Arfken 7판 8장 (스투름-리우빌 형태, 자기수반 연산자, 경계조건과 고유값 문제, 고유함수 전개, 변분법으로 고유값 추정)
| 이름 | 식 |
|---|---|
| S-L 형태 | $(py')'+qy+\lambda wy=0$ |
| 적분인자 | $a_0y''+a_1y'+a_2y+\lambda y=0$이면 $p=e^{\int a_1/a_0\,dx}$, $q=\dfrac{a_2\,p}{a_0}$, $w=\dfrac{p}{a_0}$ |
| 자기수반(self-adjoint) 판정 | $a_0'=a_1$이면 이미 $(a_0y')'+a_2y+\lambda y=0$ |
| 직교성 | $\displaystyle\int_a^b\varphi_m\varphi_n\,w\,dx=0$ ($\lambda_m\ne\lambda_n$) |
| 전개 계수 | $c_n=\dfrac{\int_a^bf\varphi_n\,w\,dx}{\int_a^b\varphi_n^2\,w\,dx}$ |
| 레일리 몫(Rayleigh quotient) | $\lambda_1\le R[y]=\dfrac{\int_a^b(py'^2-qy^2)\,dx}{\int_a^bwy^2\,dx}$ |
| 라그랑주 항등식(Lagrange identity) | $\mathcal Ly=(py')'+qy$일 때 $\displaystyle\int_a^b(u\mathcal Lv-v\mathcal Lu)\,dx=\big[p(uv'-vu')\big]_a^b$ |
| 레일리-리츠(Rayleigh–Ritz) | $y=\sum c_iu_i$이면 $\det(H-RS)=0$ $H_{ij}=\int(pu_i'u_j'-qu_iu_j)\,dx$, $S_{ij}=\int wu_iu_j\,dx$ |
| 방정식 | $p$ | $q$ | $w$ | $\lambda$ | 구간 |
|---|---|---|---|---|---|
| 르장드르 $(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=0$ | $1-x^2$ | $0$ | $1$ | $l(l+1)$ | $[-1,1]$ |
| 연관 르장드르 | $1-x^2$ | $-\dfrac{m^2}{1-x^2}$ | $1$ | $l(l+1)$ | $[-1,1]$ |
| 베셀 $x^2y''+xy'+(k^2x^2-\nu^2)y=0$ | $x$ | $-\dfrac{\nu^2}{x}$ | $x$ | $k^2$ | $[0,a]$ |
| 에르미트 $y''-2xy'+\lambda y=0$ | $e^{-x^2}$ | $0$ | $e^{-x^2}$ | $2n$ | $(-\infty,\infty)$ |
| 라게르 $xy''+(1-x)y'+\lambda y=0$ | $xe^{-x}$ | $0$ | $e^{-x}$ | $n$ | $[0,\infty)$ |
| 체비쇼프 $(1-x^2)y''-xy'+\lambda y=0$ | $\sqrt{1-x^2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $n^2$ | $[-1,1]$ |
| 조화진동자 $\psi''-x^2\psi+\lambda\psi=0$ | $1$ | $-x^2$ | $1$ | $2n+1$ | $(-\infty,\infty)$ |
가중치 $w$가 L21–L24의 직교성 적분에 나온 가중치와 같습니다. 베셀만 고유값 항이 $\lambda\cdot x^2y$ 꼴이라 1절 레시피 5를 씁니다.
| 경계조건 | 고유값 | 고유함수 |
|---|---|---|
| 디리클레(Dirichlet) $y(0)=y(L)=0$ | $\big(\frac{n\pi}{L}\big)^2$, $n=1,2,\dots$ | $\sin\frac{n\pi x}{L}$ |
| 노이만(Neumann) $y'(0)=y'(L)=0$ | $\big(\frac{n\pi}{L}\big)^2$, $n=0,1,\dots$ | $\cos\frac{n\pi x}{L}$ ($n=0$이면 상수) |
| 주기(periodic) $y(0)=y(L)$, $y'(0)=y'(L)$ | $\big(\frac{2n\pi}{L}\big)^2$, $n=0,1,\dots$ | $\cos\frac{2n\pi x}{L}$, $\sin\frac{2n\pi x}{L}$ ($n\ge1$이면 두 개) |
| 로빈(Robin) $y(0)=0$, $y'(L)+hy(L)=0$ | $k^2$, $\tan kL=-\frac{k}{h}$의 근 | $\sin kx$ |
목표는 어떤 함수 $\mu(x)$를 곱해서 $\mu(a_0y''+a_1y')$를 한 덩어리 $(py')'=py''+p'y'$로 만드는 것입니다. $y''$와 $y'$의 계수를 맞추면 조건이 두 개 나옵니다.
