Arfken 7판 9장 (1계 PDE와 특성곡선, 2계 PDE 분류, 변수분리, 라플라스 방정식, 열(확산) 방정식, 파동방정식과 달랑베르 해 — 직교·극·구면·원통 좌표)
앞 레슨(L16 2계 ODE, L18 푸리에 급수, L21 르장드르, L23 베셀)에서 쓸 결과만 여기 다시 모읍니다.
| 분리된 방정식 | 해 | 쓰는 곳 |
|---|---|---|
| $X''=-k^2X$ | $\sin kx,\ \cos kx$ | 양 끝 경계값이 0인 방향 |
| $X''=+k^2X$ | $\sinh kx,\ \cosh kx$ (또는 $e^{\pm kx}$) | 라플라스 방정식의 나머지 방향 |
| $X''=0$ | $A+Bx$ | 분리상수가 0일 때 |
| $T'=-\kappa k^2T$ | $e^{-\kappa k^2t}$ | 열방정식의 시간 |
| $T''=-c^2k^2T$ | $\cos ckt,\ \sin ckt$ | 파동방정식의 시간 |
| $\Phi''=-m^2\Phi$ | $\cos m\varphi,\ \sin m\varphi$ ($m=0,1,2,\dots$) | 극·원통 좌표의 각도 |
| $r^2R''+rR'-m^2R=0$ | $r^m,\ r^{-m}$ ($m=0$이면 $1,\ \ln r$) | 2D 극좌표 지름 방향 |
| $r^2R''+2rR'-l(l+1)R=0$ | $r^l,\ r^{-l-1}$ | 구면 지름 방향 |
| 르장드르 방정식 | $P_l(\cos\theta)$ | 구면, 방위대칭($\varphi$ 무관) |
| $r^2R''+rR'+(k^2r^2-m^2)R=0$ | $J_m(kr)$ ($Y_m$은 원점에서 발산) | 원통 지름 방향 |
| 경계조건 | 고유함수, 고유값 | 계수 |
|---|---|---|
| $X(0)=X(L)=0$ (디리클레, Dirichlet) | $\sin\frac{n\pi x}{L}$, $k_n=\frac{n\pi}{L}$, $n=1,2,\dots$ | $b_n=\frac2L\int_0^Lf\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$ |
| $X'(0)=X'(L)=0$ (노이만, Neumann) | $1,\ \cos\frac{n\pi x}{L}$, $k_n=\frac{n\pi}{L}$, $n=0,1,\dots$ | $A_0=\frac1L\int_0^Lf\,dx$, $A_n=\frac2L\int_0^Lf\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx$ |
제일 자주 쓰는 적분: $\displaystyle\frac2L\int_0^L\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{n\pi}$, 즉 홀수 $n$이면 $\dfrac{4}{n\pi}$, 짝수 $n$이면 $0$.
그리고 $\displaystyle\sum_{n\ \text{홀수}}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{8}$ (검산에 자주 씀).
| 상황 | 공식 |
|---|---|
| 경계 온도 $T_1$, $T_2$ (3절) | $u=u_s(x)+v(x,t)$, $u_s=T_1+(T_2-T_1)\frac xL$, $v$는 경계값 0 |
| 달랑베르(d'Alembert) (5절) | $u=\dfrac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2}+\dfrac1{2c}\displaystyle\int_{x-ct}^{x+ct}g\,ds$ |
| 1계 PDE $au_x+bu_y=c$ (9절) | $\dfrac{dx}{a}=\dfrac{dy}{b}=\dfrac{du}{c}$ |
| $Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}$ (10절) | $B^2-4AC$: $<0$ 타원, $=0$ 포물, $>0$ 쌍곡 |
왜 상수인가. $X''Y+XY''=0$을 $XY$로 나누면 $\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-\dfrac{Y''(y)}{Y(y)}$입니다. 왼쪽은 $x$만, 오른쪽은 $y$만의 함수입니다. $y$를 고정하고 $x$만 움직여도 등식이 유지되려면 왼쪽 값이 변하면 안 됩니다. 그래서 왼쪽은 상수이고, 오른쪽도 같은 상수입니다.
