Arfken 7판 14장 (제1종 베셀 함수, 적분 표현, 직교성, 노이만 함수와 론스키안, 한켈 함수, 변형 베셀 함수, 점근 전개, 구면 베셀 함수와 레일리 공식)
| 이름 | 식 |
|---|---|
| 베셀 방정식 | $x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0$ |
| 급수 | $J_\nu(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)}\Big(\frac x2\Big)^{2k+\nu}$ |
| 음의 정수 차수 | $J_{-n}=(-1)^nJ_n$ |
| 점화식 | $J_{\nu-1}+J_{\nu+1}=\dfrac{2\nu}{x}J_\nu,\qquad J_{\nu-1}-J_{\nu+1}=2J_\nu'$ |
| 미분 공식 | $\dfrac{d}{dx}\big[x^\nu J_\nu\big]=x^\nu J_{\nu-1},\qquad\dfrac{d}{dx}\big[x^{-\nu}J_\nu\big]=-x^{-\nu}J_{\nu+1}$ |
| 생성함수 | $e^{(x/2)(t-1/t)}=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)\,t^n$ |
| 반정수 | $J_{1/2}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\sin x,\qquad J_{-1/2}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\cos x$ |
| 큰 $x$ | $J_\nu(x)\approx\sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\cos\Big(x-\dfrac{\nu\pi}{2}-\dfrac\pi4\Big)$ |
처음 몇 항: $J_0=1-\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^4}{64}-\cdots$, $\ J_1=\dfrac x2-\dfrac{x^3}{16}+\cdots$. 그리고 $J_0'=-J_1$.
급수를 방정식에 넣어 봅니다. $y=\sum_kc_kx^{2k+\nu}$로 두면 $x^2y''+xy'-\nu^2y$에서 $x^{2k+\nu}$의 계수는 $\big[(2k+\nu)^2-\nu^2\big]c_k=4k(k+\nu)c_k$이고, 남은 $x^2y$는 $c_{k-1}$을 $x^{2k+\nu}$ 자리로 옮깁니다. 그래서
$$4k(k+\nu)\,c_k+c_{k-1}=0\ \Rightarrow\ c_k=-\frac{c_{k-1}}{4k(k+\nu)}.$$$c_0=\frac{1}{2^\nu\Gamma(\nu+1)}$로 시작해 $k$번 쓰면 분모에 $4^kk!\,(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+k)$가 쌓이고, $\Gamma(\nu+1)(\nu+1)\cdots(\nu+k)=\Gamma(k+\nu+1)$이라 0절의 급수가 됩니다. $c_0$의 값은 생성함수·점화식과 맞추기 위한 약속입니다.
$J_0$ ($n=0$, 분모 $(k!)^2$):
$J_1$ ($n=1$, 분모 $k!\,(k+1)!$): $\dfrac x2-\dfrac{(x/2)^3}{1!\,2!}+\dfrac{(x/2)^5}{2!\,3!}-\cdots=\dfrac x2-\dfrac{x^3}{16}+\dfrac{x^5}{384}-\cdots$
$J_{-1}$: $k=0$ 항은 $\frac{1}{\Gamma(0)}=0$이라 빠집니다. $k=j+1$로 놓으면
$$\begin{aligned}J_{-1}&=\sum_{j=0}^\infty\frac{(-1)^{j+1}}{(j+1)!\,j!}\Big(\frac x2\Big)^{2j+1}\\&=-\sum_{j=0}^\infty\frac{(-1)^j}{j!\,(j+1)!}\Big(\frac x2\Big)^{2j+1}=-J_1.\end{aligned}$$덤: $J_0$ 급수를 항별로 미분하면 $-\frac x2+\frac{x^3}{16}-\frac{x^5}{384}=-J_1$이 됩니다. $J_0'=-J_1$입니다.
