L13 · 유수로 무한급수 합 구하기

예제 1-1 $\pi\cot\pi z$와 $\pi\csc\pi z$의 정수에서의 유수

방법 1 ($p/q'$ 공식, L11). $\pi\cot\pi z=\dfrac{\pi\cos\pi z}{\sin\pi z}$. 분모 $q=\sin\pi z$는 $z=n$에서 0이고 $q'=\pi\cos\pi z$는 0이 아닙니다.

$$\mathrm{Res}(\pi\cot\pi z,n)=\frac{\pi\cos\pi n}{\pi\cos\pi n}=1.$$

같은 방법으로 $\mathrm{Res}(\pi\csc\pi z,n)=\dfrac{\pi}{\pi\cos\pi n}=\dfrac1{(-1)^n}=(-1)^n$입니다.

방법 2 (로랑 전개). $z=n+t$로 둡니다. $\cot$는 주기가 $\pi$이므로 $\cot(\pi n+\pi t)=\cot\pi t$이고, 0절의 전개에서

$$\pi\cot\pi z=\pi\cot\pi t=\frac1t-\frac{\pi^2}{3}t-\cdots$$

$\frac1t$의 계수가 1이므로 유수는 1입니다. 결론: $f$가 정수 $n$에서 해석적이면 $\mathrm{Res}\big(\pi\cot(\pi z)f(z),n\big)=f(n)$입니다.

예제 2-1 $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{n^2+a^2}$ ($a>0$)

조건: $f=\frac{1}{z^2+a^2}\sim\frac1{z^2}$이고, 극 $\pm ia$는 정수가 아닙니다.

유수: $\mathrm{Res}(f,ia)=\dfrac{1}{2ia}$, $\ \mathrm{Res}(f,-ia)=\dfrac{1}{-2ia}$.

$\cot(iy)=\dfrac{\cos iy}{\sin iy}=\dfrac{\cosh y}{i\sinh y}=-i\coth y$를 씁니다. $\cot$는 기함수이므로 $\cot(-iy)=i\coth y$입니다.

$$\begin{aligned}z=ia:&\ \ \pi(-i\coth\pi a)\cdot\frac{1}{2ia}\\ &=-\frac{\pi\coth\pi a}{2a},\\ z=-ia:&\ \ \pi(i\coth\pi a)\cdot\frac{1}{-2ia}\\ &=-\frac{\pi\coth\pi a}{2a}.\end{aligned}$$

합은 $-\dfrac{\pi\coth\pi a}{a}$이고, 마이너스를 붙입니다.

$$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{\pi}{a}\coth\pi a.$$

수치 확인($a=1$): $\pi\coth\pi\approx3.153348$. 직접 더하면 $1+2\big(\frac12+\frac15+\frac1{10}+\cdots\big)$이고 같은 값으로 갑니다.

예제 2-2 반쪽 합 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+a^2}$과 $a\to0$ 극한

$f$는 짝함수이고 $f(0)=\frac1{a^2}$입니다.

$$\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+a^2}&=\frac12\Big(\frac{\pi}{a}\coth\pi a-\frac1{a^2}\Big)\\&=\frac{\pi\coth\pi a}{2a}-\frac{1}{2a^2}.\end{aligned}$$

$a\to0$이면 두 항이 각각 발산하므로 $\coth u=\frac1u+\frac u3-\frac{u^3}{45}+\cdots$ ($u=\pi a$)로 전개합니다.

$$\begin{aligned}\frac{\pi\coth\pi a}{2a}&=\frac{\pi}{2a}\cdot\frac{1}{\pi a}+\frac{\pi}{2a}\cdot\frac{\pi a}{3}\\&\quad-\frac{\pi}{2a}\cdot\frac{\pi^3a^3}{45}+\cdots\\&=\frac{1}{2a^2}+\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^4a^2}{90}+\cdots\end{aligned}$$

$\frac1{2a^2}$이 지워집니다.

$$\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2+a^2}&=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^4}{90}a^2+\cdots\\ &\xrightarrow{a\to0}\ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}.\end{aligned}$$

$a^2$의 계수에서 $\zeta(4)$도 나옵니다(연습문제 D5).

