Arfken 7판 19.1–19.2절 (푸리에 계수, 대칭, 주기 2L, 반구간 전개, 복소 형식, 급수의 닫힌 꼴 합, 수렴값, 수 급수의 합, 파세발 등식)과 19.3절 깁스 현상 (19.3절은 기억 기반, 미검증)
주기 $2\pi$ 함수의 푸리에 급수(Fourier series)를 이렇게 씁니다. 상수항을 $\frac{a_0}{2}$로 쓰는 것이 핵심입니다. 이렇게 쓰면 $a_0$의 적분 공식이 $a_n$과 같아집니다($\cos 0=1$).
$$\begin{aligned}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\big(&a_n\cos nx\\&+b_n\sin nx\big)\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx\quad(n\ge0)\\b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx\quad(n\ge1)\end{aligned}$$Arfken도 $\frac{a_0}{2}$ 관례를 씁니다(기억 기반, 미검증). 어떤 책은 상수항을 그냥 $a_0$로 쓰고 $a_0=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\,dx$로 정의합니다. 어느 쪽이든 상수항 = $f$의 한 주기 평균값입니다. 다른 책의 답과 비교할 때는 이것으로 맞춥니다.
적분 구간은 길이가 $2\pi$이기만 하면 $(0,\,2\pi)$로 잡아도 됩니다.
| 주기 $2\pi$ (구간 $-\pi<x<\pi$) | 주기 $2L$ (구간 $-L<x<L$) | |
|---|---|---|
| 급수 | $\frac{a_0}{2}+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ | $\frac{a_0}{2}+\sum\big(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\big)$ |
| $a_n$ | $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f\cos nx\,dx$ | $\frac1L\int_{-L}^{L}f\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx$ |
| $b_n$ | $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f\sin nx\,dx$ | $\frac1L\int_{-L}^{L}f\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$ |
| 복소형 | $\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}$, $c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}fe^{-inx}dx$ | $\sum c_ne^{in\pi x/L}$, $c_n=\frac1{2L}\int_{-L}^{L}fe^{-in\pi x/L}dx$ |
| 파세발 | $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum(a_n^2+b_n^2)$ | $\frac1L\int_{-L}^{L}f^2dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum(a_n^2+b_n^2)$ |
직교성(orthogonality). 곱을 합으로 바꾸면 적분이 바로 끝납니다.
$$\begin{aligned}\cos mx\cos nx&=\tfrac12\big[\cos(m-n)x+\cos(m+n)x\big]\\\sin mx\sin nx&=\tfrac12\big[\cos(m-n)x-\cos(m+n)x\big]\\\sin mx\cos nx&=\tfrac12\big[\sin(m+n)x+\sin(m-n)x\big]\end{aligned}$$정수 $k\ne0$이면 $\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\,dx=0$이고, $\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\,dx$는 언제나 0입니다. 그래서 $m,n\ge1$일 때
$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,dx&=\pi\,\delta_{mn}\\\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx&=\pi\,\delta_{mn}\\\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\cos nx\,dx&=0\end{aligned}$$계수 공식. 급수 양변에 $\cos mx$를 곱하고 $-\pi$부터 $\pi$까지 적분합니다. 오른쪽에서는 $a_m\cos mx\cdot\cos mx$ 항 하나만 살아남아 $\pi a_m$이 됩니다. 그래서 $a_m=\frac1\pi\int f\cos mx\,dx$입니다. $\sin mx$를 곱하면 같은 방법으로 $b_m$이 나옵니다.
왜 $\frac{a_0}{2}$인가. 상수항 $c$에 $1$을 곱해 적분하면 $2\pi c$입니다($n=0$이면 $\int\cos^2nx\,dx$가 $\pi$가 아니라 $2\pi$). $c=\frac{a_0}{2}$로 두면 $a_0=\frac1\pi\int f\,dx$가 되어 $a_n$과 같은 식이 됩니다.
(급수를 항별로 적분해도 되는지, 급수가 정말 $f$로 수렴하는지는 엄밀하게는 따로 보여야 하지만 생략합니다. 6절 상자에서 조금 봅니다.)
정수 $n$에서 쓰는 값: $\sin n\pi=0$, $\ \cos n\pi=(-1)^n$, $\ 1-(-1)^n$은 $n$ 홀수면 $2$, 짝수면 $0$. $\ \sin\frac{n\pi}{2}=0,1,0,-1,\dots$ 그리고 $\cos\frac{n\pi}{2}=1,0,-1,0,\dots$ ($n=0,1,2,3,\dots$).