왜 부호가 정해지나. $X''=\mu X$, $X(0)=X(a)=0$에 $X$를 곱해 적분하고 부분적분하면 $\mu\int_0^aX^2dx=-\int_0^aX'^2dx<0$입니다(경계항 $[XX']=0$). 그래서 $\mu=-k^2<0$, 즉 진동하는 해만 가능합니다(L25 2절 상자와 같은 계산).
왜 더해도 되나. 방정식과 0인 경계조건이 선형·동차라서 해 두 개의 합도 해입니다. 그래서 $\sum c_nX_nY_n$도 해이고, 남은 비동차 조건 하나만 계수로 맞추면 됩니다. 0이 아닌 변이 둘이면 나눠 푼 두 해를 더해도 각 변의 값이 그대로 맞습니다.
곱 꼴 해의 합으로 모든 해를 얻을 수 있다는 것은 고유함수의 완비성(completeness)이 필요해서 생략합니다.
① $u=X(x)Y(y)$를 넣으면 $X''Y+XY''=0$.
② $u$로 나누면 $\dfrac{X''}{X}=-\dfrac{Y''}{Y}$. $x$ 방향은 $x=0$, $x=a$ 둘 다 0이므로 $x$를 진동시킵니다:
$$\frac{X''}{X}=-k^2,\qquad \frac{Y''}{Y}=+k^2.$$③ $X''+k^2X=0$, $X(0)=0$ 이므로 $X=\sin kx$. $X(a)=0$ 에서 $\sin ka=0$, 즉 $k_n=\dfrac{n\pi}{a}$ ($n=1,2,\dots$).
④ $Y''=k_n^2Y$ 이므로 $Y=A\cosh k_ny+B\sinh k_ny$. $Y(0)=0$ 에서 $A=0$. 중첩하면
$$u=\sum_{n=1}^\infty c_n\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a}.$$⑤ $y=b$에 넣으면 $V_0=\sum_n\Big[c_n\sinh\frac{n\pi b}{a}\Big]\sin\frac{n\pi x}{a}$. 대괄호가 상수 $V_0$의 사인 계수입니다.
$$\begin{aligned}c_n\sinh\frac{n\pi b}{a}&=\frac2a\int_0^aV_0\sin\frac{n\pi x}{a}\,dx\\&=\frac{2V_0}{a}\cdot\frac{a}{n\pi}\Big[-\cos\frac{n\pi x}{a}\Big]_0^a\\&=\frac{2V_0}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big)\\&=\begin{cases}\dfrac{4V_0}{n\pi}&n\ \text{홀수}\\0&n\ \text{짝수}\end{cases}\end{aligned}$$따라서 $c_n=\dfrac{4V_0}{n\pi\sinh(n\pi b/a)}$ (홀수 $n$)이고
$$\begin{aligned}u(x,y)&=\frac{4V_0}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\dots}\frac1n\\&\qquad\times\frac{\sinh(n\pi y/a)}{\sinh(n\pi b/a)}\,\sin\frac{n\pi x}{a}.\end{aligned}$$수치 확인 (정사각형 $a=b$, 중심): 네 변이 모두 $V_0$이면 $u\equiv V_0$이므로, 대칭에 의해 한 변만 $V_0$일 때 중심 값은 $V_0/4$입니다. 부분합은 $n=1$까지 $0.25372V_0$, $n=3$까지 $0.24990V_0$, $n=5$까지 $0.25000V_0$로 빠르게 맞습니다.
계수 공식. $t=0$에서 $f(x)=\sum_nb_n\sin\frac{n\pi x}{L}$입니다. 양변에 $\sin\frac{m\pi x}{L}$을 곱해 $0$부터 $L$까지 적분하면, 직교성 $\int_0^L\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}dx=\frac L2\delta_{nm}$ 때문에 $n=m$ 항만 남습니다: $\int_0^Lf\sin\frac{m\pi x}{L}dx=\frac L2b_m$.
단열이면 평균으로 가는 이유. 총열량 $\int_0^Lu\,dx$를 시간으로 미분하면 $\int_0^L\kappa u_{xx}dx=\kappa\big[u_x\big]_0^L=0$입니다. 총열량이 보존되고 온도는 결국 균일해지므로, 그 값은 처음 온도의 평균입니다.
