L01 · 급수 계산

기하급수. $S_N=a+ar+\cdots+ar^{N-1}$에서 $rS_N$을 빼면 가운데가 모두 지워져 $S_N-rS_N=a-ar^N$, 즉 $S_N=\frac{a(1-r^N)}{1-r}$. $|r|<1$이면 $r^N\to0$이라 $\frac{a}{1-r}$입니다.

$x\frac{d}{dx}$ 요령. $\sum x^n=\frac1{1-x}$를 항별로 미분하면 $\sum nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2}$이고, $x$를 곱하면 $\sum nx^n$. 멱급수는 수렴반경 안에서 항별 미분해도 됩니다(6절).

비교판정. 양의 항 급수의 부분합은 계속 커지므로 "위로 유계이면 수렴"입니다. $0\le a_n\le b_n$이고 $\sum b_n$이 수렴하면 $\sum a_n$의 부분합도 그 값 아래에 갇힙니다. 극한비교($a_n/b_n\to C>0$)는 큰 $n$에서 $\frac C2b_n\le a_n\le2Cb_n$이 된다는 뜻이라 같은 결론입니다.

적분판정. $f$가 감소하면 폭 1짜리 직사각형으로 $\int_{n}^{n+1}f\le f(n)\le\int_{n-1}^{n}f$. 더하면 $\sum f(n)$과 $\int f$가 같이 유한하거나 같이 무한합니다. $\int_1^\infty x^{-p}dx$는 $p>1$일 때만 유한하므로 $p$급수 결과가 나옵니다.

둘 다 기하급수와 비교하는 것입니다. $\rho<1$이면 $\rho<r<1$인 $r$을 잡을 수 있고, 큰 $n$부터 $|a_{n+1}|\le r|a_n|$이라 $|a_{N+k}|\le|a_N|r^k$ — 수렴하는 기하급수로 눌립니다. $\rho>1$이면 항이 커지므로 0으로 가지 않아 발산합니다. 근판정도 $|a_n|^{1/n}\le r$, 즉 $|a_n|\le r^n$이라 같은 논리입니다.

$\rho=1$이 판정 불가인 이유: $\frac1n$(발산)과 $\frac1{n^2}$(수렴) 모두 비율이 1로 갑니다. 이 차이를 읽는 것이 아래 라베·가우스 판정입니다.

수렴 쪽. $K>0$이면 충분히 큰 $n$에서 $c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}\ge\frac K2$. 양변에 $a_{n+1}$을 곱하면

$n=N$부터 $M$까지 더하면 왼쪽은 망원급수라 $c_Na_N-c_{M+1}a_{M+1}\le c_Na_N$만 남습니다. 그래서 $\sum_{n=N+1}^{M+1}a_n\le\frac2Kc_Na_N$. 부분합이 위로 유계이고 항이 양수이므로 수렴합니다.

발산 쪽. $K<0$이면 큰 $n$에서 $c_na_n\le c_{n+1}a_{n+1}$, 즉 $c_na_n$이 줄지 않으므로 $c_na_n\ge C>0$. 따라서 $a_n\ge C/c_n$이고, $\sum1/c_n$이 발산하면 비교판정으로 $\sum a_n$도 발산합니다.

(엄밀하게는 극한이 없을 때의 처리 등이 필요하지만 생략합니다.)

직관. 비율판정은 $\frac1{n^p}$ 같은 거듭제곱 급수들을 전혀 구별하지 못합니다(어떤 $p$든 비율 → 1). 라베 판정은 바로 그 $p$를 읽어 냅니다. $a_n\approx\frac{C}{n^p}$이면

즉 $P=p$이고, $p$급수는 $p>1$일 때만 수렴하므로 "$P>1$ 수렴, $P<1$ 발산"입니다.

스케치. 쿠머 판정에 $c_n=n$을 넣으면 $K=\lim\big(n\frac{a_n}{a_{n+1}}-n-1\big)=P-1$. $P>1$이면 $K>0$이라 수렴. $P<1$이면 $K<0$이고 $\sum\frac1n$이 발산하므로 발산. $P=1$이면 $K=0$이라 판정 불가입니다.