미분 공식은 급수에서 바로 나옵니다. $x^\nu J_\nu=\sum_k\frac{(-1)^k\,x^{2k+2\nu}}{2^{2k+\nu}k!\,\Gamma(k+\nu+1)}$를 미분하면 $2(k+\nu)$가 내려오고 $\frac{k+\nu}{\Gamma(k+\nu+1)}=\frac1{\Gamma(k+\nu)}$이므로
$$\begin{aligned}\frac{d}{dx}\big[x^\nu J_\nu\big]&=x^\nu\sum_k\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+\nu)}\Big(\frac x2\Big)^{2k+\nu-1}\\&=x^\nu J_{\nu-1}.\end{aligned}$$$x^{-\nu}J_\nu$도 같은 방법입니다($k=0$ 항이 상수라 사라지고, $k\to k+1$로 당기면 $-J_{\nu+1}$). 두 미분 공식을 곱의 미분으로 풀면
$$J_\nu'+\frac\nu xJ_\nu=J_{\nu-1},\qquad J_\nu'-\frac\nu xJ_\nu=-J_{\nu+1}.$$두 식을 더하면 $J_{\nu-1}-J_{\nu+1}=2J_\nu'$, 빼면 $J_{\nu-1}+J_{\nu+1}=\frac{2\nu}{x}J_\nu$. 점화식 두 개는 미분 공식 두 개와 같은 내용이고, 3절의 적분 공식은 그것을 거꾸로 읽은 것입니다.
$J_2$: $\nu=1$을 넣습니다. $J_0+J_2=\frac{2}{x}J_1$ 이므로
$$J_2=\frac2xJ_1-J_0.$$$J_0'$: 두 번째 점화식에 $\nu=0$: $J_{-1}-J_1=2J_0'$. $J_{-1}=-J_1$ 이므로 $-2J_1=2J_0'$, 즉 $J_0'=-J_1$.
$J_1'$: 레시피 2에 $\nu=1$: $J_1'=J_0-\dfrac1xJ_1$.
$x^3J_0=x^2\cdot(xJ_0)$로 보고 $u=x^2$, $dv=xJ_0\,dx$로 둡니다. 그러면 $du=2x\,dx$, $v=xJ_1$.
$$\begin{aligned}\int x^3J_0\,dx&=x^2\cdot xJ_1-\int xJ_1\cdot2x\,dx\\&=x^3J_1-2\int x^2J_1\,dx.\end{aligned}$$남은 적분은 레시피 1에 $\nu=2$를 넣은 것입니다: $\int x^2J_1\,dx=x^2J_2$.
$$\int x^3J_0\,dx=x^3J_1-2x^2J_2+C.$$$J_2=\frac2xJ_1-J_0$ (예제 2-1)를 넣으면 $J_0,J_1$만 남습니다.
$$\int x^3J_0\,dx=(x^3-4x)J_1(x)+2x^2J_0(x)+C.$$생성함수 → 점화식: 생성함수를 $t$로 미분하면 $\frac x2\big(1+\frac1{t^2}\big)g=\sum nJ_nt^{n-1}$이고, $t^{n-1}$의 계수를 비교하면 2절의 첫 점화식 $\frac x2(J_{n-1}+J_{n+1})=nJ_n$이 다시 나옵니다. ($t^n$ 계수가 $J_n$이라는 것은 예제 4-1(a)가 그대로 증명입니다.)
적분 표현: 야코비-앵거 전개 $e^{ix\sin\theta}=\sum_kJ_ke^{ik\theta}$에 $e^{-in\theta}$를 곱해 $0$부터 $2\pi$까지 적분하면 $k=n$ 항만 남습니다(L18의 푸리에 계수와 같은 계산).
$$J_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{i(x\sin\theta-n\theta)}d\theta.$$$\theta\to2\pi-\theta$로 바꾸면 $[\pi,2\pi]$ 부분이 $[0,\pi]$ 부분과 같아지고, 허수부(사인)는 서로 지워집니다. 남는 것이 $\frac1\pi\int_0^\pi\cos(n\theta-x\sin\theta)\,d\theta$입니다. 비정수 $\nu$에서는 항이 하나 더 붙습니다.