표준 급수 네 개 (모두 $-\pi<x<\pi$에서 정의하고 주기 $2\pi$로 확장):
| 이름 | $f(x)$ | 푸리에 급수 |
|---|---|---|
| 사각파 | $-1$ ($x<0$), $+1$ ($x>0$) | $\frac4\pi\big(\sin x+\frac{\sin3x}{3}+\frac{\sin5x}{5}+\cdots\big)$ |
| 톱니파 | $x$ | $2\big(\sin x-\frac{\sin2x}{2}+\frac{\sin3x}{3}-\cdots\big)=2\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$ |
| 삼각파 | $|x|$ | $\frac\pi2-\frac4\pi\big(\cos x+\frac{\cos3x}{9}+\frac{\cos5x}{25}+\cdots\big)$ |
| 포물선 | $x^2$ | $\frac{\pi^2}{3}+4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx=\frac{\pi^2}{3}-4\big(\cos x-\frac{\cos2x}{4}+\frac{\cos3x}{9}-\cdots\big)$ |
모양으로 보는 요령: 주기 확장에 점프가 있으면 계수가 $\frac1n$처럼 줄고(사각파·톱니파), 연속이지만 꺾이면 $\frac1{n^2}$처럼 줄어듭니다(삼각파·포물선).
부분적분 표의 예: $\int x^2\cos nx\,dx$
| 부호 | D (미분) | I (적분) |
|---|---|---|
| $+$ | $x^2$ | $\cos nx$ |
| $-$ | $2x$ | $\frac{\sin nx}{n}$ |
| $+$ | $2$ | $-\frac{\cos nx}{n^2}$ |
| $0$ | $-\frac{\sin nx}{n^3}$ |
$0$부터 $\pi$까지 넣으면 $\sin$ 항은 모두 0이고 $\frac{2\pi\cos n\pi}{n^2}$만 남습니다: $\int_0^\pi x^2\cos nx\,dx=\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}$. 이 값은 예제 2-2에서 씁니다.
부분적분 $\int uv\,dx=uV_1-\int u'V_1\,dx$를 되풀이한 것뿐입니다. $V_1,V_2,\dots$는 $v$를 한 번, 두 번, … 적분한 것입니다.
$$\begin{aligned}\int uv&=uV_1-\int u'V_1\\&=uV_1-u'V_2+\int u''V_2\\&=uV_1-u'V_2+u''V_3-\cdots\end{aligned}$$D 열이 $u,u',u'',\dots$이고 I 열이 $v,V_1,V_2,\dots$입니다. 대각선 곱 $u^{(k)}V_{k+1}$에 부호 $(-1)^k$이 붙습니다. $u=x^k$이면 $k+1$번 미분해서 0이 되므로 마지막에 남는 적분이 없습니다.
$a_0$: $\ a_0=\frac1\pi\int_0^\pi x\,dx=\frac1\pi\cdot\frac{\pi^2}{2}=\frac\pi2$.
$a_n$: D 열은 $x,\,1,\,0$, I 열은 $\cos nx,\ \frac{\sin nx}{n},\ -\frac{\cos nx}{n^2}$입니다.
$$\begin{aligned}&\int_0^\pi x\cos nx\,dx\\&=\Big[\frac{x\sin nx}{n}+\frac{\cos nx}{n^2}\Big]_0^\pi\\&=\frac{(-1)^n-1}{n^2}\end{aligned}$$ $$a_n=\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}=\begin{cases}-\dfrac{2}{\pi n^2}&n\text{ 홀수}\\[4pt]0&n\text{ 짝수}\end{cases}$$$b_n$: I 열은 $\sin nx,\ -\frac{\cos nx}{n},\ -\frac{\sin nx}{n^2}$입니다.
$$\begin{aligned}&\int_0^\pi x\sin nx\,dx\\&=\Big[-\frac{x\cos nx}{n}+\frac{\sin nx}{n^2}\Big]_0^\pi\\&=-\frac{\pi(-1)^n}{n}\ \Rightarrow\ b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\end{aligned}$$결과:
$$\begin{aligned}f(x)&=\frac\pi4-\frac2\pi\Big(\cos x+\frac{\cos3x}{9}\\&\qquad\quad+\frac{\cos5x}{25}+\cdots\Big)\\&\quad+\Big(\sin x-\frac{\sin2x}{2}\\&\qquad\quad+\frac{\sin3x}{3}-\cdots\Big)\end{aligned}$$검산: 상수항 $\frac{a_0}{2}=\frac\pi4$는 한 주기 평균(넓이 $\frac{\pi^2}{2}$ ÷ 길이 $2\pi$)과 같습니다.
