은 (다항식)$\times e^{\alpha x}$ 를 같은 꼴로 보내므로 같은 꼴의 시도해에서 계수만 맞추면 됩니다. 다만 $\alpha$가 특성근이면 $L$이 차수를 하나 깎아 버려 맞출 수 없으므로, 차수를 하나 올리는 $x$를 곱합니다.
(a) 겹치지 않는 경우와 중첩: $f=4x+e^{3x}$.
먼저 $4x$ 부분입니다. 겹침 검사 수는 0이고 특성근이 아닙니다. $y=Ax+B$, $y'=A$, $y''=0$을 넣습니다.
$$\begin{aligned}&0-3A+2(Ax+B)=4x\\ &x^1:\ 2A=4\ \Rightarrow\ A=2\\ &x^0:\ -3A+2B=0\ \Rightarrow\ B=3\end{aligned}$$다음은 $e^{3x}$ 부분입니다. 3은 특성근이 아닙니다. $y=Ce^{3x}$를 넣으면 $(9-9+2)Ce^{3x}=2Ce^{3x}=e^{3x}$이므로 $C=\frac12$입니다. (지름길: $p(3)=2$.)
$$y=c_1e^{x}+c_2e^{2x}+2x+3+\tfrac12e^{3x}$$(b) 공명: $f=e^{x}$. 1은 특성근입니다. $Ae^x$를 넣으면 $p(1)=0$이라 좌변이 0이 되어 맞출 수 없습니다. 그래서 $y_p=Axe^x$로 둡니다.
$$\begin{aligned}y'&=A(1+x)e^x\\ y''&=A(2+x)e^x\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&y''-3y'+2y\\&=Ae^x\big[(2+x)-3(1+x)+2x\big]\\&=-Ae^x\end{aligned}$$$-A=1$이므로 $A=-1$, $y_p=-xe^x$입니다. 지름길로 확인: $p'(r)=2r-3$, $p'(1)=-1$, $\dfrac{xe^x}{-1}=-xe^x$.
특성근은 $\pm i\omega$이고, 우변의 겹침 검사 수도 $\pm i\omega$입니다. 공명이므로 $y=t\,g$, $g=A\cos\omega t+B\sin\omega t$로 둡니다. $g''=-\omega^2g$를 씁니다.
$$y'=g+tg',\qquad y''=2g'+tg''$$ $$y''+\omega^2y=2g'+t\,(g''+\omega^2g)=2g'$$따라서 $2g'=\cos\omega t$가 되어야 합니다. $2g'=-2A\omega\sin\omega t+2B\omega\cos\omega t$이므로 $A=0$, $B=\dfrac1{2\omega}$.
$$y_p=\frac{t\sin\omega t}{2\omega}$$진폭이 $t$에 비례해서 계속 자랍니다. 이것이 감쇠 없는 공명입니다.
이것을 매개변수 변환법(variation of parameters)이라고 합니다. 유도는 아래 상자에 있습니다.
언제 쓰나: 우변이 $\sec x$, $\tan x$, $\frac1x$, $\ln x$처럼 5절 표에 없는 모양일 때, 그리고 계수가 상수가 아닐 때(오일러-코시 등)입니다.
$y=u_1y_1+u_2y_2$ 로 둡니다. 미지함수는 둘인데 방정식은 하나라서 조건을 하나 더 정할 수 있습니다. 계산이 쉬워지도록 $u_1'y_1+u_2'y_2=0$ 으로 정합니다. 그러면 $y'=u_1y_1'+u_2y_2'$ 에 $u'$ 항이 없고, 한 번 더 미분하면
$$y''=u_1y_1''+u_2y_2''+u_1'y_1'+u_2'y_2'.$$방정식에 넣으면 $u_1(y_1''+Py_1'+Qy_1)$ 과 $u_2(\cdots)$ 는 동차해라서 0입니다. 남는 것은 $u_1'y_1'+u_2'y_2'=f$ 하나입니다.
$$\begin{aligned}u_1'y_1+u_2'y_2&=0\\ u_1'y_1'+u_2'y_2'&=f\end{aligned}$$계수 행렬식이 $W$이므로 크라메르 공식으로 $u_1'=-\dfrac{y_2f}{W}$, $u_2'=\dfrac{y_1f}{W}$ 입니다. 이 유도에 $y''$ 계수가 1이라는 것을 썼으므로 표준형의 $f$를 써야 합니다.