(a)
$$\begin{aligned}e^{xt/2}e^{-x/(2t)}=&\sum_{a=0}^\infty\frac{(x/2)^a}{a!}t^a\\ \times&\sum_{b=0}^\infty\frac{(-1)^b(x/2)^b}{b!}t^{-b}.\end{aligned}$$$t^n$이 되려면 $a-b=n$, 즉 $a=b+n$입니다. 그 항들을 모으면
$$\sum_{b=0}^\infty\frac{(-1)^b}{b!\,(b+n)!}\Big(\frac x2\Big)^{2b+n}=J_n(x).\ \checkmark$$(b) 야코비-앵거 전개에서 $n$과 $-n$ 항을 묶으면 $J_n\big(e^{in\theta}+(-1)^ne^{-in\theta}\big)$입니다. 짝수 $n$이면 $2\cos n\theta$, 홀수 $n$이면 $2i\sin n\theta$가 됩니다.
$$\begin{aligned}\cos(x\sin\theta)&=J_0+2J_2\cos2\theta+2J_4\cos4\theta+\cdots\\ \sin(x\sin\theta)&=2J_1\sin\theta+2J_3\sin3\theta+\cdots\end{aligned}$$수치 확인($x=1$): $J_0(1)-2J_2(1)+2J_4(1)=0.54034$, $\cos1=0.54030$. 세 항만으로도 거의 맞습니다.
(a) $n=0$이면 $J_0=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(x\sin\theta)\,d\theta$. $\cos$의 급수를 넣고 항별로 적분합니다.
$$J_0=\sum_k\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\cdot\frac1\pi\int_0^\pi\sin^{2k}\theta\,d\theta.$$월리스 적분 $\frac1\pi\int_0^\pi\sin^{2k}\theta\,d\theta=\frac{(2k)!}{4^k(k!)^2}$ (예: $k=1$이면 $\frac12$)을 넣으면 $(2k)!$이 지워집니다.
$$J_0=\sum_k\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\Big(\frac x2\Big)^{2k}.$$0절의 급수와 같습니다.
(b) 적분 기호 안에서 미분합니다: $J_0'=-\frac1\pi\int_0^\pi\sin\theta\,\sin(x\sin\theta)\,d\theta$. 한편 $n=1$이면
$$\begin{aligned}\cos(\theta-x\sin\theta)&=\cos\theta\cos(x\sin\theta)\\&\quad+\sin\theta\sin(x\sin\theta).\end{aligned}$$첫 항은 $\theta\to\pi-\theta$에서 $\cos\theta$만 부호가 바뀌므로 $[0,\pi]$ 적분이 0입니다. 따라서 $J_1=\frac1\pi\int_0^\pi\sin\theta\sin(x\sin\theta)\,d\theta=-J_0'$. 2절의 결과와 같습니다.
반정수 차수가 초등함수가 되는 이유: $y=u/\sqrt x$를 베셀 방정식에 넣으면
$$u''+\Big(1-\frac{\nu^2-\frac14}{x^2}\Big)u=0.$$$\nu=\pm\frac12$이면 $u''+u=0$이라 $u=\sin x,\cos x$, 즉 $J_{\pm1/2}\propto\frac{\sin x}{\sqrt x},\frac{\cos x}{\sqrt x}$입니다. 그 위의 반정수는 점화식이 유리함수 $\frac{2\nu}{x}$만 곱하므로 계속 $\sin$, $\cos$, $x$의 거듭제곱으로 남습니다.
레일리 공식: 미분 공식 $\frac{d}{dx}[x^{-\nu}J_\nu]=-x^{-\nu}J_{\nu+1}$에 $\nu=n+\frac12$를 넣고 $j_n=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{n+1/2}$로 바꾸면 $\frac{d}{dx}\big[x^{-n}j_n\big]=-x^{-n}j_{n+1}$, 즉
$$\frac{j_{n+1}}{x^{n+1}}=\Big(-\frac1x\frac{d}{dx}\Big)\frac{j_n}{x^n}.$$$j_0=\frac{\sin x}{x}$에서 $n$번 반복하면 레일리 공식입니다.
