L02 · 복소수 계산

예제 1-1 (a) $z=-1+i\sqrt3$ (b) $z=-\sqrt3-i$를 극형식으로, (c) $4e^{-3\pi i/4}$를 직교형으로

(a) $r=\sqrt{1+3}=2$. $\alpha=\arctan\dfrac{\sqrt3}{-1}=\arctan(-\sqrt3)=-\dfrac\pi3$. 점은 2사분면($x<0$, $y>0$)이므로 $\pi$를 더합니다.

$$\theta=-\frac\pi3+\pi=\frac{2\pi}{3},\qquad z=2e^{2\pi i/3}.$$

검산: $2\cos\frac{2\pi}3=-1$, $2\sin\frac{2\pi}3=\sqrt3$. 맞습니다.

(b) $r=\sqrt{3+1}=2$. $\alpha=\arctan\dfrac{-1}{-\sqrt3}=\arctan\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac\pi6$. 점은 3사분면이므로 $\pi$를 뺍니다.

$$\theta=\frac\pi6-\pi=-\frac{5\pi}{6},\qquad z=2e^{-5\pi i/6}.$$

보정을 잊고 $\theta=\frac\pi6$이라고 쓰면 $2e^{i\pi/6}=\sqrt3+i=-z$, 즉 정반대 점이 나옵니다. $\pi$를 더해 $\frac{7\pi}6$이라고 써도 같은 점이지만 주값 범위 밖입니다. 로그와 복소 거듭제곱에서는 이 차이가 답을 바꿉니다(6절).

(c) $\cos\left(-\frac{3\pi}4\right)=-\frac{\sqrt2}2$, $\sin\left(-\frac{3\pi}4\right)=-\frac{\sqrt2}2$이므로

$$\begin{aligned}4e^{-3\pi i/4}&=4\Big(-\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2\Big)\\&=-2\sqrt2-2\sqrt2\,i.\end{aligned}$$

예제 2-1 $w=\dfrac{1+i\sqrt3}{1-i}$를 두 방법으로 계산하고, $w^{10}$ 구하기

극형식: $1+i\sqrt3=2e^{i\pi/3}$, $1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$ (4사분면).

$$w=\frac{2}{\sqrt2}\,e^{i(\pi/3+\pi/4)}=\sqrt2\,e^{7\pi i/12}.$$

직교형: 분모의 켤레 $1+i$를 위아래에 곱합니다.

$$\begin{aligned}w&=\frac{(1+i\sqrt3)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\\&=\frac{1+i+i\sqrt3+i^2\sqrt3}{2}\\&=\frac{1-\sqrt3}{2}+i\,\frac{1+\sqrt3}{2}.\end{aligned}$$

두 결과의 실수부를 비교하면 덤으로 $\sqrt2\cos\frac{7\pi}{12}=\frac{1-\sqrt3}2$, 즉 $\cos\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$도 얻습니다.

10제곱은 극형식으로 합니다. 각 $\frac{35\pi}6$에서 $6\pi$를 빼서 주값 범위로 되돌립니다.

$$\begin{aligned}w^{10}&=(\sqrt2)^{10}e^{70\pi i/12}=32\,e^{35\pi i/6}=32\,e^{-\pi i/6}\\&=32\Big(\frac{\sqrt3}2-\frac i2\Big)=16\sqrt3-16i.\end{aligned}$$

나머지도 바로 읽힙니다: $|w|=\sqrt2$, $\;w^*=\sqrt2\,e^{-7\pi i/12}$, $\;\dfrac1w=\dfrac1{\sqrt2}\,e^{-7\pi i/12}$.

예제 3-1 $\cos3\theta$와 $\sin3\theta$를 $\cos\theta$, $\sin\theta$로 $$\begin{aligned}(c+is)^3&=c^3+3c^2(is)+3c(is)^2+(is)^3\\&=c^3+3ic^2s-3cs^2-is^3.\end{aligned}$$

• 실수부: $\cos3\theta=c^3-3cs^2=c^3-3c(1-c^2)=4c^3-3c$
• 허수부: $\sin3\theta=3c^2s-s^3=3(1-s^2)s-s^3=3s-4s^3$

$$\begin{aligned}\cos3\theta&=4\cos^3\theta-3\cos\theta,\\ \sin3\theta&=3\sin\theta-4\sin^3\theta.\end{aligned}$$

