G6 · 사슬과 고리 — 적분방정식·그린 함수 급수

예제 1-1 $K(x,t)=x+t$ ($0\le x,t\le1$)의 반복 핵 $K_2$

사슬 $K$–$K$에서 가운데 자리를 $s$라 하고 적분합니다.

$$\begin{aligned}K_2(x,t)&=\int_0^1(x+s)(s+t)\,ds\\&=\int_0^1\big(xt+xs+st+s^2\big)ds\\&=xt+\frac x2+\frac t2+\frac13.\end{aligned}$$

$K(x,t)^2=x^2+2xt+t^2$과 전혀 다릅니다. 확인: $x=t=0$이면 $K_2=\int_0^1s^2ds=\frac13$, 맞습니다. 이 핵은 L33 연습문제 B2의 핵입니다.

예제 2-1 L33 예제 4-2(b)와 연습문제 C2를 사슬로

(a) $y=1+\lambda\int_0^xy\,dt$ ($K=1$). 사슬 규칙에서 $a=b=0$으로 시작해 상자 하나를 이을 때마다 지수가 1씩 올라갑니다: $K_n=\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}$.

$$R=\sum_{n\ge0}\lambda^n\frac{(x-t)^n}{n!}=e^{\lambda(x-t)},\qquad y=1+\lambda\int_0^xe^{\lambda(x-t)}dt=e^{\lambda x}.$$

(b) $y=1+\int_0^x(x-t)\,y\,dt$ ($K=x-t=\frac{(x-t)^1}{1!}$, $\lambda=1$). 상자(지수 1)를 하나 이을 때마다 규칙의 "$+1$"까지 더해 지수가 2씩 올라갑니다.

$$\begin{aligned}K_2&=\frac{(x-t)^3}{3!},\quad K_3=\frac{(x-t)^5}{5!},\\ K_n&=\frac{(x-t)^{2n-1}}{(2n-1)!},\\ R&=\sum_{n\ge0}\frac{(x-t)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sinh(x-t).\end{aligned}$$

$y=1+\int_0^x\sinh(x-t)\,dt=1+(\cosh x-1)=\cosh x$. L33 C2의 답과 같습니다. $K_2=\int_t^x(x-s)(s-t)\,ds$를 직접 적분하지 않고 규칙 하나로 끝났습니다.

예제 3-1 L33 예제 3-2를 거품 행렬로: $y=x+\lambda\int_{-1}^1(x+t)\,y\,dt$

① $K=x\cdot1+1\cdot t$: 켓 $a_1=x$, $a_2=1$, 브라 $b_1=1$, $b_2=t$.

② 거품(브라를 왼쪽, 켓을 오른쪽에):

$$\begin{aligned}A_{11}&=\langle1|x\rangle=\int_{-1}^1x\,dx=0,\quad A_{12}=\langle1|1\rangle=2,\\ A_{21}&=\langle t|x\rangle=\int_{-1}^1t^2dt=\tfrac23,\quad A_{22}=\langle t|1\rangle=0.\end{aligned}$$

③ $f_1=\langle1|x\rangle=0$, $f_2=\langle t|x\rangle=\frac23$. $\det(I-\lambda A)=1-\frac43\lambda^2$이고

$$\mathbf c=\frac{1}{1-\frac43\lambda^2}\begin{pmatrix}1&2\lambda\\\frac23\lambda&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\\frac23\end{pmatrix}=\frac{1}{3-4\lambda^2}\begin{pmatrix}4\lambda\\2\end{pmatrix}.$$

④ $y=x+\lambda(c_1x+c_2)=\dfrac{3x+2\lambda}{3-4\lambda^2}$. L33의 답과 같습니다.

⑤ 첨자를 뒤집어 $A^T$를 쓰면 $\det$는 같지만 $\lambda=1$에서 $y=-\frac x3-2$가 나옵니다. 맞는 답은 $-3x-2$입니다. 대입하면 $\int_{-1}^1(x+t)(-\frac t3-2)dt=-4x-\frac29\ne-\frac43x-2$라서 틀린 것이 드러납니다.