작은 $x$: $\frac{\sin x}{x}=\sum_k\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k+1)!}$에 $\big(\frac1x\frac d{dx}\big)^n$을 걸면 $x^{2k}\to2k\,x^{2k-2}$가 반복되어 $k<n$ 항은 사라지고, $k=n$ 항이 상수 $\frac{(-1)^n2^nn!}{(2n+1)!}$로 남습니다. $(-x)^n$을 곱하면 $j_n\approx\frac{2^nn!}{(2n+1)!}x^n=\frac{x^n}{(2n+1)!!}$.
(a) 레시피 1의 항등식을 $\nu=\frac12$인 급수의 분모에 넣습니다.
$$\begin{aligned}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+\frac32)}\Big(\frac x2\Big)^{2k+\frac12}&=(-1)^k\frac{2^{2k+1}}{(2k+1)!\sqrt\pi}\cdot\frac{x^{2k+\frac12}}{2^{2k+\frac12}}\\&=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cdot\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}.\end{aligned}$$($2^{2k+1}/2^{2k+1/2}=\sqrt2$, $x^{2k+1/2}=x^{2k+1}/\sqrt x$.) 남은 합은 $\sin x$의 급수이므로 $J_{1/2}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\sin x$.
(b) $j_0=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x=\dfrac{\sin x}{x}$.
$j_1=-j_0'=-\Big(\dfrac{\cos x}{x}-\dfrac{\sin x}{x^2}\Big)=\dfrac{\sin x}{x^2}-\dfrac{\cos x}{x}$.
$j_2$: 레시피 3에 $n=1$: $j_2=\frac3xj_1-j_0$.
$$\begin{aligned}j_2&=\frac3x\Big(\frac{\sin x}{x^2}-\frac{\cos x}{x}\Big)-\frac{\sin x}{x}\\&=\Big(\frac{3}{x^3}-\frac1x\Big)\sin x-\frac{3}{x^2}\cos x.\end{aligned}$$첫 번째 "미분하고 $x$로 나누기":
$$\frac1x\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{x}=\frac{\cos x}{x^2}-\frac{\sin x}{x^3}.$$$(-x)^1$을 곱하면 $j_1=\dfrac{\sin x}{x^2}-\dfrac{\cos x}{x}$. 예제 5-1과 같습니다.
한 번 더 걸 때는 각 항을 미분하고 $x$로 나눕니다.
$$\begin{aligned}&\frac1x\frac{d}{dx}\Big(\frac{\cos x}{x^2}-\frac{\sin x}{x^3}\Big)\\&=\frac1x\Big(-\frac{\sin x}{x^2}-\frac{2\cos x}{x^3}-\frac{\cos x}{x^3}+\frac{3\sin x}{x^4}\Big)\\&=-\frac{\sin x}{x^3}-\frac{3\cos x}{x^4}+\frac{3\sin x}{x^5}.\end{aligned}$$$(-x)^2=x^2$을 곱하면 $j_2=\Big(\dfrac{3}{x^3}-\dfrac1x\Big)\sin x-\dfrac{3}{x^2}\cos x$. 역시 예제 5-1과 같습니다.
작은 $x$ 확인: $\frac{\sin x}{x}$의 $\frac{x^4}{120}$ 항에 연산자를 두 번 걸면 $\frac{x^4}{120}\to\frac{4x^2}{120}\to\frac{8}{120}=\frac1{15}$. 그래서 $j_2\approx\frac{x^2}{15}$.
고르는 표
| 방정식 | 해 | 모양 |
|---|---|---|
| $x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0$ | $J_\nu,\ Y_\nu$ (또는 $H^{(1)},H^{(2)}$) | 진동 |
| $x^2y''+xy'-(x^2+\nu^2)y=0$ | $I_\nu,\ K_\nu$ | 지수적 증가·감소 |
| $x^2y''+2xy'+\big(x^2-n(n+1)\big)y=0$ | $j_n,\ n_n$ (또는 $h_n^{(1,2)}=j_n\pm in_n$) | 진동, $\sim\frac1x$ |
경계 조건으로 거르기: 영역에 원점이 있으면 원점에서 발산하는 $Y_\nu$, $K_\nu$, $n_n$을 버립니다. 영역이 무한대까지 가면 $I_\nu$(지수 증가)를 버립니다. 고리 영역 $a\le\rho\le b$에서는 둘 다 남깁니다.