$h\ne1$이면 $P=h$이므로 라베 판정 그대로입니다. $h=1$이면 쿠머 판정에 $c_n=n\ln n$을 넣습니다.

$\sum\frac1{n\ln n}$은 적분판정으로 발산하므로($\int\frac{dx}{x\ln x}=\ln\ln x$) 원래 급수도 발산합니다.

짝수 번째 부분합 $S_2,S_4,\dots$는 $(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots$처럼 양수 묶음을 더하니 증가하고, 홀수 번째 $S_1,S_3,\dots$는 $a_1-(a_2-a_3)-\cdots$라 감소합니다. 둘 사이의 간격은 $a_{n}\to0$이라 두 수열이 같은 값 $S$에서 만납니다. $S$는 늘 연속한 두 부분합 사이에 있으므로 $|S-S_N|\le|S_{N+1}-S_N|=a_{N+1}$.

재배열: 조건수렴이면 양수 항들의 합과 음수 항들의 합이 각각 무한대입니다. 그래서 양수를 원하는 만큼 먼저 쓰고 음수로 끌어내리는 식으로 아무 값에나 맞출 수 있습니다.

꼬리 끼우기는 2절의 적분판정 직사각형 그림을 $n=N+1$부터 적용한 것입니다.

가속: $\frac1{n^2}$은 꼬리가 $\approx\frac1N$로 느리게 줄지만, $\frac1{n^2}-\frac1{n(n+1)}=\frac1{n^2(n+1)}$은 $\frac1{n^3}$처럼 줄어 꼬리가 $\approx\frac1{2N^2}$입니다. 빼 준 급수의 합(여기선 1)을 알고 있으니 손해가 없습니다. $\alpha_2$는 $\frac1{n(n+1)(n+2)}=\frac12\Big(\frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)}\Big)$로 망원급수가 되어 $\frac12\cdot\frac12=\frac14$입니다.

$f(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots$라고 두고 $k$번 미분한 뒤 $x=a$를 넣으면, $(x-a)$가 남은 항은 모두 0이 되고 $k!\,c_k$만 남습니다. 그래서 $c_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$. 같은 함수의 멱급수 전개는 하나뿐이므로(계수가 이렇게 정해지므로) 어떤 방법으로 "조립"해도 정공법과 같은 답이 나옵니다. 조립이 정당한 이유가 이것입니다.

$f(\epsilon)=(1+\epsilon)^p$를 미분하면 $f'=p(1+\epsilon)^{p-1}$, $f''=p(p-1)(1+\epsilon)^{p-2}$, … 이므로 $f^{(k)}(0)=p(p-1)\cdots(p-k+1)$. 테일러 공식에 넣으면 이항계수 $\binom pk=\frac{p(p-1)\cdots(p-k+1)}{k!}$이 나옵니다. $p$가 자연수가 아니면 이 곱이 0이 되지 않아 급수가 끝나지 않고, 비율판정으로 $|\epsilon|<1$에서 수렴합니다.

$x$를 고정하고 $\sum|c_n||x-a|^n$에 비율판정을 쓰면 $\rho=|x-a|\lim\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\frac{|x-a|}{R}$. $\rho<1$, 즉 $|x-a|<R$이면 수렴입니다. 끝점에서는 $\rho=1$이라 판정 불가이므로 따로 봐야 합니다.

꼬리 $\big|\sum_{n>N}f_n(x)\big|\le\sum_{n>N}M_n$은 $x$와 상관없이 하나의 수로 작아집니다. 그래서 길이 $L$인 구간에서 꼬리를 적분해도 $L\sum_{n>N}M_n\to0$ — 적분과 무한합의 순서를 바꿔도 차이가 0으로 갑니다. 반례: $\sum x^n$은 $(-1,1)$ 전체에서는 이런 $M_n$이 없지만(끝 근처에서 항이 1에 가까움), $[-r,r]$ ($r<1$)에서는 $M_n=r^n$으로 균일수렴합니다.