적분을 $x_0$부터 $x$까지의 정적분으로 하면 $u_1(x_0)=u_2(x_0)=0$ 이라 $y_p(x_0)=0$, 그리고 $y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'$ 이므로 $y_p'(x_0)=0$ 입니다. 두 정적분을 하나로 합친 것이 아래의 정적분 꼴입니다.
(a) $y''+y=\sec x$ ($-\frac\pi2<x<\frac\pi2$). 이미 표준형이고 $f=\sec x$입니다.
$y_1=\cos x$, $y_2=\sin x$, $W=\cos x\cdot\cos x-(-\sin x)\cdot\sin x=1$.
$$\begin{aligned}u_1&=-\int\sin x\sec x\,dx\\&=-\int\tan x\,dx=\ln|\cos x|\\ u_2&=\int\cos x\sec x\,dx\\&=\int1\,dx=x\end{aligned}$$ $$y_p=\cos x\,\ln|\cos x|+x\sin x$$(b) $y''-2y'+y=\dfrac{e^x}{x}$ ($x>0$). 특성근은 $r=1$ 중근이므로 $y_1=e^x$, $y_2=xe^x$입니다.
$$W=e^x\cdot(1+x)e^x-e^x\cdot xe^x=e^{2x}$$ $$\begin{aligned}u_1&=-\int\frac{xe^x\cdot e^x/x}{e^{2x}}dx\\&=-\int1\,dx=-x\\ u_2&=\int\frac{e^x\cdot e^x/x}{e^{2x}}dx\\&=\int\frac{dx}{x}=\ln x\end{aligned}$$$y_p=-xe^x+xe^x\ln x$입니다. $-xe^x$는 $y_2$의 상수배라 버립니다.
$$y=(c_1+c_2x)e^x+xe^x\ln x$$동차 부분은 오일러-코시입니다. $m(m-1)-2m+2=m^2-3m+2=(m-1)(m-2)$이므로 $y_1=x$, $y_2=x^2$.
$W=x\cdot2x-1\cdot x^2=x^2$.
표준형: $x^2$로 나누면 $y''-\dfrac2xy'+\dfrac2{x^2}y=x$. 따라서 $f=x$입니다($x^3$이 아닙니다).
$$\begin{aligned}u_1&=-\int\frac{x^2\cdot x}{x^2}dx=-\int x\,dx\\&=-\frac{x^2}{2}\\ u_2&=\int\frac{x\cdot x}{x^2}dx=\int1\,dx=x\end{aligned}$$ $$y_p=-\frac{x^2}{2}\cdot x+x\cdot x^2=\frac{x^3}{2}$$검산: $y=\frac{x^3}{2}$, $y'=\frac{3x^2}{2}$, $y''=3x$. $x^2(3x)-2x\cdot\frac{3x^2}{2}+2\cdot\frac{x^3}{2}=3x^3-3x^3+x^3=x^3$. 맞습니다.
나누지 않고 $f=x^3$을 쓰면 $y_p=\frac{x^5}{12}$가 나옵니다. 대입하면 좌변이 $x^5$가 되어 $x^2$배만큼 틀립니다.
$y_1=\cos x$, $y_2=\sin x$, $W=1$ 이므로 $G=\cos t\sin x-\cos x\sin t=\sin(x-t)$.
(a) $f=x$. 부분적분($u=t$, $dv=\sin(x-t)\,dt$, $v=\cos(x-t)$)을 합니다.
$$\begin{aligned}y&=\int_0^x t\sin(x-t)\,dt\\&=\Big[t\cos(x-t)\Big]_0^x\\&\quad-\int_0^x\cos(x-t)\,dt\\&=x-\sin x\end{aligned}$$검산: $y''+y=\sin x+x-\sin x=x$. $y(0)=0$, $y'(0)=1-\cos0=0$.
