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L14 · 감마·베타 함수

Arfken 7판 13.1–13.4절 (감마 함수의 정의와 성질, 디감마·폴리감마 함수, 베타 함수, 르장드르 배가공식, 스털링 근사)

이 레슨이 끝나면 할 수 있는 계산
  1. 정수·반정수·음의 반정수에서 감마 함수 값 구하기, 극에서의 유수 구하기
  2. $\int_0^\infty x^n e^{-ax^p}dx$ 꼴 적분을 치환 한 번으로 감마 함수로 바꾸기
  3. 삼각함수 거듭제곱 적분, $\int_0^1 x^a(1-x)^b dx$ 꼴 적분을 베타 함수로 끝내기
  4. 반사공식·배가공식으로 $\Gamma(\tfrac14)\Gamma(\tfrac34)$, $\Gamma(\tfrac13)\Gamma(\tfrac56)$ 같은 곱 계산하기
  5. 스털링 근사로 큰 계승과 이항계수를 어림하기
  6. 디감마 함수 값과 $\int_0^\infty t^k\ln t\,e^{-t}dt$ 꼴 적분 계산하기
  7. 디감마·폴리감마 함수로 $\sum\frac{1}{(n+a)(n+b)}$, $\sum\frac{1}{(n+a)^2}$ 꼴 급수의 합 구하기

0. 외워 둘 공식

공식쓰는 곳
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\quad(\mathrm{Re}\,z>0)$정의
$\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)$점화식 (위로·아래로)
$\Gamma(n+1)=n!$, $\ \Gamma(1)=1$정수
$\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$반정수의 출발점
$\Gamma(n+\tfrac12)=\dfrac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt\pi=\dfrac{(2n)!}{4^n\,n!}\sqrt\pi$반정수
$\displaystyle\int_0^\infty x^n e^{-ax^p}dx=\frac1p\,a^{-(n+1)/p}\,\Gamma\!\Big(\frac{n+1}{p}\Big)$적분 → 감마
$B(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$베타 함수
$\Gamma(z)\,\Gamma(1-z)=\dfrac{\pi}{\sin\pi z}$반사공식
$\Gamma(z)\,\Gamma(z+\tfrac12)=2^{1-2z}\sqrt\pi\,\Gamma(2z)$배가공식
$n!\approx\sqrt{2\pi n}\,\Big(\dfrac ne\Big)^n$스털링 근사
$\psi(n+1)=1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n-\gamma$디감마
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\Big(\frac1{n+a}-\frac1{n+b}\Big)=\psi(b)-\psi(a)$급수 합
$\psi'(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+z)^2}$, $\ \psi'(1)=\dfrac{\pi^2}{6}$트리감마

자주 나오는 값입니다. $\sqrt\pi\approx1.7725$.

$z$$\Gamma(z)$$z$$\Gamma(z)$
$\tfrac12$$\sqrt\pi$$1$$1$
$\tfrac32$$\tfrac12\sqrt\pi$$2$$1$
$\tfrac52$$\tfrac34\sqrt\pi$$3$$2$
$\tfrac72$$\tfrac{15}8\sqrt\pi$$4$$6$
$-\tfrac12$$-2\sqrt\pi$$-\tfrac32$$\tfrac43\sqrt\pi$
표기 관례 (이 레슨의 약속)

1. 정의와 점화식 — 정수·반정수 값

레시피
  1. 정의 $\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$ 에 부분적분을 한 번 하면 점화식이 나옵니다. $$\begin{aligned} \Gamma(z+1)&=\int_0^\infty t^{z}e^{-t}dt\\ &=\Big[-t^ze^{-t}\Big]_0^\infty\\ &\quad+z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\\ &=0+z\,\Gamma(z) \end{aligned}$$
  2. 정수: $\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}dt=1$. 점화식을 반복하면 $\Gamma(n+1)=n!$ 입니다. 즉 $\Gamma(n)=(n-1)!$ 입니다.
  3. 인자가 크면 1씩 내려가며 앞으로 곱을 뺍니다: $\Gamma(z)=(z-1)(z-2)\cdots(z-k)\,\Gamma(z-k)$.
  4. 반정수는 $\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$ 까지 내려갑니다.
예제 1-1 $\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$ (가우스 적분과 연결)

$t=x^2$ 로 치환합니다. $dt=2x\,dx$, $t^{-1/2}=\dfrac1x$ 이고, 구간은 그대로 $0\to\infty$ 입니다.

$$\begin{aligned} \Gamma(\tfrac12)&=\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}dt\\ &=\int_0^\infty \frac1x\,e^{-x^2}\,2x\,dx\\ &=2\int_0^\infty e^{-x^2}dx \end{aligned}$$

가우스 적분(Gaussian integral) $I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ 는 제곱해서 극좌표로 계산합니다.

$$\begin{aligned} I^2&=\iint e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy\\ &=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta\\ &=2\pi\cdot\frac12=\pi \end{aligned}$$

따라서 $I=\sqrt\pi$ 이고, 우함수라서 $\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\dfrac{\sqrt\pi}{2}$ 입니다. 결국 $\Gamma(\tfrac12)=2\cdot\dfrac{\sqrt\pi}2=\sqrt\pi$.

거꾸로 읽으면 $\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\tfrac12\Gamma(\tfrac12)$ 입니다. 3절의 공식이 바로 이 치환을 일반화한 것이고, 4절의 베타 공식도 이 "제곱해서 극좌표" 요령으로 증명합니다.

