Arfken 7판 11.5–11.7절 (로랑 전개, 특이점, 유수 계산과 유수정리)
로랑 전개(Laurent expansion): $a$ 둘레의 고리 영역(annulus) $r_1<|z-a|<r_2$에서
$$\begin{aligned}f(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n\\&=\underbrace{\cdots+\frac{c_{-2}}{(z-a)^2}+\frac{c_{-1}}{z-a}}_{\text{주부}}\\&\quad+c_0+c_1(z-a)+\cdots\end{aligned}$$음의 거듭제곱 부분을 주부(principal part)라 합니다. $a$를 뺀 원판 $0<|z-a|<r$에서 전개했을 때의 $c_{-1}$이 $a$에서의 유수(residue) $\mathrm{Res}(f,a)$입니다.
계수 공식: 고리 안의 원 $|z-a|=\rho$에서 $c_n=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\oint\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz$. 특히 $c_{-1}=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\oint f\,dz$입니다. 실제 계산에서는 이 적분 대신 아래 기하급수를 조립합니다.
테일러 전개(Taylor expansion): $f$가 $a$에서 해석적이면 음의 거듭제곱이 없고 $c_n=\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$입니다. 수렴 반지름은 $a$에서 가장 가까운 특이점까지의 거리입니다.
| 재료 | 전개 | 쓰는 곳 |
|---|---|---|
| $\dfrac{1}{z-b}$ | $-\dfrac1b\cdot\dfrac{1}{1-z/b}=-\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{b^{n+1}}$ | $|z|<|b|$ |
| $\dfrac{1}{z-b}$ | $\dfrac1z\cdot\dfrac{1}{1-b/z}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{b^n}{z^{n+1}}$ | $|z|>|b|$ |
| $e^{w},\ \sin w,\ \cos w$ | L01의 급수표에 $w=\frac1z$ 등을 대입 | $w$의 범위 전체 |
| 상황 | 유수 공식 |
|---|---|
| ① 단순극 | $\mathrm{Res}(f,a)=\displaystyle\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$ |
| ② $f=\dfrac{p}{q}$, $p(a)\ne0$, $q$가 $a$에서 단순 영점 | $\mathrm{Res}(f,a)=\dfrac{p(a)}{q'(a)}$ |
| ③ $m$차 극 | $\mathrm{Res}(f,a)=\dfrac{1}{(m-1)!}\displaystyle\lim_{z\to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\Big[(z-a)^mf(z)\Big]$ |
| ④ 아무 경우나 | $0<|z-a|<r$에서의 로랑 전개의 $c_{-1}$ |
| 무한대 | $\mathrm{Res}(f,\infty)=-\big(\text{큰 }|z|\text{에서의 전개의 }c_{-1}\big)$ |
유수정리(residue theorem): $\displaystyle\oint_Cf(z)\,dz=2\pi i\sum_{C\text{ 안의 }a}\mathrm{Res}(f,a)$. 모든 유수의 합(무한대 포함)은 0입니다.
테일러. L10의 코시 적분공식 $f(z)=\dfrac1{2\pi i}\displaystyle\oint\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$를 씁니다. 경로는 원 $|\zeta-a|=\rho$이고 $z$는 그 안에 있으므로 $\big|\frac{z-a}{\zeta-a}\big|<1$, 기하급수로 풉니다.
$$\begin{aligned}\frac1{\zeta-z}&=\frac{1}{(\zeta-a)\Big(1-\frac{z-a}{\zeta-a}\Big)}\\&=\sum_{n\ge0}\frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}}\end{aligned}$$항별로 적분하면 $f=\sum c_n(z-a)^n$이고 $c_n=\dfrac1{2\pi i}\displaystyle\oint\dfrac{f(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta-a)^{n+1}}=\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$입니다(L10 도함수 공식). 원은 특이점에 닿기 직전까지 키울 수 있으므로 수렴 반지름이 "가장 가까운 특이점까지의 거리"가 됩니다.