높은 모드가 빨리 사라지는 이유. 감쇠율 $\kappa(n\pi/L)^2$이 $n^2$에 비례합니다. 잘게 출렁이는 분포일수록 곡률 $u_{xx}$가 커서 빨리 평평해집니다.
계수:
$$\begin{aligned}b_n&=\frac{2T_0}{L}\int_0^L\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx\\&=\frac{2T_0}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big)\\&=\frac{4T_0}{n\pi}\ (n\ \text{홀수}),\quad 0\ (n\ \text{짝수}).\end{aligned}$$해:
$$\begin{aligned}u(x,t)&=\frac{4T_0}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\dots}\frac1n\sin\frac{n\pi x}{L}\\&\qquad\times e^{-n^2\pi^2\kappa t/L^2}.\end{aligned}$$$n=3$ 항은 $n=1$ 항보다 $9$배 빨리 감쇠합니다. 그래서 조금만 지나면 첫 항만 남습니다: $u(L/2,t)\approx\dfrac{4T_0}{\pi}e^{-\pi^2\kappa t/L^2}$.
$t=0$에서는 급수가 느리게 수렴합니다(양 끝에서 $T_0$과 $0$이 어긋나기 때문). $t>0$이면 지수 인자 때문에 빠르게 수렴합니다.
상수항(평균):
$$A_0=\frac1L\int_0^LT_0\frac xL\,dx=\frac{T_0}{2}.$$코사인 계수. $s=\frac{n\pi x}{L}$로 치환하면 $dx=\frac{L}{n\pi}ds$ 이고
$$\begin{aligned}A_n&=\frac2L\int_0^LT_0\frac xL\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx\\&=\frac{2T_0}{n^2\pi^2}\int_0^{n\pi}s\cos s\,ds\\&=\frac{2T_0}{n^2\pi^2}\Big[s\sin s+\cos s\Big]_0^{n\pi}\\&=\frac{2T_0}{n^2\pi^2}\big((-1)^n-1\big).\end{aligned}$$홀수 $n$이면 $A_n=-\dfrac{4T_0}{n^2\pi^2}$, 짝수 $n$이면 0입니다.
$$\begin{aligned}u(x,t)&=\frac{T_0}{2}-\frac{4T_0}{\pi^2}\sum_{n=1,3,5,\dots}\frac1{n^2}\cos\frac{n\pi x}{L}\\&\qquad\times e^{-n^2\pi^2\kappa t/L^2}\\&\xrightarrow{t\to\infty}\ \frac{T_0}{2}.\end{aligned}$$확인: $t=0$, $x=0$이면 $\frac{T_0}{2}-\frac{4T_0}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8}=0=f(0)$.
$u=u_s+v$를 열방정식에 넣으면, $u_s$는 시간에 무관하고 $u_s''=0$이라 $v_t=\kappa v_{xx}$가 그대로 남습니다. 경계에서는 $v(0,t)=T_1-T_1=0$, $v(L,t)=T_2-T_2=0$입니다. 비동차인 부분을 $u_s$가 전부 떠맡았으므로 $v$는 2절의 동차 문제입니다. $t\to\infty$이면 $v\to0$이라 $u\to u_s$, 이름 그대로 정상상태입니다. 열원 $Q$가 있으면 $u_s''=-Q/\kappa$로 잡아서 $Q$를 $u_s$ 쪽에서 소비합니다.
① 정상상태: $u_s''=0$, $u_s(0)=0$, $u_s(L)=T_0$ → $u_s=T_0\dfrac xL$.
② 과도해의 초기값: $v(x,0)=f-u_s=-T_0\dfrac xL$.
③ 사인 계수. $s=\frac{n\pi x}{L}$로 치환하고 $\int_0^{n\pi}s\sin s\,ds=\big[\sin s-s\cos s\big]_0^{n\pi}=-n\pi(-1)^n$을 씁니다.
$$\begin{aligned}b_n&=-\frac{2T_0}{L^2}\int_0^Lx\sin\frac{n\pi x}{L}dx\\&=-\frac{2T_0}{n^2\pi^2}\int_0^{n\pi}s\sin s\,ds\\&=\frac{2T_0(-1)^n}{n\pi}.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}u&=T_0\frac xL+\frac{2T_0}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\\&\qquad\times\sin\frac{n\pi x}{L}\,e^{-n^2\pi^2\kappa t/L^2}.\end{aligned}$$확인: $t=0$, $x=\frac L2$이면 $\sin\frac{n\pi}2$ 때문에 홀수 $n$만 남습니다. $\frac{T_0}2+\frac{2T_0}\pi\big(-1+\frac13-\frac15+\cdots\big)=\frac{T_0}2-\frac{2T_0}\pi\cdot\frac\pi4=0$으로 처음 온도와 맞습니다.