(b) $f=\cos x$ (공명). 곱을 합으로 바꿉니다: $\sin(x-t)\cos t=\tfrac12\big[\sin x+\sin(x-2t)\big]$.
$$\begin{aligned}y&=\frac12\int_0^x\big[\sin x\\&\qquad\quad+\sin(x-2t)\big]dt\\&=\frac12\Big(x\sin x\\&\qquad+\Big[\tfrac12\cos(x-2t)\Big]_0^x\Big)\\&=\frac{x\sin x}{2}\end{aligned}$$둘째 항은 $\tfrac12[\cos(-x)-\cos x]=0$ 입니다. 예제 5-2의 $\frac{t\sin\omega t}{2\omega}$ ($\omega=1$)과 같고, 초기조건까지 이미 맞춰져 있습니다.
(a) 초기값 문제: $y''-3y'+2y=e^x$, $y(0)=0$, $y'(0)=0$.
예제 5-1(b)에서 일반해는 $y=c_1e^x+c_2e^{2x}-xe^x$입니다. 미분하면 $y'=c_1e^x+2c_2e^{2x}-(1+x)e^x$.
$$\begin{aligned}y(0)&=c_1+c_2=0\\ y'(0)&=c_1+2c_2-1=0\\ &\Rightarrow\ c_2=1,\ c_1=-1\end{aligned}$$ $$y=-e^x+e^{2x}-xe^x$$(b) 경계값 문제: $y''+y=0$, $y(0)=0$, $y(\frac\pi2)=3$. $y=c_1\cos x+c_2\sin x$에서 $y(0)=c_1=0$, $y(\frac\pi2)=c_2=3$. 답은 $y=3\sin x$입니다.
같은 방정식에 $y(0)=0$, $y(\pi)=1$을 주면 $c_1=0$이고 $y(\pi)=c_2\sin\pi=0\ne1$이라 해가 없습니다. $y(\pi)=0$을 주면 $c_2$가 아무 값이나 되어 무한히 많습니다. 이것이 고유값 문제의 출발점입니다(L26).
특성근은 $r=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$입니다. 근호 안의 부호로 세 경우가 갈립니다.
| 조건 | 이름 | 해 |
|---|---|---|
| $\gamma>\omega_0$ | 과감쇠(overdamped) | $c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$ (두 근 모두 음의 실수) |
| $\gamma=\omega_0$ | 임계감쇠(critical damping) | $(c_1+c_2t)e^{-\gamma t}$ |
| $\gamma<\omega_0$ | 미급감쇠(underdamped) | $e^{-\gamma t}(c_1\cos\omega_dt+c_2\sin\omega_dt)$, $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$ |
(a) 과감쇠 $\ddot x+5\dot x+4x=0$. $r^2+5r+4=(r+1)(r+4)$이므로 $x=c_1e^{-t}+c_2e^{-4t}$.
$$\begin{aligned}&c_1+c_2=1,\quad -c_1-4c_2=0\\&\Rightarrow\ c_1=\tfrac43,\ c_2=-\tfrac13\\&x=\tfrac43e^{-t}-\tfrac13e^{-4t}\end{aligned}$$(b) 임계감쇠 $\ddot x+4\dot x+4x=0$. $r=-2$ 중근이므로 $x=(c_1+c_2t)e^{-2t}$. $x(0)=c_1=1$.
$$\begin{aligned}\dot x&=(c_2-2c_1-2c_2t)e^{-2t}\\ \dot x(0)&=c_2-2c_1=0\ \Rightarrow\ c_2=2\\ x&=(1+2t)e^{-2t}\end{aligned}$$(c) 미급감쇠 $\ddot x+2\dot x+5x=0$. $r=-1\pm2i$이므로 $x=e^{-t}(c_1\cos2t+c_2\sin2t)$. $x(0)=c_1=1$.
$$\begin{aligned}\dot x&=e^{-t}\big[(-c_1+2c_2)\cos2t\\&\qquad+(-c_2-2c_1)\sin2t\big]\\ \dot x(0)&=-c_1+2c_2=0\ \Rightarrow\ c_2=\tfrac12\end{aligned}$$ $$x=e^{-t}\Big(\cos2t+\tfrac12\sin2t\Big)$$방법 1 (미정계수법): $x=A\cos t+B\sin t$. $\dot x=-A\sin t+B\cos t$, $\ddot x=-A\cos t-B\sin t$를 넣고 정리합니다.
$$\begin{aligned}\cos t:&\ \ -A+2B+5A=10\\ &\Rightarrow\ 4A+2B=10\\ \sin t:&\ \ -B-2A+5B=0\\ &\Rightarrow\ -2A+4B=0\end{aligned}$$두 번째 식에서 $A=2B$. 첫 식에 넣으면 $10B=10$, $B=1$, $A=2$. 따라서 $x_p=2\cos t+\sin t$.