로랑. 고리에서는 바깥 원과 안쪽 원 두 개로 코시 공식을 씁니다. 바깥 원에서는 위와 같은 전개로 양의 거듭제곱이 나옵니다. 안쪽 원에서는 $|\zeta-a|<|z-a|$라서 반대로 $(z-a)$를 묶어 내므로 음의 거듭제곱이 나옵니다. 0절 표의 두 줄이 바로 이 두 경우입니다.
기하급수로 조립해도 되는 이유. 로랑 전개는 유일합니다. 고리에서 수렴하는 $\sum c_n(z-a)^n$이 하나 있으면, 양변을 $(z-a)^{k+1}$로 나눠 원 위에서 적분할 때 $n=k$인 항만 남아 계수 공식이 나오기 때문입니다. 그래서 어떤 방법으로 구해도 계수는 같습니다.
덤: $\sum z^n$은 $|z|<1$에서만 수렴하지만 그 합 $\frac{1}{1-z}$은 $z=1$만 빼고 어디서나 해석적입니다. 급수로 정한 함수를 이렇게 더 넓은 영역으로 이어 가는 것을 해석적 연속(analytic continuation)이라 합니다.
부분분수: 가리기로 $\dfrac1{z-1}$의 계수는 $\dfrac{1}{1-2}=-1$, $\dfrac1{z-2}$의 계수는 $\dfrac1{2-1}=1$.
$$f(z)=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}$$특이점은 $z=1,2$입니다. 그래서 원점 중심으로는 세 영역 $|z|<1$, $1<|z|<2$, $|z|>2$가 생깁니다.
(a) $|z|<1$: $|z|<1<2$이므로 두 조각 모두 "$z$가 작은" 쪽입니다.
$$\begin{aligned}\frac{1}{z-2}&=-\frac12\cdot\frac{1}{1-z/2}=-\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{2^{n+1}}\\-\frac1{z-1}&=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}f&=\sum_{n=0}^\infty\Big(1-\frac{1}{2^{n+1}}\Big)z^n\\&=\frac12+\frac34z+\frac78z^2+\cdots\end{aligned}$$음의 거듭제곱이 없습니다. 이 영역에서 $f$는 해석적이라 그냥 테일러 급수입니다.
(b) $1<|z|<2$: $\frac1{z-2}$는 (a)와 같습니다($|z|<2$). $\frac1{z-1}$은 이제 $|z|>1$이므로 $z$를 묶어 냅니다.
$$-\frac{1}{z-1}=-\frac1z\cdot\frac{1}{1-1/z}=-\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{z^{n+1}}$$ $$\begin{aligned}f=&\cdots-\frac1{z^3}-\frac1{z^2}-\frac1z\\&-\frac12-\frac z4-\frac{z^2}{8}-\cdots\end{aligned}$$(c) $|z|>2$: 두 조각 모두 $z$를 묶어 냅니다.
$$\begin{aligned}\frac1{z-2}&=\frac1z\cdot\frac1{1-2/z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{z^{n+1}}\\f&=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n-1}{z^{n+1}}\\&=\frac{0}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{3}{z^3}+\frac{7}{z^4}+\cdots\end{aligned}$$(d) $0<|z-1|<1$: $w=z-1$로 두면 $z-2=w-1$입니다.
$$\begin{aligned}f&=\frac{1}{w(w-1)}=-\frac1w\cdot\frac{1}{1-w}\\&=-\frac1w-1-w-w^2-\cdots\end{aligned}$$정리: 같은 함수인데 $c_{-1}$이 (b)에서 $-1$, (c)에서 $0$, (d)에서 $-1$입니다. $z=1$의 유수는 $z=1$을 중심으로 한 (d)의 $c_{-1}=-1$입니다. (b)의 $-1$은 우연히 같을 뿐이고, (c)의 $0$은 "두 유수의 합 $-1+1$"입니다(5절).