기함수 $h$는 $x\to-x$로 치환하면 $\int_{-\pi}^{0}h\,dx=-\int_0^{\pi}h\,dx$이므로 $\int_{-\pi}^{\pi}h\,dx=0$입니다. 우함수는 두 쪽이 같아서 $2\int_0^\pi$입니다.
$f$가 우함수이면 $f\sin nx$는 우×기=기함수라서 $b_n=0$이고, $f\cos nx$는 우함수라서 $a_n=\frac2\pi\int_0^\pi f\cos nx\,dx$입니다. 기함수 $f$는 역할이 서로 바뀝니다.
(a) 사각파 $f(x)=-1$ ($-\pi<x<0$), $+1$ ($0<x<\pi$). 원점 대칭이므로 기함수입니다. $a_n=0$.
$$\begin{aligned}b_n&=\frac2\pi\int_0^\pi\sin nx\,dx\\&=\frac2\pi\Big[-\frac{\cos nx}{n}\Big]_0^\pi\\&=\frac2\pi\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}\\&=\frac{4}{\pi n}\ (n\text{ 홀수}),\quad 0\ (n\text{ 짝수})\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}f(x)&=\frac4\pi\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}\\&=\frac4\pi\Big(\sin x+\frac{\sin3x}{3}\\&\qquad\quad+\frac{\sin5x}{5}+\cdots\Big)\end{aligned}$$(b) 톱니파 $f(x)=x$ ($-\pi<x<\pi$). 기함수입니다. $\int_0^\pi x\sin nx\,dx=-\frac{\pi(-1)^n}{n}$은 예제 1-1에서 구했습니다.
$$\begin{aligned}b_n&=\frac2\pi\cdot\Big(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\Big)=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\\x&=2\Big(\sin x-\frac{\sin2x}{2}\\&\qquad+\frac{\sin3x}{3}-\cdots\Big)\end{aligned}$$주기 확장한 그래프는 $x=\pm\pi$에서 $\pi$에서 $-\pi$로 뚝 떨어지는 톱니 모양입니다. 그래서 계수가 $\frac1n$처럼 느리게 줄어듭니다.
(a) $|x|$. $0<x<\pi$에서 $|x|=x$이고, $\int_0^\pi x\cos nx\,dx=\frac{(-1)^n-1}{n^2}$은 예제 1-1에서 구했습니다.
$$\begin{aligned}a_0&=\frac2\pi\int_0^\pi x\,dx=\pi\\a_n&=\frac2\pi\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2}\\&=-\frac{4}{\pi n^2}\ (n\text{ 홀수}),\quad 0\ (n\text{ 짝수})\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}|x|=\frac\pi2-\frac4\pi\Big(&\cos x+\frac{\cos3x}{9}\\&+\frac{\cos5x}{25}+\cdots\Big)\end{aligned}$$(b) $x^2$. 1절의 표 결과 $\int_0^\pi x^2\cos nx\,dx=\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}$을 씁니다.
$$\begin{aligned}a_0&=\frac2\pi\int_0^\pi x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}\\a_n&=\frac2\pi\cdot\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}=\frac{4(-1)^n}{n^2}\end{aligned}$$ $$x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx$$$L=1$입니다. 대칭이 없으니 셋 다 구합니다.
$$\begin{aligned}a_0&=\int_{-1}^{1}f\,dx=\int_0^1dx=1\\a_n&=\int_0^1\cos n\pi x\,dx\\&=\Big[\frac{\sin n\pi x}{n\pi}\Big]_0^1=0\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}b_n&=\int_0^1\sin n\pi x\,dx=\Big[-\frac{\cos n\pi x}{n\pi}\Big]_0^1\\&=\frac{1-(-1)^n}{n\pi}\\&=\frac{2}{n\pi}\ (n\text{ 홀수}),\quad0\ (n\text{ 짝수})\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}f(x)=\frac12+\frac2\pi\Big(&\sin\pi x+\frac{\sin3\pi x}{3}\\&+\frac{\sin5\pi x}{5}+\cdots\Big)\end{aligned}$$검산: 이 $f$는 $\frac12\big(1+\text{사각파}(\pi x)\big)$입니다. 예제 2-1의 급수를 반으로 나누고 $x$를 $\pi x$로 바꾸면 같은 식이 나옵니다.