$$p=\mu a_0,\qquad p'=\mu a_1.$$둘을 나누면 $\dfrac{p'}{p}=\dfrac{a_1}{a_0}$이고, 적분하면 $p=e^{\int a_1/a_0\,dx}$입니다. 곱한 인자는 $\mu=\dfrac{p}{a_0}$이므로 나머지 항 $a_2y$, $\lambda y$에도 같은 인자가 붙습니다. 그래서 $q=\dfrac{a_2p}{a_0}$, $w=\dfrac{p}{a_0}$입니다.
$a_0'=a_1$이면 $p=a_0$, $\mu=1$이라 곱할 것이 없습니다(이미 자기수반). 적분상수를 버려도 되는 이유: $p$에 상수를 곱하면 방정식 전체에 같은 상수가 곱해질 뿐입니다.
(a) 에르미트 $y''-2xy'+\lambda y=0$. $a_0=1$, $a_1=-2x$. $a_0'=0\ne-2x$이므로 자기수반이 아닙니다.
$$\begin{aligned}p&=e^{\int-2x\,dx}=e^{-x^2},\\ w&=\frac{p}{1}=e^{-x^2},\\ &\big(e^{-x^2}y'\big)'+\lambda e^{-x^2}y=0.\end{aligned}$$검산: $\big(e^{-x^2}y'\big)'=e^{-x^2}(y''-2xy')$.
(b) 라게르 $xy''+(1-x)y'+\lambda y=0$. $a_0=x$, $a_1=1-x$. $a_0'=1\ne1-x$.
$$\begin{aligned}\int\frac{1-x}{x}dx&=\ln x-x,\\ p&=xe^{-x},\\ w&=\frac{xe^{-x}}{x}=e^{-x},\\ &\big(xe^{-x}y'\big)'+\lambda e^{-x}y=0.\end{aligned}$$검산: $\big(xe^{-x}y'\big)'=xe^{-x}y''+(1-x)e^{-x}y'=e^{-x}\big[xy''+(1-x)y'\big]$.
(c) 르장드르 $(1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=0$. $a_0'=-2x=a_1$이므로 자기수반입니다. 그대로 $\big((1-x^2)y'\big)'+\lambda y=0$이고 $w=1$입니다.
(a) $a_0=1$, $a_1=-2$이므로 $p=e^{-2x}$, $w=e^{-2x}$. S-L 형태는 $\big(e^{-2x}y'\big)'+\lambda e^{-2x}y=0$입니다. 이 방정식은 예제 3-1에서 다시 씁니다.
(b) 베셀 $x^2y''+xy'-\nu^2y+k^2x^2y=0$. 고유값을 $\lambda=k^2$로 잡으면 고유값 항은 $\lambda\cdot x^2y$, 즉 $r=x^2$입니다. $a_0=x^2$, $a_1=x$이고 $a_0'=2x\ne x$입니다.
$$\begin{aligned}p&=e^{\int dx/x}=x,\quad\frac{p}{a_0}=\frac1x,\\ &xy''+y'-\frac{\nu^2}{x}y+k^2xy=0\\ \Rightarrow\ &(xy')'-\frac{\nu^2}{x}y+k^2\,x\,y=0.\end{aligned}$$$q=-\frac{\nu^2}{x}$, $w=\frac{pr}{a_0}=\frac{x\cdot x^2}{x^2}=x$. 베셀 직교성의 가중치 $x$(L23)가 여기서 나옵니다.