수치 예: $t=0.1L^2/\kappa$, $x=\frac L2$이면 첫 항만으로 $u\approx\frac{T_0}2-\frac{2T_0}\pi e^{-0.1\pi^2}=0.26273T_0$입니다. $n=3$ 항은 $+3\times10^{-5}T_0$ 정도라, 더해도 $0.26276T_0$로 거의 같습니다.
먼저 $I=\displaystyle\int_0^{L/2}x\sin\frac{n\pi x}{L}dx$. $s=\frac{n\pi x}{L}$로 치환하고 $\int s\sin s\,ds=\sin s-s\cos s$를 쓰면
$$\begin{aligned}I&=\frac{L^2}{n^2\pi^2}\Big[\sin s-s\cos s\Big]_0^{n\pi/2}\\&=\frac{L^2}{n^2\pi^2}\Big(\sin\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\cos\frac{n\pi}{2}\Big).\end{aligned}$$뒤쪽 절반은 $x\to L-x$로 바꾸면 $\sin(n\pi-\theta)=-(-1)^n\sin\theta$ 이므로 $(-1)^{n+1}I$입니다. 합은 $\big(1+(-1)^{n+1}\big)I$ → 짝수 $n$이면 0, 홀수 $n$이면 $2I$. 홀수 $n$에서는 $\cos\frac{n\pi}{2}=0$ 이므로
$$\begin{aligned}a_n&=\frac2L\cdot\frac{2h}{L}\cdot2I=\frac{8h}{L^2}\cdot\frac{L^2}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}\\&=\frac{8h}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}u=\frac{8h}{\pi^2}\Big[&\sin\frac{\pi x}{L}\cos\omega_1t\\&-\frac19\sin\frac{3\pi x}{L}\cos3\omega_1t\\&+\frac1{25}\sin\frac{5\pi x}{L}\cos5\omega_1t-\cdots\Big]\end{aligned}$$확인: $t=0$, $x=\frac L2$에서 $\frac{8h}{\pi^2}\big(1+\frac19+\frac1{25}+\cdots\big)=\frac{8h}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8}=h$. 짝수 배음이 없는 이유: 가운데가 짝수 모드의 마디(node)이기 때문입니다.
$f=0$이므로 $a_n=0$. 속도 계수는
$$\begin{aligned}\omega_nb_n&=\frac{2v_0}{L}\int_0^L\sin\frac{n\pi x}{L}dx\\&=\frac{4v_0}{n\pi}\ \ (n\ \text{홀수})\\\Rightarrow\ b_n&=\frac{4v_0}{n\pi}\cdot\frac{L}{n\pi c}=\frac{4v_0L}{n^2\pi^2c}.\end{aligned}$$ $$u=\frac{4v_0L}{\pi^2c}\sum_{n=1,3,5,\dots}\frac1{n^2}\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{n\pi ct}{L}.$$초기 변위와 초기 속도가 둘 다 있으면 예제 4-1형 해와 4-2형 해를 그냥 더합니다(선형).
특성좌표로 바꾸기. $\xi=x-ct$, $\eta=x+ct$로 두면 연쇄법칙으로 $\partial_x=\partial_\xi+\partial_\eta$, $\partial_t=c(\partial_\eta-\partial_\xi)$입니다.
$$\begin{aligned}&u_{tt}-c^2u_{xx}\\&=c^2\big[(\partial_\eta-\partial_\xi)^2\\&\qquad-(\partial_\eta+\partial_\xi)^2\big]u\\&=-4c^2u_{\xi\eta}.\end{aligned}$$그래서 파동방정식은 $u_{\xi\eta}=0$입니다. $\eta$로 적분하면 $u_\xi$는 $\xi$만의 함수이고, 다시 $\xi$로 적분하면 $u=F(\xi)+G(\eta)=F(x-ct)+G(x+ct)$입니다.