(a) 사인 급수. D 열: $\pi x-x^2,\ \pi-2x,\ -2,\ 0$. I 열: $\sin nx,\ -\frac{\cos nx}{n},\ -\frac{\sin nx}{n^2},\ \frac{\cos nx}{n^3}$.
$$\begin{aligned}&\int(\pi x-x^2)\sin nx\,dx\\&=-\frac{(\pi x-x^2)\cos nx}{n}\\&\quad+\frac{(\pi-2x)\sin nx}{n^2}-\frac{2\cos nx}{n^3}\end{aligned}$$$x=\pi$와 $x=0$에서 앞의 두 항은 0입니다($\pi x-x^2=0$, $\sin=0$). 마지막 항만 남습니다.
$$\begin{aligned}&\int_0^\pi(\pi x-x^2)\sin nx\,dx\\&=-\frac{2(-1)^n}{n^3}+\frac{2}{n^3}=\frac{2\big(1-(-1)^n\big)}{n^3}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}b_n&=\frac2\pi\cdot\frac{2\big(1-(-1)^n\big)}{n^3}\\&=\frac{8}{\pi n^3}\ (n\text{ 홀수}),\quad 0\ (n\text{ 짝수})\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}x(\pi-x)=\frac8\pi\Big(&\sin x+\frac{\sin3x}{27}\\&+\frac{\sin5x}{125}+\cdots\Big)\end{aligned}$$(b) 코사인 급수. $a_0=\frac2\pi\int_0^\pi(\pi x-x^2)dx=\frac2\pi\Big(\frac{\pi^3}{2}-\frac{\pi^3}{3}\Big)=\frac{\pi^2}{3}$. 이번에는 I 열이 $\cos nx,\ \frac{\sin nx}{n},\ -\frac{\cos nx}{n^2},\ -\frac{\sin nx}{n^3}$입니다.
$$\begin{aligned}&\int(\pi x-x^2)\cos nx\,dx\\&=\frac{(\pi x-x^2)\sin nx}{n}\\&\quad+\frac{(\pi-2x)\cos nx}{n^2}+\frac{2\sin nx}{n^3}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\int_0^\pi(\pi x-x^2)\cos nx\,dx\\&=\frac{-\pi(-1)^n}{n^2}-\frac{\pi}{n^2}\\&=-\frac{\pi\big(1+(-1)^n\big)}{n^2}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}a_n&=-\frac{2\big(1+(-1)^n\big)}{n^2}\\&=0\ (n\text{ 홀수}),\quad-\frac{4}{n^2}\ (n\text{ 짝수})\end{aligned}$$$n=2m$으로 쓰면 $a_{2m}=-\frac{4}{4m^2}=-\frac{1}{m^2}$이므로
$$\begin{aligned}x(\pi-x)&=\frac{\pi^2}{6}-\Big(\cos2x+\frac{\cos4x}{4}\\&\qquad+\frac{\cos6x}{9}+\cdots\Big)\\&=\frac{\pi^2}{6}-\sum_{m=1}^\infty\frac{\cos2mx}{m^2}\end{aligned}$$사인 급수는 계수가 $\frac1{n^3}$, 코사인 급수는 $\frac1{n^2}$처럼 줄어듭니다. $(0,\,\pi)$ 안에서는 둘 다 맞습니다.
$\cos nx=\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}$, $\sin nx=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}$를 넣고 $e^{\pm inx}$끼리 모읍니다.
$$\begin{aligned}&a_n\cos nx+b_n\sin nx\\&=\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx}\end{aligned}$$그래서 $c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}$, $c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}$입니다. 계수 공식은 직교성 $\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(n-m)x}dx=2\pi\,\delta_{mn}$에서 나옵니다. 양변에 $e^{-imx}$를 곱해 적분하면 $c_m$ 항만 남아 $2\pi c_m$이 됩니다. 그래서 앞 계수가 $\frac1{2\pi}$이고 적분 안의 지수가 $e^{-inx}$입니다.
$e^{-in\pi}=e^{in\pi}=(-1)^n$이므로 분자는 $(-1)^n\big(e^{a\pi}-e^{-a\pi}\big)=2(-1)^n\sinh a\pi$입니다.
$$\begin{aligned}c_n&=\frac{(-1)^n\sinh a\pi}{\pi}\cdot\frac{1}{a-in}\\&=\frac{(-1)^n\sinh a\pi}{\pi}\cdot\frac{a+in}{a^2+n^2}\end{aligned}$$$a_n,\,b_n$으로 바꿉니다. $c_{-n}$은 $n$을 $-n$으로 바꿔 얻습니다: $c_{-n}=\frac{(-1)^n\sinh a\pi}{\pi}\cdot\frac{a-in}{a^2+n^2}$.
$$\begin{aligned}a_n&=c_n+c_{-n}=\frac{2a(-1)^n\sinh a\pi}{\pi(a^2+n^2)}\\b_n&=i(c_n-c_{-n})\\&=\frac{2n(-1)^{n+1}\sinh a\pi}{\pi(a^2+n^2)}\end{aligned}$$상수항은 $c_0=\frac{\sinh a\pi}{\pi a}$, 즉 $a_0=\frac{2\sinh a\pi}{\pi a}$입니다. 실수형으로 직접 하면 $\int e^{ax}\cos nx\,dx$를 부분적분 두 번으로 풀어야 합니다. 복소형은 한 줄입니다.