$e^w=\sum\frac{w^n}{n!}$에 $w=\frac1z$를 넣습니다.
$$\begin{aligned}e^{1/z}&=1+\frac1z+\frac{1}{2!\,z^2}+\frac{1}{3!\,z^3}+\cdots\\&=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!\,z^n}\end{aligned}$$음의 거듭제곱이 끝없이 이어집니다. 따라서 $z=0$은 진성 특이점이고, $\mathrm{Res}(e^{1/z},0)=c_{-1}=1$입니다.
가장 낮은 차수가 $z^{-2}$이므로 2차 극입니다. $\frac1z$ 항이 없으므로 유수는 0입니다. 분모가 $z^3$이라 3차 극이라고 착각하기 쉽습니다.
$w=z-1$로 둡니다. $e^z=e^{1+w}=e\cdot e^w$입니다.
$$\begin{aligned}\frac{e\,e^w}{w^2}&=\frac{e}{w^2}\Big(1+w+\frac{w^2}{2}+\cdots\Big)\\&=\frac{e}{(z-1)^2}+\frac{e}{z-1}+\frac e2+\cdots\end{aligned}$$2차 극이고 유수는 $e$입니다.
| 종류 | 로랑 전개 ($0<|z-a|<r$) | 극한으로 판정 |
|---|---|---|
| 제거 가능한 특이점(removable singularity) | 음의 거듭제곱이 없음 | $\lim_{z\to a}f$가 유한 |
| $m$차 극(pole of order $m$) | 음의 거듭제곱이 $c_{-m}(z-a)^{-m}$에서 끝남 | $\lim(z-a)^mf$가 0이 아닌 유한값 |
| 진성 특이점(essential singularity) | 음의 거듭제곱이 끝없이 이어짐 | 어떤 $m$으로도 안 됨 |
분자와 분모에서 $(z-a)$를 영점 차수만큼 묶어 냅니다: $p=(z-a)^j\,\tilde p$, $q=(z-a)^k\,\tilde q$, 단 $\tilde p(a)\ne0$, $\tilde q(a)\ne0$. 그러면
$$f=\frac pq=(z-a)^{j-k}\cdot\frac{\tilde p}{\tilde q}$$$\tilde p/\tilde q$는 $a$에서 해석적이고 값이 0이 아니므로 테일러 전개가 $b_0+b_1(z-a)+\cdots$ ($b_0\ne0$)입니다. 그래서 로랑 전개의 맨 앞 항이 $b_0(z-a)^{j-k}$입니다. $k>j$이면 $(k-j)$차 극, $k\le j$이면 음의 거듭제곱이 없어서 제거 가능입니다. $\lim(z-a)^{k-j}f=b_0\ne0$인 것도 같은 식에서 나옵니다. 진성 특이점은 이런 꼴로 쓸 수 없는 경우입니다.
지름길: 극이 $z=0$이고 $f$가 짝함수($f(-z)=f(z)$)이면 홀수 차수 항이 없으므로 $\mathrm{Res}(f,0)=0$입니다(예제 1-3).
안전장치: 극의 차수를 실제보다 크게 잡아도 ③은 맞는 값을 줍니다. 미분이 늘어날 뿐입니다. 차수가 확실하지 않으면 크게 잡으세요. 작게 잡으면 틀립니다.
③ $m$차 극. $f=\dfrac{c_{-m}}{(z-a)^m}+\cdots+\dfrac{c_{-1}}{z-a}+c_0+\cdots$에 $(z-a)^m$을 곱하면 음의 거듭제곱이 사라집니다.
$$\begin{aligned}g(z)&=(z-a)^mf(z)\\&=c_{-m}+\cdots+c_{-1}(z-a)^{m-1}+\cdots\end{aligned}$$$g$는 보통의 테일러 급수이므로 $(z-a)^{m-1}$의 계수 $c_{-1}$은 $\dfrac{g^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}$입니다. $m$을 실제 차수보다 크게 잡으면 $g$ 앞쪽에 0인 계수가 붙을 뿐이라 결과가 같습니다(안전장치).