$\lambda<0$이 안 나오는 이유. $y''+\lambda y=0$에 $y$를 곱하고 $[0,L]$에서 부분적분합니다.
$$\begin{aligned}&\lambda\int_0^Ly^2dx\\&=\int_0^Ly'^2dx-\big[yy'\big]_0^L.\end{aligned}$$디리클레·노이만이면 경계항이 0이라 $\lambda\ge0$입니다. 로빈 $y(0)=0$, $y'(L)=-hy(L)$이면 $-\big[yy'\big]_0^L=hy(L)^2$이라 $h>0$일 때 역시 $\lambda\ge0$입니다. $\lambda=0$이 되려면 $\int y'^2=0$, 즉 $y$가 상수여야 합니다. 상수가 경계조건을 만족하는 노이만·주기에서만 $\lambda=0$이 살아남습니다. ($h<0$이면 이 논증이 깨집니다. 연습문제 B5)
영점 개수(진동 정리, oscillation theorem). 양 끝 조건이 따로따로인 경우, $n$번째 고유함수는 구간 안에 영점이 $n-1$개 있습니다. 예: $\sin\frac{n\pi x}{L}$. 느낌은 이렇습니다. $\lambda$가 클수록 $y''=-\lambda y$의 복원력이 커서 빨리 진동합니다. $\lambda$를 0부터 키우면 오른쪽 끝 조건이 맞을 때마다 영점이 하나씩 구간 안으로 들어옵니다. 그래서 가장 낮은 고유함수는 구간 안에서 부호가 바뀌지 않습니다(6절 레시피 4). 엄밀하게는 스투름 비교 정리가 필요하지만 생략합니다. Arfken 8장이 이 정리를 다루는지는 기억 기반, 미검증입니다.
(a) 디리클레 $y(0)=y(L)=0$.
$n=0$은 $y=0$이고, 음수 $n$은 같은 함수에 $-1$을 곱한 것이라 뺍니다.
(b) 노이만 $y'(0)=y'(L)=0$.
$\lambda=k^2>0$. 두 조건을 넣고 정리합니다.
$$\begin{aligned}A(1-\cos kL)-B\sin kL&=0,\\ A\sin kL+B(1-\cos kL)&=0.\end{aligned}$$계수 행렬식은 $(1-\cos kL)^2+\sin^2kL=2-2\cos kL$입니다. 이것이 0이려면 $\cos kL=1$, 즉 $kL=2n\pi$. 이때 두 식이 모두 $0=0$이 되어 $A$, $B$를 아무렇게나 잡을 수 있습니다. 그래서 고유함수가 두 개입니다.
$$\begin{aligned}\lambda_n&=\Big(\frac{2n\pi}{L}\Big)^2\quad(n\ge1):\\ &\cos\frac{2n\pi x}{L},\ \sin\frac{2n\pi x}{L}.\end{aligned}$$$\lambda=0$. $y=A+Bx$에서 $A=A+BL$이므로 $B=0$. 상수 하나만 남습니다.
$\lambda<0$. 같은 계산에서 행렬식이 $(1-\cosh\kappa L)^2-\sinh^2\kappa L=2-2\cosh\kappa L<0$이 됩니다. 0이 아니므로 자명해뿐입니다.
$L=2\pi$이면 $\lambda_n=n^2$이고, 고유함수가 푸리에 급수(L18)의 $\cos nx$, $\sin nx$입니다.
근의 위치. $\tan k$는 $\big(\frac\pi2,\pi\big)$에서 음수입니다. 그래서 직선 $-k$와는 구간 $\big((n-\frac12)\pi,\ n\pi\big)$마다 한 번씩 만납니다.
뉴턴법. $f(k)=\sin k+k\cos k$, $f'(k)=2\cos k-k\sin k$, 시작값 $k=2$.
$$\begin{aligned}f(2)&=0.90930+2(-0.41615)\\&=0.07700,\\ f'(2)&=2(-0.41615)-2(0.90930)\\&=-2.65089,\\ k&\leftarrow2-\frac{0.07700}{-2.65089}=2.02905.\end{aligned}$$한 번 더 하면 $f=-0.000785$, $f'=-2.70447$에서 $k\leftarrow2.02905-\frac{0.000785}{2.70447}=2.02876$. 수렴값은 $k_1=2.028758$입니다.
| $n$ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| $k_n$ | 2.0288 | 4.9132 | 7.9787 |
| $\lambda_n=k_n^2$ | 4.1159 | 24.139 | 63.659 |
$n$이 커지면 $k_n$은 $(n-\frac12)\pi$에 가까워집니다($\frac{5\pi}{2}=7.854$).