$F$, $G$ 정하기. $t=0$에서 $F+G=f$, $c(G'-F')=g$입니다. 둘째 식을 적분하면 $G-F=\frac1c\int_0^xg\,ds+K$. 두 식을 더하고 빼서 $F$, $G$를 구해 넣으면 레시피의 공식이 됩니다($K$는 지워집니다).
변수분리와 같은 답. $\sin kx\cos ckt=\frac12\big[\sin k(x-ct)+\sin k(x+ct)\big]$ (곱을 합으로). 정상파 하나는 반대로 가는 진행파 두 개의 합입니다.
(a) 레시피 1에 넣으면
$$\begin{aligned}u&=\frac12\Big[\frac1{1+(x-ct)^2}\\&\qquad+\frac1{1+(x+ct)^2}\Big].\end{aligned}$$원점에서는 $u(0,t)=\dfrac1{1+c^2t^2}$로, 봉우리가 떠나면서 줄어듭니다. 오른쪽으로 가는 봉우리의 꼭대기 $x=ct$에서는 $u=\frac12\big[1+\frac1{1+4c^2t^2}\big]\to\frac12$. 처음 높이의 절반입니다.
(b) $u(0,t)=\frac1{2c}\int_{-ct}^{ct}g\,ds$입니다. 구간 $[-ct,ct]$ 중 $[-a,a]$와 겹치는 길이는 $2\min(ct,a)$이므로
$$\begin{aligned}u(0,t)&=\frac{v_0}{2c}\cdot2\min(ct,a)\\&=\begin{cases}v_0t&t<a/c\\v_0a/c&t\ge a/c\end{cases}\end{aligned}$$처음에는 속도 $v_0$로 올라가다가, 맞은 부분의 가장자리 소식이 도착하는 $t=a/c$부터 멈춥니다.
$f$는 $\varphi$에 대해 홀함수이므로 $A_0=A_m=0$. 사인 계수만 계산합니다.
$$\begin{aligned}\int_0^\pi\sin m\varphi\,d\varphi&=\frac{1-(-1)^m}{m},\\\int_\pi^{2\pi}\sin m\varphi\,d\varphi&=\frac{(-1)^m-1}{m}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}B_m&=\frac{V_0}{\pi}\Big[\frac{1-(-1)^m}{m}-\frac{(-1)^m-1}{m}\Big]\\&=\frac{2V_0\big(1-(-1)^m\big)}{m\pi}=\frac{4V_0}{m\pi}\ (m\ \text{홀수}).\end{aligned}$$ $$u(r,\varphi)=\frac{4V_0}{\pi}\sum_{m=1,3,5,\dots}\frac1m\Big(\frac ra\Big)^m\sin m\varphi.$$수치 확인 ($r=a/2$, $\varphi=\pi/2$): $\sin\frac{m\pi}{2}=1,-1,1,\dots$ 이므로 $\frac{4V_0}{\pi}\big(\frac12-\frac{1}{3\cdot8}+\frac1{5\cdot32}-\cdots\big)=\frac{4V_0}{\pi}\arctan\frac12=0.59033V_0$. 부분합은 $0.6366,\ 0.5836,\ 0.5915,\ 0.5901$ ($V_0$ 단위)로 다가갑니다.
참고: 이 급수는 닫힌 형태 $u=\frac{2V_0}{\pi}\arctan\dfrac{2ar\sin\varphi}{a^2-r^2}$로 합쳐집니다(검산 스크립트에서 수치로 비교).
$\cos^2\theta=\frac13P_0+\frac23P_2(\cos\theta)$ (확인: $\frac23\cdot\frac{3x^2-1}{2}=x^2-\frac13$). 그래서 $l=0,2$만 남습니다.
$$\begin{aligned}\text{내부: }u&=\frac{V_0}{3}+\frac{2V_0}{3}\frac{r^2}{a^2}P_2(\cos\theta),\\\text{외부: }u&=\frac{V_0}{3}\frac ar+\frac{2V_0}{3}\frac{a^3}{r^3}P_2(\cos\theta).\end{aligned}$$내부 해를 직교좌표로 쓰면 $r^2P_2=\frac{3z^2-r^2}{2}$ 이므로 $u=\frac{V_0}{3}+\frac{V_0}{3a^2}(2z^2-x^2-y^2)$. $\nabla^2(2z^2-x^2-y^2)=4-2-2=0$ 으로 바로 확인됩니다.