예제 3-2 L33 연습문제 B2: $K=x+t$, 구간 $[0,1]$의 고유값과 고유함수

같은 켓·브라에 구간만 $[0,1]$입니다.

$$A=\begin{pmatrix}\langle1|x\rangle&\langle1|1\rangle\\\langle t|x\rangle&\langle t|1\rangle\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac12&1\\\frac13&\frac12\end{pmatrix}$$ $$\det(I-\lambda A)=\Big(1-\frac\lambda2\Big)^2-\frac{\lambda^2}3=1-\lambda-\frac{\lambda^2}{12}=0$$

$\lambda^2+12\lambda-12=0$이므로 $\lambda=-6\pm4\sqrt3$. 고유함수는 $(I-\lambda A)\mathbf c=0$의 첫 줄 $c_2=\frac{1-\lambda/2}{\lambda}c_1$에서 $y\propto x+\frac{1-\lambda/2}{\lambda}$. $\lambda=4\sqrt3-6$이면 $\frac{1-\lambda/2}{\lambda}=\frac{4-2\sqrt3}{4\sqrt3-6}=\frac1{\sqrt3}$이라 $y\propto\sqrt3x+1$. L33의 답과 같습니다.

예제 4-1 L33 연습문제 E2를 고리로: $\zeta(2)$, $\zeta(4)$

$K=x_<(1-x_>)$ (L27 예제 1-1의 그린 함수, $\lambda_n=n^2\pi^2$).

고리 하나: $K(x,x)=x(1-x)$이므로

$$\int_0^1x(1-x)\,dx=\frac16=\sum_n\frac1{n^2\pi^2}\ \Rightarrow\ \zeta(2)=\frac{\pi^2}6.$$

고리 둘: 대칭이라 $\iint K^2$. $t<x$인 반쪽의 2배로 계산합니다.

$$\begin{aligned}\iint K^2&=2\int_0^1(1-x)^2\int_0^xt^2\,dt\,dx\\&=\frac23\int_0^1x^3(1-x)^2dx=\frac23\cdot\frac{3!\,2!}{6!}=\frac1{90}\end{aligned}$$

$\sum\frac1{n^4\pi^4}=\frac1{90}$이므로 $\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$. 고리 셋은 $\frac1{945}$이 되어 $\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}$입니다(격자로 수치 확인).

예제 4-2 L33 연습문제 C3을 고리로: 노이만 급수의 수렴 반경

고리에 상자를 많이 넣을수록 가장 작은 고유값 하나가 지배하므로 빠르게 다가갑니다. $\operatorname{tr}K^4$는 고유값을 알면 $\frac{\zeta(8)}{\pi^8}$이고, 모르면 격자 행렬의 대각합으로 구합니다(격자 $N=400$에서 같은 값을 확인).

예제 4-3 프레드홀름 행렬식 맛보기

(a) L33 예제 3-2의 핵 $x+t$ ($[-1,1]$). 고리 하나 $\int_{-1}^12x\,dx=0$, 고리 둘 $\iint(x+t)^2=\frac83$.

$$D(\lambda)=1-\lambda\cdot0+\frac{\lambda^2}{2}\Big(0-\frac83\Big)=1-\frac43\lambda^2.$$

항이 둘인 핵이라 $\lambda^3$ 이상은 0입니다. 예제 3-1의 $\det(I-\lambda A)$와 같습니다.

(b) $K=x_<(1-x_>)$. 고리들로 $\ln D=-\frac\lambda6-\frac{\lambda^2}{2\cdot90}-\frac{\lambda^3}{3\cdot945}-\cdots=-\frac\lambda6-\frac{\lambda^2}{180}-\frac{\lambda^3}{2835}-\cdots$. 이것은 $\ln\frac{\sin\sqrt\lambda}{\sqrt\lambda}$의 전개와 같습니다.

$$D(\lambda)=\prod_{n\ge1}\Big(1-\frac{\lambda}{n^2\pi^2}\Big)=\frac{\sin\sqrt\lambda}{\sqrt\lambda}.$$

영점 $\sqrt\lambda=n\pi$가 고유값 $n^2\pi^2$입니다. 실제로 L33 연습문제 E4의 해 $\frac{\sin\sqrt\lambda\,x}{\sin\sqrt\lambda}$의 분모가 $\sin\sqrt\lambda=\sqrt\lambda\,D(\lambda)$입니다.