예제 1-2 $\Gamma(\tfrac72)$와 반정수 공식

1씩 내려갑니다.

$$\begin{aligned} \Gamma(\tfrac72)&=\tfrac52\,\Gamma(\tfrac52)\\ &=\tfrac52\cdot\tfrac32\,\Gamma(\tfrac32)\\ &=\tfrac52\cdot\tfrac32\cdot\tfrac12\,\Gamma(\tfrac12)\\ &=\frac{15}{8}\sqrt\pi\approx3.323 \end{aligned}$$

일반화하면 분자에 홀수가, 분모에 2가 하나씩 쌓입니다.

$$\begin{aligned} &\Gamma(n+\tfrac12)\\ &=\frac{2n-1}{2}\cdot\frac{2n-3}{2}\cdots\frac12\,\sqrt\pi\\ &=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt\pi \end{aligned}$$

확인: $n=3$ 이면 $\dfrac{5!!}{2^3}=\dfrac{1\cdot3\cdot5}{8}=\dfrac{15}8$. 맞습니다. 이중계승이 불편하면 $(2n-1)!!=\dfrac{(2n)!}{2^n n!}$ 를 넣어 $\Gamma(n+\tfrac12)=\dfrac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt\pi$ 로 씁니다.

2. 음의 비정수 값 — 점화식을 거꾸로

레시피
  1. 점화식을 뒤집습니다: $\Gamma(z)=\dfrac{\Gamma(z+1)}{z}$. "지금 인자로 나눈다"고 외웁니다.
  2. 인자가 양수가 될 때까지 한 단계씩 올라갑니다. 단계마다 나누는 수가 음수이므로 부호를 한 줄씩 적습니다.
  3. $z=0,-1,-2,\ldots$ 에서는 $\Gamma$가 정의되지 않습니다(극, pole). 0으로 나누게 되기 때문입니다.
  4. 극 $z=-n$ 에서의 유수(residue)는 $\mathrm{Res}_{z=-n}\Gamma=\dfrac{(-1)^n}{n!}$ 입니다. 유수 적분(L12)에 감마가 나올 때 씁니다.
왜 되나? (증명 스케치)

정의 적분은 $t\to0$ 근처의 $t^{z-1}$ 때문에 $\mathrm{Re}\,z>0$ 일 때만 수렴합니다. 그래서 왼쪽의 값은 점화식을 $n+1$번 거꾸로 써서 정의합니다.

$$\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\cdots(z+n)}$$

$z=-n$ 근처에서 분자는 $\Gamma(1)=1$ 에 가까운 유한한 값입니다. 분모의 인수 중 $(z+n)$ 하나만 0이 되므로 $z=-n$ 은 단순극입니다. 유수는 그 인수를 떼고 $z=-n$ 을 넣은 값입니다(L11).

$$\begin{aligned}&\mathrm{Res}_{z=-n}\Gamma\\&=\frac{\Gamma(1)}{(-n)(-n+1)\cdots(-1)}\\&=\frac{(-1)^n}{n!}\end{aligned}$$

예: $z=0$ 에서 $1$, $z=-1$ 에서 $-1$. 극을 하나 지날 때마다 부호가 바뀌는 것도 이 $(-1)^n$ 에서 보입니다.

예제 2-1 $\Gamma(-\tfrac12)$, $\Gamma(-\tfrac32)$ $$\Gamma(-\tfrac12)=\frac{\Gamma(\tfrac12)}{-\tfrac12}=-2\sqrt\pi\approx-3.545$$ $$\begin{aligned} \Gamma(-\tfrac32)&=\frac{\Gamma(-\tfrac12)}{-\tfrac32}\\ &=(-2\sqrt\pi)\cdot\Big(-\frac23\Big)\\ &=\frac{4\sqrt\pi}{3}\approx2.363 \end{aligned}$$

부호는 극을 하나 지날 때마다 바뀝니다: $(-1,0)$에서 음, $(-2,-1)$에서 양.

검산(5절의 반사공식): $\Gamma(-\tfrac12)\Gamma(\tfrac32)=\dfrac{\pi}{\sin(-\pi/2)}=-\pi$ 이므로 $\Gamma(-\tfrac12)=\dfrac{-\pi}{\sqrt\pi/2}=-2\sqrt\pi$. 일치합니다.

3. 적분을 감마 함수로 바꾸기

레시피 ($\int_0^\infty$, 지수함수 안에 거듭제곱이 있을 때)
  1. 지수 안 전체를 새 변수로 둡니다: $t=ax^p$.
  2. $x=(t/a)^{1/p}$ 와 $dx=\dfrac1p\,a^{-1/p}\,t^{1/p-1}dt$ 를 적습니다. 이 줄을 생략하면 $\frac1p$을 빠뜨립니다.
  3. 모든 것을 $(\text{상수})\times t^{s-1}e^{-t}$ 꼴로 모읍니다. 상수는 적분 밖으로 뺍니다.
  4. $\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt=\Gamma(s)$ 로 바꿉니다.
  5. 구간이 $\int_0^1$이고 $\ln x$가 보이면 $x=e^{-t}$ 로 치환합니다.
예제 3-1 일반 공식 유도와 적용: (a) $\int_0^\infty x^4e^{-x^2}dx$ (b) $\int_0^\infty e^{-x^3}dx$

$t=ax^p$ 이면 $x^n=a^{-n/p}t^{n/p}$, $dx=\frac1p a^{-1/p}t^{1/p-1}dt$ 입니다. 넣고 정리합니다.

$$\begin{aligned} &\int_0^\infty x^ne^{-ax^p}dx\\ &=\int_0^\infty \underbrace{a^{-n/p}t^{n/p}}_{x^n}\,e^{-t}\,\underbrace{\tfrac1p\,a^{-1/p}t^{1/p-1}dt}_{dx}\\ &=\frac1p\,a^{-(n+1)/p}\int_0^\infty t^{\frac{n+1}{p}-1}e^{-t}\,dt\\ &=\frac1p\,a^{-(n+1)/p}\,\Gamma\!\Big(\frac{n+1}{p}\Big) \end{aligned}$$

조건: $a>0$, $p>0$, $n>-1$.