그림 표기로 보기: G3 3절 — 변환기는 대각합이 0이라 r^ℓ P_ℓ(cosθ)가 곧바로 조화함수입니다.
조건: $u(a,\theta)=0$, 그리고 멀리서는 원래의 균일장 $u\to-E_0z=-E_0r\cos\theta$ ($\mathbf E=-\nabla u$).
먼 곳 조건에서 $r^l$ 항은 $A_1=-E_0$만 남습니다. 그래서
$$u=-E_0rP_1(\cos\theta)+\sum_l\frac{B_l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta).$$$r=a$에서 모든 $\theta$에 대해 0이어야 하므로 $P_l$마다 계수가 0: $l=1$에서 $-E_0a+\frac{B_1}{a^2}=0$ → $B_1=E_0a^3$, 나머지 $B_l=0$.
$$u=-E_0\Big(r-\frac{a^3}{r^2}\Big)\cos\theta.$$표면전하: $\sigma=\varepsilon_0E_r\big|_{r=a}=-\varepsilon_0\dfrac{\partial u}{\partial r}\Big|_{r=a}=\varepsilon_0E_0\Big(1+\dfrac{2a^3}{a^3}\Big)\cos\theta=3\varepsilon_0E_0\cos\theta$.
총전하: $\displaystyle\int\sigma\,a^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=3\varepsilon_0E_0a^2\cdot2\pi\int_0^\pi\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0$. 접지했지만 전체로는 중성입니다.
가장 낮은 모드 몇 개:
| 모드 $(m,n)$ | $\alpha_{mn}$ | $\omega_{mn}/\omega_{01}$ |
|---|---|---|
| $(0,1)$ | $2.4048$ | $1$ |
| $(1,1)$ | $3.8317$ | $1.593$ |
| $(2,1)$ | $5.1356$ | $2.136$ |
| $(0,2)$ | $5.5201$ | $2.295$ |
현과 달리 배음이 정수배가 아닙니다. 그래서 북소리는 음높이가 뚜렷하지 않습니다.
$(0,2)$ 모드의 마디원(node circle): $J_0(5.5201\,r/a)=0$이 막 안에서 한 번 더 일어나는 곳은 $5.5201\,r/a=2.4048$, 즉 $r=0.4357a$.
①–④단계 결과는 레시피 4번의 급수입니다. ⑤ $z=h$에 넣으면 $V_0=\sum_n\big[c_n\sinh k_nh\big]J_0(\alpha_{0n}r/a)$. 양변에 $J_0(\alpha_{0n}r/a)\,r$를 곱해 $0$부터 $a$까지 적분합니다.
$$\begin{aligned}&c_n\sinh(k_nh)\cdot\frac{a^2}{2}J_1(\alpha_{0n})^2\\&\quad=V_0\int_0^aJ_0\Big(\alpha_{0n}\frac ra\Big)r\,dr\\&\quad=V_0\frac{a^2}{\alpha_{0n}}J_1(\alpha_{0n})\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\Rightarrow\ c_n\sinh(k_nh)&=\frac{2V_0}{\alpha_{0n}J_1(\alpha_{0n})},\\u&=2V_0\sum_{n=1}^\infty\frac{J_0(\alpha_{0n}r/a)}{\alpha_{0n}J_1(\alpha_{0n})}\\&\qquad\times\frac{\sinh(\alpha_{0n}z/a)}{\sinh(\alpha_{0n}h/a)}.\end{aligned}$$첫 두 계수: $\frac{2}{2.4048\times0.5191}=1.602$, $\frac{2}{5.5201\times(-0.3403)}=-1.065$ ($V_0$ 단위).
수치 예 ($h=2a$, 축 위 $z=a$): 첫 항 $0.14346V_0$, 둘째 항까지 $0.13919V_0$, 수렴값 $0.13934V_0$.