직교 확인. $a\ne b$이면 다음 식이 성립합니다.
$$\begin{aligned}&\int_0^1\sin ax\sin bx\,dx\\&=\frac{b\sin a\cos b-a\cos a\sin b}{a^2-b^2}.\end{aligned}$$고유값 조건 $\sin k=-k\cos k$를 넣으면 분자가 $b(-a\cos a)\cos b-a\cos a(-b\cos b)=0$입니다. $k_1$과 $k_2$는 정수배 관계가 아닌데도 직교합니다. S-L 이론이 보장하는 성질입니다.
라그랑주 항등식. $\mathcal Ly=(py')'+qy$로 두면 $q$ 항은 지워지고, 곱의 미분으로 다음이 나옵니다.
$$u\mathcal Lv-v\mathcal Lu=\big[p(uv'-vu')\big]'.$$직교성. $\mathcal L\varphi_n=-\lambda_nw\varphi_n$을 $u=\varphi_m$, $v=\varphi_n$에 넣고 $a$부터 $b$까지 적분합니다.
$$\begin{aligned}&(\lambda_m-\lambda_n)\int_a^bw\varphi_m\varphi_n\,dx\\&\quad=\Big[p(\varphi_m\varphi_n'-\varphi_n\varphi_m')\Big]_a^b.\end{aligned}$$경계항이 0이고 $\lambda_m\ne\lambda_n$이면 적분이 0입니다.
고유값은 실수. $p,q,w$와 경계조건이 실수이면 $\bar\varphi_n$도 고유값 $\bar\lambda_n$의 고유함수입니다. 위 식에 $\varphi_m=\bar\varphi_n$을 넣으면 $(\bar\lambda_n-\lambda_n)\int w|\varphi_n|^2dx=0$입니다. 적분이 양수이므로 $\bar\lambda_n=\lambda_n$.
계수 공식. $f=\sum c_n\varphi_n$에 $w\varphi_m$을 곱해 적분하면 직교성 때문에 $n=m$ 항만 남습니다: $\int fw\varphi_m=c_m\int w\varphi_m^2$. (급수가 수렴하고 항별로 적분해도 된다는 부분은 생략)
고유값. 특성방정식은 $r^2-2r+\lambda=0$, $r=1\pm\sqrt{1-\lambda}$입니다. $\lambda>1$이면 $r=1\pm i\mu$, $\mu=\sqrt{\lambda-1}$이고 $y=e^x(A\cos\mu x+B\sin\mu x)$입니다. $y(0)=A=0$이고, $y(\pi)=Be^\pi\sin\mu\pi=0$에서 $\mu=n$입니다.
$$\begin{aligned}\lambda_n&=n^2+1,\quad n=1,2,\dots\\ \varphi_n&=e^x\sin nx\end{aligned}$$$\lambda\le1$이면 자명해뿐입니다. $\lambda<1$이면 $y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}$에서 $B=-A$, $A(e^{r_1\pi}-e^{r_2\pi})=0$이 됩니다. $\lambda=1$이면 $y=(A+Bx)e^x$에서 $A=0$, $B\pi e^\pi=0$입니다.
가중치 직교성. 예제 1-2에서 $w=e^{-2x}$였습니다.
$$\begin{aligned}&\int_0^\pi\varphi_m\varphi_n\,e^{-2x}dx\\&=\int_0^\pi\sin mx\sin nx\,dx=\frac\pi2\delta_{mn}.\end{aligned}$$가중치를 빼면 직교하지 않습니다. $\sin x\sin2x=\frac12(\cos x-\cos3x)$와 $\int_0^\pi e^{2x}\cos bx\,dx=\frac{2(e^{2\pi}\cos b\pi-1)}{4+b^2}$을 씁니다.