①은 $m=1$인 경우입니다: 미분 없이 $c_{-1}=g(a)=\lim(z-a)f$.
②: $q(a)=0$, $q'(a)\ne0$이면 $q(z)=q'(a)(z-a)+\frac{q''(a)}{2}(z-a)^2+\cdots$입니다. ①에 넣으면
$$\lim_{z\to a}\frac{(z-a)\,p(z)}{q'(a)(z-a)+\cdots}=\frac{p(a)}{q'(a)}$$④가 정의이고, ①–③은 $c_{-1}$을 빨리 꺼내는 요령입니다. 막히면 언제나 로랑 전개로 돌아가면 됩니다.
① 극한: $z^2+1=(z-i)(z+i)$이므로
$$\begin{aligned}\mathrm{Res}(f,i)&=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{e^z}{(z-i)(z+i)}\\&=\frac{e^{i}}{2i}\end{aligned}$$② $p/q'$: $p=e^z$, $q=z^2+1$, $q'=2z$.
$$\mathrm{Res}(f,i)=\frac{e^{i}}{2i},\qquad \mathrm{Res}(f,-i)=\frac{e^{-i}}{-2i}$$두 유수의 합은 $\dfrac{e^i-e^{-i}}{2i}=\sin1$입니다. (L10 연습문제 D8의 답 $2\pi i\sin1$이 여기서 나옵니다.)
(a) $\tan z=\dfrac{\sin z}{\cos z}$의 $z=\frac\pi2$: $p=\sin z$, $q=\cos z$, $q'=-\sin z$.
$$\mathrm{Res}\Big(\tan z,\frac\pi2\Big)=\frac{\sin(\pi/2)}{-\sin(\pi/2)}=-1$$모든 극 $z=\frac\pi2+k\pi$에서 같은 방법으로 유수가 $-1$입니다.
(b) $\dfrac{1}{z^4+1}$의 극 $a$ (단, $a^4=-1$): $q'=4z^3$.
$$\mathrm{Res}=\frac{1}{4a^3}=\frac{a}{4a^4}=-\frac{a}{4}$$분자·분모에 $a$를 곱해 $a^4=-1$을 쓰는 요령입니다. $a=e^{i\pi/4}$이면 $-\dfrac{e^{i\pi/4}}{4}=-\dfrac{1+i}{4\sqrt2}$. 인수분해했다면 훨씬 길어집니다.
$z=0$은 2차 극입니다. $z^2f=\dfrac{e^z}{z-1}$을 한 번 미분합니다(몫의 미분).
$$\frac{d}{dz}\frac{e^z}{z-1}=\frac{e^z(z-1)-e^z}{(z-1)^2}=\frac{e^z(z-2)}{(z-1)^2}$$ $$\mathrm{Res}(f,0)=\frac{1}{1!}\cdot\frac{e^0(0-2)}{(0-1)^2}=-2$$$z=1$은 단순극입니다. $(z-1)$을 가리고 $z=1$: $\mathrm{Res}(f,1)=\dfrac{e^1}{1^2}=e$.
(a) $\dfrac{1}{z^2\sin z}$의 $z=0$ (3차 극). ③으로 하려면 $\frac{z}{\sin z}$를 두 번 미분해야 합니다. 대신 $\frac1{\sin z}$를 전개합니다.
$$\begin{aligned}\frac{1}{\sin z}&=\frac{1}{z\big(1-\frac{z^2}{6}+\cdots\big)}\\&=\frac1z\Big(1+\frac{z^2}{6}+\cdots\Big)\end{aligned}$$ $$\frac{1}{z^2\sin z}=\frac{1}{z^3}+\frac{1}{6z}+\cdots\ \Rightarrow\ \mathrm{Res}=\frac16$$(검산: ③으로 하면 $\frac{z}{\sin z}=1+\frac{z^2}{6}+\cdots$의 2계도함수가 $0$에서 $\frac13$이고, $\frac{1}{2!}\cdot\frac13=\frac16$으로 같습니다.)