두 급수를 $\sum\frac{e^{inx}}{n}$의 실수부와 허수부로 봅니다. $z=e^{ix}$로 두면 $\sum\frac{z^n}{n}=-\ln(1-z)$입니다.
$1-e^{ix}$에서 $e^{ix/2}$를 묶어 극형식으로 바꿉니다.
$$\begin{aligned}1-e^{ix}&=e^{ix/2}\big(e^{-ix/2}-e^{ix/2}\big)\\&=e^{ix/2}\cdot(-2i)\sin\frac x2\\&=2\sin\frac x2\cdot e^{i(x-\pi)/2}\end{aligned}$$$-i=e^{-i\pi/2}$를 썼습니다. $0<x<2\pi$이면 $\sin\frac x2>0$이므로 $2\sin\frac x2$가 크기, $\frac{x-\pi}{2}$가 각도입니다. 로그는 $\ln(\text{크기})+i(\text{각도})$입니다.
$$-\ln(1-e^{ix})=-\ln\Big(2\sin\frac x2\Big)+i\,\frac{\pi-x}{2}$$실수부와 허수부를 가르면
$$\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos nx}{n}&=-\ln\Big(2\sin\frac x2\Big)\\\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n}&=\frac{\pi-x}{2}\end{aligned}$$검산: 둘째 식은 톱니파입니다. $x=\pi-y$로 두면 $\sin n(\pi-y)=(-1)^{n+1}\sin ny$이므로 $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin ny=\frac y2$, 즉 예제 2-1 (b)와 같습니다. 첫째 식에 $x=\pi$를 넣으면 $\sum\frac{(-1)^n}{n}=-\ln2$이고, 교대 조화급수 $1-\frac12+\frac13-\cdots=\ln2$와 맞습니다.
부분합 $S_N(x)=\sum_{n=-N}^{N}c_ne^{inx}$에 $c_n$의 적분식을 넣고 합과 적분의 순서를 바꿉니다. 적분 변수를 $u=t-x$로 옮기면
$$\begin{aligned}S_N(x)&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,D_N(u)\,du\\D_N(u)&=\sum_{n=-N}^{N}e^{inu}=\frac{\sin\big(N+\frac12\big)u}{\sin\frac u2}\end{aligned}$$$D_N$을 디리클레 핵(Dirichlet kernel)이라고 합니다. 닫힌 꼴은 등비급수의 합입니다. 성질 세 가지가 핵심입니다.
그래서 $N\to\infty$이면 오른쪽 절반의 무게가 $f(x^+)$에, 왼쪽 절반이 $f(x^-)$에 붙어 $S_N(x)\to\frac12f(x^+)+\frac12f(x^-)$입니다. (진동하는 부분이 정말 0으로 가는 것은 리만-르베그 보조정리가 필요하지만 생략합니다.)
$x^2$의 주기 확장은 연속입니다($x=\pm\pi$에서 양쪽 모두 $\pi^2$). 그래서 어느 점을 넣어도 급수의 값은 $f(x)$입니다.
$x=\pi$를 넣습니다. $\cos n\pi=(-1)^n$이므로 $(-1)^n\cdot(-1)^n=1$입니다.
$$\begin{aligned}&\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\\&\Rightarrow\ \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac14\Big(\pi^2-\frac{\pi^2}{3}\Big)=\frac{\pi^2}{6}\end{aligned}$$$x=0$을 넣습니다. $\cos0=1$입니다.
$$\begin{aligned}&0=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\\&\Rightarrow\ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}\end{aligned}$$(a) $|x|$ 급수에 $x=0$ (연속점):
$$\begin{aligned}&0=\frac\pi2-\frac4\pi\Big(1+\frac19+\frac1{25}+\cdots\Big)\\&\Rightarrow\ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}\end{aligned}$$(b) 톱니파 급수에 $x=\pi$: 모든 항이 $\sin n\pi=0$이라 급수의 값은 0입니다. 실제로 $x=\pi$는 점프($\pi\to-\pi$)이고 평균은 $\frac{\pi+(-\pi)}{2}=0$이므로 규칙과 맞습니다.