$$\begin{aligned}&\int_0^\pi\varphi_1\varphi_2\,dx\\&=\int_0^\pi e^{2x}\sin x\sin2x\,dx\\&=-(e^{2\pi}+1)\Big(\frac15-\frac1{13}\Big)\\&=-\frac{8(e^{2\pi}+1)}{65}\approx-66.03.\end{aligned}$$전개. $f(x)=e^x$를 $\varphi_n$으로 전개합니다.
$$\begin{aligned}c_n&=\frac{\int_0^\pi e^x\cdot e^x\sin nx\cdot e^{-2x}dx}{\pi/2}\\&=\frac2\pi\int_0^\pi\sin nx\,dx\\&=\frac{2\big(1-(-1)^n\big)}{n\pi}.\end{aligned}$$즉 $e^x=\frac4\pi\big(\varphi_1+\frac13\varphi_3+\cdots\big)$입니다. $e^x$를 나눠 보면 $1=\frac4\pi\big(\sin x+\frac13\sin3x+\cdots\big)$로, 사인 급수(L18)와 같습니다.
표준 경계조건은 끝점마다 $B$의 한쪽 몫을 따로 0으로 만듭니다.
주기 조건은 한쪽 끝만 보면 0이 아닙니다. 두 끝의 몫이 같아서 빼면 0입니다(레시피 4에서 $\alpha=\beta=1$, $p(a)=p(b)$). 비자기수반 조건에서 고유값이 복소수일 수 있는 이유는, 3절 상자의 "실수" 논증이 $B=0$을 썼기 때문입니다. 그 논증이 무너지면 보장도 없습니다.
(a) 경계항. $u(0)=v(0)=0$이므로 $x=0$ 몫은 0입니다. $x=1$ 몫에 $u'(1)=u'(0)$, $v'(1)=v'(0)$을 넣습니다.
$$B=u(1)v'(0)-v(1)u'(0).$$이것은 일반적으로 0이 아닙니다. 예: $u=x$, $v=\sin2\pi x$이면 $B=1\cdot2\pi-0=2\pi$. 에르미트가 아닙니다.
고유값.
직교성이 깨지는 정도. 레시피 5의 식에 $\varphi_0=x$ ($\lambda=0$), $\varphi_n=\sin2n\pi x$를 넣습니다.
$$\begin{aligned}&(0-4n^2\pi^2)\int_0^1x\sin2n\pi x\,dx\\&=B[x,\sin2n\pi x]\\&=1\cdot2n\pi-0=2n\pi\\&\Rightarrow\int_0^1x\sin2n\pi x\,dx=-\frac{1}{2n\pi}.\end{aligned}$$직접 부분적분해도 $-\frac{1}{2n\pi}$입니다. 반면 $\sin2m\pi x$와 $\sin2n\pi x$끼리는 $B=0$이라 직교합니다.
(b) $u(1)=\frac12u(0)$, $u'(1)=2u'(0)$이므로 레시피 4에서 $\alpha=\frac12$, $\beta=2$이고 $p(0)=p(1)=1$. $\alpha\beta=1$이라 $B=0$, 에르미트입니다. 두 끝의 값이 달라도 에르미트일 수 있습니다. 고유값은 연습문제 C6에서 구합니다.
S-L 형태. $(xy')'+\lambda\frac1xy=0$이므로 $p=x$, $w=\frac1x$.
고유값. $u=\ln x$로 바꾸면 $y_{uu}+\lambda y=0$, $y(0)=y(1)=0$입니다. 따라서 $\lambda_n=n^2\pi^2$, $y_n=\sin(n\pi\ln x)$.