(a) $n=4$, $p=2$, $a=1$:

$$\begin{aligned} \int_0^\infty x^4e^{-x^2}dx&=\frac12\,\Gamma\!\Big(\frac52\Big)\\ &=\frac12\cdot\frac34\sqrt\pi\\ &=\frac{3\sqrt\pi}{8}\approx0.6647 \end{aligned}$$

(b) $n=0$, $p=3$, $a=1$:

$$\begin{aligned} \int_0^\infty e^{-x^3}dx&=\frac13\,\Gamma\!\Big(\frac13\Big)\\ &=\Gamma\!\Big(\frac43\Big)\approx0.8930 \end{aligned}$$

$\Gamma(\tfrac13)\approx2.6789$ 는 더 간단해지지 않으므로 이 꼴로 답합니다. 마지막 등호는 점화식 $\tfrac13\Gamma(\tfrac13)=\Gamma(\tfrac43)$ 입니다.

예제 3-2 $\displaystyle\int_0^1\Big(\ln\frac1x\Big)^n dx$

$x=e^{-t}$ 로 둡니다. 그러면 $\ln\frac1x=t$, $dx=-e^{-t}dt$ 이고, $x=0\leftrightarrow t=\infty$, $x=1\leftrightarrow t=0$ 입니다.

$$\begin{aligned} \int_0^1\Big(\ln\frac1x\Big)^ndx&=\int_\infty^0 t^n\,(-e^{-t})\,dt\\ &=\int_0^\infty t^ne^{-t}dt\\ &=\Gamma(n+1)=n! \end{aligned}$$

음의 부호는 위아래 끝을 뒤집으면서 사라집니다. $n$이 정수가 아니어도 됩니다. 예: $\int_0^1\sqrt{\ln(1/x)}\,dx=\Gamma(\tfrac32)=\tfrac{\sqrt\pi}2$.

같은 치환으로 $\displaystyle\int_0^1x^m\Big(\ln\frac1x\Big)^ndx=\frac{\Gamma(n+1)}{(m+1)^{n+1}}$ 도 나옵니다($x^m=e^{-mt}$ 가 붙어 $e^{-(m+1)t}$, 그다음 $u=(m+1)t$).

4. 베타 함수

레시피
  1. 정의(감마로 쓴 꼴): $B(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}=B(q,p)$.
  2. 세 가지 적분 형태 ($p,q>0$). 둘째 줄의 2에 주의합니다. $$\begin{aligned} &B(p,q)\\ &=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,dx\\ &=2\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\,\cos^{2q-1}\theta\,d\theta\\ &=\int_0^\infty\frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}}\,dx \end{aligned}$$ 첫째 꼴에 $x=\sin^2\theta$ 를 넣으면 둘째 꼴, $x=\frac{u}{1+u}$ 를 넣으면 셋째 꼴이 됩니다.
  3. $p,q$ 읽기: 대수 꼴은 (지수 $+1$). 삼각 꼴은 (지수 $+1$)$/2$. 무한 구간 꼴은 $p=(x\text{의 지수})+1$, $q=(\text{분모 지수})-p$.
  4. 모양이 다르면 치환으로 맞춥니다: $\int_0^a$ → $x=at$. $(1-x^k)$ → $t=x^k$. $(1+x^k)$ → $t=x^k$.
  5. $\Gamma$로 바꾸고 1~2절의 값을 넣습니다. 인자 합이 1인 쌍이 생기면 5절의 반사공식을 씁니다.
왜 되나? (증명 스케치)

예제 1-1의 치환 $t=x^2$ 을 일반 $p$에 쓰면 $\Gamma(p)=2\int_0^\infty x^{2p-1}e^{-x^2}dx$ 입니다. 두 개를 곱해 이중적분으로 봅니다.

$$\begin{aligned}&\Gamma(p)\Gamma(q)\\&=4\iint_{x,y>0}x^{2p-1}y^{2q-1}\\&\qquad\times e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy\end{aligned}$$

극좌표 $x=r\sin\theta$, $y=r\cos\theta$ ($dx\,dy=r\,dr\,d\theta$, $0\le\theta\le\frac\pi2$)로 바꾸면 $r$과 $\theta$가 갈라집니다.

$$\begin{aligned}&\Big[2\int_0^\infty r^{2(p+q)-1}e^{-r^2}dr\Big]\\&\times\Big[2\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta\,d\theta\Big]\end{aligned}$$

첫 괄호는 같은 치환으로 $\Gamma(p+q)$ 이고, 둘째 괄호가 삼각 꼴 $B(p,q)$ 입니다. 따라서 $\Gamma(p)\Gamma(q)=\Gamma(p+q)\,B(p,q)$. 대수 꼴과 무한 구간 꼴은 레시피의 치환으로 삼각 꼴과 이어집니다.

예제 4-1 $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^5\theta\cos^3\theta\,d\theta$

삼각 꼴입니다. $2p-1=5\Rightarrow p=3$, $2q-1=3\Rightarrow q=2$.

$$\begin{aligned} &\int_0^{\pi/2}\sin^5\theta\cos^3\theta\,d\theta\\ &=\frac12B(3,2)=\frac12\cdot\frac{\Gamma(3)\Gamma(2)}{\Gamma(5)}\\ &=\frac12\cdot\frac{2!\cdot1!}{4!}=\frac12\cdot\frac{2}{24}\\ &=\frac1{24} \end{aligned}$$

검산: $u=\sin\theta$ 로 직접 하면 $\int_0^1u^5(1-u^2)\,du=\frac16-\frac18=\frac1{24}$.