(b) $z^2e^{1/z}$의 $z=0$ (진성 특이점). ①–③은 쓸 수 없습니다.
$$\begin{aligned}z^2e^{1/z}&=z^2\Big(1+\frac1z+\frac1{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+\cdots\Big)\\&=z^2+z+\frac12+\frac{1}{6z}+\cdots\end{aligned}$$$\mathrm{Res}=\dfrac16$. $z^2$과 곱해서 $\frac1z$이 되는 항, 곧 $\frac{1}{3!\,z^3}$만 찾으면 됩니다.
① 작은 원으로 쪼개기. 경로 안의 특이점 $a_1,\dots,a_k$ 둘레에 작은 원을 그립니다. L10 7절의 상자(경로 쪼개기)에 따라 $\oint_C=\sum_j\oint_{|z-a_j|=\epsilon}$입니다.
② 작은 원 하나에서 항별 적분. $a_j$ 중심의 로랑 전개를 넣습니다. L10 예제 4-1에서 $\oint(z-a)^n\,dz$는 $n=-1$일 때만 $2\pi i$이고 나머지는 0입니다.
$$\oint_{|z-a|=\epsilon}\sum_n c_n(z-a)^n\,dz=2\pi i\,c_{-1}$$③ 더하기. $\oint_C f\,dz=2\pi i\sum_j\mathrm{Res}(f,a_j)$. 유수는 "한 바퀴 적분에서 살아남는 유일한 계수"입니다. 0절의 계수 공식에 $n=-1$을 넣은 것과 같은 말입니다. (급수를 항별로 적분해도 되는 이유는 생략합니다.)
유수는 예제 3-3에서 구했습니다: $\mathrm{Res}(f,0)=-2$, $\mathrm{Res}(f,1)=e$.
(무한대 유수 검산(5절)은 이 함수에는 쓰기 어렵습니다. $e^z$ 때문에 $z=\infty$가 진성 특이점입니다.)
극은 $z^4=-1$의 네 근 $e^{i\pi/4},\ e^{3i\pi/4},\ e^{5i\pi/4},\ e^{7i\pi/4}$이고, 모두 $|a|=1$입니다. 유수는 예제 3-2에서 $-\frac a4$입니다.
(a) $|z|=2$: 넷 다 안. 합은 $-\frac14\sum a=0$입니다($z^4+1$에 $z^3$ 항이 없으므로 근의 합이 0). 따라서 $\oint=0$. 검산(5절): 큰 $z$에서 $f\approx\frac1{z^4}$이라 $\mathrm{Res}(f,\infty)=0$. 맞습니다.
(b) $|z-i|=1$: 중심 $i$와의 거리를 잽니다.
이 값은 L12에서 $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^4+1}$의 답으로 다시 나옵니다.
유한한 특이점이 모두 원 $|z|=R$ 안에 있다고 합시다. 이 큰 원 위에서는 큰 $|z|$의 전개 $f=\sum c_nz^n$을 항별로 적분할 수 있고, 4절의 상자처럼 $\frac1z$ 항만 남습니다.
$$\oint_{|z|=R}f\,dz=2\pi i\,c_{-1}$$같은 원에 유수정리(4절)를 쓰면 $2\pi i\sum_{\text{유한}}\mathrm{Res}$입니다. 비교하면 $\sum_{\text{유한}}\mathrm{Res}=c_{-1}$이고, $\mathrm{Res}(f,\infty)=-c_{-1}$로 정의하면 모든 유수의 합이 0이 됩니다. 마이너스는 "$\infty$를 왼쪽에 두고 돌면 큰 원을 시계 방향으로 돈다"는 뜻입니다.