예제 3-1 $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+a^2}$

극과 $f$의 유수는 예제 2-1과 같습니다. $\csc$ 값만 바꿉니다.

$$\begin{aligned}z=ia:&\ \ \pi\cdot\frac{-i}{\sinh\pi a}\cdot\frac{1}{2ia}\\ &=-\frac{\pi}{2a\sinh\pi a},\\ z=-ia:&\ \ \pi\cdot\frac{i}{\sinh\pi a}\cdot\frac{1}{-2ia}\\ &=-\frac{\pi}{2a\sinh\pi a}.\end{aligned}$$

마이너스를 붙입니다.

$$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+a^2}=\frac{\pi}{a\sinh\pi a}.$$

반쪽 합과 $a\to0$: $\frac{\pi a}{\sinh\pi a}=1-\frac{(\pi a)^2}{6}+\cdots$이므로

$$\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+a^2}&=\frac12\Big(\frac{\pi}{a\sinh\pi a}-\frac1{a^2}\Big)\\&=\frac{1}{2a^2}\Big(\frac{\pi a}{\sinh\pi a}-1\Big)\\&\xrightarrow{a\to0}\ -\frac{\pi^2}{12}.\end{aligned}$$

곧 $1-\frac14+\frac19-\cdots=\frac{\pi^2}{12}$입니다. 수치($a=1$): $\frac{\pi}{\sinh\pi}\approx0.272029$.

예제 3-2 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}$

1단계: 전체 합으로 바꾸기. $n=-1-m$ ($m\ge0$)으로 두면 $2n+1=-(2m+1)$, $(-1)^n=-(-1)^m$입니다.

$$\begin{aligned}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}&=\frac{-(-1)^m}{-(2m+1)^3}\\&=\frac{(-1)^m}{(2m+1)^3}.\end{aligned}$$

음수 쪽 합이 양수 쪽 합과 같으므로, 구하려는 합을 $S$라 하면 $\sum_{n=-\infty}^\infty=2S$입니다.

2단계: 유수. $f=\frac{1}{(2z+1)^3}=\frac{1}{8(z+\frac12)^3}$은 $z=-\frac12$에서 3차극입니다. $z=-\frac12+t$로 두면

$$\begin{aligned}\sin\pi z&=\sin\Big(\pi t-\frac\pi2\Big)=-\cos\pi t,\\ \pi\csc\pi z&=-\frac{\pi}{\cos\pi t}\\&=-\pi\Big(1+\frac{\pi^2t^2}{2}+\cdots\Big).\end{aligned}$$

$\frac{1}{8t^3}$을 곱해서 $\frac1t$의 계수를 읽습니다.

$$\mathrm{Res}=\frac18\cdot\Big(-\pi\cdot\frac{\pi^2}{2}\Big)=-\frac{\pi^3}{16}.$$

3단계. $2S=-\Big(-\dfrac{\pi^3}{16}\Big)=\dfrac{\pi^3}{16}$이므로 $S=\dfrac{\pi^3}{32}\approx0.968946$.

예제 4-1 $\pi\cot\pi z$의 로랑 전개를 $z^3$까지 (L01의 나눗셈)

$u=\pi z$로 두고 $u\cot u=\dfrac{\cos u}{(\sin u)/u}$를 구합니다. $u\cot u$는 짝함수이므로 $1+b_2u^2+b_4u^4$로 둡니다.

$$\begin{aligned}&\Big(1-\frac{u^2}{6}+\frac{u^4}{120}\Big)\big(1+b_2u^2+b_4u^4\big)\\&\qquad=1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{24}\end{aligned}$$

• $u^2$: $b_2-\frac16=-\frac12\Rightarrow b_2=-\frac13$
• $u^4$: $b_4-\frac{b_2}{6}+\frac1{120}=\frac1{24}\Rightarrow b_4=\frac1{24}-\frac1{120}-\frac1{18}=-\frac1{45}$

$u\cot u=1-\frac{u^2}{3}-\frac{u^4}{45}$이고, $\pi\cot\pi z=\frac{u\cot u}{z}$이므로

$$\pi\cot\pi z=\frac1z-\frac{\pi^2}{3}z-\frac{\pi^4}{45}z^3-\cdots$$

예제 4-2 $\zeta(2)$와 $\zeta(4)$

$\zeta(2)$. $f=\frac1{z^2}$이고 다른 극은 없습니다. $\mathrm{Res}\big(\frac{\pi\cot\pi z}{z^2},0\big)$는 $\pi\cot\pi z$의 $z^1$ 계수 $-\frac{\pi^2}{3}$입니다.

$$\begin{aligned}\sum_{n\ne0}\frac1{n^2}&=\frac{\pi^2}{3}\\ \Rightarrow\ \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}&=\frac{\pi^2}{6}.\end{aligned}$$

$\zeta(4)$. $f=\frac1{z^4}$이고 유수는 $z^3$ 계수 $-\frac{\pi^4}{45}$입니다.