곡선 $x(s)$, $y(s)$를 $\frac{dx}{ds}=a$, $\frac{dy}{ds}=b$로 잡으면 연쇄법칙으로
$$\begin{aligned}\frac{du}{ds}&=u_x\frac{dx}{ds}+u_y\frac{dy}{ds}\\&=au_x+bu_y.\end{aligned}$$이것은 PDE의 왼쪽 그대로입니다. 그래서 곡선 위에서 PDE는 ODE $\frac{du}{ds}=c$가 됩니다. 곡선마다 출발점의 값 하나만 알면 그 곡선 위의 $u$가 정해집니다. 곡선의 이름표가 $\xi$이므로 $c=0$이면 $u=F(\xi)$입니다. 초기 데이터가 놓인 곡선이 특성곡선과 겹치거나 접하면 이 방법이 깨집니다(값이 두 번 지정되거나 정해지지 않음).
(a) $(x,y)$ 자리에 $(t,x)$가 있습니다. 특성곡선은 $\frac{dx}{dt}=c$, 즉 $x-ct=x_0$. 그 위에서 $\frac{du}{dt}=-\gamma u$이므로 $u=f(x_0)e^{-\gamma t}$. $x_0=x-ct$를 넣으면
$$u=f(x-ct)\,e^{-\gamma t}.$$검산: $u_t=\big(-cf'-\gamma f\big)e^{-\gamma t}$, $cu_x=cf'e^{-\gamma t}$. 더하면 $-\gamma u$. $\gamma=0$이면 모양 그대로 속력 $c$로 오른쪽으로 갑니다(수송 방정식, advection equation).
(b) $\frac{dx}{y}=\frac{dy}{-x}$ → $x\,dx+y\,dy=0$ → $x^2+y^2=$상수. 특성곡선이 원입니다. $c=0$이므로 $u=F(x^2+y^2)$. 출발점 $(x_0,0)$에서 $F(x_0^2)=x_0^2$, 즉 $F(s)=s$.
$$u=x^2+y^2.$$검산: $y\cdot2x-x\cdot2y=0$.
$u=F(y-mx)$를 넣으면 $u_{xx}=m^2F''$, $u_{xy}=-mF''$, $u_{yy}=F''$이라 2계 항이 $(Am^2-Bm+C)F''$입니다. 이것을 0으로 만드는 실수 $m$의 개수가 판별식의 부호로 정해집니다: 둘(쌍곡), 하나(포물), 없음(타원).
실수 $m$이 있으면 직선 $y-mx=$상수를 따라 모양을 유지한 채 정보가 전달됩니다(파동). 없으면 그런 방향이 없고, 한 점의 값이 둘레 경계 전체의 영향을 받습니다(라플라스).
좌표를 선형으로 바꾸면 계수 $A,B,C$는 바뀌지만 $B'^2-4A'C'=J^2(B^2-4AC)$입니다($J$는 변환의 야코비안 행렬식). 부호가 그대로라서 "유형"은 좌표와 무관합니다.
(a) $\Delta=16-12=4>0$, 쌍곡형. $m^2-4m+3=0$ → $m=1,3$.
$$u=F(y-x)+G(y-3x).$$검산: $G(y-3x)$이면 $u_{xx}=9G''$, $u_{xy}=-3G''$, $u_{yy}=G''$ → $9-12+3=0$.
(b) $\Delta=4-4=0$, 포물형. $m^2-2m+1=0$ → 중근 $m=1$.
$$u=F(y-x)+x\,G(y-x).$$검산: $u=xG(y-x)$이면 $u_{xx}=-2G'+xG''$, $u_{xy}=G'-xG''$, $u_{yy}=xG''$ → $(-2G'+xG'')+2(G'-xG'')+xG''=0$.
(c) $\Delta=1-4=-3<0$, 타원형. 실수 특성선이 없습니다.
(d) 변수 $(x,t)$에서 $A=-c^2$ ($u_{xx}$ 계수), $B=0$, $C=1$ ($u_{tt}$ 계수). $\Delta=4c^2>0$, 쌍곡형. $-c^2m^2+1=0$ → $m=\pm\frac1c$, 특성선 $t\mp\frac xc=$상수, 즉 $x\mp ct=$상수. 5절의 달랑베르 해 $F(x-ct)+G(x+ct)$입니다.