예제 4-2 $\displaystyle\int_0^1\sqrt{x(1-x)}\,dx$

대수 꼴 $x^{1/2}(1-x)^{1/2}$ 이므로 $p=q=\tfrac32$.

$$\begin{aligned} B\Big(\frac32,\frac32\Big)&=\frac{\Gamma(\frac32)^2}{\Gamma(3)}=\frac{(\sqrt\pi/2)^2}{2}\\ &=\frac{\pi/4}{2}=\frac{\pi}{8} \end{aligned}$$

검산: $y=\sqrt{x(1-x)}$ 는 중심 $(\tfrac12,0)$, 반지름 $\tfrac12$인 원의 위쪽 반입니다. 넓이 $\tfrac12\pi(\tfrac12)^2=\tfrac\pi8$.

5. 반사공식과 배가공식 — 베타에서 나오는 두 공식

레시피 $$\Gamma(z)\,\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}$$ $$\Gamma(z)\,\Gamma(z+\tfrac12)=2^{1-2z}\sqrt\pi\,\Gamma(2z)$$
  1. 반사공식(reflection formula): 두 감마의 인자를 더해서 1이 되면 바로 씁니다.
  2. 합이 $1+(\text{정수})$이면 먼저 점화식으로 인자를 옮겨 합을 1로 맞춥니다.
  3. 배가공식(르장드르 배가공식, Legendre duplication formula): 두 인자의 차가 $\tfrac12$이면 씁니다. 오른쪽은 작은 인자의 두 배인 $\Gamma(2z)$ 입니다.
  4. $\Gamma(\tfrac14)$, $\Gamma(\tfrac13)$ 자체는 더 간단해지지 않습니다. 답에 그대로 둡니다.
왜 되나? (증명 스케치)

반사공식. $0<z<1$ 에서 $p=z$, $q=1-z$ 로 두면 $p+q=1$, $\Gamma(1)=1$ 이므로 4절의 무한 구간 꼴이 바로 쓰입니다.

$$\begin{aligned}\Gamma(z)\Gamma(1-z)&=B(z,1-z)\\&=\int_0^\infty\frac{x^{z-1}}{1+x}dx\end{aligned}$$

이 적분은 L12 예제 5-1(열쇠구멍 경로)에서 $\dfrac{\pi}{\sin\pi z}$ 로 계산했습니다. 양변이 해석함수이므로 등식은 $0<z<1$ 밖으로도 이어집니다(해석적 연속, 엄밀한 논증은 생략).

점검: 양변 모두 $z=0,\pm1,\pm2,\dots$ 에서 극을 가집니다. 왼쪽은 $\Gamma(z)$ 나 $\Gamma(1-z)$ 의 극, 오른쪽은 $\sin\pi z=0$ 입니다.

왜 되나? (증명 스케치)

배가공식. $B(z,z)$ 를 대수 꼴로 쓰고, 가운데 $t=\tfrac12$ 를 기준으로 대칭을 씁니다. $t=\tfrac{1+s}{2}$ 이면 $t(1-t)=\tfrac{1-s^2}{4}$, $dt=\tfrac{ds}2$.

$$\begin{aligned}&\frac{\Gamma(z)^2}{\Gamma(2z)}=\int_0^1[t(1-t)]^{z-1}dt\\&=\frac{4^{1-z}}{2}\int_{-1}^1(1-s^2)^{z-1}ds\\&=4^{1-z}\int_0^1(1-s^2)^{z-1}ds\end{aligned}$$

마지막 적분에 $u=s^2$ 를 넣으면 $\tfrac12B(\tfrac12,z)=\dfrac{\sqrt\pi\,\Gamma(z)}{2\,\Gamma(z+\frac12)}$ 입니다. 정리하면

$$\frac{\Gamma(z)^2}{\Gamma(2z)}=2^{1-2z}\,\frac{\sqrt\pi\,\Gamma(z)}{\Gamma(z+\frac12)}.$$

양변에 $\dfrac{\Gamma(z+\frac12)\,\Gamma(2z)}{\Gamma(z)}$ 를 곱하면 배가공식입니다.

예제 5-1 (a) $\Gamma(\tfrac14)\Gamma(\tfrac34)$ (b) $\Gamma(\tfrac54)\Gamma(\tfrac34)$ (c) $z=\tfrac12$

(a) $z=\tfrac14$, $1-z=\tfrac34$ 입니다.

$$\begin{aligned} \Gamma(\tfrac14)\Gamma(\tfrac34)&=\frac{\pi}{\sin(\pi/4)}\\ &=\frac{\pi}{\sqrt2/2}\\ &=\sqrt2\,\pi\approx4.443 \end{aligned}$$

(b) 인자의 합이 $2$입니다. $\Gamma(\tfrac54)=\tfrac14\Gamma(\tfrac14)$ 로 내리면

$$\Gamma(\tfrac54)\Gamma(\tfrac34)=\tfrac14\,\Gamma(\tfrac14)\Gamma(\tfrac34)=\frac{\sqrt2\,\pi}{4}.$$

(c) $\Gamma(\tfrac12)^2=\dfrac{\pi}{\sin(\pi/2)}=\pi$. 정의의 적분이 양수이므로 $\Gamma(\tfrac12)=+\sqrt\pi$ 입니다. 예제 1-1과 같은 결과입니다.

예제 5-2 $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$ (베타 다음 반사)

$(1-x^4)$ 이므로 $t=x^4$ 로 둡니다. $x=t^{1/4}$, $dx=\tfrac14t^{-3/4}dt$, 구간은 그대로 $0\to1$.

$$\begin{aligned} &\int_0^1(1-x^4)^{-1/2}dx\\ &=\frac14\int_0^1t^{-3/4}(1-t)^{-1/2}dt\\ &=\frac14B\Big(\frac14,\frac12\Big)\\ &=\frac{\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac12)}{4\,\Gamma(\frac34)} \end{aligned}$$

$p-1=-\tfrac34\Rightarrow p=\tfrac14$, $q-1=-\tfrac12\Rightarrow q=\tfrac12$ 로 읽었습니다. 이제 반사공식으로 $\Gamma(\tfrac34)=\dfrac{\sqrt2\,\pi}{\Gamma(\frac14)}$ 를 넣습니다.