방법 2 (복소 지수법): $\gamma=1$, $\omega_0^2=5$, $\omega=1$, $F=10$.
$$\begin{aligned}Z&=\frac{10}{5-1+2i}=\frac{10}{4+2i}\\&=\frac{10(4-2i)}{16+4}=2-i\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\mathrm{Re}\big[(2-i)(\cos t+i\sin t)\big]\\&=2\cos t+\sin t\end{aligned}$$같은 답입니다. 진폭은 $|Z|=\sqrt5$, 위상 지연은 $\tan\delta=\frac{2\cdot1\cdot1}{5-1}=\frac12$에서 $\delta=\arctan\frac12\approx0.4636$ rad. 즉 $x_p=\sqrt5\cos(t-\delta)$입니다. ($\cos\delta=\frac2{\sqrt5}$, $\sin\delta=\frac1{\sqrt5}$를 넣어 펼치면 $2\cos t+\sin t$로 돌아옵니다.)
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다.
A1. $y''+5y'+6y=0$
A2. $y''+4y'+4y=0$
A3. $y''-4y'+13y=0$
A4. $y'''-3y''+3y'-y=0$
A5. $y''''-16y=0$
B1. $x^2y''+2xy'-6y=0$
B2. $x^2y''+3xy'+y=0$
B3. $x^2y''-3xy'+4y=0$, $y(1)=1$, $y'(1)=0$
C1. $W(x,\ x^2,\ x^3)$
C2. $xy''+2y'+xy=0$. (a) 아벨 공식으로 $W$의 모양을 구하세요. (b) 두 해 $y_1=\frac{\sin x}{x}$, $y_2=\frac{\cos x}{x}$로 $W$를 직접 계산해 비교하세요.
C3. $x^2y''+xy'-y=0$의 한 해 $y_1=x$에서 축소법으로 $y_2$
C4. $xy''-(x+1)y'+y=0$의 한 해 $y_1=e^x$에서 $y_2$
D1. $y''+y'-2y=4x^2$의 특수해
D2. $y''+4y=\cos2x$의 특수해
D3. $y''-2y'+y=e^x$의 특수해
D4. $y''-y=xe^{2x}$의 특수해
D5. $y''+2y'+2y=e^{-x}\cos x$의 특수해 (어려움)
E1. $y''+y=\tan x$ ($-\frac\pi2<x<\frac\pi2$)
E2. $y''-2y'+y=\dfrac{e^x}{x^2}$ ($x>0$)
E3. $x^2y''-3xy'+3y=2x^4$ ($x>0$)
E4. 정적분 꼴로 $y''-y=1$, $y(0)=y'(0)=0$
E5. 정적분 꼴로 $y''+4y=x$, $y(0)=y'(0)=0$
E6. $y''+y=f$, $y(0)=y'(0)=0$, $f=1$ ($0<x<\pi$), $f=0$ ($x>\pi$). $x<\pi$ 와 $x>\pi$ 에서의 해
F1. $y''+9y=0$, $y(0)=2$, $y'(0)=-3$
F2. $y''+4y=0$. (a) $y(0)=0$, $y(\frac\pi4)=5$ (b) $y(0)=0$, $y(\frac\pi2)=1$
F3. $\ddot x+2\dot x+10x=0$, $x(0)=1$, $\dot x(0)=0$. 감쇠 종류도 쓰세요.
F4. $\ddot x+2\dot x+4x=\cos2t$의 정상상태 해, 진폭, 위상 지연
F5. $\ddot x+9x=6\cos3t$, $x(0)=0$, $\dot x(0)=0$