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy·mpmath로 검산했습니다. 기호: 열확산계수 $\kappa$, 파동 속도 $c$.
A1. $u_t=\kappa u_{xx}$에 $u=X(x)T(t)$를 넣어 두 ODE로 분리하세요(분리상수 $-k^2$).
A2. $X''+k^2X=0$, $X(0)=0$, $X'(L)=0$의 고유값과 고유함수
A3. $X''+k^2X=0$, $X'(0)=X'(L)=0$에서 $k=0$도 고유값입니까?
A4. $r^2R''+rR'-m^2R=0$의 해 ($m=0$일 때도)
A5. $r^2R''+2rR'-l(l+1)R=0$의 해
B1. 양 끝 0도, 처음 온도 $f=3\sin\dfrac{2\pi x}{L}$
B2. 양 끝 0도, 삼각형 처음 온도 (가운데에서 $T_0$, 양 끝 0)
B3. 양 끝 0도, 처음 온도 $f=T_0\dfrac xL$
B4. 예제 2-1에서 중앙 온도가 $T_0/2$가 되는 시각을 첫 항만으로 구하고, 그 시각에 $n=3$ 항의 크기를 어림하세요.
B5. 양 끝 단열, 처음 온도 $f=T_0\cos^2\dfrac{\pi x}{L}$
B6. 현을 $x=d$에서 높이 $h$로 뜯어 놓았습니다(두 직선으로 된 삼각형, 초기 속도 0). $a_n$은? $d=L/3$이면 어떤 모드가 빠집니까?
B7. 현, $f=0$, $g=v_0\sin\dfrac{\pi x}{L}$
C1. 사각판($0<x<a$, $0<y<b$)에서 오른쪽 변 $u(a,y)=V_0$, 나머지 세 변 0
C2. 사각판, 윗변 $u(x,b)=V_0\sin\dfrac{\pi x}{a}$, 나머지 0
C3. 반무한 띠 $0<x<a$, $y>0$: 양 옆 0, 바닥 $u(x,0)=V_0$, $y\to\infty$에서 $u\to0$
C4. 원판 경계 $u(a,\varphi)=V_0\cos^2\varphi$: 내부와 외부
C5. 원판 경계가 $0<\varphi<\pi/2$에서만 $V_0$, 나머지 0. 중심의 퍼텐셜은?
C6. 고리 $a<r<b$에서 $u(a)=V_1$, $u(b)=V_2$ (각도 무관)
D1. 구 표면 $V(\theta)=V_0\cos\theta$: 내부와 외부
D2. 위 반구 $+V_0$, 아래 반구 $-V_0$: 내부 해를 $l=3$까지
D3. 구 표면 $V(\theta)=V_0\cos^3\theta$: 내부
D4. 예제 7-2에서 도체구에 유도된 쌍극자 모멘트 $p$
D5. 예제 7-2에서 도체구를 접지하지 않고 퍼텐셜 $V_1$로 유지하면?
D6. 원형 막에서 $\omega_{11}/\omega_{01}$, $\omega_{02}/\omega_{01}$, 그리고 $(0,2)$ 모드 마디원의 반지름
D7. 예제 8-2에서 $n=2$ 계수 $c_2\sinh(k_2h)$의 값
E1. 열원이 있는 막대 $u_t=\kappa u_{xx}+Q$ ($Q$ 상수), $u(0,t)=u(L,t)=0$, $u(x,0)=0$
E2. $u(0,t)=0$, $u_x(L,t)=G$ (끝에서 열이 일정하게 들어옴), $u(x,0)=0$
E3. 무한히 긴 현, $f=0$, $g=xe^{-x^2}$
E4. 무한히 긴 현, $f=e^{-x^2}$, $g=0$. $u(0,t)$와 $u\big(1,\frac1c\big)$
F1. $u_x+u_y=u$, $u(x,0)=\sin x$
F2. $u_t+xu_x=0$, $u(x,0)=\dfrac1{1+x^2}$
F3. 분류하세요. (a) $u_{xx}-6u_{xy}+9u_{yy}=0$ (b) $2u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}=0$ (c) $u_{xx}-u_{yy}+u_x=0$ (d) $yu_{xx}+u_{yy}=0$
F4. $u_{xx}-u_{xy}-2u_{yy}=0$의 일반해