론스키안이 $\frac Cx$인 이유: 베셀 방정식을 $x^2$으로 나누면 $y''+\frac1xy'+\cdots=0$이라 아벨 공식(L16)으로 $W=Ce^{-\int dx/x}=\frac Cx$입니다. $C$는 아무 $x$에서나 정하면 되니 큰 $x$(7절)에서 정합니다. $J\approx A\cos\phi$, $Y\approx A\sin\phi$ ($A=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}$, $\phi=x-\frac{\nu\pi}2-\frac\pi4$)이고 $A$의 미분은 한 차수 작으므로
$$JY'-J'Y\approx A^2\big(\cos^2\phi+\sin^2\phi\big)=\frac{2}{\pi x}.$$$W\ne0$이니 $J_\nu$와 $Y_\nu$가 진짜 독립인 해라는 것도 확인됩니다. 변형 베셀도 $\frac Cx$ 꼴이고, $I\approx\frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}$, $K\approx\sqrt{\frac{\pi}{2x}}e^{-x}$에서 $C=-1$입니다. 점화식 버전은 $Y_\nu'=\frac\nu xY_\nu-Y_{\nu+1}$ (J와 같은 점화식)을 넣으면 $\frac\nu x$ 항이 지워져 나옵니다.
(a) $J_0$ 급수에 $ix$를 넣으면 $(ix)^2=-x^2$이라 부호가 모두 $+$가 됩니다: $I_0=J_0(ix)=1+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{64}+\cdots$.
$I_1=i^{-1}J_1(ix)=-i\Big[\frac{ix}{2}-\frac{(ix)^3}{16}+\cdots\Big]=-i\Big[\frac{ix}{2}+\frac{ix^3}{16}+\cdots\Big]=\frac x2+\frac{x^3}{16}+\cdots$ ($(ix)^3=-ix^3$).
(b) $\nu=\frac12$이면 $\cos\frac\pi2=0$, $\sin\frac\pi2=1$ 이므로 $Y_{1/2}=-J_{-1/2}=-\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x$. 따라서 $n_0=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}Y_{1/2}=-\dfrac{\cos x}{x}$.
(c) $J_{\pm1/2}$에 $ix$를 넣으면 $I_{1/2}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sinh x$, $I_{-1/2}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cosh x$입니다.
$$\begin{aligned}K_{1/2}&=\frac\pi2\cdot\frac{I_{-1/2}-I_{1/2}}{1}\\&=\frac\pi2\sqrt{\frac{2}{\pi x}}(\cosh x-\sinh x)\\&=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,e^{-x}.\end{aligned}$$$K$는 무한대에서 감소하는 해라는 것이 눈에 보입니다.
먼저 쓸모 있는 성질: 두 함수에 같은 인자 $A(x)$를 곱하면 $W(Af,Ag)=A^2\,W(f,g)$입니다. ($A'$이 붙은 항 $AA'fg$가 서로 지워짐)
(a) $J_{1/2}=A\sin x$, $Y_{1/2}=-A\cos x$ (예제 6-1), $A=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}$.