직접 확인. $y=\sin(k\ln x)$이면 다음과 같습니다.
$$\begin{aligned}y'&=\frac kx\cos(k\ln x),\\ y''&=-\frac{k}{x^2}\cos(k\ln x)\\&\quad-\frac{k^2}{x^2}\sin(k\ln x),\\ x^2y''+xy'&=-k^2\sin(k\ln x)\\&=-k^2y.\end{aligned}$$직교성 (가중치 $\frac1x$):
$$\begin{aligned}&\int_1^e\sin(m\pi\ln x)\sin(n\pi\ln x)\,\frac{dx}{x}\\&=\int_0^1\sin m\pi u\sin n\pi u\,du=\frac12\delta_{mn}.\end{aligned}$$전개 $f(x)=1$:
$$\begin{aligned}c_n&=\frac{\int_1^e\sin(n\pi\ln x)\frac{dx}{x}}{1/2}\\&=2\int_0^1\sin n\pi u\,du\\&=\frac{2\big(1-(-1)^n\big)}{n\pi}.\end{aligned}$$$c_1=\frac4\pi$, $c_2=0$, $c_3=\frac{4}{3\pi}$.
고유값. $u=J_0(\sqrt\lambda\,r)$, $J_0(\sqrt\lambda)=0$이므로 $\sqrt{\lambda_n}=\alpha_{0n}$입니다.
| $n$ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| $\alpha_{0n}$ | 2.4048 | 5.5201 | 8.6537 |
| $\lambda_n=\alpha_{0n}^2$ | 5.7832 | 30.471 | 74.887 |
반지름이 $a$이면 $\lambda_n=\alpha_{0n}^2/a^2$입니다.
직교성 (가중치 $r$). 수치로 확인하면 다음과 같습니다.
$$\begin{aligned}&\int_0^1r\,J_0(\alpha_{01}r)J_0(\alpha_{02}r)\,dr=0,\\ &\int_0^1r\,J_0(\alpha_{01}r)^2\,dr\\&=\tfrac12J_1(\alpha_{01})^2=0.1348.\end{aligned}$$가중치 $r$을 빼면 $\int_0^1J_0(\alpha_{01}r)J_0(\alpha_{02}r)\,dr\approx0.1961$로, 0이 아닙니다.
$R\ge\lambda_1$인 이유. 시험함수를 고유함수로 전개합니다: $y=\sum c_n\varphi_n$. 레시피 1의 분자를 $\varphi_m$, $\varphi_n$ 쌍에 대해 부분적분하면 $\int(p\varphi_m'\varphi_n'-q\varphi_m\varphi_n)\,dx=\lambda_n\int w\varphi_m\varphi_n\,dx$입니다(경계항 0). 직교성으로 교차항이 사라지므로
$$R[y]=\frac{\sum_n\lambda_nc_n^2N_n}{\sum_nc_n^2N_n}.$$여기서 $N_n=\int w\varphi_n^2dx$입니다.
이것은 $\lambda_n$들의 가중평균(가중치 $c_n^2N_n\ge0$)입니다. 그래서 가장 작은 $\lambda_1$보다 작을 수 없습니다. 등호는 $y\propto\varphi_1$일 때입니다.
오차가 작은 이유. $y=\varphi_1+\epsilon\eta$이면 위 식에서 $c_n$ ($n\ge2$)이 $\epsilon$ 정도라 $R-\lambda_1$은 $\epsilon^2$ 정도입니다. 시험함수가 조금 틀려도 고유값은 훨씬 덜 틀립니다.
$y=c_1u_1+c_2u_2$이면 분자와 분모가 이차형식 $N=\mathbf c^{T}H\mathbf c$, $D=\mathbf c^{T}S\mathbf c$입니다. $R=N/D$의 정류 조건 $\partial_{c_i}N=R\,\partial_{c_i}D$를 쓰면
$$\begin{aligned}&H\mathbf c=R\,S\mathbf c\\&\Rightarrow\ \det(H-RS)=0.\end{aligned}$$레시피 3의 $R=N'/D'$와 같은 생각입니다. 예제 6-2처럼 $y=u+cu^2$로 쓰는 것은 $c_1=1$로 고정한 것이라 작은 근이 같습니다. 큰 근이 $\lambda_2$의 상한이라는 것은 최소-최대 원리(min-max principle)가 필요해서 생략합니다.
$p=1$, $q=0$, $w=1$이고, 참값은 $\lambda_1=\pi^2\approx9.8696$입니다.
$$\begin{aligned}\int_0^1y'^2dx&=\int_0^1(1-4x+4x^2)\,dx\\&=1-2+\tfrac43=\tfrac13,\\ \int_0^1y^2dx&=\int_0^1(x^2-2x^3+x^4)\,dx\\&=\tfrac13-\tfrac12+\tfrac15=\tfrac1{30}.\end{aligned}$$$R=\frac{1/3}{1/30}=10$. 참값보다 약 $1.3\%$ 큽니다. 상한이 맞습니다.