$$\begin{aligned} &=\frac{\Gamma(\frac14)^2\sqrt\pi}{4\sqrt2\,\pi}\\ &=\frac{\Gamma(\frac14)^2}{4\sqrt{2\pi}}\approx1.3110 \end{aligned}$$
예제 5-3 배가공식: (a) $z=\tfrac14$ (b) $\Gamma(\tfrac56)$ 을 $\Gamma(\tfrac13)$ 로

(a) $z=\tfrac14$ 이면 $z+\tfrac12=\tfrac34$, $2z=\tfrac12$ 입니다.

$$\begin{aligned}&\Gamma(\tfrac14)\Gamma(\tfrac34)\\&=2^{1-\frac12}\sqrt\pi\,\Gamma(\tfrac12)\\&=\sqrt2\cdot\sqrt\pi\cdot\sqrt\pi=\sqrt2\,\pi\end{aligned}$$

예제 5-1(a)의 반사공식 결과와 같습니다. 두 공식이 겹치는 유일한 경우입니다($z+\tfrac12=1-z$ 이면 $z=\tfrac14$).

(b) $z=\tfrac13$ 이면 $z+\tfrac12=\tfrac56$, $2z=\tfrac23$ 입니다.

$$\Gamma(\tfrac13)\Gamma(\tfrac56)=2^{1/3}\sqrt\pi\,\Gamma(\tfrac23)$$

반사공식 $\Gamma(\tfrac13)\Gamma(\tfrac23)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi/3)}=\dfrac{2\pi}{\sqrt3}$ 에서 $\Gamma(\tfrac23)=\dfrac{2\pi}{\sqrt3\,\Gamma(\frac13)}$ 를 넣고 $\Gamma(\tfrac13)$ 으로 나눕니다.

$$\begin{aligned}\Gamma(\tfrac56)&=\frac{2^{1/3}\sqrt\pi}{\Gamma(\frac13)}\cdot\frac{2\pi}{\sqrt3\,\Gamma(\frac13)}\\&=\frac{2^{4/3}\,\pi^{3/2}}{\sqrt3\,\Gamma(\frac13)^2}\approx1.1288\end{aligned}$$

이처럼 분모가 3, 4, 6인 감마 값은 반사·배가공식과 점화식으로 $\Gamma(\tfrac13)$ 또는 $\Gamma(\tfrac14)$ 하나로 정리됩니다.

6. 스털링 근사

레시피
  1. $n!\approx\sqrt{2\pi n}\,\Big(\dfrac ne\Big)^n$. 상대오차는 대략 $\dfrac1{12n}$ 입니다. 비정수에도 $\Gamma(z+1)\approx\sqrt{2\pi z}\,(z/e)^z$ 로 씁니다.
  2. 로그 꼴: $\ln n!\approx n\ln n-n+\tfrac12\ln(2\pi n)$. $n$이 아주 클 때(통계역학의 $10^{23}$)는 마지막 항을 버려 $\ln n!\approx n\ln n-n$ 을 씁니다.
  3. 계승의 비는 각각 스털링으로 바꾼 뒤 근호 부분과 $(\cdot/e)^{(\cdot)}$ 부분을 따로 정리합니다.
왜 되나? (증명 스케치)

$n!=\Gamma(n+1)=\int_0^\infty e^{f(t)}dt$, $f(t)=n\ln t-t$ 로 씁니다. $f'(t)=\frac nt-1=0$ 에서 $t=n$ 이 꼭대기이고, $f''(n)=-\frac1n$ 입니다.

$n$이 크면 피적분함수가 $t=n$ 근처에 좁게 몰려 있으므로 거기서 2차까지만 전개합니다(라플라스 방법, Laplace's method).

$$f(t)\approx n\ln n-n-\frac{(t-n)^2}{2n}$$ $$\begin{aligned}n!&\approx e^{n\ln n-n}\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2/(2n)}du\\&=n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\end{aligned}$$

$u=t-n$ 이고, 가우스 적분 $\int e^{-u^2/(2n)}du=\sqrt{2\pi n}$ 을 썼습니다. 하한 $-n$ 을 $-\infty$ 로 바꾼 오차는 무시합니다. 다음 차수까지 챙기면 $1+\frac1{12n}$ 보정이 나옵니다(L30 점근 전개).

예제 6-1 (a) $10!$ 과 비교 (b) $\ln10!$ (c) $\dbinom{2n}{n}\approx\dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ 유도

(a) $10!=3\,628\,800$. 스털링: $\sqrt{20\pi}\,(10/e)^{10}\approx7.927\times453\,999\approx3\,598\,696$. 상대오차는 $\dfrac{3\,628\,800-3\,598\,696}{3\,628\,800}\approx0.83\%$ 이고, $\frac1{12\cdot10}=0.83\%$ 와 맞습니다. $n=10$인데도 1% 안쪽입니다.

(b) 참값 $\ln10!\approx15.104$. 거친 꼴 $10\ln10-10\approx13.026$ (14% 작음). $\tfrac12\ln(20\pi)\approx2.070$ 을 더하면 $15.096$ (0.06% 작음). 작은 $n$에서는 $\tfrac12\ln(2\pi n)$ 을 버리면 안 됩니다.

(c) 분자와 분모를 각각 바꿉니다.

$$\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\approx\frac{\sqrt{4\pi n}\,(2n/e)^{2n}}{\big[\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n\big]^2}$$

$(\cdot/e)$ 부분: $\dfrac{(2n/e)^{2n}}{(n/e)^{2n}}=2^{2n}=4^n$. 근호 부분: $\dfrac{\sqrt{4\pi n}}{2\pi n}=\dfrac{2\sqrt{\pi n}}{2\pi n}=\dfrac1{\sqrt{\pi n}}$. 따라서

$$\binom{2n}{n}\approx\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.$$

확인: $n=10$에서 참값 $184\,756$, 근사 $\approx187\,079$ (1.3% 큼).