예제 4-1 $\sin^4\theta$를 배각의 합으로 쓰고 $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^4\theta\,d\theta$ 구하기 $$\begin{aligned}\sin^4\theta&=\frac{(w-w^{-1})^4}{(2i)^4}\\&=\frac{w^4-4w^2+6-4w^{-2}+w^{-4}}{16}.\end{aligned}$$

짝짓기: $w^4+w^{-4}=2\cos4\theta$, $\;-4(w^2+w^{-2})=-8\cos2\theta$.

$$\begin{aligned}\sin^4\theta&=\frac{2\cos4\theta-8\cos2\theta+6}{16}\\&=\frac38-\frac12\cos2\theta+\frac18\cos4\theta.\end{aligned}$$

적분하면 $\cos$ 항은 0이므로 $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^4\theta\,d\theta=\frac38\cdot2\pi=\frac{3\pi}4$.

같은 방법: $\cos^3\theta=\dfrac{(w+w^{-1})^3}{8}=\dfrac{w^3+3w+3w^{-1}+w^{-3}}{8}=\dfrac{3\cos\theta+\cos3\theta}{4}$. 예제 3-1의 $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$를 거꾸로 푼 것과 같습니다.

예제 5-1 $z^3=8i$의 세 근

$8i=8e^{i\pi/2}$이므로 $z_k=2e^{i(\pi/2+2\pi k)/3}=2e^{i(\pi/6+2\pi k/3)}$.

• $k=0$: $2e^{i\pi/6}=2\big(\frac{\sqrt3}2+\frac i2\big)=\sqrt3+i$
• $k=1$: $2e^{5\pi i/6}=-\sqrt3+i$
• $k=2$: $2e^{3\pi i/2}=-2i$ (주값 범위로 쓰면 $2e^{-i\pi/2}$)

세 점은 반지름 2인 원 위의 정삼각형입니다. 검산: 합 $=(\sqrt3+i)+(-\sqrt3+i)+(-2i)=0$, $\;(-2i)^3=-8i^3=8i$.

예제 5-2 (a) $z^4+1=0$을 풀고 실수 2차식으로 인수분해 (b) $z^2+2z+(1-2i)=0$

(a) $z^4=-1=e^{i\pi}$이므로 $z_k=e^{i(\pi+2\pi k)/4}$, 즉 각이 $\frac\pi4,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4$인 정사각형입니다.

$$\begin{aligned}z&=e^{\pm i\pi/4}=\frac{1\pm i}{\sqrt2},\\ z&=e^{\pm3\pi i/4}=\frac{-1\pm i}{\sqrt2}.\end{aligned}$$

켤레끼리 묶습니다. $e^{\pm i\pi/4}$ 쌍은 $\mathrm{Re}\,z_0=\frac1{\sqrt2}$, $|z_0|=1$이므로 $z^2-\sqrt2z+1$. $e^{\pm3\pi i/4}$ 쌍은 $z^2+\sqrt2z+1$.

$$z^4+1=(z^2-\sqrt2z+1)(z^2+\sqrt2z+1).$$

검산: 오른쪽 $=(z^2+1)^2-(\sqrt2z)^2=z^4+2z^2+1-2z^2$.

(b) $D=2^2-4(1-2i)=8i$. $(a+bi)^2=8i$에서 $a^2-b^2=0$, $2ab=8$이므로 $a=b=2$. 따라서 $\sqrt D=\pm(2+2i)$.

$$z=\frac{-2\pm(2+2i)}{2}\ \Rightarrow\ z=i\ \text{또는}\ z=-2-i.$$

검산: 두 근의 합 $-2$ ($=-b/a$), 곱 $i(-2-i)=1-2i$ ($=c/a$). 계수가 복소수라서 두 근은 켤레가 아닙니다.

예제 6-1 (a) $\operatorname{Ln}(-1-i)$와 모든 값 (b) $i^i$ (c) $(1+i)^i$

(a) $r=\sqrt2$. 3사분면이므로 $\operatorname{Arg}=\frac\pi4-\pi=-\frac{3\pi}4$.

$$\begin{aligned}\operatorname{Ln}(-1-i)&=\tfrac12\ln2-\tfrac{3\pi}{4}i,\\ \ln(-1-i)&=\tfrac12\ln2+i\Big(-\tfrac{3\pi}4+2\pi k\Big).\end{aligned}$$

(b) $\ln i=i\left(\frac\pi2+2\pi k\right)$이므로 $i\ln i=i^2\left(\frac\pi2+2\pi k\right)=-\frac\pi2-2\pi k$.

$$i^i=e^{-\pi/2-2\pi k},\qquad \text{주값 } i^i=e^{-\pi/2}\approx0.2079.$$

모든 값이 실수입니다.