$$\begin{aligned}\sum_{n\ne0}\frac1{n^4}&=\frac{\pi^4}{45}\\ \Rightarrow\ \zeta(4)&=\frac{\pi^4}{90}\approx1.082323.\end{aligned}$$

같은 방법으로 $z^5$ 계수 $-\frac{2\pi^6}{945}$에서 $\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}$이 나옵니다(연습문제 D1). 홀수인 $\zeta(3)$은 이 방법으로 안 됩니다. $\frac{\pi\cot\pi z}{z^3}$은 짝함수라 $z=0$의 유수가 0이고, $\sum_{n\ne0}\frac{1}{n^3}=0$이라는 당연한 식만 나옵니다.

예제 5-1 $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(n+a)^2}$ ($a$는 정수 아님)

$f=\frac1{(z+a)^2}$은 $z=-a$에서 이중극이고 $f\sim\frac1{z^2}$입니다.

$$\begin{aligned}&\mathrm{Res}\Big(\frac{\pi\cot\pi z}{(z+a)^2},-a\Big)\\&\quad=\frac{d}{dz}\big[\pi\cot\pi z\big]_{z=-a}\\&\quad=-\frac{\pi^2}{\sin^2(-\pi a)}=-\frac{\pi^2}{\sin^2\pi a}.\end{aligned}$$

마이너스를 붙입니다.

$$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(n+a)^2}=\frac{\pi^2}{\sin^2\pi a}.$$

검산($a=\frac12$): 좌변은 $\sum\frac{4}{(2n+1)^2}$이고, 모든 양의 홀수가 두 번씩($n\ge0$ 쪽과 $n<0$ 쪽) 나옵니다. 따라서 $8\sum_{n\ge0}\frac{1}{(2n+1)^2}=8\cdot\frac{\pi^2}{8}=\pi^2$이고, 우변도 $\frac{\pi^2}{1}=\pi^2$입니다($\frac{\pi^2}8$은 연습문제 C4).

예제 5-2 $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{n^4+a^4}$ ($a>0$)

극. $z^4=-a^4$의 근 $z_k=ae^{i\pi(2k+1)/4}$ ($k=0,1,2,3$). 넷 다 정수가 아닙니다.

$$\mathrm{Res}(f,z_k)=\frac{1}{4z_k^3}=\frac{z_k}{4z_k^4}=-\frac{z_k}{4a^4}.$$

공식에 넣습니다.

$$\begin{aligned}&\sum_{n}\frac{1}{n^4+a^4}\\&\quad=-\sum_k\pi\cot(\pi z_k)\Big(-\frac{z_k}{4a^4}\Big)\\&\quad=\frac{\pi}{4a^4}\sum_kz_k\cot\pi z_k.\end{aligned}$$

대칭으로 모으기. $g(z)=z\cot\pi z$는 짝함수이므로 $g(z_2)=g(-z_0)=g(z_0)$, $g(z_3)=g(-z_1)=g(z_1)$입니다. 또 $z_1=-\overline{z_0}$이므로 $g(z_1)=g(\overline{z_0})=\overline{g(z_0)}$입니다. 따라서 $\sum_kg(z_k)=4\,\mathrm{Re}\,g(z_0)$이고

$$\begin{aligned}\sum_n\frac1{n^4+a^4}&=\frac{\pi}{a^4}\,\mathrm{Re}\big[z_0\cot\pi z_0\big],\\ z_0&=\frac{a(1+i)}{\sqrt2}.\end{aligned}$$

한 점 계산. $b=\frac{\pi a}{\sqrt2}$로 두면 $\pi z_0=b+ib$이고 $z_0=\frac b\pi(1+i)$입니다. $\cot(x+iy)$ 공식에서

$$\begin{aligned}\cot(b+ib)&=\frac{\sin2b-i\sinh2b}{\cosh2b-\cos2b},\\ z_0\cot\pi z_0&=\frac{b}{\pi}(1+i)\cot(b+ib).\end{aligned}$$

분자에 $(1+i)$를 곱하면 $(1+i)(\sin2b-i\sinh2b)=(\sin2b+\sinh2b)+i(\sin2b-\sinh2b)$이고, 분모는 실수입니다. 따라서

$$\begin{aligned}&\mathrm{Re}\big[z_0\cot\pi z_0\big]\\&\quad=\frac b\pi\cdot\frac{\sin2b+\sinh2b}{\cosh2b-\cos2b}.\end{aligned}$$