$$\begin{aligned}W&=A^2\big[\sin x\cdot\sin x-\cos x\cdot(-\cos x)\big]\\&=A^2=\frac{2}{\pi x}.\ \checkmark\end{aligned}$$(b) $I_{1/2}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sinh x$, $K_{1/2}=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}e^{-x}$. 앞 인자의 곱이 $\frac1x$이므로
$$\begin{aligned}W&=\frac1x\big[\sinh x\cdot(-e^{-x})-\cosh x\cdot e^{-x}\big]\\&=-\frac{e^{-x}(\sinh x+\cosh x)}{x}=-\frac1x.\ \checkmark\end{aligned}$$| 함수 | 작은 $x$ | 큰 $x$ |
|---|---|---|
| $J_\nu$ | $\dfrac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)}$ | $\sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\cos\Big(x-\dfrac{\nu\pi}{2}-\dfrac\pi4\Big)$ |
| $Y_0$ | $\dfrac2\pi\Big(\ln\dfrac x2+\gamma\Big)$ | $\sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\sin\Big(x-\dfrac{\nu\pi}{2}-\dfrac\pi4\Big)$ |
| $Y_\nu$ ($\nu>0$) | $-\dfrac{\Gamma(\nu)}{\pi}\Big(\dfrac2x\Big)^\nu$ | |
| $H_\nu^{(1)}$ | $\sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\,e^{i(x-\nu\pi/2-\pi/4)}$ | |
| $I_\nu$ | $\dfrac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)}$ | $\dfrac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}$ |
| $K_0$ | $-\ln\dfrac x2-\gamma$ | $\sqrt{\dfrac{\pi}{2x}}\,e^{-x}$ |
| $K_\nu$ ($\nu>0$) | $\dfrac{\Gamma(\nu)}{2}\Big(\dfrac2x\Big)^\nu$ |
큰 $x$에서 $\cos$, $\sin$이 되는 이유: 5절 상자의 $u=\sqrt x\,y$는 $u''+\big(1-\frac{\nu^2-1/4}{x^2}\big)u=0$을 풉니다. $x$가 크면 괄호가 거의 1이라 $u\approx A\cos(x-\delta)$, 그래서 $y\approx\frac{A}{\sqrt x}\cos(x-\delta)$입니다. 진폭 $A=\sqrt{2/\pi}$와 위상 $\delta=\frac{\nu\pi}{2}+\frac\pi4$는 적분 표현에 안장점 방법(L30)을 써야 나옵니다(생략). $\nu=\frac12$이면 $J_{1/2}=\sqrt{\frac2{\pi x}}\cos\big(x-\frac\pi2\big)$로 정확히 맞습니다.
작은 $x$: 급수의 첫 항입니다. $Y_\nu$($\nu>0$)는 정의에 들어 있는 $J_{-\nu}$의 첫 항 $\frac{(x/2)^{-\nu}}{\Gamma(1-\nu)}$가 지배하고, 반사 공식 $\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu)=\frac{\pi}{\sin\nu\pi}$(L14)로 $-\frac{\Gamma(\nu)}{\pi}\big(\frac2x\big)^\nu$가 됩니다.
$J_0(10)$: $\sqrt{\frac{2}{10\pi}}=0.25231$, $\cos\big(10-\frac\pi4\big)=-0.97799$.
$$J_0(10)\approx0.25231\times(-0.97799)=-0.24676.$$정확한 값은 $-0.24594$이고, 오차는 약 0.3%입니다.
영점: $\cos(x-\frac\pi4)=0$ 에서 $x=\frac{3\pi}4+k\pi$: $2.356,\ 5.498,\ 8.639$. 실제 영점은 $2.4048,\ 5.5201,\ 8.6537$로, 뒤로 갈수록 가까워집니다.
$J_1(0.1)$: 작은 $x$ 근사 $\frac{x}{2}=0.05$. 정확한 값은 $0.049938$입니다.
(i) $x^2y''+xy'+(9x^2-4)y=0$: $k=3$, $\nu=2$. 해는 $y=AJ_2(3x)+BY_2(3x)$.
(ii) $y''+\frac1xy'+\big(4-\frac{1}{x^2}\big)y=0$: $x^2$을 곱하면 $x^2y''+xy'+(4x^2-1)y=0$. $k=2$, $\nu=1$이므로 $y=AJ_1(2x)+BY_1(2x)$.