(c) $\operatorname{Ln}(1+i)=\frac12\ln2+\frac{i\pi}4$. $i$를 곱하면 $-\frac\pi4+\frac{i}2\ln2$. $v=\frac12\ln2\approx0.3466$으로 두면

$$\begin{aligned}(1+i)^i&=e^{-\pi/4}e^{iv}=e^{-\pi/4}(\cos v+i\sin v)\\&\approx0.4288+0.1549i.\end{aligned}$$

모든 값은 이 주값에 $e^{-2\pi k}$를 곱한 것입니다.

예제 7-1 $\sin z=2$ 풀기

(A) 실수부·허수부 비교. $\sin x\cosh y=2$, $\;\cos x\sinh y=0$.

• $\sinh y=0$이면 $y=0$이고 $\sin x=2$가 되어 불가능합니다.
• 따라서 $\cos x=0$, 즉 $x=\frac\pi2+n\pi$이고 $\sin x=\pm1$입니다. $\cosh y>0$이므로 $\sin x=+1$이어야 합니다: $x=\frac\pi2+2\pi k$.
• 그러면 $\cosh y=2$이므로 $y=\pm\ln(2+\sqrt3)$.

$$\begin{aligned}z&=\frac\pi2+2\pi k\pm i\ln(2+\sqrt3)\\&\approx\frac\pi2+2\pi k\pm1.317i.\end{aligned}$$

(B) 검산. $w=e^{iz}$로 두면 $\dfrac{w-w^{-1}}{2i}=2$ → $w^2-4iw-1=0$ → $w=\dfrac{4i\pm\sqrt{-16+4}}2=i(2\pm\sqrt3)$.

$iz=\ln w=\ln(2\pm\sqrt3)+i\left(\frac\pi2+2\pi k\right)$이므로 $z=\frac\pi2+2\pi k-i\ln(2\pm\sqrt3)$. $\ln(2-\sqrt3)=-\ln(2+\sqrt3)$이므로 (A)와 같습니다.

예제 7-2 (영점과 쌍곡함수 방정식) (a) $\cosh z=0$의 모든 해를 두 방법으로 (b) $\sinh z=i$

(a) 방법 1: $\cos$로 바꾸기. $\cosh z=\cos(iz)$이므로 $\cos(iz)=0$, 곧 $iz=\frac\pi2+n\pi$입니다. 양변에 $-i$를 곱하면 $z=-i\big(\frac\pi2+n\pi\big)$. $n$이 모든 정수를 돌면 $-\big(\frac\pi2+n\pi\big)$도 $\frac\pi2+m\pi$ 꼴을 모두 돕니다($m=-n-1$). 그래서

$$z=i\Big(\frac\pi2+n\pi\Big),\quad n\text{은 정수}.$$

방법 2: 실수부·허수부. 덧셈정리로 $\cosh(x+iy)=\cosh x\cos y+i\sinh x\sin y$입니다($\cosh(iy)=\cos y$, $\sinh(iy)=i\sin y$).

• 실수부 $\cosh x\cos y=0$. $\cosh x\ge1$이므로 $\cos y=0$, 곧 $y=\frac\pi2+n\pi$.
• 그러면 $\sin y=\pm1\ne0$이므로 허수부 $\sinh x\sin y=0$에서 $\sinh x=0$, 곧 $x=0$.

같은 답입니다. 영점은 모두 허수축 위에 있고, 실수 $x$에서는 $\cosh x\ge1$이라 영점이 없습니다.

(b) $w=e^z$로 두면 $\dfrac{w-w^{-1}}{2}=i$, 양변에 $2w$를 곱해 $w^2-2iw-1=0$. 이것은 $(w-i)^2=0$이라 $w=i$ (중근)입니다.

$$z=\ln i=i\Big(\frac\pi2+2\pi k\Big)$$

검산: $\sinh\frac{i\pi}2=i\sin\frac\pi2=i$. 주기가 $2\pi i$이므로 $2\pi ik$를 더해도 됩니다.