(c) 사각파 급수에 $x=\frac\pi2$ (연속점, $f=1$): $\sin\frac{(2k-1)\pi}{2}=(-1)^{k+1}$이므로
$$\begin{aligned}&1=\frac4\pi\Big(1-\frac13+\frac15-\cdots\Big)\\&\Rightarrow\ 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\frac\pi4\end{aligned}$$사각파(예제 2-1)의 부분합을 홀수 항 $N$개까지 씁니다: $S_N(x)=\frac4\pi\sum_{k=1}^{N}\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}$.
① 미분. $S_N'(x)=\frac4\pi\sum_{k=1}^{N}\cos(2k-1)x$.
② 닫힌 꼴. $2\sin x\cos(2k-1)x=\sin2kx-\sin(2k-2)x$이므로 $k=1,\dots,N$을 더하면 앞뒤가 지워집니다.
$$\begin{aligned}2\sin x\sum_{k=1}^{N}\cos(2k-1)x&=\sin2Nx\\\Rightarrow\ S_N'(x)&=\frac2\pi\cdot\frac{\sin2Nx}{\sin x}\end{aligned}$$③ 봉우리 위치. $x>0$에서 처음 $\sin2Nx=0$이 되는 곳: $x_{\max}=\frac{\pi}{2N}$.
④ 높이. $S_N(0)=0$이므로 $S_N(x_{\max})=\int_0^{\pi/2N}S_N'\,dx$입니다. $u=2Nx$로 바꿉니다.
$$\begin{aligned}S_N\Big(\frac{\pi}{2N}\Big)&=\frac2\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{2N\sin\frac{u}{2N}}\,du\\&\xrightarrow{N\to\infty}\ \frac2\pi\int_0^\pi\frac{\sin u}{u}\,du\\&=\frac2\pi\,\mathrm{Si}(\pi)\approx1.17898\end{aligned}$$$N$이 크면 $2N\sin\frac{u}{2N}\approx u$이기 때문입니다. 목표값 1을 $0.179$만큼 넘습니다. 점프 크기 2의 $8.95\%$입니다.
| $N$ | 1 | 2 | 3 | 10 | 100 | $\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $S_N\big(\frac{\pi}{2N}\big)$ | 1.2732 | 1.2004 | 1.1884 | 1.1798 | 1.17899 | 1.17898 |
봉우리 위치 $\frac{\pi}{2N}$은 0으로 가지만, 높이는 1로 내려가지 않습니다.
주기 확장한 톱니파는 $x=\pi$에서 $\pi$에서 $-\pi$로 떨어집니다. 점프 크기는 $2\pi$이고 가운데 값은 0입니다.
규칙으로: 왼쪽 극한 $\pi$보다 $0.0895\times2\pi\approx0.562$만큼 더 올라갑니다. 봉우리 높이는 $\pi+0.562\approx3.704$입니다. 정확한 극한은 (가운데 값) $+$ (점프의 절반) $\times\frac2\pi\mathrm{Si}(\pi)=0+\pi\cdot\frac2\pi\mathrm{Si}(\pi)=2\,\mathrm{Si}(\pi)\approx3.7039$입니다.
직접 확인: $S_N(x)=2\sum_{n=1}^{N}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$의 봉우리는 $x=\pi-\frac{\pi}{N+1}$에 있습니다(예제 7-1처럼 $S_N'$을 닫힌 꼴로 만들면 나옵니다).
| $N$ | 5 | 10 | 100 | 1000 | $\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 봉우리 높이 | 3.1657 | 3.4139 | 3.6727 | 3.7007 | 3.7039 |
$N=5$에서는 $\pi=3.1416$을 겨우 넘지만, $N$이 커지면 $3.704$로 다가갑니다. 극한에 다가가는 속도는 함수마다 다릅니다(이 경우 오차가 $\frac1N$ 정도). 넘침의 극한 크기는 점프만 보면 정해집니다.
점프가 하나 있는 $f$는 (연속 함수) + (점프의 절반) × (사각파를 옮긴 것)으로 쪼갤 수 있습니다. 연속 부분은 조각별로 매끄러우면 점프 근처에서도 고르게 수렴하므로, 넘침은 전부 사각파 부분에서 옵니다. 그래서 넘침은 언제나 점프 크기에 같은 비율 $\frac1\pi\mathrm{Si}(\pi)-\frac12\approx0.0895$를 곱한 값입니다.