$\frac{\pi}{a^4}\cdot\frac b\pi=\frac{\pi}{\sqrt2\,a^3}$이고 $2b=\sqrt2\pi a$입니다. $c=\sqrt2\pi a$로 쓰면

$$\begin{aligned}&\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{n^4+a^4}\\&\quad=\frac{\pi}{\sqrt2\,a^3}\cdot\frac{\sinh c+\sin c}{\cosh c-\cos c}.\end{aligned}$$

검산: $a\to0$이면 분자 $\approx2\sqrt2\pi a$, 분모 $\approx2\pi^2a^2$이라 전체가 $\approx\frac{1}{a^4}$, 곧 $n=0$ 항과 맞습니다. $a=1$이면 $\approx2.156955$로, 직접 더한 값과 같습니다.

$\cot(x+iy)$ 공식의 유도: 분자·분모에 $\sin(x-iy)$를 곱하고 곱을 합으로 바꿉니다. $\cos(x+iy)\sin(x-iy)=\frac12(\sin2x-i\sinh2y)$, $\sin(x+iy)\sin(x-iy)=\frac12(\cosh2y-\cos2x)$.

예제 6-1 부분분수 전개를 유도하고 쓰기

유도. $z$를 정수가 아닌 상수로 고정하고, 변수 $w$의 함수 $f(w)=\frac{1}{w^2-z^2}$에 2절 공식을 씁니다. 극은 $w=\pm z$입니다.

$$\begin{aligned}&\sum_n\frac{1}{n^2-z^2}\\&\quad=-\Big[\frac{\pi\cot\pi z}{2z}+\frac{\pi\cot(-\pi z)}{-2z}\Big]\\&\quad=-\frac{\pi\cot\pi z}{z}.\end{aligned}$$

왼쪽에서 $n=0$ 항 $-\frac1{z^2}$을 떼고 $\pm n$을 묶으면 $-\frac1{z^2}+2\sum_{n\ge1}\frac1{n^2-z^2}$입니다. 양변에 $-z$를 곱합니다.

$$\pi\cot\pi z=\frac1z+\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-n^2}.$$

대입 $z=\frac14$. $\pi\cot\frac\pi4=\pi$이고 $\frac{2z}{z^2-n^2}=\frac{1/2}{\frac1{16}-n^2}=\frac{8}{1-16n^2}$입니다.

$$\pi=4-8S,\qquad S=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{16n^2-1}$$ $$\Rightarrow\ S=\frac{4-\pi}{8}\approx0.107301.$$

$z$에 대한 전개. 각 항을 기하급수로 풀면

$$\begin{aligned}\pi\cot\pi z&=\frac1z-2z\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}\\&\quad-2z^3\sum_{n\ge1}\frac1{n^4}-\cdots\end{aligned}$$

0절의 전개와 비교하면 $2\zeta(2)=\frac{\pi^2}{3}$, $2\zeta(4)=\frac{\pi^4}{45}$입니다. 예제 4-2와 같은 결과입니다.

예제 6-2 무한곱 $\sin\pi z=\pi z\prod_{n\ge1}\big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)$ 맛보기

로그 미분. $\ln\sin\pi z=\ln\pi z+\sum_n\ln\big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)$를 미분합니다.

$$\begin{aligned}\pi\cot\pi z&=\frac1z+\sum_{n\ge1}\frac{-2z/n^2}{1-z^2/n^2}\\&=\frac1z+\sum_{n\ge1}\frac{2z}{z^2-n^2}.\end{aligned}$$

예제 6-1의 전개와 같습니다. 곱 앞의 상수 $\pi$는 $z\to0$에서 $\frac{\sin\pi z}{z}\to\pi$로 정해집니다.

$z=\frac12$ 대입 (월리스 곱, Wallis product).

$$\begin{aligned}1&=\frac\pi2\prod_{n\ge1}\Big(1-\frac1{4n^2}\Big)\\&=\frac\pi2\prod_{n\ge1}\frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}\\ \Rightarrow\ \frac\pi2&=\frac{2\cdot2}{1\cdot3}\cdot\frac{4\cdot4}{3\cdot5}\cdot\frac{6\cdot6}{5\cdot7}\cdots\end{aligned}$$

$z^3$ 계수 비교 (오일러의 방법). 곱을 전개하면 $\pi z\big(1-z^2\sum\frac1{n^2}+\cdots\big)$이고, $\sin\pi z=\pi z-\frac{\pi^3z^3}{6}+\cdots$입니다. $z^3$ 계수를 맞추면 $\pi\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^3}{6}$, 곧 $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$입니다.