예제 8-1 (a) $\displaystyle\int e^{ax}\cos bx\,dx$ (b) L01 C2 다시 보기: $e^x\cos x$를 $x^4$까지

(a) 복소 지수로 적분합니다.

$$\begin{aligned}\int e^{(a+ib)x}dx&=\frac{e^{(a+ib)x}}{a+ib}\\&=\frac{e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)(a-ib)}{a^2+b^2}.\end{aligned}$$

분자를 전개합니다: $(\cos bx+i\sin bx)(a-ib)=(a\cos bx+b\sin bx)+i(a\sin bx-b\cos bx)$. 실수부와 허수부를 고르면

$$\begin{aligned}\int e^{ax}\cos bx\,dx&=\frac{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)}{a^2+b^2}+C,\\ \int e^{ax}\sin bx\,dx&=\frac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}+C.\end{aligned}$$

부분적분을 두 번 하고 원래 적분으로 되돌아오는 계산이 한 줄로 끝납니다. $a=-p$ ($p>0$)로 두고 $0$부터 $\infty$까지 넣으면 자주 쓰는 정적분이 나옵니다.

$$\begin{aligned}\int_0^\infty e^{-px}\cos bx\,dx&=\frac{p}{p^2+b^2},\\ \int_0^\infty e^{-px}\sin bx\,dx&=\frac{b}{p^2+b^2}.\end{aligned}$$

(b) $e^x\cos x=\mathrm{Re}\,e^{(1+i)x}=\mathrm{Re}\displaystyle\sum_n\frac{(1+i)^nx^n}{n!}$. $(1+i)^n=(\sqrt2)^ne^{in\pi/4}$이므로 $x^n$의 계수는 $\dfrac{2^{n/2}\cos(n\pi/4)}{n!}$입니다.

$$e^x\cos x=1+x-\frac{x^3}3-\frac{x^4}6+\cdots$$

L01 C2의 답과 같습니다. 급수 두 개를 곱하지 않고 일반항을 바로 얻습니다.

예제 9-1 (a) $\displaystyle\sum_{n=0}^N\cos n\theta$ (b) $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty r^n\cos n\theta$ ($|r|<1$)

(a) $q=e^{i\theta}$로 두고 분자·분모에 반각 묶기를 씁니다.

$$\begin{aligned}\sum_{n=0}^{N}e^{in\theta}&=\frac{e^{i(N+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}\\&=\frac{2i\sin\frac{(N+1)\theta}2\,e^{i(N+1)\theta/2}}{2i\sin\frac\theta2\,e^{i\theta/2}}\\&=\frac{\sin\frac{(N+1)\theta}{2}}{\sin\frac\theta2}\,e^{iN\theta/2}.\end{aligned}$$

$e^{iN\theta/2}=\cos\frac{N\theta}2+i\sin\frac{N\theta}2$이므로 실수부와 허수부는

$$\begin{aligned}\sum_{n=0}^{N}\cos n\theta&=\frac{\sin\frac{(N+1)\theta}{2}\cos\frac{N\theta}2}{\sin\frac\theta2},\\ \sum_{n=0}^{N}\sin n\theta&=\frac{\sin\frac{(N+1)\theta}{2}\sin\frac{N\theta}2}{\sin\frac\theta2}.\end{aligned}$$

검산($N=1$): 왼쪽은 $1+\cos\theta$, 오른쪽은 $\dfrac{\sin\theta\cos\frac\theta2}{\sin\frac\theta2}=2\cos^2\frac\theta2=1+\cos\theta$.

(b) 분모의 켤레 $1-re^{-i\theta}$를 위아래에 곱합니다.

$$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty(re^{i\theta})^n&=\frac{1}{1-re^{i\theta}}=\frac{1-re^{-i\theta}}{1-2r\cos\theta+r^2}\\&=\frac{1-r\cos\theta+ir\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^2}.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\sum_{n=0}^\infty r^n\cos n\theta&=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^2},\\ \sum_{n=1}^\infty r^n\sin n\theta&=\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^2}.\end{aligned}$$

($\sin$ 합은 $n=0$ 항이 0이라서 $n=1$부터 써도 같습니다.)