(iii) $x^2y''+xy'-\big(x^2+\frac14\big)y=0$: 부호가 음수이므로 변형 베셀, $\nu=\frac12$. $y=AI_{1/2}(x)+BK_{1/2}(x)$. 예제 6-1(c)에 따라 기초함수로 쓰면
$$y=\frac{C_1e^x+C_2e^{-x}}{\sqrt x}.$$확인: $y=e^{-x}x^{-1/2}$를 넣으면 $x^2y''+xy'=\big(x^2+\frac14\big)y$가 됩니다.
| $J_\nu$의 영점 $\alpha_{\nu m}$ | $m=1$ | $m=2$ | $m=3$ |
|---|---|---|---|
| $J_0$ | 2.4048 | 5.5201 | 8.6537 |
| $J_1$ | 3.8317 | 7.0156 | 10.1735 |
| $J_2$ | 5.1356 | 8.4172 | 11.6198 |
영점은 mpmath의 besseljzero로 확인했습니다. 참고: $J_1(2.4048)=0.5191$, $J_1(5.5201)=-0.3403$, $J_1(8.6537)=0.2715$.
직교성: $u_m(\rho)=J_\nu(k_m\rho)$, $k_m=\alpha_m/a$는 $(\rho u')'+\big(k^2\rho-\frac{\nu^2}{\rho}\big)u=0$을 풉니다(베셀 방정식을 $\rho$로 나눈 S-L 꼴, L25). $u_m$의 식에 $u_n$을, $u_n$의 식에 $u_m$을 곱해 빼고 $0$부터 $a$까지 적분하면
$$\begin{aligned}&\big(k_m^2-k_n^2\big)\int_0^a\rho\,u_mu_n\,d\rho\\&=\Big[\rho\big(u_mu_n'-u_nu_m'\big)\Big]_0^a.\end{aligned}$$$\rho=a$에서는 $u_m=u_n=0$(영점)이고, $\rho=0$에서는 앞의 $\rho$ 때문에 0입니다. 그래서 $m\ne n$이면 적분이 0이고, 가중치 $\rho$는 S-L 꼴의 $w(\rho)=\rho$입니다.
정규화: 같은 식에서 $k_n\to k_m$ 극한(로피탈)을 취하면 $\int_0^a\rho\,u_m^2\,d\rho=\frac{a^2}{2}J_\nu'(\alpha_m)^2$이 나옵니다(계산 생략). 영점에서는 $J_\nu'=\frac\nu xJ_\nu-J_{\nu+1}$의 첫 항이 0이라 $J_\nu'(\alpha_m)=-J_{\nu+1}(\alpha_m)$, 그래서 $\frac{a^2}{2}J_{\nu+1}(\alpha_m)^2$입니다.
낮은 모드부터 영점을 $\alpha_{01}=2.4048$로 나눕니다.
| 모드 $(m,n)$ | $(0,1)$ | $(1,1)$ | $(2,1)$ | $(0,2)$ |
|---|---|---|---|---|
| $\alpha_{mn}$ | 2.4048 | 3.8317 | 5.1356 | 5.5201 |
| $\omega_{mn}/\omega_{01}$ | 1 | 1.593 | 2.136 | 2.295 |
| $f$ (Hz), $a=0.2$ m, $c=100$ m/s | 191.4 | 304.9 | 408.7 | 439.3 |
기본 진동수: $f_{01}=\dfrac{c\,\alpha_{01}}{2\pi a}=\dfrac{100\times2.4048}{2\pi\times0.2}=191.4$ Hz. 줄과 달리 배음이 정수배가 아닙니다.
$a=1$, $\nu=0$입니다. $s=\alpha_m\rho$로 바꾸고 $\int sJ_0\,ds=sJ_1$을 씁니다.
$$\begin{aligned}\int_0^1\rho J_0(\alpha_m\rho)\,d\rho&=\frac{1}{\alpha_m^2}\int_0^{\alpha_m}sJ_0(s)\,ds\\&=\frac{1}{\alpha_m^2}\cdot\alpha_mJ_1(\alpha_m)=\frac{J_1(\alpha_m)}{\alpha_m}.\end{aligned}$$ $$c_m=\frac{2}{J_1(\alpha_m)^2}\cdot\frac{J_1(\alpha_m)}{\alpha_m}=\frac{2}{\alpha_mJ_1(\alpha_m)}.$$수치: $c_1=\frac{2}{2.4048\times0.5191}\approx1.602$, $c_2\approx-1.065$, $c_3\approx0.851$.
$$\begin{aligned}1=1.602\,J_0(2.4048\rho)&-1.065\,J_0(5.5201\rho)\\&+0.851\,J_0(8.6537\rho)-\cdots\end{aligned}$$직교성 확인용 값: $\int_0^1\rho J_0(\alpha_1\rho)^2d\rho=\frac12J_1(\alpha_1)^2=0.1348$.