예제 5-1 1차원 델타 퍼텐셜: $\psi''+k^2\psi=g\,\delta(x)\,\psi$ — 본 급수를 끝까지 더하기

① $\mathcal L_0=\frac{d^2}{dx^2}+k^2$, $U=g\delta(x)$. 나가는 파 그린 함수(관례 A):

$$G_0(x,x')=\frac{e^{ik|x-x'|}}{2ik}.$$

확인: $\partial_xG_0$는 $x=x'$에서 $-\frac12$에서 $+\frac12$로 1만큼 뜁니다($p=1$).

② $\psi=e^{ikx}+\int G_0(x,s)\,g\delta(s)\,\psi(s)\,ds=e^{ikx}+g\,G_0(x,0)\,\psi(0)$.

③ 사슬의 점은 모두 $x=0$ 하나입니다. 점과 점 사이 상자는 $G_0(0,0)=\frac1{2ik}$이라 사슬이 하나 길어질 때마다 $z=\frac{g}{2ik}$가 곱해집니다.

$$\psi(0)=1+z+z^2+\cdots=\frac1{1-z}.$$

④ $x>0$: $\psi=e^{ikx}\big(1+z\psi(0)\big)=\frac{e^{ikx}}{1-z}$. $x<0$: $\psi=e^{ikx}+z\psi(0)e^{-ikx}$.

$$t=\frac1{1-z}=\frac{2ik}{2ik-g},\qquad r=\frac{z}{1-z}=\frac{g}{2ik-g}.$$

⑤ $|t|^2+|r|^2=\frac{4k^2+g^2}{4k^2+g^2}=1$. 경계 맞추기($\psi$ 연속, $\psi'$가 $g\psi(0)$만큼 뜀)로 풀어도 같은 답입니다(검산).

예제 5-2 $g=k$일 때 본 급수의 부분합과 1차 본 근사의 함정

$z=\frac{k}{2ik}=-\frac i2$, $|z|=\frac12<1$이라 수렴합니다. 참값 $t=\frac1{1+i/2}=0.8-0.4i$, $|t|^2=0.8$, $|r|^2=0.2$.

1차 본 근사는 $|t|^2=1.25>1$로 확률 보존을 깹니다. 반사가 없어도 투과 확률이 1을 넘을 수 없으므로 명백히 틀립니다. 부분합은 진동하며 수렴합니다. 수렴 조건은 $|z|<1$, 곧 $|g|<2k$입니다.

예제 5-3 극 = 속박 상태, "고리 하나 = 1" (L27 예제 1-4와 연결)

$t=\frac1{1-z}$의 극은 $z=1$, 곧 $2ik=g$. $k=i\kappa$ ($\kappa>0$)로 놓으면 $-2\kappa=g$, $\kappa=-\frac g2$. 따라서 $g<0$(끌어당기는 퍼텐셜)일 때 속박 상태 $\psi\propto e^{-\kappa|x|}$ 하나가 있습니다.

같은 것을 L27 예제 1-4의 그린 함수로: $(\frac{d^2}{dx^2}-\kappa^2)G=\delta$의 $G=-\frac{e^{-\kappa|x-x'|}}{2\kappa}$. 들어오는 파 없이 $\psi=GU\psi$이므로 $\psi(0)=g\,G(0,0)\,\psi(0)$. 점 하나와 상자 하나로 된 고리가 1이어야 합니다.

$$g\,G(0,0)=g\cdot\Big(-\frac1{2\kappa}\Big)=1\ \Rightarrow\ \kappa=-\frac g2.$$

예: $g=-2$이면 $\kappa=1$, $\psi=e^{-|x|}$. 확인: $\psi'$는 $0$에서 $+1$에서 $-1$로 $-2=g\psi(0)$만큼 뜁니다. 에너지는 $E=-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}$.