7. 디감마·폴리감마 함수와 급수의 합

레시피 1 — 디감마 값과 적분
  1. 정의: $\psi(z)=\dfrac{d}{dz}\ln\Gamma(z)=\dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$. 디감마 함수(digamma function)라고 부릅니다.
  2. $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ 에 로그를 씌우고 미분하면 $\psi(z+1)=\psi(z)+\dfrac1z$.
  3. $\psi(1)=-\gamma$ 이므로 $\psi(n+1)=1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n-\gamma=H_n-\gamma$ ($H_n$: 조화수).
  4. 외워 둘 값: $\psi(\tfrac12)=-\gamma-2\ln2$. 반사공식에 로그를 씌우고 미분하면 $\psi(1-z)-\psi(z)=\pi\cot\pi z$.
  5. 쓰임새: 정의 적분을 $z$로 미분하면 $\Gamma'(z)=\int_0^\infty t^{z-1}\ln t\,e^{-t}dt$. 그리고 $\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi(z)$.
레시피 2 — 급수의 합 (폴리감마)
  1. 급수 꼴: $\psi(z)=-\gamma+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\Big(\frac1{n+1}-\frac1{n+z}\Big)$. 두 개를 빼면 $\gamma$와 $\frac1{n+1}$ 이 지워집니다. $$\begin{aligned}&\sum_{n=0}^\infty\Big(\frac1{n+a}-\frac1{n+b}\Big)\\&=\psi(b)-\psi(a)\end{aligned}$$
  2. 분모가 1차식 두 개의 곱이면 부분분수로 위 꼴을 만듭니다: $\dfrac1{(n+a)(n+b)}=\dfrac1{b-a}\Big(\dfrac1{n+a}-\dfrac1{n+b}\Big)$.
  3. 분모가 $(kn+c)$ 꼴이면 먼저 $k$를 묶어 $k\,(n+\frac ck)$ 로 만듭니다. 합은 $n=0$ 부터로 맞춥니다.
  4. 제곱이면 한 번 미분한 트리감마를 씁니다: $\psi'(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac1{(n+z)^2}$. 값: $\psi'(1)=\dfrac{\pi^2}6$, $\psi'(n+1)=\dfrac{\pi^2}6-\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$, $\psi'(\tfrac12)=\dfrac{\pi^2}{2}$.
  5. 답에 $\psi(\tfrac13)$ 처럼 남으면 점화식·반사공식으로 정리합니다. 쌍 $\psi(1-z)-\psi(z)$ 는 $\pi\cot\pi z$, 쌍 $\psi'(z)+\psi'(1-z)$ 는 $\dfrac{\pi^2}{\sin^2\pi z}$ 입니다.
왜 되나? (증명 스케치)

바이어슈트라스 곱(Weierstrass product)이라는 한 줄짜리 공식에서 시작합니다(유도는 생략).

$$\frac1{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\Big(1+\frac zn\Big)e^{-z/n}$$

로그를 씌우면 곱이 합이 되고, $z$로 미분하면 $\psi$가 나옵니다.

$$\begin{aligned}&-\ln\Gamma(z)=\ln z+\gamma z\\&\ +\sum_{n\ge1}\Big[\ln\Big(1+\frac zn\Big)-\frac zn\Big]\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\psi(z)=-\frac1z-\gamma\\&\ +\sum_{n\ge1}\Big[\frac1n-\frac1{n+z}\Big]\end{aligned}$$

$-\frac1z$ 를 합 안의 첫 항으로 넣고 짝을 하나씩 밀면 레시피 2의 급수 꼴입니다. $z=1$ 이면 합이 망원급수 $\sum(\frac1n-\frac1{n+1})=1$ 이라 $\psi(1)=-1-\gamma+1=-\gamma$.

한 번 더 미분하면 $\psi'(z)=\sum_{n\ge0}\frac1{(n+z)^2}$ 이고, $\psi'(1)=\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ (L13 유수로 급수 합). $\psi(1-z)-\psi(z)=\pi\cot\pi z$ 를 미분하면 $\psi'(z)+\psi'(1-z)=\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}$ 이고, $z=\tfrac12$ 를 넣으면 $\psi'(\tfrac12)=\frac{\pi^2}2$.

예제 7-1 (a) $\psi(4)$ (b) $\psi(\tfrac32)$ (c) $\displaystyle\int_0^\infty t^2\ln t\,e^{-t}dt$

(a) $\psi(4)=H_3-\gamma=1+\tfrac12+\tfrac13-\gamma=\tfrac{11}6-\gamma\approx1.2561$.

(b) 점화식을 $z=\tfrac12$에 씁니다: $\psi(\tfrac32)=\psi(\tfrac12)+\dfrac1{1/2}=2-\gamma-2\ln2\approx0.0365$.

(c) $t^{z-1}=t^2$ 이므로 $z=3$ 입니다.

$$\begin{aligned} &\int_0^\infty t^2\ln t\,e^{-t}dt\\ &=\Gamma'(3)=\Gamma(3)\,\psi(3)\\ &=2\Big(1+\frac12-\gamma\Big)\\ &=3-2\gamma\approx1.8456 \end{aligned}$$
예제 7-2 급수의 합: (a) $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$ (b) $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}$

(a) 2를 묶어 $(n+a)$ 꼴로 만듭니다: $(2n+1)(2n+2)=4\big(n+\tfrac12\big)(n+1)$. 부분분수의 앞 계수는 $\frac{1}{b-a}=\frac{1}{1-\frac12}=2$ 이므로 밖의 $\frac14$ 와 곱해 $\frac12$ 입니다.

$$\begin{aligned}&\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{4(n+\frac12)(n+1)}\\&=\frac12\sum_{n=0}^\infty\Big(\frac1{n+\frac12}-\frac1{n+1}\Big)\\&=\frac12\big[\psi(1)-\psi(\tfrac12)\big]\\&=\frac12\big[-\gamma+\gamma+2\ln2\big]\\&=\ln2\end{aligned}$$

검산: 부분분수로 바로 쓰면 $\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}$ 이므로 합은 $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln2$. 맞습니다.