높이가 줄지 않는 이유는 예제 7-1의 ④에 있습니다. $u=2Nx$로 바꾸면 $N$이 적분에서 거의 사라집니다. 즉 부분합을 $Nx$의 함수로 보면 $N$과 상관없이 거의 같은 모양이고, 그 모양이 가로로만 $\frac1N$배 좁아집니다.
6절의 점별 수렴과 모순이 아닙니다. 고정된 $x>0$에서는 $N$이 커지면 봉우리가 $x$보다 왼쪽으로 지나가 버리므로 $S_N(x)\to f(x)$입니다.
$f$의 급수에 $f$를 곱하고 $-\pi$부터 $\pi$까지 항별 적분합니다. 계수 공식을 거꾸로 읽으면 $\int f\cos nx\,dx=\pi a_n$, $\int f\sin nx\,dx=\pi b_n$, $\int f\,dx=\pi a_0$입니다.
$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx&=\frac{a_0}{2}\cdot\pi a_0\\&\quad+\sum_{n\ge1}\big(a_n\cdot\pi a_n+b_n\cdot\pi b_n\big)\end{aligned}$$양변을 $\pi$로 나누면 파세발 등식입니다. 직교성으로 보면 피타고라스 정리입니다. $\cos nx$, $\sin nx$가 서로 수직인 축이고, 길이의 제곱이 성분 제곱의 합입니다. 복소형은 $|f|^2=f\bar f$에 $\sum c_ne^{inx}$와 그 켤레를 넣고 $\int e^{i(n-m)x}dx=2\pi\delta_{mn}$을 쓰면 됩니다.
$x^2$ 급수: $a_0=\frac{2\pi^2}{3}$, $a_n=\frac{4(-1)^n}{n^2}$, $b_n=0$.
좌변: $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^4dx=\frac1\pi\cdot\frac{2\pi^5}{5}=\frac{2\pi^4}{5}$.
우변: $\frac{a_0^2}{2}=\frac12\cdot\frac{4\pi^4}{9}=\frac{2\pi^4}{9}$, 그리고 $a_n^2=\frac{16}{n^4}$.
$$\begin{aligned}\frac{2\pi^4}{5}&=\frac{2\pi^4}{9}+16\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}\\16\sum\frac1{n^4}&=\frac{18\pi^4-10\pi^4}{45}=\frac{8\pi^4}{45}\\\sum\frac1{n^4}&=\frac{\pi^4}{90}\end{aligned}$$같은 방법을 톱니파에 쓰면 $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}=\sum\frac{4}{n^2}$이므로 $\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$을 한 번 더 얻습니다.
$f'$의 계수를 부분적분으로 $f$의 계수와 잇습니다. $f$는 $(-\pi,\pi)$ 안에서 연속이라고 두고, 주기 확장의 점프 $J=f(\pi^-)-f(-\pi^+)$만 남깁니다.
$$\begin{aligned}\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f'\cos nx\,dx&=\frac{(-1)^n}{\pi}J+n\,b_n\\\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f'\sin nx\,dx&=-n\,a_n\end{aligned}$$주기 확장이 연속이면 $J=0$이고, $f'$의 계수가 정확히 "$f$의 급수를 항별 미분한 계수" $nb_n$, $-na_n$입니다. 그래서 항별 미분이 됩니다. 점프가 있으면 $\frac{(-1)^n}{\pi}J$가 남아 어긋납니다.
덤으로 0절의 "모양으로 보는 요령"도 나옵니다. 첫 식을 $b_n$에 대해 풀면 $b_n=-\frac{(-1)^nJ}{n\pi}+\frac1n\times(f'\text{의 계수})$이므로, 점프가 있으면 계수가 $\frac1n$처럼 줄어듭니다. 점프가 없으면 한 번 더 부분적분할 수 있어서 $\frac1{n^2}$입니다. 항별 적분은 계수를 $n$으로 나누기만 하므로 언제나 안전합니다.
(a) 적분. $t=2\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$를 $0$부터 $x$까지 적분합니다. $\int_0^x\sin nt\,dt=\frac{1-\cos nx}{n}$이므로
$$\begin{aligned}\frac{x^2}{2}&=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\\&\quad-2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\cos nx\\&=\frac{\pi^2}{6}+2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx\end{aligned}$$첫 합에 예제 6-1의 $\frac{\pi^2}{12}$를 썼습니다. 양변에 2를 곱하면 $x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx$로 예제 2-2과 같습니다.