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy와 mpmath로 검산했습니다.
A1. $J_2$의 처음 세 항
A2. $J_{-2}$, $J_{-3}$을 양의 차수로
A3. $J_3$을 $J_0$, $J_1$로
A4. $J_2'$을 $J_0$, $J_1$로
B1. $\displaystyle\int x^2J_1\,dx$
B2. $\displaystyle\int_0^\infty J_1(x)\,dx$
B3. $\displaystyle\int_0^{\alpha_1}xJ_0\,dx$ ($\alpha_1=2.4048$)
B4. $\displaystyle\int_0^{\alpha_1}x^3J_0\,dx$ ($\alpha_1=2.4048$)
C1. 야코비-앵거 전개의 $\theta$ 자리에 $\frac\pi2-\theta$를 넣어 $e^{ix\cos\theta}=\sum_ni^nJ_n(x)e^{in\theta}$를 보이세요(평면파의 원통 전개).
C2. 급수로 $J_{-1/2}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x$를 보이세요.
C3. $J_{3/2}$를 $\sin$, $\cos$로
C4. $n_1$을 $\sin$, $\cos$로
C5. 예제 5-1의 $j_2$를 작은 $x$에서 전개해 $j_2\approx\frac{x^2}{15}$를 확인하세요.
C6. 적분 표현으로 $J_n(0)$ (정수 $n\ge0$)을 구하고 $|J_n(x)|\le1$을 보이세요.
C7. C1의 전개를 $\theta$로 $0$부터 $2\pi$까지 적분해 $\int_0^{2\pi}e^{ix\cos\theta}d\theta=2\pi J_0(x)$를 보이세요. 이것으로 원형 구멍의 회절 적분 $\displaystyle\int_0^a\!\!\int_0^{2\pi}e^{ib\rho\cos\varphi}\rho\,d\varphi\,d\rho$를 구하세요.
C8. 레일리 공식으로 $j_3$을 구하세요.
D1. $x^2y''+xy'+(4x^2-9)y=0$
D2. $x^2y''+xy'-(9x^2+1)y=0$
D3. $\rho^2R''+\rho R'-(k^2\rho^2+m^2)R=0$. (a) $0\le\rho\le a$에서 원점 유한 (b) $\rho\ge a$에서 무한대로 갈 때 0
D4. $x^2y''+2xy'+(x^2-2)y=0$
D5. $xy''+y'+y=0$ (일반형 사용)
D6. $y''+xy=0$ (일반형 사용)
D7. 론스키안($\nu=0$)과 $J_0'=-J_1$, $Y_0'=-Y_1$을 써서 $J_1Y_0-J_0Y_1$을 구하세요.
D8. $j_0n_0'-j_0'n_0$을 직접 계산하세요.
E1. 점근형으로 $J_1(15)$를 근사하세요.
E2. 점근형으로 $J_1$의 첫 영점을 근사하세요.
E3. 원형 막에서 진동수가 낮은 순서로 다섯 모드와 $\omega/\omega_{01}$을 쓰세요. ($J_3$의 첫 영점은 6.3802)
E4. $f(\rho)=1-\rho^2$ ($0\le\rho\le1$)을 $J_0(\alpha_m\rho)$로 전개한 계수
E5. $\displaystyle\int_0^1\rho\,J_0(\alpha_2\rho)^2\,d\rho$ ($\alpha_2=5.5201$)
E6. 작은 $x$ 근사로 $K_0(0.01)$