$u$는 경계에서 0이므로 $y$도 경계조건을 만족합니다. 쓸 사실은 다음과 같습니다.
분자. $y'=u'(1+2cu)$이므로 $y'^2=(1-4u)(1+4cu+4c^2u^2)$입니다.
$$\begin{aligned}N(c)&=\int_0^1\big[1+(4c-4)u\\&\qquad+(4c^2-16c)u^2\\&\qquad-16c^2u^3\big]dx\\&=1+\frac{4c-4}{6}\\&\quad+\frac{4c^2-16c}{30}-\frac{16c^2}{140}\\&=\frac13+\frac{2c}{15}+\frac{2c^2}{105}.\end{aligned}$$분모.
$$\begin{aligned}D(c)&=\int_0^1(u^2+2cu^3+c^2u^4)\,dx\\&=\frac1{30}+\frac{c}{70}+\frac{c^2}{630}.\end{aligned}$$위아래에 630을 곱하면 다음과 같습니다. $c=0$이면 예제 6-1의 10입니다.
$$R(c)=\frac{12c^2+84c+210}{c^2+9c+21}.$$최소화. $R=\frac{N'}{D'}=\frac{24c+84}{2c+9}$로 놓고 교차해서 곱하면 $24c^2+84c-126=0$, 즉 $4c^2+14c-21=0$입니다.
$$c=\frac{-7+\sqrt{133}}{4}\approx1.1331.$$다른 근(음수)은 $R$을 크게 만드는 정류점이라 버립니다. 값을 넣으면
$$\begin{aligned}R_{\min}&=\frac{24c+84}{2c+9}\\&=\frac{84+12\sqrt{133}}{11+\sqrt{133}}\\&=56-4\sqrt{133}\approx9.86975.\end{aligned}$$$\pi^2=9.86960$과의 상대오차는 $1.5\times10^{-5}$입니다. 매개변수 하나로 오차가 $1.3\%$에서 $0.0015\%$로 줄었습니다.
$p=w=1$, $q=0$이고 예제 6-2의 적분을 그대로 씁니다($u'^2=1-4u$).
$$\begin{aligned}H_{11}&=\int_0^1u'^2dx=\tfrac13,\\ H_{12}&=\int_0^1u'\cdot2uu'\,dx\\&=2\int_0^1u(1-4u)\,dx\\&=\tfrac1{15},\\ H_{22}&=\int_0^14u^2u'^2dx\\&=4\int_0^1u^2(1-4u)\,dx\\&=\tfrac2{105},\\ S_{11}&=\tfrac1{30},\ \ S_{12}=\tfrac1{140},\\ S_{22}&=\tfrac1{630}.\end{aligned}$$$\big(\frac13-\frac R{30}\big)\big(\frac2{105}-\frac R{630}\big)-\big(\frac1{15}-\frac R{140}\big)^2$을 전개합니다.
$$\begin{aligned}&\det(H-RS)\\&=\frac1{525}-\frac{R}{4725}+\frac{R^2}{529200}\\&=\frac{R^2-112R+1008}{529200}=0,\\ &R=56\mp4\sqrt{133}\\&\ \ =9.86975,\ \ 102.130.\end{aligned}$$작은 근은 예제 6-2의 $R_{\min}$과 같습니다. 큰 근 $102.13$은 $\lambda_2=4\pi^2=39.48$의 상한이긴 하지만 많이 큽니다. $u$와 $u^2$는 둘 다 $x=\frac12$에 대해 대칭이라 반대칭인 $\sin2\pi x$를 전혀 담지 못합니다. 그래서 실제로는 대칭인 다음 고유값 $\lambda_3=9\pi^2=88.83$을 노립니다. 반대칭 기저는 연습문제 E6에서 씁니다.
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy와 mpmath로 검산했습니다.