$w=\frac1z$ 공식: $dz=-\frac{dw}{w^2}$이고, $z$평면의 반시계 큰 원은 $w$평면의 시계 방향 작은 원이 됩니다. 두 마이너스가 상쇄되어 $\oint_{|z|=R}f\,dz=2\pi i\,\mathrm{Res}\big(\frac{1}{w^2}f(\frac1w),0\big)$. 그래서 $\mathrm{Res}(f,\infty)=-\mathrm{Res}\big(\frac1{w^2}f(\frac1w),0\big)$입니다.
(a) $f=\dfrac{z^3}{z^4+1}$. 극 네 개 $a$에서 ② 공식: $\dfrac{a^3}{4a^3}=\dfrac14$. 합은 $1$입니다.
큰 $z$에서 $f=\dfrac1z\cdot\dfrac{1}{1+z^{-4}}=\dfrac1z-\dfrac1{z^5}+\cdots$이므로 $\mathrm{Res}(f,\infty)=-1$. 합 $1+(-1)=0$으로 맞습니다.
그래서 극을 모두 감싸는 $|z|=2$에서 $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{z^3}{z^4+1}dz=2\pi i\cdot1=2\pi i$입니다.
(b) 예제 1-1의 $f=\dfrac{1}{(z-1)(z-2)}$. $\mathrm{Res}(f,1)=-1$, $\mathrm{Res}(f,2)=1$. 큰 $z$에서의 전개 (c)의 $c_{-1}=0$이므로 $\mathrm{Res}(f,\infty)=0$. 합이 0으로 맞습니다.
Arfken 7판에서는 11.6절(특이점)에서 극과 함께 다룬다고 기억합니다(기억 기반, 미검증). L02 6절의 다가함수가 출발점이고, L12 5절의 열쇠구멍 적분에서 바로 씁니다.
분지점은 극이 아닙니다. 유수도 로랑 전개도 없습니다. 경로가 분지점을 감싸거나 절단선을 건너면 유수정리를 그대로 쓸 수 없습니다.
$z-b=\rho e^{i\varphi}$로 쓰고, 경로를 따라가며 $\varphi$를 끊기지 않게 바꿉니다. $b$를 감싸는 폐곡선을 한 바퀴 돌면 $\varphi$는 $2\pi$만큼 늘어난 채로 끝납니다. $b$를 감싸지 않으면 $\varphi$는 늘었다가 줄어서 처음 값으로 돌아옵니다.
그래서 $(z-b)^\alpha=\rho^\alpha e^{i\alpha\varphi}$는 감싼 점에 대해서만 $e^{2\pi i\alpha}$배가 되고, $\ln(z-b)=\ln\rho+i\varphi$는 $2\pi i$가 더해집니다. 인수가 여럿이면 감싼 인수의 위상만 곱해집니다. 큰 원은 유한한 점을 모두 감싸므로, 모든 인수의 위상을 곱한 것이 $\infty$의 시험이 됩니다.
$\alpha$가 정수이면 $e^{2\pi i\alpha}=1$이라 분지점이 아닙니다. $\alpha$가 음의 정수이면 극입니다.
(a) $\sqrt z=z^{1/2}$. $0$ 둘레 한 바퀴: $e^{2\pi i\cdot\frac12}=e^{i\pi}=-1$. 부호가 바뀌므로 $0$은 분지점입니다. 큰 원도 $0$ 하나만 감싸므로 역시 $-1$이고, $\infty$도 분지점입니다. 절단선은 $0$에서 $\infty$까지 가는 반직선입니다. 주가지(L02)는 음의 실축을, L12의 열쇠구멍은 양의 실축을 자릅니다.
(b) $\sqrt{z^2-1}=\sqrt{z-1}\,\sqrt{z+1}$.