(b) $(2n+1)^2=4(n+\tfrac12)^2$ 이므로

$$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}&=\frac14\,\psi'(\tfrac12)\\&=\frac14\cdot\frac{\pi^2}{2}=\frac{\pi^2}{8}\end{aligned}$$

검산: $\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ 에서 짝수 항 $\sum\frac1{(2n)^2}=\frac14\cdot\frac{\pi^2}6$ 을 빼면 홀수 항은 $\frac34\cdot\frac{\pi^2}6=\frac{\pi^2}8$. 같습니다.

8. 자주 하는 실수

9. 연습문제

종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy와 mpmath로 검산했습니다.

A. 감마 함수 값

A1. $\Gamma(6)$

답$120$ — $\Gamma(6)=5!$. $6!$이 아닙니다.

A2. $\Gamma(\tfrac92)$

답$\dfrac{105\sqrt\pi}{16}$ — $\tfrac72\cdot\tfrac52\cdot\tfrac32\cdot\tfrac12\sqrt\pi$. 공식으로는 $\frac{7!!}{2^4}\sqrt\pi$.

A3. $\Gamma(-\tfrac52)$

답$-\dfrac{8\sqrt\pi}{15}$ — $\Gamma(-\tfrac32)=\frac{4\sqrt\pi}3$ 을 $-\tfrac52$로 나눕니다.

A4. $\dfrac{\Gamma(\frac83)}{\Gamma(\frac23)}$

답$\dfrac{10}9$ — $\Gamma(\tfrac83)=\tfrac53\cdot\tfrac23\,\Gamma(\tfrac23)$.

A5. $\Gamma(\tfrac13)\Gamma(\tfrac23)$

답$\dfrac{2\pi}{\sqrt3}$ — 반사공식, $\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2$.

A6. $\Gamma(\tfrac12+x)\,\Gamma(\tfrac12-x)$ 를 삼각함수로

답$\dfrac{\pi}{\cos\pi x}$ — 반사공식에 $z=\tfrac12+x$: $\sin(\tfrac\pi2+\pi x)=\cos\pi x$.

A7. $\Gamma(z)$ 의 $z=-2$ 에서의 유수

답$\dfrac12$ — $\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+3)}{z(z+1)(z+2)}$ 에서 $(z+2)$를 떼고 $z=-2$: $\frac{1}{(-2)(-1)}$. 공식 $\frac{(-1)^n}{n!}$ 에 $n=2$.

B. 적분을 감마로

B1. $\displaystyle\int_0^\infty x^5e^{-2x}dx$

답$\dfrac{15}8$ — $n=5$, $p=1$, $a=2$: $2^{-6}\,\Gamma(6)=\frac{120}{64}$.

B2. $\displaystyle\int_0^\infty x^2e^{-2x^2}dx$

답$\dfrac{\sqrt{2\pi}}{16}$ — $\frac12\cdot2^{-3/2}\,\Gamma(\tfrac32)=\frac12\cdot\frac1{2\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt\pi}2=\frac{\sqrt\pi}{8\sqrt2}$.

B3. $\displaystyle\int_0^\infty e^{-\sqrt x}dx$

답$2$ — $n=0$, $p=\tfrac12$: $\frac1{1/2}\Gamma(2)=2$. (또는 $x=u^2$ 치환.)

B4. $\displaystyle\int_0^\infty xe^{-x^4}dx$

답$\dfrac{\sqrt\pi}4$ — $n=1$, $p=4$: $\frac14\Gamma(\tfrac12)$.

B5. $\displaystyle\int_0^1x^2\Big(\ln\frac1x\Big)^3dx$

답$\dfrac2{27}$ — 예제 3-2의 공식에 $m=2$, $n=3$: $\frac{3!}{3^4}=\frac6{81}$.

B6. 기체 분자의 속력 분포가 $f(v)\propto v^2e^{-v^2/(2\sigma^2)}$ ($v\ge0$)일 때 (a) $\langle v^2\rangle$ (b) $\langle v\rangle$

답(a) $3\sigma^2$ (b) $\sigma\sqrt{8/\pi}$ — $\langle v^k\rangle=\dfrac{\int v^{k+2}e^{-av^2}}{\int v^2e^{-av^2}}$, $a=\frac1{2\sigma^2}$. 공식으로 (a) $\frac{\Gamma(5/2)}{a\,\Gamma(3/2)}=\frac3{2a}$, (b) $\frac{\Gamma(2)}{\sqrt a\,\Gamma(3/2)}=\frac{2}{\sqrt{\pi a}}$.

C. 베타 함수

C1. $\displaystyle\int_0^1x^3(1-x)^4dx$

답$\dfrac1{280}$ — $B(4,5)=\frac{3!\,4!}{8!}=\frac{144}{40320}$.

C2. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4\theta\cos^2\theta\,d\theta$

답$\dfrac{\pi}{32}$ — $p=\tfrac52$, $q=\tfrac32$: $\frac12\cdot\frac{\Gamma(5/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(4)}=\frac12\cdot\frac{(3\sqrt\pi/4)(\sqrt\pi/2)}{6}$.

C3. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{\tan\theta}\,d\theta$

답$\dfrac{\pi}{\sqrt2}$ — $\sin^{1/2}\theta\cos^{-1/2}\theta$: $p=\tfrac34$, $q=\tfrac14$. $\frac12\Gamma(\tfrac34)\Gamma(\tfrac14)/\Gamma(1)=\frac12\sqrt2\pi$.