(b) 미분 — 실패하는 경우. 톱니파 급수를 항별 미분하면
$$\begin{aligned}1\ &\overset{?}{=}\ 2\big(\cos x-\cos2x\\&\qquad+\cos3x-\cdots\big)\end{aligned}$$계수가 0으로 가지 않으므로 이 급수는 어떤 $x$에서도 수렴하지 않습니다(예: $x=0$에서 $2(1-1+1-\cdots)$). 원인은 $x$의 주기 확장이 $x=\pm\pi$에서 $2\pi$만큼 점프하기 때문입니다.
(c) 미분 — 되는 경우. $x^2$의 주기 확장은 연속이므로 항별 미분이 됩니다: $2x=-4\sum\frac{(-1)^n}{n}\sin nx$, 즉 $x=2\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$. 톱니파 급수가 그대로 나옵니다.
종이에 먼저 풀고 답을 여세요. 모든 답은 SymPy로 검산했습니다. 따로 말이 없으면 구간은 $-\pi<x<\pi$, 주기는 $2\pi$입니다.
A1. $f(x)=1+x$
A2. $f(x)=\sin^2x$
A3. $f(x)=x^3$
A4. $f(x)=|\sin x|$
A5. 반파 정류: $f(x)=\sin x$ ($0<x<\pi$), $0$ ($-\pi<x<0$)
A6. $f(x)=1$ ($|x|<\frac\pi2$), $0$ ($\frac\pi2<|x|<\pi$)
B1. 주기 2, $f(x)=x$ ($-1<x<1$)
B2. 주기 2, $f(x)=x^2$ ($-1<x<1$)
B3. $f(x)=1$ ($0<x<\pi$)의 사인 급수와 코사인 급수
B4. $f(x)=x$ ($0<x<L$)의 사인 급수와 코사인 급수
B5. $f(x)=\cos x$ ($0<x<\pi$)의 사인 급수
C1. 사각파(예제 2-1)의 $c_n$
C2. $f(x)=x$의 $c_n$을 직접 적분으로 구하고 $b_n$을 되찾으세요
C3. $f(x)=\cos^3x$의 $c_n$
C4. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty r^n\cos nx$ ($0\le r<1$)를 닫힌 꼴로 구하세요.
C5. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{r^n\cos nx}{n}$ ($0\le r<1$)를 닫힌 꼴로 구하세요. $r\to1$이면 예제 5-2와 맞는지 보세요.
D1. 예제 1-1의 급수는 $x=\pi$에서 어떤 값으로 수렴합니까? 또 $x=0$을 넣어 $\sum\frac1{(2n-1)^2}$을 다시 구하세요.
D2. A6의 급수는 $x=\frac\pi2$에서 어떤 값으로 수렴합니까?
D3. 예제 4-1 (a)의 사인 급수에 $x=\frac\pi2$를 넣어 $1-\frac1{27}+\frac1{125}-\cdots$를 구하세요.
D4. A4의 급수에 $x=0$과 $x=\frac\pi2$를 넣어 $\sum_{m\ge1}\frac{1}{4m^2-1}$과 $\sum_{m\ge1}\frac{(-1)^m}{4m^2-1}$을 구하세요.
D5. 예제 5-1의 급수에 $x=\pi$를 넣어 $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2+a^2}$을 구하세요. (어려움)
D6. $f(x)=0$ ($-\pi<x<0$), $1$ ($0<x<\pi$)의 부분합은 $x=0$ 오른쪽에서 최대 얼마까지 올라갑니까? ($N\to\infty$ 극한)
D7. 사각파의 부분합 $S_2(x)=\frac4\pi\big(\sin x+\frac{\sin3x}{3}\big)$의 최댓값을 정확히 구하세요.
D8. A6의 펄스($|x|<\frac\pi2$에서 1, 그 밖에서 0)의 부분합은 $x=\frac\pi2$ 근처에서 최대·최소가 대략 얼마입니까? ($N$이 클 때)
E1. 사각파에 파세발 등식을 써서 $\sum\frac1{(2n-1)^2}$을 구하세요.
E2. $|x|$에 파세발 등식을 써서 $\sum\frac1{(2n-1)^4}$을 구하세요.
E3. 예제 4-1 (a)의 사인 급수에 반구간 파세발 등식을 써서 $\sum\frac1{(2n-1)^6}$을 구하세요.
F1. 사각파 급수를 $0$부터 $x$까지 항별 적분해서 $|x|$의 급수를 얻으세요.
F2. $|x|$의 급수는 항별 미분해도 됩니까? 사각파 급수는요?
F3. $x^2$ 급수를 $0$부터 $x$까지 적분해서 $x^3$의 급수를 만들고 A3과 비교하세요. (힌트: 남는 $x$는 톱니파 급수로 바꿉니다)