절단선 위아래의 값($-1<x<1$). 위쪽에서는 $z-1=(1-x)e^{i\pi}$, $z+1=(1+x)e^{i0}$입니다.
$$\begin{aligned}\text{위:}\ &\sqrt{1-x}\,e^{i\pi/2}\cdot\sqrt{1+x}=i\sqrt{1-x^2}\\\text{아래:}\ &\sqrt{1-x}\,e^{-i\pi/2}\cdot\sqrt{1+x}=-i\sqrt{1-x^2}\end{aligned}$$아래쪽은 $z-1=(1-x)e^{-i\pi}$이기 때문입니다. 부호가 반대입니다.
큰 $|z|$에서는 이 가지가 $z\sqrt{1-z^{-2}}$이고, L01의 이항급수로
$$\sqrt{z^2-1}=z-\frac{1}{2z}-\frac{1}{8z^3}-\cdots$$입니다. $c_{-1}=-\frac12$이므로 $\mathrm{Res}(\sqrt{z^2-1},\infty)=\frac12$입니다(5절, 연습문제 E4).
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy와 수치 경로적분으로 검산했습니다.
A1. $\dfrac{1}{z(z-1)}$, $0<|z|<1$
A2. $\dfrac{1}{z(z-1)}$, $|z|>1$
A3. $\dfrac{1}{z(z-1)}$, $0<|z-1|<1$
A4. $\dfrac{1}{(z+1)(z-3)}$, $1<|z|<3$ (앞쪽 몇 항)
A5. $z^3e^{1/z}$, $0<|z|$. 특이점 종류와 유수
A6. $\dfrac{e^z}{z^3}$, $0<|z|$. 극의 차수와 유수
A7. 수렴 반지름만 바로 쓰세요. (a) $\dfrac{1}{z^2+4}$의 $z=1$ 중심 테일러 급수 (b) $\tan z$의 $z=0$ 중심 테일러 급수
B1. $\dfrac{e^z-1}{z}$의 $z=0$
B2. $\dfrac{1}{z(e^z-1)}$의 $z=0$
B3. $\cos\dfrac1z$의 $z=0$
B4. $\dfrac{z^2-1}{(z-1)^3}$의 $z=1$
B5. $\dfrac{1}{1-e^z}$의 모든 특이점과 종류, 유수
C1. $\dfrac{z+1}{z^2-2z}$의 모든 유수
C2. $\dfrac{e^{iz}}{(z-i)^2}$의 $z=i$
C3. $\dfrac{z}{(z-1)^2(z+1)}$의 모든 유수와 무한대 유수
C4. $\dfrac{1}{\sin z}$의 $z=\pi$, $\cot z$의 $z=k\pi$
C5. $\dfrac{1}{z^3(z+1)}$의 모든 유수
C6. $z\cos\dfrac1z$의 $z=0$
C7. $\dfrac{1}{z^2\sinh z}$의 $z=0$
C8. $\dfrac{1}{z(e^z-1)}$의 $z=0$
D1. $\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{z+1}{z^2-2z}\,dz$
D2. $\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2\sin z}$
D3. $\displaystyle\oint_{|z|=4}\cot z\,dz$
D4. $\displaystyle\oint_{|z|=1}z^2e^{1/z}\,dz$
D5. $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{dz}{(z-1)^2(z+3)}$
D6. $\displaystyle\oint_{|z|=5}\frac{z^3}{(z-1)(z-2)(z-3)(z-4)}\,dz$
E1. $z^{1/3}(z-1)^{2/3}$의 분지점과, 가장 짧은 분지절단
E2. $\ln\dfrac{z-1}{z+1}$의 분지점과 분지절단
E3. $\sqrt{z(z-1)(z-2)}$에서 $\infty$는 분지점입니까? 절단선을 하나 제시하세요.
E4. $\displaystyle\oint_{|z|=2}\sqrt{z^2-1}\,dz$ (절단 $[-1,1]$, 큰 $|z|$에서 $\sqrt{z^2-1}\approx z$인 가지)