A1. $y''+2y'+\lambda y=0$을 S-L 형태로 쓰세요.
A2. $x^2y''+3xy'+\lambda y=0$ ($x>0$)을 S-L 형태로 쓰세요.
A3. 체비쇼프 $U_n$의 방정식 $(1-x^2)y''-3xy'+\lambda y=0$의 $p$, $w$
A4. 자기수반인지 판정하고, 아니면 S-L 형태로 바꾸세요. (a) $(1+x^2)y''+2xy'+\lambda y=0$ (b) $xy''+2y'+\lambda y=0$ (c) $\sin x\,y''+\cos x\,y'+\lambda y=0$
A5. 연관 라게르 방정식 $xy''+(k+1-x)y'+\lambda y=0$의 $p$, $w$
B1. $y''+\lambda y=0$, $y(0)=0$, $y'(L)=0$의 고유값과 고유함수
B2. 구간 $[0,2]$의 노이만 문제에서 가장 작은 고유값 세 개
B3. 반주기 조건 $y(0)=-y(L)$, $y'(0)=-y'(L)$
B4. $y''+\lambda y=0$, $y'(0)=0$, $y'(1)+y(1)=0$. 고유값 조건과 가장 작은 두 고유값 (수치)
B5. $y''+\lambda y=0$, $y(0)=0$, $y'(1)=y(1)$. $\lambda=0$도 확인하세요.
C1. 예제 3-1의 고유함수 $e^x\sin nx$로 $f(x)=xe^x$를 전개하세요.
C2. 예제 5-1의 고유함수로 $f(x)=\ln x$를 전개하세요.
C3. 예제 2-3의 고유함수에 대해 $\int_0^1\sin^2k_nx\,dx=\frac{1+\cos^2k_n}{2}$을 보이고 $n=1$의 값을 구하세요.
C4. 예제 2-3의 고유함수 $\sin k_nx$로 $f(x)=x$를 전개할 때 $c_n$의 일반식과 $c_1$, $c_2$
C5. $y''+\lambda y=0$이 아래 경계조건에서 에르미트인지 판정하세요. (a) $[0,1]$, $y(0)=3y(1)$, $y'(0)=\frac13y'(1)$ (b) $[0,1]$, $y(0)=y(1)$, $y'(0)=2y'(1)$ (c) 방정식이 $(xy')'+\lambda\frac yx=0$, 구간 $[1,2]$, $y(2)=y(1)$, $y'(2)=\frac12y'(1)$
C6. 예제 4-1(b)의 고유값 조건, 가장 작은 고유값 두 개와 고유함수. 두 고유함수가 직교하는지 확인하세요.
C7. $y''+\lambda y=0$, $y(0)=0$, $y(1)=y'(0)$. 경계항이 0이 아님을 예로 보이고, 실수 고유값을 모두 구하세요.
D1. $x^2y''+xy'+\lambda y=0$, $y(1)=y(e^2)=0$
D2. $x^2y''+3xy'+\lambda y=0$, $y(1)=y(e)=0$ (A2의 S-L 형태를 쓰세요)
D3. 반지름 $a=2$인 원판에서 가장 작은 고유값 두 개
E1. 예제 6-1의 문제에 시험함수 $\sin\pi x$를 넣으면?
E2. $y''+\lambda y=0$, $y(0)=0$, $y'(1)=0$에 시험함수 $y=2x-x^2$
E3. 반지름 1인 원판(예제 5-2)에 시험함수 $u=1-r^2$
E4. 예제 5-1(구간 $[1,e]$)에 시험함수 $y=\ln x\,(1-\ln x)$
E5. 조화진동자 $\psi''-x^2\psi+\lambda\psi=0$ ($p=1$, $q=-x^2$, $w=1$)에 시험함수 $e^{-ax^2/2}$를 넣고 $a$로 최소화하세요.
E6. 예제 6-1의 문제에 기저 $u_1=x(1-x)$, $u_2=x(1-x)(1-2x)$로 레일리-리츠를 쓰세요.
E7. 반지름 1인 원판(예제 5-2)에 기저 $1-r^2$, $(1-r^2)^2$로 레일리-리츠를 쓰세요(가중치 $r$).