C4. $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sqrt x}{(1+x)^2}dx$

답$\dfrac\pi2$ — 무한 구간 꼴: $p=\tfrac32$, $p+q=2\Rightarrow q=\tfrac12$. $\frac{\Gamma(3/2)\Gamma(1/2)}{\Gamma(2)}=\frac{\sqrt\pi}2\sqrt\pi$.

C5. $\displaystyle\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^4}$

답$\dfrac{\pi}{2\sqrt2}$ — $t=x^4$: $\frac14\int_0^\infty\frac{t^{-3/4}}{1+t}dt=\frac14B(\tfrac14,\tfrac34)=\frac14\Gamma(\tfrac14)\Gamma(\tfrac34)=\frac{\sqrt2\pi}{4}$.

C6. $\displaystyle\int_0^2\frac{x^2}{\sqrt{2-x}}dx$

답$\dfrac{64\sqrt2}{15}$ — $x=2t$: $\frac{8}{\sqrt2}\int_0^1t^2(1-t)^{-1/2}dt=4\sqrt2\,B(3,\tfrac12)=4\sqrt2\cdot\frac{16}{15}$.

D. 배가공식

D1. $\dfrac{\Gamma(\frac16)\,\Gamma(\frac23)}{\Gamma(\frac13)}$

답$2^{2/3}\sqrt\pi$ — 배가공식 $z=\tfrac16$: $z+\tfrac12=\tfrac23$, $2z=\tfrac13$, $2^{1-1/3}=2^{2/3}$.

D2. 배가공식에 $z=n+\tfrac12$ 를 넣어 반정수 공식 $\Gamma(n+\tfrac12)=\dfrac{(2n)!}{4^n\,n!}\sqrt\pi$ 를 다시 유도하세요.

답$\Gamma(n+\tfrac12)\,\Gamma(n+1)=2^{1-(2n+1)}\sqrt\pi\,\Gamma(2n+1)=2^{-2n}\sqrt\pi\,(2n)!$ — 양변을 $\Gamma(n+1)=n!$ 로 나누면 됩니다. $2^{-2n}=\frac1{4^n}$.

E. 스털링, 디감마, $n$차원 구

E1. $\ln(100!)$ 을 (a) $n\ln n-n$ (b) $n\ln n-n+\tfrac12\ln(2\pi n)$ 로 어림하고 참값 $363.739$와 비교

답(a) $360.52$ (0.9% 작음) (b) $363.739$ (차이 약 $0.0008$) — $100\ln100\approx460.517$, $\tfrac12\ln(200\pi)\approx3.222$.

E2. $\dbinom{100}{50}$ 의 근삿값과 상대오차

답$\dfrac{4^{50}}{\sqrt{50\pi}}\approx1.011\times10^{29}$. 참값 $1.009\times10^{29}$, 0.25% 큼 — 오차는 대략 $\frac1{8n}$ 로 줄어듭니다.

E3. 동전 $N$개 중 앞면이 정확히 $N/2$개인 경우의 수 $W=\dfrac{N!}{[(N/2)!]^2}$ 에 대해, 거친 스털링 $\ln n!\approx n\ln n-n$ 으로 $\ln W$

답$\ln W\approx N\ln2$ — $N\ln N-N-2\big[\tfrac N2\ln\tfrac N2-\tfrac N2\big]=N\ln N-N\ln\tfrac N2$. 통계역학에서 엔트로피 $S=k\ln W\approx Nk\ln2$.

E4. $\psi(5)$

답$\dfrac{25}{12}-\gamma$ — $H_4=1+\frac12+\frac13+\frac14=\frac{25}{12}$.

E5. $\displaystyle\int_0^\infty t\ln t\,e^{-t}dt$

답$1-\gamma$ — $z=2$: $\Gamma'(2)=\Gamma(2)\psi(2)=1\cdot(1-\gamma)$.

E6. $n$차원 단위구의 부피는 $V_n=\dfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac n2+1)}$ 입니다. (a) $n=3$에서 $\frac43\pi$ 가 나오는지 확인 (b) $V_4$ (c) $V_5$

답(a) $\pi^{3/2}/\Gamma(\tfrac52)=\pi^{3/2}\cdot\frac{4}{3\sqrt\pi}=\frac43\pi$ (b) $\dfrac{\pi^2}2$ (c) $\dfrac{8\pi^2}{15}$ — (c)는 $\Gamma(\tfrac72)=\frac{15\sqrt\pi}8$. 공식의 출처: $\int e^{-r^2}d^nx=\pi^{n/2}$ 를 구면좌표로 쓰면 $S_{n-1}\cdot\frac12\Gamma(\frac n2)$ 이고, $V_n=S_{n-1}/n$.

F. 폴리감마와 급수의 합

F1. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+2)}$

답$\dfrac34$ — $n\to n+1$ 로 옮기면 $\sum_{n\ge0}\frac{1}{(n+1)(n+3)}=\frac12[\psi(3)-\psi(1)]=\frac12H_2=\frac12\cdot\frac32$.

F2. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(3n+1)(3n+2)}$

답$\dfrac{\pi}{3\sqrt3}$ — $\frac19\sum\frac{1}{(n+\frac13)(n+\frac23)}=\frac19\cdot3\,[\psi(\tfrac23)-\psi(\tfrac13)]=\frac13\pi\cot\frac\pi3=\frac13\cdot\frac{\pi}{\sqrt3}$.

F3. $\displaystyle\sum_{n=3}^\infty\frac{1}{n^2}$ 을 $\psi'$ 로 쓰고 값을 구하세요.

답$\psi'(3)=\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac54$ — $n=k+3$ 이면 $\sum_{k\ge0}\frac1{(k+3)^2}=\psi'(3)$. 전체 $\frac{\pi^2}6$ 에서 $1+\frac14$ 를 뺍니다.

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